зад 1 Резистор из двух трубок
Молодой, но талантливый физик Федя сконструировал переменный резистор, состоящий из двух трубок изготовленных из одинакового материала. Внешний радиус одной из них практически совпадает с внутренним диаметром второй, поэтому одна трубка может двигаться внутри другой. Для облегчения скольжения Федя смазал их солидолом.
Проведя элементарные расчеты, Федя получил очевидный результат: сопротивление резистора должно линейно зависеть от длины перекрывающейся части трубок \(x\). (Федя — хороший математик, поэтому никаких математических ошибок в его расчетах не было!)
Однако проведенный эксперимент привел к парадоксальному на первый взгляд результату: во-первых, сопротивление резистора оказалось значительно больше рассчитанного, во-вторых, это сопротивление оказалось обратно пропорциональным величине \(x\). 1. Воспроизведите расчеты, проведенные Федей. Какую линейную функцию он получил?
2. Объясните результаты эксперимента. Получите формулу, описывающую полученные экспериментальные результаты. Необходимые параметры установки задайте самостоятельно.
▶ПодсказкаСкрыть
Теоретический расчёт складывается из трёх последовательных участков; экспериментальный результат объясняется тем, что основное сопротивление создаёт тонкий слой смазки между трубками, площадь которого пропорциональна \(x\).
▶ОтветСкрыть
1) \(R_{\text{теор.}} = \rho\left(\dfrac{L_1}{S_1}+\dfrac{L_2}{S_2}\right)-\rho\left(\dfrac1{S_1}-\dfrac1{S_1+S_2}+\dfrac1{S_2}\right)x\) — линейная функция; 2) \(R_{\text{эксп.}} = \rho_1\dfrac{h}{2\pi r x}\) — обратно пропорциональна \(x\).
▶РешениеСкрыть
Основная ошибка, допущенная «изобретателем», заключалась в том, что он не учел электрического сопротивления контакта между трубками. Если пренебречь этим сопротивлением, то общее сопротивление резистора рассчитывается по формуле
\[R_{\text{теор.}} = \rho \left( \frac{L_1 - x}{S_1} + \frac{x}{S_1 + S_2} + \frac{L_2 - x}{S_2} \right) = \rho \left( \frac{L_1}{S_1} + \frac{L_2}{S_2} \right) - \rho \left( \frac{1}{S_1} - \frac{1}{S_1 + S_2} + \frac{1}{S_2} \right) x\tag{1}\]
где \(L_1, L_2\) - длины трубок, \(S_1, S_2\) - площади их торцов, \(\rho\) - удельное электрическое сопротивление материала трубок. Как видно, эта зависимость действительно линейна. Если же сопротивление контакта значительно превышает сопротивления самих трубок, то зависимость сопротивления от величины \(x\) будет иной (электрический ток по смазке протекает перпендикулярно поверхности трубок)
\[R_{\text{эксп.}} = \rho_1 \frac{h}{2\pi r x}\tag{2}\]
где \(h\) - ширина зазора между трубками, \(r\) - внешний радиус внутренней трубки, \(\rho_1\) - удельное электрическое сопротивление смазки. Эта зависимость обратно пропорциональная.
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 2 Блоки и три груза
В установке, показанной на рисунке, массы грузов равны \(m_0 = 0{,}25\) кг, \(m_1 = 0{,}55\) кг, \(m_2 = 0{,}75\) кг. Грузы связаны легкой нитью, переброшенной через систему блоков. Блоки 1,2 неподвижные, блок 3 подвижный (к его оси прикреплен нижний груз), все блоки невесомы, радиус блока 3 равен \(r = 2{,}3\) см. Найдите скорости всех грузов и угловую скорость блока 3 через время \(\tau = 0{,}22\) с после начала движения. Трением грузов о горизонтальные поверхности и в осях блоков пренебречь, считать, что нить движется по блокам без проскальзывания. Ускорение свободного падения считать равным \(g = 9{,}8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}\)
\(^1\) Мы используем для обозначения времени символ \(\tau\), чтобы не путать с температурой \(t\).
