Белорусская, 2000/01, заключительный этап, 9 класс, теоретический тур

Подсказка

Жидкость несжимаема, поэтому скорости поршней связаны через площади; работа разности давлений идёт на прирост кинетической энергии жидкости, перетекающей из широкой трубы в узкую.

Ответ

\(V_0=\sqrt{\dfrac{2(P_0-P_1)}{\rho\left(r_0^4/r_1^4-1\right)}}\), \(V_1=\sqrt{\dfrac{2(P_0-P_1)}{\rho\left(1-r_1^4/r_0^4\right)}}\).

Решение

9.1. Пусть один поршень, двигаясь с постоянной скоростью \(V_0\), сместился на малое расстояние \(x_0\), тогда второй, двигаясь со скоростью \(V_1\), сместился на расстояние \(x_1\), причем из условия несжимаемости жидкости следует

\[x_0 S_0 = x_1 S_1,\tag{1}\]

\[V_0 S_0 = V_1 S_1,\tag{2}\]

где \(S_0, S_1\) - площади поршней. Газ, находящийся слева, при этом совершит работу \(P_0 S_0 x_0\), которая расходуется на работу второго поршня \(P_1 S_1 x_1\) и увеличение кинетической энергии жидкости. Действительно, часть жидкости объемом \(S_0 x_0\) увеличила скорость от \(V_0\) до \(V_1\). Таким образом, уравнение баланса энергий имеет вид

\[P_0 S_0 x_0 = P_1 S_1 x_1 + \frac{1}{2} \rho S_0 x_0 (V_1^2 - V_0^2).\tag{3}\]

Решая систему уравнений (1)-(3), получаем

\[V_0 = \sqrt{\frac{2(P_0 - P_1)}{\left(\frac{r_0^4}{r_1^4} - 1\right)}}; \quad V_1 = \sqrt{\frac{2(P_0 - P_1)}{\left(1 - \frac{r_1^4}{r_0^4}\right)}}.\tag{4}\]

при выводе учтено, что \(\frac{S_0^2}{S_1^2} = \frac{r_0^4}{r_1^4}\).

Заметим, что соотношение (3) является фактически уравнением Бернулли.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Мощность плиты найдите по первому нагреву, затем запишите баланс теплоты для всей воды в момент \(\tau\); температура постоянна, когда подводимая мощность уходит на нагрев доливаемой воды.

Ответ

Температура растёт до кипения (при \(\tau\approx28\) мин) и дальше остаётся \(100^\circ\)C; постоянной температура остаётся при \(\nu_1=V_0/\tau_0=0{,}4\) л/мин.

Решение

9.2. Найдем тепловую мощность \(P\) плиты из уравнения теплового баланса

\[P \tau_{0} = c \rho V_{0} (t_{1} - t_{0}),\tag{1}\]

\[P = \frac{c \rho V_{0} (t_{1} - t_{0})}{\tau_{0}},\tag{2}\]

где \(\rho\) и \(c\) - плотность и удельная теплоемкость воды, соответственно. На этом этапе нагревания температура будет возрастать прямо пропорционально времени. Через время \(\tau\) после начала подливания, в кастрюле будет находиться

\[V = V_{0} + \nu \tau\tag{3}\]

литров воды. Всего за время нагревания вода получит от нагревателя количество теплоты, которое определяется формулой

\[Q = P (\tau_{0} + \tau).\tag{4}\]

Уравнение теплового баланса (за все время нагревания) будет иметь вид

\[P (\tau_{0} + \tau) = c \rho (V_{0} + \nu \tau) (t - t_{0}),\tag{5}\]

где \(t\) - температура воды в момент времени \(\tau\). Подставляя выражение (2) для мощности нагревателя, получаем искомую функцию зависимости температуры от времени

\[t = t_{0} + (t_{1} - t_{0}) \frac{\left(1 + \frac{\tau}{\tau_{0}}\right)}{\left(1 + \frac{\nu \tau}{V_{0}}\right)}.\tag{6}\]

Эта функция является монотонной, стремящейся к предельному значению (при \(\tau \gg \tau_{0}\))

\[t^{*} = t_{0} + (t_{1} - t_{0}) \frac{V_{0}}{\nu \tau_{0}},\tag{7}\]

которое при заданных численных значениях параметров равно \(t^{*} = 135^{\circ}\). Это значение превышает температуру кипения, поэтому

увеличение температуры прекратится при достижении температуры кипения \(t_{\text{кип}} = 100^{\circ}\). Можно найти момент времени, когда начнется кипение, для этого в уравнении (6) необходимо

положить \(t = t_{\text{кип}} = 100^\circ\) и найти соответствующее значение времени \(\tau \approx 28\,\text{мин}\).

График полученной зависимости показан на рисунке. Значение скорости наливания \(\nu _1\), при котором температура воды в кастрюле будет оставаться постоянной можно найти из формулы (6), в котором второе слагаемое должно не зависеть от времени \(\tau\). Это возможно, только при \(\dfrac{\tau}{\tau_0} = \dfrac{\nu \tau}{V_0}\). То есть, при \(\nu = \dfrac{V_0}{\tau_0} = 0{,}4\,\dfrac{\text{л}}{\text{мин}}\).

