Белорусская, 1999/00, заключительный этап, 11 класс, теоретический тур

Подсказка

Включение тока создаёт вихревое электрическое поле, оно толкает заряженные шарики: найдите заряд шариков, поле у торца сердечника и угол по амплитуде крутильных колебаний.

Ответ

Максимальный угол поворота \(\alpha_0\approx0{,}2\) рад (около \(10^\circ\)).

Решение

11.1 Рассмотрим качественно физическую сущность рассматриваемого явления. Шарики, подключенные к источнику приобретут электрический заряд. При подключении источника к обмотке катушки возникнет магнитное поле, в процессе его возрастания появится вихревое электрическое поле, которое воздействуя на заряженные шарики, приведет их в движение. Следовательно, маятник начнет совершать гармонические колебания. Если мы найдем, скорость которую приобретет маятник, то по законам гармонических колебаний мы сможем найти их амплитуду.

Для оценки заряда каждого шарика будем считать их уединенными. Тогда потенциал шарика, равный напряжению источника, можно рассчитать по формуле

\[U_{1} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}R} = \frac{q}{2\pi\varepsilon_{0}a},\]

где \(R = \frac{a}{2}\) - радиус шарика. Из этого выражения находим его заряд

\[q = 2\pi\varepsilon_{0}aU_{1}.\tag{1}\]

Для определения напряженности вихревого электрического поля воспользуемся законом электромагнитной индукции.

Рассмотрим круговой контур радиуса \(b\) (равным расстоянию от центра шарика до нити), находящийся в переменном магнитном поле, на оси его симметрии. При изменении магнитного потока через контур, в контуре возникает ЭДС индукции \(\mathcal{E} = -\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}\), которую можно представить как работу вихревого электрического поля по перемещению единичного заряда по контуру \(\mathcal{E} = 2\pi bE\). Магнитный поток через контур определяется соотношением \(\Phi = \pi b^{2}B\), следовательно, модуль вектора напряженности электрического поля в этом случае равен

\[E = \frac{b}{2} \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}.\tag{2}\]

Под действием этого поля каждый шарик приобретет импульс, которые можно найти из второго закона Ньютона

\[\frac{\Delta(mv)}{\Delta t} = qE = \frac{qb}{2} \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}.\tag{3}\]

Учитывая, что в начальный момент времени магнитное поле отсутствовало, скорость шарика равнялась нулю и пренебрегая смещением шарика за малый промежуток времени нарастания поля, из уравнения (3) находим скорость, которую приобретет маятник

\[v_{0}=\frac{q b B}{2 m} .\]

Так как маятник будет совершать крутильные колебания, то определим его начальную угловую скорость вращения вокруг собственной оси

\[\omega_{0}=\frac{v_{0}}{b}=\frac{q B}{2 m} .\tag{4}\]

Если угол поворота маятника изменяется по гармоническому закону \(\alpha=\alpha_{0} \sin \frac{2 \pi}{T} t\), то его угловая скорость будет зависеть от времени по закону \(\omega=\frac{2 \pi \alpha_{0}}{T} \cos \frac{2 \pi}{T} t=\omega_{0} \cos \frac{2 \pi}{T} t\). Следовательно, максимальный угол отклонения (амплитуда колебаний) будет выражаться через максимальную скорость посредством соотношения

\[\alpha_{0}=\frac{\omega_{0} T}{2 \pi} .\tag{5}\]

Таким образом, для определения угла поворота нам осталось вычислить индукцию поля, которое установится у торца соленоида. Из соображений симметрии можно заключить, что величина индукции этого поля \(B\) в два раза меньше индукции поля внутри длинного соленоида \(B_{0}\), которая может быть рассчитана по формуле, приведенной в условии

\[B=\frac{B_{0}}{2}=\frac{1}{2} \mu \mu_{0} n I,\tag{6}\]

где \(n=\frac{l}{d}\). Силу тока найдем из закона Ома \(I=\frac{U_{0}}{R}\), (7)

где сопротивление обмотки \(R=\rho \frac{l}{S}=\rho \frac{2 \pi r \frac{h}{d}}{\pi \frac{d^{2}}{4}}=\frac{8 \pi r h \rho}{d^{2}}\), (8)

здесь \(\frac{h}{d}\) - число витков обмотки.

