Белорусская, 2000/01, заключительный этап, 11 класс, теоретический тур

Подсказка

Шарик отскакивает выше, если в момент удара платформа движется ему навстречу; на графике \(x(t)\) найдите долю периода, когда это происходит, а для высоких частот учтите «мёртвую зону» касания.

Ответ

Доля шариков \(\eta\approx0{,}73\); \(\nu_1\approx0{,}56\cdot10^3\) Гц.

Решение

11.1 Понятно, что после удара шарик подпрыгнет выше первоначального уровня, если после удара модуль его скорости станет больше. В свою очередь это произойдет в том случае, когда в момент удара платформа движется вверх, навстречу шарику. Так как время бросания произвольно, то, казалось бы, момент попадания шарика на платформу так же произволен, поэтому приблизительно половина шариков получит приращение скорости, а вторая половина свою скорость уменьшит. Однако рассмотрим повнимательнее кинематические законы движения шариков и платформы. Пусть закон движения платформы описывается функцией

\[x_0 = a \cos \omega t.\tag{1}\]

Так как амплитуда колебаний в сто раз меньше высоты падения шарика, можно пренебречь изменением скорости шарика, когда он движется в пределах амплитуды колебания, поэтому его закон движения можно описать линейной функцией

\[x = b - v_0 t,\tag{2}\]

где \(v_0 = \sqrt{2gh}\) - скорость движения шарика, \(b\) - некоторая константа, зависящая от момента бросания шарика (ее следует считать некоторой случайной величиной). Ясно, что для решения задачи достаточно рассмотреть один период колебания платформы.

На рисунке изображены графики законов движения платформы (синусоида) и некоторых шариков (наклонные прямые линии). Из-за случайности времени бросания шарики будут достигать верхнего уровня колебаний платформы в произвольные случайные моменты времени. Иными словами, график закона движения шарика пересекает прямую \(AB\) в произвольный момент времени. Однако, как хорошо видно на рисунке, моменты столкновений (пересечений с синусоидой) распределяются не равномерно. Так столкновение с движущейся вверх платформой произойдет в том случае, когда линия закона движения шарика пересечет \(AB\) на участке \(DB\), который больше отрезка \(AD\) (в этом случае произойдет пересечение со спадающей ветвью синусоиды). «Критической» является прямая пересекающая синусоиду в нижней точке. Таким образом, доля шариков, которые увеличат свою скорость в результате столкновения, равна отношению длин отрезков \(DB\) и \(AB\). Последний из них равен периоду колебаний \(T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{1}{\nu}\). Также легко определить из закона движения величину отрезка \(DE\):

\[\tau = \frac{2a}{v_0}.\tag{3}\]

Окончательно, доля шариков, которые подпрыгнут выше исходного уровня, определяется формулой

\[\eta = \frac{\tau + \frac{T}{2}}{T} = \frac{1}{2} + \frac{\tau}{T} = \frac{1}{2} + \frac{2a\nu}{\sqrt{2gh}} \approx 0{,}73.\tag{4}\]

При увеличении частоты колебаний методика расчета может претерпеть существенные изменения.

Так график закона движения шарика может пересечь синусоиду в нескольких точках (см. рис.). Видно, что на синусоиде появляется «мертвая зона» - участок \(DCE\), в котором не может вообще произойти столкновения - шарик не может догнать платформу. Шарик уменьшит свою скорость, если пересечение с синусоидой произойдет на малом участке \(AD\), где \(D\) точка касания прямой закона движения шарика с синусоидой. Рассмотрим этот участок подробнее.

