Белорусская, 2004/05, заключительный этап, 11 класс, теоретический тур

Подсказка

Показатель степени можно найти из размерности и подобия: подставьте степенную зависимость в уравнение задачи и сравните показатели степеней времени (или перейдите к безразмерным переменным).

Ответ

1.1) \(\lambda=2\);  1.2) \(\lambda=\dfrac12\);  1.3) \(\lambda=2\);  1.4) \(\lambda=-4\);  1.5) \(\lambda=\dfrac32\).

Решение

1.1 По второму закону Ньютона ускорение точки постоянно и равно \(a = \frac{F}{m}\), при равноускоренном движении пройденный путь зависит от времени по закону \(S = \frac{at^2}{2}\).

Поэтому \(\boxed{\lambda = 2}\).

1.2 Так как жидкость «вязкая», то можно считать, что в любой момент времени движение жидкости является «установившемся», для которого справедливо уравнение (данное в примечании)

\[v = \frac{dl}{dt} = \kappa \frac{\Delta P}{l},\tag{1}\]

Из этого уравнения следует \(ldl = \kappa \Delta P dt\), после интегрирования получаем \(\frac{1}{2}l^2 = \kappa \Delta P t\), окончательно получаем \(l = \sqrt{2\kappa \Delta P t}\). Таким образом, искомый показатель степени \(\boxed{\lambda = \frac{1}{2}}\).

Другой способ решения задачи заключается в подстановке функции \(l = Ct^\lambda\), приведенной в условии в уравнение (1)

\[C\lambda t^{\lambda-1} = \kappa \frac{\Delta P}{C} t^{-\lambda}.\]

Приравнивая показатели степеней переменной \(t\) (\(\lambda - 1 = -\lambda\)), получаем искомое значение параметра \(\lambda = \frac{1}{2}\). Таким образом, при этом значении приведенная функция удовлетворяет уравнению (1).

1.3 В установившемся режиме вся теплота, выделившаяся внутри планеты, переносится к ее поверхности. Так как система обладает сферической симметрией, то и распределение температур, и тепловые потоки также сферически симметричны. Выделим внутри планеты сферу радиуса \(r\). Из уравнения теплового баланса следует, что суммарный поток теплоты через эту сферу равен количеству теплоты, выделившейся внутри сферы, что может быть записано в виде уравнения (с учетом закона, сформулированного в приложении)

\[\frac{4}{3}\pi r^3 w = -4\pi r^2 \gamma \frac{dT}{dr}.\tag{1}\]

Это уравнение легко приводится к простому виду \(\frac{dT}{dr} = -\frac{w}{3\gamma}r\), решение которого с учетом граничного условия на поверхности (при \(r = R\) температура \(T = T_0\)) имеет вид

\[T - T_0 = -\frac{w}{6\gamma}(r^2 - R^2) \Rightarrow T = \left(T_0 + \frac{w}{6\gamma}R^2\right) - \frac{w}{6\gamma}r^2\tag{2}\]

приведенный в условии, причем искомый показатель степени равен \(\lambda = 2\).

Кто не умеет интегрировать, может решить задачу, подставив функцию \(T = A + Br^\lambda\) в уравнение (1) \(\frac{dT}{dr} = B\lambda r^{\lambda-1} = -\frac{w}{3\gamma}r\). Из этого равенства следует, что приведенная в условии функция удовлетворяет уравнению теплового баланса при \(\lambda = 2\) и любом значении параметра \(A\), который может быть найден из граничного условия на поверхности планеты.

1.4 Совместим ось \(Z\) с осью диполя, а ее начало определим в точке нахождения диполя. Тогда в точке \(A\), находящейся на расстоянии \(z\), напряженность поля может быть записана в виде

\[E_{\text{дип.}}(z) = E_{\text{точ.}}(z) - E_{\text{точ.}}(z+a) = -\frac{dE_{\text{точ.}}}{dz}a,\tag{1}\]

где \(E_{\text{точ.}}(z) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 z^2}\) напряженность поля, создаваемого точечным зарядом, при выводе (1) учтена малость расстояния \(a\) между зарядами диполя. Вычисляя производную, получим

\[E_{\text{дип.}}(z) = -\frac{dE_{\text{точ.}}}{dz}a = \frac{qa}{4\pi\varepsilon_0 z^3}.\tag{2}\]