Заметим, что это же значение можно получить из уравнения теплового баланса \(c\rho \nu _1(t_1 - t_0) = P\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Вольтметры неидеальны: у каждой ветви напряжение одно, а показание — доля его на сопротивлении вольтметра; из двух показаний найдите сопротивление вольтметра.

Ответ

\(U_3=\dfrac{U_1U_2(R_1-R_2)}{U_1(R_3-R_1)-U_2(R_3-R_2)}\) (формула организаторов).

Решение

9.3. Показания вольтметров различны, так как они обладают собственным сопротивлением, которое мы обозначим \(R_V\), которое сравнимо с сопротивлением резисторов. Принимая во внимание законы последовательного и параллельного соединения, можем записать:

сила тока в каждой ветви цепи

\[I_k = \frac{U_0}{R_k + R_V};\tag{1}\]

напряжение на \(k\)-том вольтметре

\[U_k = I_k R_V = \frac{U_0 R_V}{R_k + R_V},\tag{2}\]

где \(U_0\) - напряжение на каждой ветви.

Зная сопротивления резисторов и значения напряжений на двух вольтметрах, из уравнений (2) можно найти сопротивление вольтметра

\[R_V = \frac{U_1 R_1 - U_2 R_2}{U_1 - U_2}\tag{3}\]

и напряжение на третьем вольтметре

\[U_3 = \frac{U_1 U_2 (R_1 - R_2)}{U_1 (R_3 - R_1) - U_2 (R_3 - R_2)}\tag{4}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

К моменту встречи каждый мяч смещён от места броска на \(\vec v\tau-\vec g\tau^2/2\): подъём над точкой броска одинаков, а расстояние — сумма горизонтальных смещений.

Ответ

\(S=\left(H-h+\dfrac{g\tau^2}{2}\right)(\operatorname{ctg}\alpha_1+\operatorname{ctg}\alpha_2)\approx18\) м.

Решение

9.4 Из кинематических законов равноускоренного движения можно записать следующие уравнения

\[\left\{ \begin{array}{l} H - h = v_1 \tau \sin \alpha_1 - \dfrac{g \tau^2}{2}, \\ H - h = v_2 \tau \sin \alpha_2 - \dfrac{g \tau^2}{2}, \\ S = v_1 \tau \cos \alpha_1 + v_2 \tau \cos \alpha_2 \end{array} \right.\tag{1}\]

Из первых двух уравнений следует выразить значения \(v_1\tau\) и \(v_2\tau\) и подставить их в третье уравнение системы (1)

\[S = \left( H - h + \frac { g \tau ^ { 2 } } { 2 } \right) \cdot \left( \frac { \cos \alpha _ { 1 } } { \sin \alpha _ { 1 } } + \frac { \cos \alpha _ { 2 } } { \sin \alpha _ { 2 } } \right) \approx 1 8 \text{м}.\tag{2}\]

Данная задача допускает также более простое «геометрическое» решение. Представим закон движения каждого мяча в векторной форме \(\vec{r} = \vec{v}\tau - \frac{\vec{g}\tau^2}{2}\) и изобразим его графически. Можно заметить, что треугольники \(ABC\) и \(ABD\) прямоугольные (т.к. \(\alpha_1 + \alpha_2 = 90^\circ\)) поэтому

\[S = \vert AC\vert = \frac{\vert AB\vert }{\cos\alpha_1} = \frac{1}{\cos\alpha_1} \cdot \frac{\vert BD\vert }{\sin\alpha_1} = \frac{H - h + \frac{g\tau^2}{2}}{\cos\alpha_1 \sin\alpha_1},\]

что приводит к тому же численному результату.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

В момент наибольшего сближения скорости тележек равны: из сохранения импульса и энергии получите \(U(x_{\min})=mv_0^2/4\) и по графику \(U(x)\) постройте зависимость.

Ответ

\(v_0=2\sqrt{U(x_{\min})/m}\); например, \(x_{\min}=1\) см при \(v_0\approx60\) см/с, \(5\) см при \(26\) см/с, \(18\) см при \(14\) см/с.

Решение

9.5 Запишем уравнения законов сохранения механической энергии и импульса, учитывая, что в момент наибольшего сближения \(x\) скорости тележек равны (обозначим это значение \(v\))

\[\frac{mv_0^2}{2} = 2\frac{mv^2}{2} + U(x);\tag{1}\]

\[mv_0 = 2mv.\tag{2}\]

Из этих уравнений находим, что при минимальном сближении потенциальная энергия взаимодействия определяется выражением

\[U(x) = \frac{mv_0^2}{4};\tag{3}\]

Используя эту формулу и прилагаемый график зависимости \(U(x)\) можно рассчитать значения начальной скорости, при которой минимальное расстояние будет равно \(x_{min}\) с помощью выражения

\[v_0 = 2\sqrt{\frac{U(x_{min})}{m}}.\tag{4}\]

Результаты таких расчетов представлены в таблице и на графике

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.