▶ПодсказкаСкрыть
В горизонтальном направлении система замкнута, поэтому центр масс двух грузов на столе не смещается; добавьте кинематическую связь через подвижный блок и уравнения второго закона Ньютона.
▶ОтветСкрыть
\(v_0=a_0\tau\approx0{,}35\) м/с, \(v_1=a_1\tau\approx0{,}41\) м/с, \(v_2=a_2\tau\approx0{,}30\) м/с, \(\omega=\dfrac{v_1-v_2}{2r}\approx2{,}4\) рад/с (в официальном решении по округлённым ускорениям: 0,35; 0,42; 0,28 м/с и 3,0 рад/с).
▶РешениеСкрыть
Запишем основной закон динамики для каждого их грузов в проекции на вертикальную ось с учетом условий невесомости нити и блоков, а также отсутствия трения в осях блоков:
\[\begin{aligned} m_1 a_1 &= T \\ m_2 a_2 &= T \\ m_0 a_0 &= m_0 g - 2T \end{aligned}\tag{1}\]
Все обозначения стандартные и очевидные. Поскольку трение грузов о плоскость отсутствует, то в горизонтальном направлении система является замкнутой, т.е. положение ее центра масс не может измениться по горизонтали. С учетом этого получаем следующее уравнение
\[m_1 a_1 = m_2 a_2\tag{2}\]
Кроме того, учтем кинематическую связь между ускорениями грузов для подвижного блока
\[a_1 + a_2 = 2 a_0\tag{3}\]
Выразив из (2) - (3) значения \(a_1 = \frac{2 m_2}{m_1 + m_2} a_0\) ; \(a_2 = \frac{2 m_1}{m_1 + m_2} a_0\) и подставив их в (1) найдем
\[T = \frac { 2 \, m _ { 1 } m _ { 2 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } a _ { 0 } \; \; ;\]
\[a _ { 0 } = \frac { m _ { 0 } \left( \, m _ { 1 } + m _ { 2 } \, \right) } { m _ { 0 } ( \, m _ { 1 } + m _ { 2 } \, ) + 4 \, m _ { 1 } m _ { 2 } } g = 0 { , } 1 6 \, g = 1 { , } 6 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \; ;\]
\[a _ { 1 } = \frac { 2 \, m _ { 0 } m _ { 2 } } { m _ { 0 } ( \, m _ { 1 } + m _ { 2 } \, ) + 4 \, m _ { 1 } m _ { 2 } } g = 0 { , } 1 9 \, g = 1 { , } 9 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \, ;\]
\[a _ { 2 } = \frac { 2 \, m _ { 0 } m _ { 1 } } { m _ { 0 } ( \, m _ { 1 } + m _ { 2 } \, ) + 4 \, m _ { 1 } m _ { 2 } } g = 0 { , } 1 3 \, g = 1 { , } 3 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \, .\]
Зная ускорения всех грузов, найдем их скорости через время \(\tau\) после начала движения
\[\upsilon _ { 0 } = a _ { 0 } \cdot \tau = 0 { , } 3 5 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 3 5 \frac{\text{см}}{\text{с}} \, ;\]
\[\upsilon _ { 1 } = a _ { 1 } \cdot \tau = 0 { , } 4 2 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 4 2 \frac{\text{см}}{\text{с}} \, ;\]
\[\upsilon _ { 2 } = a _ { 2 } \cdot \tau = 0 { , } 2 8 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 2 8 \frac{\text{см}}{\text{с}} \, .\]
Для нахождения угловой скорости \(\omega\) вращения блока 3 заметим, что поскольку веревка нерастяжима, то скорости движения \(\upsilon _ { 1 }\) и \(\upsilon _ { 2 }\) могут быть представлены в виде
\[\begin{array} { l } { { \upsilon _ { 1 } = \upsilon _ { 0 } + \omega \cdot r } } \\ { { \upsilon _ { 2 } = \upsilon _ { 0 } - \omega \cdot r } } \end{array} ,\tag{4}\]
где \(r\) — радиус блока. Из (4) находим
\[\omega = \frac { \upsilon _ { 1 } - \upsilon _ { 2 } } { 2 \, r } = 3 { , } 0 \, \frac{\text{рад}}{\text{с}} \, .\]
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 3 Грелка с кристаллизацией
В последнее время появились медицинские грелки, разогрев которых происходит за счет кристаллизации жидкости, находящейся внутри грелки. Кристаллизация инициируется с помощью катализатора (в этом случае кристаллизация проходит в широком диапазоне температур).