Пусть \(D\) точка касания (момент этого касания обозначим \(t_1\)). Тогда интервал времени достижения верхнего уровня колебаний платформы, в течение которого столкновение приведет к уменьшению скорости, изобразится отрезком \(AB\) (длину этого участка обозначим \(\tau\)). В этом случае доля шариков, увеличивших скорость, рассчитывается по формуле

\[\eta = \frac{T - \tau}{T},\tag{5}\]

из которой следует, что величина интервала \(AB\) должна быть равна

\[\tau = (1 - \eta)T = (1 - \eta)\frac{2\pi}{\omega}.\tag{6}\]

Закон движения шарика (2), при котором он достигает точки \(x = a\) в момент времени \(\tau\), имеет вид

\[x = a - v_0(t - \tau).\tag{7}\]

Чтобы в момент времени \(t_1\) произошло касание (как шарика с платформой, так и графиков их законов движения) необходимо, чтобы в этой части были равны функции и их производные, то есть

\[\begin{cases} a \cos \omega t_1 = a - v_0(t_1 - \tau), \\ -a \sin \omega t_1 = -v_0 \end{cases}\tag{8}\]

Уравнения (8) являются системой с двумя неизвестными величинами - \(\omega, t_1\), поэтому может быть решена. К сожалению, эта система не может быть решена «в квадратурах», однако величина \(\tau\) и, следовательно, \(t_1\) являются малыми, поэтому можно воспользоваться приближенными формулами для тригонометрических функций

\[\sin \omega t_1 \approx \omega t_1, \quad \cos \omega t_1 \approx 1 - \frac{(\omega t_1)^2}{2}.\tag{9}\]

В этом приближении система уравнений (8) легко решается (конечно, с учетом выражения (6)) -

\[\nu = \frac{v_0}{8\pi^2 a(1 - \eta)} \approx 0{,}56 \cdot 10^3 \text{ Гц}.\tag{10}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Считайте поток импульса фотонов до и после линзы: после неё пучок параллелен оси, до неё нужна осевая проекция импульсов расходящегося пучка; сила — разность потоков.

Ответ

\(f=\dfrac{I}{2c}\left(1-\sqrt{1-\dfrac{r^2}{F^2}}-\dfrac{r^2}{2F^2}\right)\), направлена вдоль оси к источнику.

Решение

11.2 Для расчета силы светового давления воспользуемся корпускулярными представлениями о природе света. Каждый фотон обладает энергией \(\varepsilon\) и импульсом \(p\), которые определяются формулами

\[\varepsilon=h \nu, \quad p=\frac{h \nu}{c}=\frac{\varepsilon}{c},\tag{1}\]

где \(\nu\) - частота света, \(h\) - постоянная Планка, \(c\) - скорость света.

Всякое изменение направления распространения приводит к изменению направления вектора импульса, следовательно, должно сопровождаться появлением силы светового давления. При прохождении света через линзу расходящийся пучок превращается в параллельный.

Рассмотрим изменение импульса отдельного фотона при его преломлении в линзе. Если до линзы импульс фотона был \(\vec{p}_{0}\), а после прохождения стал \(\vec{p}_{1}\) (модуль вектора при этом, естественно, не изменяется), то фотон получил приращение импульса \(\Delta \vec{p}\). Равный ему, но противоположный по направлению импульс \(\vec{p}_{\text{л}}\) получит линза. Таким образом, в целом линза получит импульс, направленный в сторону источника - линза притягивается к источнику!

Для расчета силы, действующей на линзу необходимо рассчитать суммарное изменение импульса света при его прохождении через линзу. Рассмотрим сферическую поверхность с центром на источнике света, с радиусом равным фокусному расстоянию. Через линзу пройдут те фотоны, которые летят в пределах телесного угла, опирающегося на линзу. После преломления все эти фотоны будут двигаться вдоль оптической оси, поэтому импульс переносимый этими фотонами в единицу времени можно подсчитать следующим образом. Поток энергии, деленный на скорость света, равен потоку импульса (то есть, импульсу, переносимому в единицу времени). Плотность этого потока (поток через единичную площадь) на выбранной нами сфере определяется выражением

\[G = \frac { I } { 4 \pi F ^ { 2 } c } .\tag{2}\]

Тогда поток импульса фотонов, прошедших через линзу, равен

\[P _ { I } = G S _ { \Omega } = \frac { I } { 4 \pi F ^ { 2 } c } \cdot 2 \pi F \left( F - \sqrt { F ^ { 2 } - r ^ { 2 } } \right) = \frac { I } { 2 c } \left( 1 - \sqrt { 1 - \frac { r ^ { 2 } } { F ^ { 2 } } } \right) ,\tag{3}\]

здесь \(S _ { \Omega }\) - площадь поверхности сферического сегмента, опирающегося на линзу.

