Белорусская, 2001/02, заключительный этап, 9 класс, теоретический тур

Подсказка

Среднюю скорость находите как весь путь, делённый на всё время; среднее ускорение — как полное изменение скорости, делённое на то же время. Время для «половины пути» считайте по частям.

Ответ

а) \(\langle v\rangle=\dfrac{v_1+v_2}{2}\), \(\langle a\rangle=\dfrac{v_2^2-v_1^2}{2S}\);  б) \(\langle v\rangle=\dfrac{2v_1v_2}{v_1+v_2}\), \(\langle a\rangle=\dfrac{2v_1v_2(v_2-v_1)}{S(v_1+v_2)}\);  в) \(\langle v\rangle=\sqrt{\dfrac{S(3a_1+a_2)}{8}}\), \(\langle a\rangle=\dfrac{a_1+a_2}{2}\);  г) \(\langle v\rangle=\sqrt{a_1S}\,\dfrac{a_2}{a_2-a_1+\sqrt{a_1(a_1+a_2)}}\), \(\langle a\rangle=\dfrac{a_2\sqrt{a_1(a_1+a_2)}}{a_2-a_1+\sqrt{a_1(a_1+a_2)}}\).

Решение

По определению, средней скоростью называется отношение пройденного пути ко времени движения \(\langle v \rangle = \frac{S}{t}\), а средним ускорением отношение изменения скорости ко времени, за которое это изменение произошло \(\langle a \rangle = \frac{\Delta v}{\Delta t}\).

а) Обозначим все время движение точки \(\tau\). Тогда средняя скорость может быть рассчитана по формуле

\[\langle v \rangle = \frac{v_1 \frac{\tau}{2} + v_2 \frac{\tau}{2}}{\tau} = \frac{v_1 + v_2}{2}.\tag{1}\]

Изменение скорости \(\Delta v = v_2 - v_1\), произошло за время движения \(\tau = \frac{S}{\langle v \rangle} = \frac{2S}{v_1 + v_2}\), поэтому среднее ускорение

\[\langle a \rangle = \frac{\Delta v}{\tau} = \frac{v_2^2 - v_1^2}{2S}.\tag{2}\]

б) В этом случае время движения \(\tau = \frac{S}{2v_1} + \frac{S}{2v_2} = \frac{S}{2} \frac{v_1 + v_2}{v_1 v_2}\), поэтому средняя скорость

\[\langle v \rangle = \frac{S}{\tau} = \frac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2},\tag{3}\]

а среднее ускорение

\[\langle a \rangle = \frac{\Delta v}{\tau} = \frac{2v_1 v_2 (v_2 - v_1)}{S(v_2 + v_1)}.\tag{4}\]

в) Учитывая, что начальная скорость точки на первом участке равна нулю, а начальная скорость на втором участке равна конечной скорости первого участка, запишем выражение для пройденного пути

\[S = \frac{a_1 \left( \frac{\tau}{2} \right)^2}{2} + a_1 \left( \frac{\tau}{2} \right) \cdot \left( \frac{\tau}{2} \right) + \frac{a_2 \left( \frac{\tau}{2} \right)^2}{2} = \frac{\tau^2}{8} (3a_1 + a_2),\]

из которого определим время движения

\[\tau = \sqrt{\frac{8S}{3a_1 + a_2}}.\tag{5}\]

Таким образом, средняя скорость в этом случае

\[\langle v \rangle = \frac{S}{\tau} = \sqrt{\frac{S(3a_1 + a_2)}{8}}.\tag{6}\]

Изменение скорости на всем пути определяется формулой \(\Delta v = a_1 \frac{\tau}{2} + a_2 \frac{\tau}{2}\), поэтому среднее ускорение в этом случае равно

\[\langle a \rangle = \frac{\Delta v}{\tau} = \frac{a_1 + a_2}{2}.\tag{7}\]

г) Пусть первую половину пути точка прошла за время \(\tau_1\), которое можно определить из формулы

\[\frac{S}{2} = \frac{a_1 \tau_1^2}{2} \quad \Rightarrow \quad \tau_1 = \sqrt{\frac{S}{a_1}}.\tag{8}\]

Для второго участка пути справедливо соотношение \(\frac{S}{2} = a_1 \tau_1 \tau_2 + \frac{a_2 \tau_2^2}{2}\), из которого найдем время движения на втором участке (с учетом формулы (8))

\[\tau_2 = \sqrt{S} \frac{\sqrt{a_1 + a_2} - \sqrt{a_1}}{a_2}.\tag{9}\]