Внутренний объем грелки представляет собой параллелепипед размерами \(a \times h \times l\). Кристаллизация начинается с одного из торцов, граница отвердевшей области движется с малой постоянной скоростью \(v\). Найдите зависимость температуры грелки от времени (с начала кристаллизации). Чему равна максимальная температура грелки?
Удельная теплота кристаллизации равна \(\lambda\), удельная теплоемкость рабочего вещества в жидком состоянии равна \(C_0\), а в твердом состоянии на \(\eta = 10\%\) меньше, начальная температура равна \(t_0\), изменением плотности вещества, теплоемкостью сосуда и потерями теплоты в окружающую среду пренебречь. Считайте, что в любой момент времени температура во всех точках грелки одинакова (вследствие высокой теплопроводности вещества). Рекомендуем в ходе решения задачи (при необходимости) использовать приближенную формулу \(\frac{1}{1+z} \approx 1-z\), погрешность которой при \(z \le 0{,}1\) не превышает \(1\%\)
\(^1\) Мы используем для обозначения времени символ \(\tau\), чтобы не путать с температурой \(t\).
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите тепловой баланс за малое время: теплота кристаллизации идёт на нагрев всего содержимого, теплоёмкость которого меняется по мере отвердевания. Для упрощения используйте приближённую формулу из условия.
▶ОтветСкрыть
\(t = t_0+\dfrac{\lambda v}{C_0 l}\tau+\dfrac{\lambda\eta v^2}{2C_0 l^2}\tau^2\); \(t_{\max}=t_0+\dfrac{\lambda}{C_0}\left(1+\dfrac{\eta}{2}\right)\).
▶РешениеСкрыть
Пусть в некоторый момент времени \(\tau\) длина отвердевшей части равна \(x = v \tau\). За последующий малый промежуток времени \(\Delta \tau\) в ходе кристаллизации выделится количество теплоты
\[\Delta q = \lambda \rho a h \Delta x = \lambda \rho a h v \Delta \tau \, ,\tag{1}\]
где \(\rho\) - плотность вещества в грелке. Эта теплота пойдет на нагревание как жидкой, так и отвердевшей части содержимого грелки на \(\Delta t\) градусов. Поэтому это же количество теплоты можно выразить с помощью известных формул
\[\Delta q = \left( C _ { 0 } \rho a h ( l - x ) + C _ { 0 } ( 1 - \eta ) \rho a h x \right) \Delta t \, .\tag{2}\]
Обратите внимание, что суммарная теплоемкость грелки зависит от соотношения жидкой и отвердевшей части вещества, следовательно, и от времени. Из уравнения теплового баланса
\[\left( C _ { 0 } \rho a h ( l - x ) + C _ { 0 } ( 1 - \eta ) \rho a h x \right) \Delta t = \lambda \rho a h v \Delta \tau\tag{3}\]
следует, что скорость изменения температуры сложным образом зависит от времени (очевидно, что \(x = v \tau\)):
\[\frac { \Delta t } { \Delta \tau } = \frac { \lambda v } { C _ { 0 } ( l - \eta v \tau ) } \, .\tag{4}\]
Для упрощения последнего выражения воспользуемся приближенной формулой, приведенной в условии задачи,
\[\frac{\Delta t}{\Delta \tau} = \frac{\lambda v}{C_0(l - \eta v \tau)} = \frac{\lambda v}{C_0 l \left(1 - \frac{\eta v \tau}{l}\right)} \approx \frac{\lambda v}{C_0 l} \left(1 + \frac{\eta v \tau}{l}\right) = \frac{\lambda v}{C_0 l} + \frac{\lambda v^2 \eta}{C_0 l^2} \tau.\tag{5}\]
Таким образом, скорость изменения температуры линейно зависит от времени. Эта зависимость полностью аналогична зависимости скорости движения при равноускоренном движении. Используя эту математическую аналогию, можем записать закон изменения температуры со временем
\[t = t_0 + \frac{\lambda v}{C_0 l} \tau + \frac{\lambda v^2 \eta}{C_0 l^2} \cdot \frac{\tau^2}{2}.\tag{6}\]