Для подсчета импульса этих фотонов до преломления в линзе необходимо просуммировать проекции импульсов на направление оптической оси, так как из осевой симметрии следует, что суммарный импульс будет направлен вдоль оси. Разобьем поверхность сферы на малые участки \(\Delta S\), запишем выражение для проекции потока импульса через этот участок

\[\Delta P _ { 0 z } = G \Delta S \cos \theta ,\tag{4}\]

и обратим внимание, что \(\Delta S \cos \theta = \Delta S _ { 0 }\) есть площадь проекции выделенного участка на плоскость линзы. Поэтому сумма величин типа (4) будет равна произведению плотности потока импульса на площадь линзы

\[P _ { 0 } = G \pi r ^ { 2 } = \frac { I } { 2 c } \cdot \frac { r ^ { 2 } } { 2 F ^ { 2 } } .\tag{5}\]

Таким образом, сила давления \(f\) равна разности потоков импульсов (3) и (5)

\[f = \frac { I } { 2 c } \left( 1 - \sqrt { 1 - \frac { r ^ { 2 } } { F ^ { 2 } } } - \frac { r ^ { 2 } } { 2 F ^ { 2 } } \right) .\tag{6}\]

Сила направлена вдоль оптической оси к источнику: линза притягивается к источнику.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Натяжение троса найдите из моментов сил относительно точки опоры, затем потребуйте, чтобы сила трения не превышала \(\mu N\).

Ответ

\(\mu\ge\dfrac{(2+\cos\alpha)\cos\alpha}{(4+\cos\alpha)\sin\alpha}\) (наибольшее значение — в начале подъёма).

Решение

11.3 На рисунке изображены силы, действующие на обелиск во время подъема (все обозначения традиционные). Для того чтобы обелиск не соскользнул с фундамента, необходимо, чтобы сила трения покоя не превысила своего максимального значения \(\mu N\). Будем считать, что подъем осуществляется медленно, поэтому в любой момент времени сумма сил равна нулю. Это условие в проекции на горизонтальное и вертикальное направления имеет вид

\[\begin{array} { l } { F _ { m p . } = T \cos \beta } \\ { N = m g + T \sin \beta } \end{array}\tag{1}\]

Следовательно, условие возможности подъема записывается в виде неравенства

\[T \cos \beta \le \mu (mg + T \sin \beta).\tag{2}\]

Для определения силы натяжения троса запишем условие равновесия для моментов сил относительно точки опоры

\[Tl \sin \beta = mg \frac{h}{2} \cos \alpha,\tag{3}\]

здесь \(l \sin \beta\) плечо силы натяжения троса. Из этого уравнения найдем

\[T = \frac{mg \cos \alpha}{4 \sin \beta}\]

и подставим в неравенство (2), которое упрощается

\[\mu \ge \frac{\cos \alpha}{(4 + \cos \alpha) \operatorname{tg} \beta}.\tag{4}\]

Тангенс угла \(\beta\) выразим из треугольника \(ABE\)

\[\operatorname{tg} \beta = \frac{h \sin \alpha}{l + h \cos \alpha} = \frac{\sin \alpha}{2 + \cos \alpha}.\tag{5}\]

Окончательно, получаем требуемое условие

\[\mu \ge \frac{(2 + \cos \alpha) \cos \alpha}{(4 + \cos \alpha) \sin \alpha}.\tag{6}\]

Можно показать (на рис. показан ее график), что стоящая справа функция является монотонно убывающей, поэтому, если скольжение не началось в начальный момент подъема (при минимальном значении угла \(\alpha\)), то оно не начнется и позже.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

В сверхпроводнике магнитный поток через кольцо сохраняется: найдите ток в каждом кольце после разведения, работа равна изменению энергии магнитного поля.