Пусть второй диполь находится на расстоянии \(z\) в поле, напряженность которого зависит от координаты по закону \(E(z)\). Тогда, сила, действующая на этот диполь, может в том же приближении представлена в виде

\[F = qE(z+a) - qE(z) = qa\frac{dE}{dz} = -\frac{3(qa)^2}{4\pi\varepsilon_0 z^4},\tag{3}\]

что соответствует приведенной в условии формуле при \(\lambda = -4\). Задача может быть решена и традиционным способом: записать точное выражение для силы взаимодействия пар зарядов, а затем провести разложение по малому параметру –размеру диполя.

1.5 Так как массы шариков равны по условию, а силы, действующие на них равны по третьему закону Ньютона, то шарики будут двигаться навстречу друг другу с равными по

модулю скоростями и столкнуться в средней точке. Когда шарики находится на расстоянии \(r\) друг от друга, скорость каждого может быть найдена из закона сохранения энергии

\[2 \frac{m v^{2}}{2}=\frac{q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{h}\right).\tag{1}\]

Найти из этого уравнения время сближения сложно (хотя и возможно), однако нам и нет необходимости решать это уравнение – нам необходим вид зависимости времени движения от начального расстояния. Введем собственную систему единиц измерения: расстояния – начальное расстояние \(h\); единицу измерения времени \(T\) определим позднее. Расстояние между частицами и время, измеренные «в новых единицах» обозначим

\[\xi=\frac{r}{h} ; \quad \tau=\frac{t}{T}.\]

Переходя к новым переменным в уравнении (1), получим

\[\begin{gathered} v=\frac{d r}{d t}=\frac{h d \xi}{T d \tau} ; \\ m\left(\frac{h d \xi}{T d \tau}\right)^{2}=\frac{q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} h}\left(\frac{1}{\xi}-1\right) \end{gathered}\tag{2}\]

Используем теперь «произвол» в выборе единицы измерения времени таким образом, чтобы в этом уравнении не осталось параметров, то есть сделаем его «безразмерным», для чего достаточно положить

\[m\left(\frac{h}{T}\right)^{2}=\frac{q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} h},\tag{3}\]

или определить единицу измерения времени как

\[T=\sqrt{\frac{4 m \pi \varepsilon_{0} h^{3}}{q^{2}}}.\tag{4}\]

В этом случае уравнение (1) приобретает вид

\[\left(\frac{d \xi}{d \tau}\right)^{2}=\frac{1}{\xi}-1,\tag{5}\]

в котором нет никаких исходных параметров. Кроме того, пределы изменения переменной \(\xi\) также являются «универсальными» \(\xi \in[1{,}0]\). Следовательно, и его решение – зависимость \(\xi(\tau)\) также «универсальна», поэтому и время движения (измеренное в единицах \(T\)) является некоторой константой. Обозначим ее \(\tau_{0}\), тогда время движения, измеренной в «обычных» единицах определяется как

\[t_{0}=\tau_{0} T=\tau_{0} \sqrt{\frac{4 m \pi \varepsilon_{0} h^{3}}{q^{2}}}=C h^{\frac{3}{2}}.\tag{6}\]

Таким образом, приведенная формула доказана, а искомый показатель степени равен \(\lambda=\frac{3}{2}\).

Возможны и другие варианты решения: прямое интегрирование уравнения (1); переход к безразмерным параметрам в уравнении 2 закона Ньютона; проведение аналогии с 3 законом Кеплера и т.д.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Постройте цикл в осях \((P,V)\) по узловым состояниям: изохорный нагрев, расширение с постоянной силой рабочего устройства, охлаждение и возврат пружиной. Для неравновесности учтите, что давление на убегающий поршень меньше среднего.

Ответ

1.2) \(\eta=\dfrac{2}{21}\approx0{,}095\);  1.3) \(N=\dfrac{q}{20}\);  2.2) \(\eta\approx0{,}082\);  3.2) КПД уменьшается примерно на \(0{,}2\%\);  4.1) \(\bar v\approx0{,}13\) м/с;  4.2) КПД уменьшается примерно на \(0{,}5\%\).