Еще раз отметим, что нелинейная (квадратичная) зависимость температуры от времени связана с изменением теплоемкости системы. Максимальная температура может быть определена из последнего выражения, полагая в нем \(\tau = \frac{l}{v}\),
\[t_{max} = t_0 + \frac{\lambda}{C_0} \left(1 + \frac{\eta}{2}\right).\tag{7}\]
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 4 Сила сопротивления среды
1. Пусть при движении тела в вязкой среде сила сопротивления пропорциональна скорости движения \(F_{\text{сопр.}} = \beta_1 V\). На это тело начинает действовать постоянная сила \(F_0\). Постройте примерный график зависимости скорости тела от времени, найдите скорость установившегося движения, оцените время достижения этой скорости. Масса тела равна \(m\). 2. Пусть при движении тела в вязкой среде сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости движения \(F_{\text{сопр.}} = \beta_2 V^2\). На это тело начинает действовать постоянная сила \(F_0\). Постройте примерный график зависимости скорости тела от времени, найдите скорость установившегося движения, оцените время достижения этой скорости. Масса тела равна \(m\).
3. Рассмотрите следующую простейшую модель возникновения силы сопротивления воздуха. Пусть цилиндрический поршень площадью поперечного сечения \(S\) движется без трения внутри очень длинной горизонтальной трубы. Внутри трубы параллельно ее оси движутся маленькие частицы одинаковой массы \(m\) (которая значительно меньше массы поршня), причем скорости всех частиц одинаковы и равны \(u\) (приблизительно половина этих частиц движется в одном направлении, а остальные в противоположном). Концентрация частиц (число частиц в единице объема) равна \(n\). Удары частиц о поршень можно считать абсолютно упругими. Найдите зависимость средней силы сопротивления, действующей на поршень со стороны частиц, от скорости тела \(V\). Рассмотрите случаи \(V < u\) и \(V > u\). Постройте примерный график этой зависимости.
▶ПодсказкаСкрыть
Установившаяся скорость находится из равенства силы и сопротивления, а время установления — как отношение этой скорости к начальному ускорению. Для модели с частицами считайте импульс, переданный поршню упругими ударами с обеих сторон.
▶ОтветСкрыть
1) \(\overline V=F_0/\beta_1\), \(\bar t\sim m/\beta_1\); 2) \(\overline V=\sqrt{F_0/\beta_2}\), \(\bar t\sim m/\sqrt{F_0\beta_2}\); 3) при \(V<u\): \(F=4mnSuV\); при \(V>u\): \(F=2mnS(u^2+V^2)\).
▶РешениеСкрыть
1. Уравнение второго закона Ньютона для движения в вязкой среде имеет в данном случае вид
\[m \frac{\Delta v}{\Delta t} = F_0 - \beta_1 v.\tag{1}\]
Из этого уравнения следует, что ускорение изменяется с течением времени, причем с ростом скорости ускорение уменьшается. При достижении равенства силы сопротивления и силы \(F_0\), ускорение обращается в нуль. Следовательно, скорость установившегося движения \(\overline{V}\) определяется соотношением
\[\overline{V} = \frac{F_0}{\beta_1}.\tag{2}\]
Качественный вид зависимости скорости от времени показан на рисунке.
Для оценки времени достижения установившейся скорости, положим, что тело движется с постоянным ускорением (равным ускорению в начальный момент времени \(a_0 = \frac{F_0}{m}\)) до тех пор, пока скорость не достигнет значения (2):
\[\bar{t} = \frac{\overline{V}}{a_0} = \frac{m}{\beta_1}.\tag{3}\]
Этот способ получения оценки проиллюстрирован на следующем рисунке.