Ответ

\(A=2LI_0^2\).

Решение

11.4 При взаимном движении колец будет изменяться магнитный поток поля, создаваемого одним кольцом, через другое, что приведет к появлению ЭДС индукции и, следовательно, изменению силы тока, что, в свою очередь, вызовет возникновение ЭДС самоиндукции. Так кольца являются сверхпроводящими, то суммарная ЭДС должна быть равна нулю. Из закона электромагнитной индукции

\[E = -\frac{d\Phi}{dt} = 0,\tag{1}\]

следует постоянство магнитного потока через каждое кольцо. Когда кольца будут разнесены на очень большое расстояние, этот поток будет создаваться только током в самом кольце. В начальном состоянии поток создавался током силой \(2I_0\), следовательно, при удалении колец ток в каждом из них увеличится в два раза, то есть

станет равным \(2I_0\). Работа по разнесению колец пойдет на увеличение энергии магнитного поля, поэтому будет равна

\[A = 2\frac{L(2I_0)^2}{2} - \frac{L(2I_0)^2}{2} = 2LI_0^2.\tag{2}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Запишите первое начало для малых изменений: \(C_V\,dT+\dfrac{RT}{V}\,dV=0\), и пошагово рассчитайте объём по температуре с учётом графика \(C_V(T)\).

Ответ

Адиабата строится по таблице: от \(V_0=1{,}0\) л, \(P\approx66{,}5\cdot10^5\) Па при \(800\) К до \(V=13{,}0\) л, \(P\approx1{,}92\cdot10^5\) Па при \(300\) К.

Решение

11.5 Запишем уравнение первого начала термодинамики

\[Q = \Delta U + A.\tag{1}\]

Для адиабатного процесса \(Q = 0\), кроме того, для идеального газа внутренняя энергия не зависит от объема газа, поэтому изменение внутренней энергии газа задается формулой \(\Delta U = C_V \Delta T\). Так как в нашем случае теплоемкость газа изменяется, необходимо рассматривать малые интервалы изменения температуры. Традиционное выражение для совершенной газом работы \(A = P \Delta V\) необходимо преобразовать с использованием уравнения состояния идеального газа \(PV = RT\). Таким образом, в рассматриваемом случае уравнение (1) принимает вид

\[C_V \Delta T + \frac{RT}{V} \Delta V = 0,\tag{2}\]

из которого выразим зависимость изменения объема от изменения температуры

\[\Delta V = -V \frac{C_V \Delta T}{RT} = -cV \frac{\Delta T}{T},\tag{3}\]

где обозначено \(c = \frac{C_V}{R}\) - величина, приведенная на графике. Уравнение (3) необходимо решать численно, разбивая заданный диапазон изменения температуры на небольшие интервалы \(\Delta T\). Для увеличения точности расчетов в качестве \(c\) и \(T\) следует брать средние значения этих величин на выбранном интервале. Если мы пронумеруем точки разбиения диапазона индексом \(k\), то схему расчетов можно представить в виде

\[\Delta V = -\frac{c_k + c_{k+1}}{2} V_k \frac{2 \Delta T}{T_k + T_{k+1}} = -V_k \frac{c_k + c_{k+1}}{T_k + T_{k+1}} \Delta T;\]

\[V_{k+1} = V_k + \Delta V; \quad P_k = \frac{RT_k}{V_k}\tag{4}\]

В таблице представлены результаты расчетов, проведенные при шаге \(\Delta T = -50 K\). Отрицательное значение этой величины обусловлено начальным условием - объем задан при максимальной температуре. При расчетах на калькуляторе удобнее сначала подсчитать значения всех объемов, а уже затем соответствующие значения давлений.

Ниже эти же данные представлены в виде графика. Сплошная линия - адиабата для постоянного значения теплоемкости \(C_V = 3R\). Практически полное совпадение свидетельствует, с одной стороны, о слабом влиянии изменения теплоемкости, а с другой, о достаточно высокой точности примененной процедуры расчета.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.