Решение

Часть 1.

Построим диаграмму процесса изменения состояния рабочего газа. Обозначим площадь поперечного сечения рабочего цилиндра \(S\), а жесткость пружины \(k\).

Последовательно рассмотрим все узловые состояния и процессы рабочего газа. Конечно, коэффициент полезного действия машины можно подсчитать как отношение работы (численно равной площади цикла) к количеству полученной теплоты. Однако, учитывая, что нам необходимо найти и среднюю мощность, вычислим сразу и теплоты, получаемые от нагревателя и отданные холодильнику на каждом этапе.

Состояние 0.

В начальном состоянии параметры газа следующие:

- объем \(V_0 = l_0 S\);

- давление обусловлено силой упругости пружины

\[P_0 = \frac{k l_0}{S} = \frac{F_0}{S};\]

- температура находится из уравнения состояния идеального газа (\(\nu\) - количество молей рабочего газа)

\[T_0 = \frac{P_0 V_0}{\nu R} = \frac{k l_0^2}{\nu S} = \frac{F_0 l_0}{\nu R}.\tag{1}\]

Состояние 1.

После включения нагревателя температура и давления газа начнут расти до тех пор, пока сила давления газа на поршень окажется в состоянии сдвинуть поршень вправо (состояние 1). В этот момент объем еще останется прежним

\[V_1 = V_0 = l_0 S,\]

давление газа станет равным

\[P_1 = \frac{k l_0 + F_1}{S} = \frac{(n+1)F_0}{S} = 3 \frac{F_0}{S},\]

а температура

\[T_1 = \frac{P_1 V_0}{\nu R} = \frac{(k l_0 + F_1) l_0}{\nu S} = \frac{(n+1)F_0 l_0}{\nu R} = 3 \frac{F_0 l_0}{\nu R}.\tag{2}\]

Процесс 0 – 1.

Таким образом, процесс \((0 \to 1)\) является изохорным, в его ходе газ получит количество теплоты, равное

\[Q_{0 \to 1} = \nu C_V (T_1 - T_0) = \nu \frac{5}{2} R = \frac{5}{2} n F_0 l_0 = 5 F_0 l_0.\tag{3}\]

При постоянной мощности нагревателя этот процесс будет протекать в течение промежутка времени

\[\tau_1 = \frac{Q_{0 \to 1}}{q_1} = \frac{5}{2} n \frac{F_0 l_0}{q_1} = 5 \frac{F_0 l_0}{q_1}.\tag{4}\]

При дальнейшем нагреве поршень будет смещаться вправо. Состояние 2. В конечной точке расширения, когда объем станет равным \(V_2 = l_1 S = m l_0 S = 2 l_0 S\), давление достигнет значения

\[P_2 = \frac{k l_1 + F_1}{S} = \frac{k m l_0 + n F_0}{S} = \frac{(m + n) F_0}{S} = 4 \frac{F_0}{S},\tag{6}\]

а температура станет равной

\[T_2 = \frac{P_2 V_2}{\nu R} = \frac{(m + n) m F_0 l_0}{\nu R} = 8 \frac{F_0 l_0}{\nu R}.\tag{7}\]

Процесс 1 – 2. Пусть поршень находится в некоторой промежуточной точке с координатой \(x\), в этом состоянии объем газа будет равен \(V(x) = x S\). Считая процесс равновесным и пренебрегая инерционностью системы, давление газа можно записать в виде

\[P(x) = \frac{k x + F_1}{S},\tag{8}\]

то есть зависимость давления от объема является линейной. Работа, совершенная газом в процессе расширения, численно равна площади под графиком процесса на рассматриваемом участке \((1 \to 2)\)

\[A_{1 \to 2} = \frac{P_1 + P_2}{2} \cdot (V_2 - V_1) = \frac{1}{2} \left( \frac{(m + n) F_0}{S} + \frac{(n + 1) F_0}{S} \right) (m - 1) l_0 S =\]

\[= \frac{(m + 2n + 1)(m - 1)}{2} F_0 l_0 = 3{,}5 F_0 l_0\tag{9}\]