Из формул (1)-(8) следует

\[\alpha_{0}=\frac{\pi \mu \mu_{0} \varepsilon_{0} U_{1} U_{0} a d^{2}}{8 \rho m r h}=\frac{\pi \mu U_{1} U_{0} a d^{2}}{8 c^{2} \rho m r h} .\tag{9}\]

Подстановка численных значений приводит к результату \(\alpha_0 \approx 0{,}2\), что соответствует приблизительно \(10^\circ\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Пузырьки образуют вторую, собирающую линзу в воде; сравните фокусные расстояния обеих линз и освещённости пятна и остального круга.

Ответ

Пузырьки занимают около \(0{,}4\%\) площади линзы.

Решение

11.2 Так как показатель преломления материала линзы больше, чем показатель преломления воды, то такая линза, помещенная в воду, будет рассеивающей. Множество пузырьков воздуха, вкрапленных в линзу, тоже можно рассматривать как линзу, но с показателем преломления равным 1. В воде такая линза будет собирающей. Таким образом, больший светлый круг образован лучами, преломившимися в основном материале линзы, а более яркий кружок - лучами, преломившимися в пузырьках воздуха.

Рассмотрим ход лучей, преломившихся на основном материале линзы. Крайние лучи этой группы \(AB\), \(A'B'\) образуют границу освещенной области. Так как, диаметр \(d_0\) освещенного круга \(BB'\) в два раза больше диаметра \(d\) линзы \(AA'\), фокусное расстояние \(F_0\) линзы(\(OF\)) равно расстоянию \(a\) между линзой и экраном (\(OD\)). Как известно, фокусное расстояние линзы определяется по формуле

\[\frac{1}{F} = (n'-1)(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}),\tag{1}\]

где \(R_1, R_2\) - радиусы кривизны преломляющих поверхностей, \(n'\) - относительный показатель преломления линзы (относительно среды). Поэтому отношение фокусных расстояний основной линзы \(F_0\) и линзы «пузырьковой» \(F_1\), вычисляется по формуле

\[\frac{F_1}{F_0} = \frac{\frac{n_0}{n_1} - 1}{\frac{1}{n_1} - 1} = \frac{n_0 - n_1}{1 - n_1}.\tag{2}\]

Учитывая, что \(F_0 = -a\) (линза рассеивающая!), вычислим фокусное расстояние воздушной линзы \(F_1 = a \frac{n_0 - n_1}{n_1 - 1} \approx 44 \text{ см}\). Теперь с помощью рисунка можем выразить диаметр более яркого пятна \(CC'\)

\[d_1 = d \frac{F_1 - a}{F_1}.\tag{3}\]

Обозначим падающий на линзу световой поток \(\Phi\), тогда поток света, преломившегося в пузырьках, будет равен \(\Phi_1 = \varepsilon \Phi\) (где \(\varepsilon\) доля площади линзы занимаемой пузырьками); световой поток, преломившийся в основном материале линзы \(\Phi_0 = (1 - \varepsilon) \Phi\). Освещенность поверхности пропорциональна световому потоку и обратно пропорциональна освещаемой площади. Поэтому освещенность светлого круга \(E_0 \sim \frac{\Phi_0}{d_0^2} \sim \frac{1 - \varepsilon}{4d^2}\). Освещенность поверхности, создаваемая лучами, преломившимися в пузырьках, \(E_1 \sim \frac{\Phi_1}{d_1^2} \sim \frac{\varepsilon}{d^2} \left( \frac{F_1}{F_1 - a} \right)^2 \approx 120 \frac{\varepsilon}{d^2}\). Отношение освещенностей центрального пятна и остального круга, выражается формулой

\[\eta = \frac{E_0 + E_1}{E_0} = 1 + \frac{E_1}{E_0} \approx 1 + 480 \frac{\varepsilon}{1 - \varepsilon}.\]

Из этой формулы определяем величину \(\varepsilon \approx 0{,}4\%\)

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Нить поднимается постепенно: по закону сохранения энергии учтите подъём центра масс поднятой части нити, проверьте, поднимется ли она вся.

Ответ

В обоих случаях высота подъёма стрелы \(h\approx11\) м (\(10{,}7\) м при \(l=15\) м, \(10{,}9\) м при \(l=5\) м).