Отметим, что рассматриваемая зависимость точно описывается функцией
\[v = \frac{F_0}{\beta_1} \left( 1 - \exp\left(-\frac{\beta_1}{m} t\right) \right).\]
2. Рассмотрение этой части задачи полностью аналогично предыдущей: - уравнение движения
\[m \frac{\Delta v}{\Delta t} = F_0 - \beta_2 v^2;\tag{4}\]
- скорость установившегося движения
\[\overline{V} = \sqrt{\frac{F_0}{\beta_2}}.\tag{5}\]
- графика зависимости скорости от времени качественно не отличается от рассмотренного ранее; - время достижения установившейся скорости (обратите внимание - в этом случае это время зависит от действующей силы)
\[\overline{t} = \frac{\overline{V}}{a_0} = \frac{m}{\sqrt{F_0 \beta_2}}.\tag{6}\]
Отметим, что в данном зависимость скорости от времени точно описывается функцией
\[v = \sqrt{\frac{F_0}{\beta_2}} \cdot \frac{1 - \exp(-\alpha t)}{1 + \exp(-\alpha t)}, \text{ где } \alpha = 2 \frac{\sqrt{F_0 \beta_2}}{m}.\]
3. Сила сопротивления возникает из-за столкновений поршня с движущимися частицами, которые сообщают поршню импульс. Рассмотрим случай малой скорости поршня \(V < u\). О переднюю грань поршня ударятся частицы, которые движутся навстречу поршню, число этих столкновений за промежуток времени \(\Delta t\) рассчитывается по формуле
\[\nu_+ = \frac{1}{2} n S (V + u) \Delta t.\tag{7}\]
В результате столкновения проекция скорость частицы на направление движения поршня изменяется от \(-u\) до \((u + 2V)\) - это утверждение легко доказать перейдя в систему отсчета, связанную с поршнем. Итак, в результате одного столкновения поршень получит импульс
\[p = m(u + 2V + u) = 2m(u + V).\tag{8}\]
Следовательно, полный импульс, полученный передней гранью поршня, равен
\[P_+ = \nu_+ p = mnS(u + V)^2 \Delta t.\tag{9}\]
Аналогично, можно подсчитать импульс, который получит поршень, от частиц, которые ударяются о заднюю грань поршня (разумеется, это частицы, догоняющие поршень)
\[P_- = mnS(u - V)^2 \Delta t.\tag{10}\]
Таким образом, полный импульс, полученный поршнем равен разности
\[P = P _ { + } - P _ { - } = m n S \Delta t \big ( ( u + V ) ^ { 2 } - ( u - V ) ^ { 2 } \big ) = 4 m n S \Delta t u V \, .\tag{11}\]
Учитывая, что действующая сила равна импульсу, полученному в единицу времени, получим выражение для силы сопротивления
\[F _ { \text{сопр.} } = \frac { P } { \Delta t } = 4 m n S u V \, .\tag{12}\]
Как видно, в рассмотренной модели сила сопротивления прямо пропорциональна скорости движения поршня.
В случае больших скоростей \(V > u\), следует учесть, что передняя грань поршня будет сталкиваться не только с частицами, которые движутся ему навстречу, но и частицами движущимися в том же направлении, что и поршень (который их догоняет). Столкновений же с задней гранью не будет. В остальном же расчет переданного импульса остается прежним и приводит к результату
\[P = P _ { + } + P _ { - } = m n S \Delta t \big ( ( u + V ) ^ { 2 } + ( u - V ) ^ { 2 } \big ) = 2 m n S \Delta t \big ( u ^ { 2 } + V ^ { 2 } \big ) \, .\tag{13}\]
А сила сопротивления в этом случае равна
\[F _ { \text{сопр.} } = 2 m n S \big ( u ^ { 2 } + V ^ { 2 } \big )\tag{14}\]
и зависит от квадрата скорости. Заметим, что молекулы реальных газов имеют различные скорости, поэтому указать для них точную границу между «малой» и «большой» скоростью невозможно.
График зависимости силы сопротивления от скорости представляет собой участок прямой и соприкасающуюся с ней параболу.
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Источник: Республиканская физическая олимпиада Беларуси, 2002/03, заключительный этап, 9 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.