Изменение внутренней энергии рассчитывается по формуле

\[\Delta U_{1 \to 2} = \nu C_V (T_2 - T_1) = \nu \frac{5}{2} R \left( \frac{(m + n) m F_0 l_0}{\nu R} - \frac{(n + 1) F_0 l_0}{\nu R} \right) =\tag{10}\]

\[= \frac{5}{2} F_0 l_0 ((m + n) m - (n + 1)) = 12{,}5 F_0 l_0\]

Количество теплоты, полученной в ходе процесса \((1 \to 2)\), рассчитывается с помощью первого закона термодинамики

\[Q_{1 \to 2} = \Delta U_{1 \to 2} + A_{1 \to 2} = \frac{1}{2} F_0 l_0 (6m + 7n + 6)(m - 1) = 16 F_0 l_0.\tag{11}\]

Соответственно, время этого процесса

\[\tau_2 = \frac{Q_{1 \to 2}}{q} = \frac{F_0 l_0}{2q} (6m + 7n + 6)(m - 1) = 16 \frac{F_0 l_0}{q}.\tag{12}\]

Состояние 3. После отключения нагревателя и включения холодильника газ начнет охлаждаться при неизменном объеме \(V_3 = m l_0 S\), до тех пор, сила давления газа не станет меньше силы упругости возвращающей пружины, то есть до значения

\[P_3 = \frac{m k l_0}{S} = m \frac{F_0}{S} = 2 \frac{F_0}{S}.\tag{13}\]

Температура при этом станет равной

\[T_3 = \frac{P_3 V_3}{\nu R} = m^2 \frac{F_0 l_0}{\nu R} = 4 \frac{F_0 l_0}{\nu R}.\tag{14}\]

Процесс 2-3. Процесс остывания является изохорным (при этом работа равна нулю \(A_{2 \to 3} = 0\)), количество отданной теплоты равно уменьшению внутренней энергии

\[\Delta U_{2 \to 3} = Q_{2 \to 3} = \frac{5}{2} \nu C_V (T_2 - T_3) = \frac{5}{2} F_0 l_0 m n = 10 F_0 l_0\tag{15}\]

и пройдет за время

\[\tau_3 = \frac{Q_{2 \to 3}}{q} = \frac{5 F_0 l_0}{2 q} m n = 10 \frac{F_0 l_0}{q}.\tag{16}\]

Процесс 3-4. Так как газ сжимается под действием пружины, то его давление определяется силой упругости пружины

\[P = \frac{k x}{S}.\tag{17}\]

Характеристики этого процесса рассчитываются стандартным методом: - изменение внутренней энергии

\[\Delta U_{3 \to 0} = \frac{5}{2} \nu C_V (T_0 - T_3) = -\frac{5}{2} F_0 l_0 (m^2 - 1) = -7{,}5 F_0 l_0;\tag{18}\]

- работа, совершенная газом,

\[A_{3 \to 0} = \frac{P_3 + P_0}{2} \cdot (V_0 - V_3) = -\frac{1}{2} \left( \frac{m F_0}{S} + \frac{F_0}{S} \right) (m - 1) l_0 S = -\frac{(m^2 - 1)}{2} F_0 l_0 = -1{,}5 F_0 l_0;\tag{19}\]

- количество отданной теплоты

\[Q_{3 \to 0} = \frac{(m^2 - 1)}{2} F_0 l_0 + \frac{5}{2} (m^2 - 1) F_0 l_0 = 3 (m^2 - 1) F_0 l_0 = 9 F_0 l_0;\tag{20}\]

- время протекания процесса

\[\tau_4 = 3 (m^2 - 1) \frac{F_0 l_0}{q} = 9 \frac{F_0 l_0}{q}.\tag{21}\]

Коэффициент полезного действия двигателя рассчитаем по формуле

\[\eta = \frac{A_\Sigma}{Q_{0 \to 1} + Q_{1 \to 2}} = \frac{2 n (m - 1)}{5 n + (6 m + 7 n + 6)(m - 1)} = \frac{2}{21} \approx 0{,}095.\tag{22}\]

Заметим, что в данном случае работа газа над поршнем равна работе рабочего устройства, которая в свою очередь легко может быть рассчитана как произведение перемещения поршня на силу, которая действует со стороны поршня на рабочее устройство

\[A = n F _ { 0 } ( m - 1 ) l _ { 0 } = n ( m - 1 ) F _ { 0 } l _ { 0 } = 2 F _ { 0 } l _ { 0 } \, .\tag{23}\]

Во всех остальных случаях «полезная» работа также будет определяться этой формулой, но не будет равна работе газа за цикл.