Решение

11.3 Предположим, что высота подъема стрелы меньше, чем длина привязанной нити. Тогда закон сохранения механической энергии будет иметь вид

\[\frac{mv_0^2}{2} = mgh + m_1 g \frac{h}{2},\tag{1}\]

где \(m_1 = \lambda h\) - масса поднятой веревки, \(\frac{h}{2}\) - высота, на которую поднялся центр масс веревки. Таким образом, получаем уравнение для определения высоты подъема

\[\frac{mv_0^2}{2} = mgh + \lambda g \frac{h^2}{2}.\tag{2}\]

Корни этого уравнения определяются формулой

\[h_{1{,}2} = -\frac{m}{\lambda} \pm \sqrt{\left( \frac{m}{\lambda} \right)^2 + \frac{mv_0^2}{\lambda g}}.\tag{3}\]

Отрицательный корень физического смысла не имеет, поэтому решение задачи имеет вид

\[h = \sqrt{\left(\frac{m}{\lambda}\right)^2 + \frac{m v_0^2}{\lambda g}} - \frac{m}{\lambda} \approx 10{,}7\,\text{м}.\tag{4}\]

Таким образом при длине нити \(15\,\text{м}\) часть нити останется лежать на земле, следовательно, полученное решение является верным. При длине нити \(5\,\text{м}\), полученная формула неприменима, так как вся нить поднимется в воздух. В этом случае закон сохранения энергии следует записать в виде

\[\frac{m v_0^2}{2} = m g h + \lambda l g \left(h - \frac{l}{2}\right).\tag{5}\]

Из этого уравнения определим высоту подъема

\[h = \frac{m v_0^2 + \lambda g l^2}{2 g (m + \lambda l)} \approx 10{,}9\,\text{м}.\tag{6}\]

Высота подъема, как видно оказалась несколько больше, однако, эти два результата не различимы в рамках точности данных, приведенных в условии задачи. Поэтому правильный ответ: в обоих случаях высота подъема стрелы \(h \approx 11\,\text{м}\).

Заметим, что высота подъема стрелы без нити \(h_0 = \frac{v_0^2}{2g} \approx 11{,}5\,\text{м}\) мало отличается от полученным нами результатов.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Сила, меняющаяся по гармоническому закону, даёт то же движение, что и точка на ободе катящегося колеса; электрон в волне дрейфует из-за силы Лоренца от колебаний вдоль \(X\).

Ответ

4.1) \(x=R(\omega t-\sin\omega t)\), \(y=R(1-\cos\omega t)\), \(\langle v\rangle=\omega R\); 4.2) \(\langle v_1\rangle=\dfrac{F_0}{m\omega}\), \(\langle v_2\rangle=0\); 4.3) \(v_x=\dfrac{eE_0}{m\omega}\sin\omega t\), \(\langle v_z\rangle=\Bigl(\dfrac{e}{2m\omega}\Bigr)^2E_0B_0\).

Решение

11.4 4.1 Пусть колесо повернулось на угол \(\varphi = \omega t\), при этом его центр сместился на расстояние \(x_0 = \omega R t\). Координаты точки \(A\) в этот момент будут определятся выражениями

\[\begin{cases} x = R(\omega t - \sin \omega t) \\ y = R(1 - \cos \omega t) \end{cases}.\tag{1}\]

Скорость точки \(A\) можно представить как сумму скоростей поступательного движения \(V = \omega R\), направленной горизонтально, и вращательного движения \(V = \omega R\), направленной по касательной к ободу колеса. Поэтому компоненты полной скорости точки \(A\) имеют вид

\[\begin{cases} V_x = \omega R(1 - \cos \omega t) \\ V_y = R \omega \sin \omega t \end{cases}.\tag{2}\]

Ускорение точки \(A\) является центростремительным, направленным к центру колеса. Модуль ускорения \(a = R\omega^2\), а его проекции на оси координат

\[\begin{cases} a_x = R\omega^2 \sin \omega t \\ a_y = R\omega^2 \cos \omega t \end{cases}\tag{3}\]

Заметим, что уравнения (2), (3) могут быть получены простым дифференцированием функций (1).