Теперь можно найти среднюю скорость

\[\langle v \rangle = \frac{S}{\tau_1 + \tau_2} = \sqrt{a_1 S} \frac{a_2}{a_2 - a_1 + \sqrt{a_1(a_2 + a_1)}}\tag{10}\]

и среднее ускорение

\[\langle a \rangle = \frac{\Delta v}{\tau_1 + \tau_2} = \frac{a_1 \tau_1 + a_2 \tau_2}{\tau_1 + \tau_2} = \frac{a_2 \sqrt{a_1(a_2 + a_1)}}{a_2 - a_1 + \sqrt{a_1(a_2 + a_1)}}.\tag{11}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Сравните теплоту, которая выделится при замерзании всей воды, с теплотой, необходимой для её нагрева до 0 °C: остаток должен «поглотить» добавленный лёд, не расплавившись.

Ответ

Нужно добавить \(m_x\approx 7{,}4\) кг льда.

Решение

Основная проблема, возникающая при реализации описанной ситуации (замораживании воды), заключается в «утилизации» большого количества теплоты, выделяющейся при кристаллизации. Действительно, при замерзании воды выделится количество теплоты \(Q_1 = \lambda m_0 = 330\,\text{кДж}\). На нагревание этой же воды может пойти количество теплоты \(Q_2 = c_0 m_0 (t_{\text{кр}} - t_0) \approx 21\,\text{кДж}\), где \(t_{\text{кр}} = 0^\circ\text{С}\) — температура кристаллизации воды при нормальном давлении. Поэтому оставшееся количество теплоты \(Q_1 - Q_2\) должно пойти на нагревание льда (но при этом он не должен расплавиться!). Таким образом, для замораживания всей воды должно выполняться следующее уравнение теплового баланса

\[Q_1 - Q_2 = c_1 m_x (t_{\text{кр}} - t_1),\]

из которого находим искомую массу льда

\[m_x = \frac{Q_1 - Q_2}{c_1 (t_{\text{кр}} - t_1)} \approx 7{,}4 \text{ кг}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

На систему не действуют горизонтальные внешние силы, значит, горизонтальная координата центра масс неизменна. Найдите, где центр масс до плавления и где он будет после.

Ответ

Сосуд сместится в сторону воды (к более плотной половине) на \(|x_0|=\dfrac{\rho_0-\rho_1}{\rho_0+\rho_1}\cdot\dfrac{l}{2}\) (по официальному решению).

Решение

Для решения задачи необходимо заметить, что на рассматриваемую систему не действуют внешние силы, имеющие горизонтальные составляющие. Поэтому горизонтальная координата центра масс не может изменится при любых процессах, проходящих внутри системы.

Очевидно, что после плавления льда центр масс сосуда будет находится на середине сосуда. Найдем горизонтальную координату \(x_0\) центра масс системы в начальном состоянии.

\[x_0 = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2},\tag{1}\]

где \(x_1 = -l/4\), \(x_2 = +l/4\) координаты центров масс воды и льда, соответственно; \(m_1 = \rho_0 S \frac{l}{2}\), \(m_2 = \rho_1 S \frac{l}{2}\) - массы воды и льда, \(S\) - площадь поперечного сечения сосуда. Подставив эти значения в формулу (1) получим

\[x_0 = -\frac{\rho_0 - \rho_1}{\rho_0 + \rho_1} \cdot \frac{l}{2},\tag{2}\]

на такую же величину сместится сосуд после плавления льда и установления равновесия воды в сосуде.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Пузырёк движется равномерно, когда сила Архимеда равна силе вязкого трения. В ускоренной трубке перейдите в неинерциальную систему отсчёта: эффективное ускорение свободного падения станет \(g+a\).

Ответ

\(v=v_0\dfrac{g+a}{g}\); пузырёк пойдёт вниз со скоростью \(v_0\) при \(a=-2g\) (трубка движется вниз с ускорением \(2g\)).

Решение

Равномерное движение пузырька обеспечивается равенством сил, действующих на него. Так, при неподвижной трубке сила Архимеда уравновешивается силой вязкого трения

\[\rho g V = \beta v_0,\tag{1}\]

где \(V\) - объем пузырька. При подъеме трубки с постоянным ускорением в это уравнение принимает вид (проще всего обосновать это выражение, перейдя в неинерциальную систему отсчета, связанную с трубкой):

\[\rho (g + a) V = \beta v_1.\tag{2}\]

Из выражений (1)-(2) находим скорость установившегося движения пузырька

\[v_{1} = v_{0} \frac{g + a}{g}.\tag{3}\]

Формула (3) применима для любых ускорений трубки, поэтому легко заметить, что скорость пузырька станет равной \(-v_{0}\), при ускорении трубке равном \(-2g\), то есть при движении вниз с ускорением в два раза большем ускорения свободного падения.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

В установившемся режиме мощность Джоуля–Ленца равна мощности теплоотдачи. Получится квадратное уравнение для температуры; устойчивость корней удобно разобрать по графикам мощностей.