Среднюю мощность двигателя рассчитаем как отношение полезной работы к периоду цикла

\[N = \frac { A } { \tau _ { 1 } + \tau _ { 2 } + \tau _ { 3 } + \tau _ { 4 } } = \frac { q } { 2 0 } \, .\tag{24}\]

Для удобства представим параметров газа во всех узловых состояниях в таблице 1, а характеристики процессов в таблице 2.

Таблица 1.

Таблица 2.

Часть 2.

С учетом атмосферного давления «картинка цикла» поднимется на единицу вверх по шкале \(\left( \frac { P } { P _ { 0 } } \right)\), что приведет к увеличению теплоты, которую сообщает газу нагреватель. Газ, по-прежнему,

получает теплоту от нагревателя на участках изохорического процесса \((0 \to 1)\) и процесса расширения \((1 \to 2)\).

Расчет параметров газа в узловых точках процесса аналогичен проведенному выше, поэтому приведем его без комментариев и дадим в виде таблицы 3.

Таблица 3.

Согласно первому закону термодинамики это количество теплоты равно

\[Q_{0 \to 2} = \Delta U_{0 \to 2} + A_{1 \to 2} = \frac{5}{2} \nu R (T_2 - T_0) + \frac{P_1 + P_2}{2} (V_2 - V_1) = 24{,}5 F_0 l_0\tag{25}\]

Соответственно, коэффициент полезного действия равен

\[\eta = \frac{A}{Q_{0 \to 2}} = \frac{2}{24{,}5} \approx 0{,}082\,,\tag{26}\]

что меньше, чем в «идеальном» случае.

Часть 3. При учете силы трения к рассмотренному циклу добавятся две узкие «полоски», иллюстрирующие преодоление этих сил, что приведет к увеличению теплоты, сообщаемой нагревателем. Следует особо отметить, что на этапе расширения сила трения приводит к увеличению давления газа, а на участке сжатия к его уменьшению. Значения характеристик газа для данного цикла представлены в таблице 3. Таблица 3.

Расчет количества полученной теплоты имеет вид

\[Q_{0 \to 2} = \Delta U_{0 \to 2} + A_{1 \to 2} = \frac{5}{2} \nu R (T_2 - T_0) + \frac{P_1 + P_2}{2} (V_2 - V_1) = \\ = \frac{5}{2} F_0 l_0 \cdot 8{,}3 + \frac{1}{2} F_0 l_0 \cdot 9{,}2 = 25{,}35 F_0 l_0\tag{28}\]

Следовательно, коэффициент полезного действия

\[\eta = \frac{A}{Q_{0 \to 2}} = \frac{2}{25{,}35} \approx 0{,}079\tag{29}\]

Как видно, значение К.П.Д. почти совпадает с предыдущим значением. Поэтому можно провести приближенный расчет. Найдем, насколько увеличится количество полученной газом теплоты \(\delta Q_{0 \to 2}\) из-за наличия трения. Имеется две причины увеличения этой теплоты: во-первых, увеличение изменения температуры (начальная температура чуть ниже на величину \(\delta T_0 = \frac{F_{\text{тр}} l_0}{\nu R}\), а конечная чуть выше \(\delta T_2 = \frac{m F_{\text{тр}} l_0}{\nu R}\)); во-вторых, незначительно увеличивается давление в процессе расширения \(\delta P_{1 \to 2} = \frac{F_{\text{тр}} l_0}{S}\). Поэтому

\[\delta Q_{0 \to 2} = C_V (\delta T_0 + \delta T_2) + \delta P_{1 \to 2} \Delta V = \frac{5}{2} (m+1) \frac{F_{\text{тр}}}{F_0} F_0 l_0 + (m-1) \frac{F_{\text{тр}}}{F_0} F_0 l_0 = \\ = 7{,}5 \frac{F_{\text{тр}}}{F_0} F_0 l_0 = 0{,}75 F_0 l_0\]