Понятно, что средняя скорость точки \(A\) направлена вдоль оси \(X\) и равна

\[\langle V \rangle = \omega R.\tag{4}\]

4.2 На основании второго закона Ньютона можно записать уравнения, описывающие ускорения точек

\[\begin{cases} a_1 = \dfrac{F_0}{m} \sin \omega t \\ a_2 = \dfrac{F_0}{m} \cos \omega t \end{cases}\tag{5}\]

Эти уравнения по форме совпадают с уравнениями (3), для большей наглядности перепишем их в виде

\[\begin{cases} a_1 = \dfrac{F_0}{m\omega^2} \omega^2 \sin \omega t \\ a_2 = \dfrac{F_0}{m\omega^2} \omega^2 \cos \omega t \end{cases}\tag{6}\]

Если обозначить \(\dfrac{F_0}{m\omega^2} = R\), то получим полное совпадение.

Причем, что немаловажно, совпадают и начальные условия — при \(t = 0\) координаты и скорости точек равны нулю. Следовательно, выражения для скоростей и ускорений будут теми же, что и в предыдущем пункте, поэтому нам достаточно переписать функции (2), (1), заменив в них \(R\) на \(\dfrac{F_0}{m\omega^2}\):

\[\begin{cases} V_1 = \dfrac{F_0}{m\omega} (1 - \cos \omega t) \\ V_2 = \dfrac{F_0}{m\omega} \sin \omega t \end{cases}\tag{7}\]

\[\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle x _ { 1 } = \frac { F _ { 0 } } { m \omega ^ { 2 } } ( \omega t - s i n \, \omega t ) } \\ { \displaystyle x _ { 2 } = \frac { F _ { 0 } } { m \omega ^ { 2 } } ( 1 - c o s \, \omega t ) } \end{array} \right. .\tag{8}\]

Продолжая аналогию между двумя задачами, сразу найдем

\[\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \langle V _ { 1 } \rangle = \frac { F _ { 0 } } { m \omega } \cdot } \\ { \displaystyle \langle V _ { 2 } \rangle = 0 } \end{array} \right.\]

4.3 На электрон в поле волны действуют

а) постоянная сила со стороны электрического поля \(e \vec { E }\), направленная вдоль оси \(X\);

б) со стороны магнитного поля сила Лоренца \(\vec { F } _ { \text{Л}}\), перпендикулярная вектору индукции магнитного поля, то есть параллельная плоскости \(XZ\).

Если считать, что в начальный момент времени электрон находился в начале координат и покоился, то траектория его дальнейшего движения будет лежать в плоскости \(XZ\). Учитывая, что модуль силы Лоренца равен \(F _ { \text{Л}} = eVB\), а направление этой силы перпендикулярно скорости, можно записать уравнения движения электрона на основании второго закона Ньютона

\[\left\{ \begin{array} { l l } { m a _ { x } = e E - e B V c o s \, \alpha = e E - e B V _ { z } } \\ { m a _ { z } = e B V s i n \, \alpha = e B V _ { x } } \end{array} \right. .\tag{10}\]

Так как в поле электромагнитной волны сила Лоренца значительно слабее электрической силы, то в первом уравнении системы (10) можно пренебречь вторым слагаемым. Тогда это уравнение примет вид

\[a _ { x } = \frac { e E _ { 0 } } { m } c o s \, \omega t \, ,\tag{11}\]

решение которого мы уже дважды записывали по ходу решения задачи. Поэтому воспроизведем здесь без комментариев

\[\begin{array} { l } { { V _ { x } = \displaystyle \frac { e E _ { 0 } } { m \omega } s i n \, \omega t } } \\ { { x = \displaystyle \frac { e E _ { 0 } } { m \omega ^ { 2 } } ( 1 - c o s \, \omega t ) } } \end{array} .\tag{12}\]

Подставим найденное выражение для компоненты скорости электрона \(V _ { x }\) во второе уравнение системы (10):

\[a _ { z } = \frac { e } { m } B _ { 0 } \cos \omega t \frac { e E _ { 0 } } { m \omega } \sin \omega t = \left( \frac { e } { m } \right) ^ { 2 } \frac { E _ { 0 } B _ { 0 } } { 2 \omega } \sin 2 \omega t \, .\tag{13}\]

Такое уравнение также решено нами ранее, поэтому

\[V _ { z } = \left( \frac { e } { 2 m \omega } \right) ^ { 2 } E _ { 0 } B _ { 0 } ( 1 - \cos 2 \omega t ) \, .\tag{14}\]

Средняя скорость дрейфа электронов определяется по формуле

\[\langle V _ { z } \rangle = \left( \frac { e } { 2 m \omega } \right) ^ { 2 } E _ { 0 } B _ { 0 } \, .\tag{15}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.