Ответ

а) \([R_0]=\text{Ом}\), \([\alpha]=\text{град}^{-1}\), \([\beta]=\text{Вт/град}\);  б) при \(U<U_0=\sqrt{R_0\beta/(4\alpha)}\) устойчивая температура \(t=\dfrac{1}{2\alpha}\left(1-\sqrt{1-\dfrac{U^2}{U_0^2}}\right)\) (если начальная температура ниже \(t_2=\dfrac{1}{2\alpha}\left(1+\sqrt{1-U^2/U_0^2}\right)\)), иначе проводник неограниченно разогревается; при \(U>U_0\) равновесия нет;  в) \(I=\dfrac{2U}{R_0\left(1+\sqrt{1-U^2/U_0^2}\right)}\).

Решение

а) размерности коэффициентов следуют из вида приведенных формул: \([R_{0}] = \text{Ом}\); \([\alpha] = \text{град}^{-1}\); \([\beta] = \frac{[P]}{[t]} = \frac{\text{Вт}}{\text{град}}\).

б) В установившемся режиме мощность теплоты, выделяющейся при прохождении тока через проводник (которая определяется законом Джоуля-Ленца), равна мощности теплоты, отдаваемой проводником в окружающую среду

\[\frac{U^{2}}{R_{0}(1 - \alpha t)} = \beta t.\tag{1}\]

Это уравнение является квадратным относительно неизвестной установившейся температуры. Решение этого уравнения имеет вид

\[t = \frac{1}{2\alpha} \left( 1 \pm \sqrt{1 - \frac{U^{2}}{U_{0}^{2}}} \right),\tag{2}\]

где обозначено \(U_{0} = \sqrt{\frac{R_{0}\beta}{4\alpha}}\).

В зависимости от приложенного напряжения \(U\), уравнение (1) имеет либо два корня (при \(U < U_{0}\)); либо один корень (при \(U = U_{0}\)); либо корней не имеет (при \(U > U_{0}\)).

Чтобы уяснить физический смысл полученных результатов и выбрать нужное значение корня представим уравнение (1) в графической форме: изобразим примерные графики зависимости рассматриваемых мощностей от температуры проводника.

Прямая 1 является зависимостью мощности теплоты, отдаваемой в среду, кривые 2,3,4 -зависимости мощностей, выделяемых в проводнике, построенные при разных значениях напряжения источника.

Кривая 2 соответствует наличию двух корней \(t_1, t_2\) уравнения 1. Можно заметить, что корень \(t_1\) является устойчивым: при \(t < t_1\) мощность, выделяющаяся в проводнике, превосходит мощность, отдаваемую в среду, поэтому проводник будет нагреваться; при \(t > t_1\) ситуация обратная, поэтому проводник будет остывать до температуры \(t_1\). Корень \(t_2\) - неустойчив: при \(t < t_2\) проводник будет остывать до температуры \(t_1\); при \(t > t_2\) проводник будет разогревать до бесконечности, так на этом этапе мощность, выделяемая в проводнике, возрастает быстрее мощности, отдаваемой в среду. Кривая 3 построена для случая единственного корня, который как видно из графика неустойчив - проводник будет разогреваться. Отсутствие корней иллюстрирует кривая 4 - в этом случае отсутствует равновесное значение температуры - при любом ее значении проводник разогревается быстрее, чем остывает. Таким образом, при \(U < U_0\) установившаяся температура определяется формулой \(t_1 = \frac{1}{2\alpha} \left( 1 - \sqrt{1 - \frac{U^2}{U_0^2}} \right)\), если начальная температура проводника меньше, чем \(t_2 = \frac{1}{2\alpha} \left( 1 + \sqrt{1 - \frac{U^2}{U_0^2}} \right)\). В

остальных случаях установившейся температуры не существует - проводник неограниченно разогревается. Примерный график рассмотренной зависимости \(t(U)\) показан на рисунке. в) зависимость силы тока от напряжения легко получить, используя закон Ома и зависимость температуры от приложенного напряжения:

\[I = \frac{U}{R} = \frac{U}{R_0(1 - \alpha t)} = \frac{2U}{R_0\left(1 + \sqrt{1 - \frac{U^2}{U_0^2}}\right)}.\]

Примерный график этой зависимости \(I(U)\) также показан на рисунке.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.