Теперь изменение К.П.Д. можно рассчитать по формулам

\[\begin{array} { l } { { \displaystyle \eta + \delta \eta = \frac { A } { Q _ { 0 \to 2 } + \delta Q _ { 0 \to 2 } } \approx \frac { A } { Q _ { 0 \to 2 } } \left( 1 - \frac { \delta Q _ { 0 \to 2 } } { Q _ { 0 \to 2 } } \right) \quad \Rightarrow } } \\ { { \displaystyle \delta \eta = - \eta \frac { \delta Q _ { 0 \to 2 } } { Q _ { 0 \to 2 } } = - \frac { 0 { , } 0 8 2 \cdot 0 { , } 7 5 } { 2 4 { , } 5 } \approx - 0 { , } 0 0 2 5 = - 0 { , } 2 \% } } \end{array}\tag{30}\]

Часть 4

4.1 Основной причиной того, что поршень перестанет ускорятся, является то обстоятельство, что давление газа на движущийся поршень отличается от давления на неподвижную преграду. Найдем, какое давление оказывает газ на поршень,

движущийся с постоянной скоростью \(V\), используя традиционные методы МКТ. Будем считать, что скорость движения поршня \(V\), значительно меньше средней скорости теплового движения молекул. Молекула, имеющая проекцию скорости \(v_x\) (нормальную к поверхности), при ударе передает поршню импульс

\[\Delta p_x = 2m(v_x - V).\tag{1}\]

Число молекул, имеющих скорость близкую к \(v_x\) и достигших поршня за время \(\Delta t\), равно

\[\Delta n = n(v_x - V)S\Delta t.\tag{2}\]

Для вычисления давления необходимо провести усреднение по возможным значениям скоростей молекул

\[\begin{array} { l } { { \displaystyle P = \left\langle \frac { \Delta p_x \Delta n } { S \Delta t } \right\rangle = 2mn \left\langle (v_x - V)^2 \right\rangle \approx 2mn \left( \left\langle v_x^2 \right\rangle - 2V \left\langle v_x \right\rangle \right) = } } \\ { { \displaystyle = 2mn \left\langle v_x^2 \right\rangle \left( 1 - 2 \frac { V \left\langle v_x \right\rangle } { \left\langle v_x^2 \right\rangle } \right) \approx P_0 \left( 1 - 2 \frac { V \left\langle v_x \right\rangle } { \left\langle v_x^2 \right\rangle } \right) } } \end{array}\tag{3}\]

причем усреднение необходимо проводить по молекулам, нормальные составляющие скоростей которых лежат в интервале \(v_x \in [V, +\infty]\). Для оценки средних величин, стоящих в выражении (3), примем, что средняя проекции скорости примерно равна среднеквадратичному, а средний квадрат проекции легко определяется из формулы для среднего квадрата модуля скорости. Поэтому

\[\begin{array} { l } { { \displaystyle \left\langle v_x^2 \right\rangle \approx \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 1 } { 3 } \left\langle v^2 \right\rangle \right) = \frac { 1 } { 2 } \frac { kT } { m } } } \\ { { \displaystyle \left\langle v_x \right\rangle \approx \sqrt { \left\langle v_x^2 \right\rangle } = \sqrt { \frac { 1 } { 2 } \frac { kT } { m } } = \sqrt { \frac { 1 } { 2 } \frac { RT } { M } } } } \end{array}\]

таким образом, давление газа на движущийся поршень определяется выражением

\[P \approx P_0 \left( 1 - 2 \frac { V \left\langle v_x \right\rangle } { \left\langle v_x^2 \right\rangle } \right) \approx P_0 \left( 1 - 2V \sqrt { \frac { 2M } { RT } } \right) = P_0 (1 - \beta V),\tag{4}\]

где коэффициент пропорциональности равен

\[\beta \approx 2 \sqrt{\frac{2 M}{R T}}.\tag{5}\]

Заметим, что более точный расчет с корректным вычислением средних приводит к результату \(\beta = 2 \frac{\left\langle v_{x}\right\rangle}{\left\langle v_{x}^{2}\right\rangle} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{\pi}} \sqrt{\frac{M}{R T}} \approx 1{,}6 \sqrt{\frac{M}{R T}}\). Поршень будет двигаться с постоянной скоростью, когда силы давления газа на обе стороны поршня сравняются. В этом случае справедливо уравнение

\[(P+\Delta P)(1-\beta \bar{v})=P(1+\beta \bar{v}),\tag{6}\]

из которого определяем скорость движения поршня

\[\bar{v} = \frac{\Delta P}{2 \beta P} = \frac{\Delta P}{P} \frac{1}{4} \sqrt{\frac{R T}{2 M}} \approx 0{,}13 \frac{\text{м}}{\text{с}}.\tag{7}\]

4.2 Мы показали, что сила давления на «убегающий» поршень меньше среднего давления газа. Следовательно, для того чтобы в рассматриваемом двигателе поршень перемещался, необходимо увеличить среднее давление газа. Требуемое увеличение давления определяется из формулы (4)

\[\delta P \approx \beta P \bar{v}.\tag{1}\]

Такое увеличение потребует увеличения количества теплоты, потребляемой от нагревателя, это увеличение оценивается также, как и при учете силы трения

\[\delta Q_{0 \rightarrow 2} = \frac{5}{2} \nu R \frac{2 l_0 S \delta P}{\nu R} + \delta P (m-1) l_0 S \approx Q_{0 \rightarrow 2} \frac{\delta P}{P}.\tag{2}\]

Соответственно уменьшается коэффициент полезного действия двигателя

\[\delta \eta = -\eta \frac{\delta Q_{0 \rightarrow 2}}{Q_{0 \rightarrow 2}} = -\eta \frac{\delta P}{P} = \eta \beta \bar{v} \approx -0{,}005 = -0{,}5\%.\tag{3}\]

Добавление, не входящее в основное решение.} Вычисление коэффициента \(\beta\). Расчет проведен с точностью до первой степени скорости движения поршня

\[\left\langle v_x^2 \right\rangle = \int_V^\infty v_x^2 \varphi(v_x) dv_x = \int_0^\infty v_x^2 \varphi(v_x) dv_x - \int_0^V v_x^2 \varphi(v_x) dv_x \approx\]

\[\approx \frac{1}{2} \int_{-\infty}^\infty v_x^2 \varphi(v_x) dv_x - \frac{1}{2} \left( \left[ v_x^2 \varphi(v_x) \right]_0 + \left[ v_x^2 \varphi(v_x) \right]_V \right) V =\]

\[= \frac{1}{6} \left\langle v^2 \right\rangle - \frac{1}{2} V^3 \sqrt{\frac{m}{2 \pi k T}} \approx \frac{1}{2} \frac{k T}{m}\]

\[\left\langle v_x \right\rangle = \int_V^\infty v_x \varphi(v_x) dv_x = \int_0^\infty v_x \varphi(v_x) dv_x - \int_0^V v_x \varphi(v_x) dv_x = \sqrt{\frac{k T}{2 \pi m}}\]

\[\beta = 2 \frac{\left\langle v_x \right\rangle}{\left\langle v_x^2 \right\rangle} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{\pi}} \sqrt{\frac{M}{R T}} \approx 1{,}6 \sqrt{\frac{M}{R T}}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Поле на оси кольца найдите по закону Био—Савара—Лапласа; сила на намагниченную частицу равна \(p_m\,dB/dz\) и пропорциональна \(I^2\). Давление магнитной силы на масло считайте через концентрацию опилок, которая зависит от скорости частиц.

Ответ

1.1) \(B_0=\dfrac{\mu_0IN}{2R}\approx6{,}28\) мТл;  2.3) \(F_m(z)=-F_0\dfrac{\xi}{(1+\xi^2)^4}\), \(\xi=z/R\), \(F_0\approx3{,}16\cdot10^{-5}\) Н, максимум модуля \(\approx0{,}222F_0\) при \(\xi=1/\sqrt7\);  3.4) течение прекращается при \(I\gtrsim2{,}5\) А.

Решение

Часть 1. «Магнитное поле»}

1.1 Для определения индукции на оси кольца (обозначим ось \(Z\)) следует воспользоваться законом Био-Саварра-Лапласа. Выделим на кольце небольшой элемент длиной \(\Delta l\), который создает в точке \(A\) магнитное поле индукции \(\Delta \vec{B}\). Из симметрии системы следует, что суммарный вектор индукции направлен вдоль оси системы. Поэтому для его

вычисления достаточно просуммировать проекции векторов индукции, создаваемые отдельными элементами тока кольца

\[\Delta B_{z} = \frac{\mu_{0} I \Delta l}{4 \pi\left(R^{2}+z^{2}\right)} \sin \alpha = \frac{\mu_{0} I \Delta l R}{4 \pi\left(R^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}.\]

Такое суммирование выполняется элементарно (заменой длины выбранного элемента кольца на его полную длину), откуда и следует приведенная в условии формула

\[B_{z} = \mu_{0} I N \frac{R^{2}}{2\left(R^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} = B_{0} \cdot \frac{1}{\left(1+\xi^{2}\right)^{\frac{3}{2}}},\tag{1}\]

где обозначено \(\xi = \frac{z}{R}\), множитель \(B_{0}\) имеет смысл индукции в центре кольца и равен

\[B_{0} = \frac{\mu_{0} I N}{2 R} = \frac{4 \pi \cdot 10^{-7} \cdot 1{,}0 \cdot 100}{2 \cdot 1{,}0 \cdot 10^{-2}} \approx 6{,}28 \cdot 10^{-3} \, \text{Тл}.\tag{2}\]

1.2. Для вычисления радиальной составляющей вектора магнитной индукции можно воспользоваться теоремой о магнитном потоке, который равен нулю через любую замкнутую поверхность. В качестве таковой выберем тонкий цилиндр малой толщиной \(\Delta z\) и радиуса \(r\), ось которого совпадает с осью катушки. Из теоремы о магнитном потоке следует выражение

\[B_{z}(z+\Delta z) \cdot \pi r^{2} - B_{z}(z) \cdot \pi r^{2} + B_{r} \cdot 2 \pi r = 0,\]

из которого определяем радиальную составляющую поля

\[B_{r} = -\frac{r}{2} \frac{d B_{z}}{d z} = \frac{r}{2} B_{0} \cdot \frac{3}{2} \frac{2 \xi}{\left(1+\xi^{2}\right)^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{1}{R} = \frac{3}{2} B_{0} \frac{\xi}{\left(1+\xi^{2}\right)^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{r}{R}.\tag{3}\]

Часть 2. «Опилки»}

2.1 Так частицы опилок малы, то оседать они будут равномерно с установившейся скоростью \(\bar{v}\) которая определяется из условия равновесия сил

\[m g - F_{A} = \beta \bar{v}.\]

Выражая силу тяжести и силу Архимеда через плотности железа и масла, получим равенство \(\frac{4}{3} \pi a^{3}(\rho - \rho_{0}) g = \beta \bar{v}\), из которого определим неизвестный коэффициент силы сопротивления

\[\beta = \frac{4 \pi a^{3}(\rho - \rho_{0}) g}{3 \bar{v}} = \frac{4 \pi\left(1{,}0 \cdot 10^{-4}\right)^{3} \cdot 7{,}0 \cdot 10^{3} \cdot 9{,}8}{3 \cdot 10^{-4}} = 2{,}87 \cdot 10^{-3} \, \frac{\text{кг}}{\text{с}}.\tag{4}\]

2.2 Сила взаимодействия магнитного диполя с магнитным полем пропорциональна произведению индукции поля магнитного момента. Кроме

того, индуцированный момент пропорционален индукции поля. Этих рассуждений достаточно для обоснования утверждения о том, что сила пропорциональна квадрату индукции поля.

2.3 Для определения силы, действующей на частицу, обладающую

магнитным моментом, представим ее в виде кругового тока силой \(i\) и некоторого радиуса \(a\) (не обязательно совпадающим с размером частицы). Сила Ампера определяется радиальной составляющей вектора индукции, и равна (с учетом формулы (3))

\[F_m = -i \cdot 2\pi a \cdot B_r = i \cdot 2\pi a \cdot \frac{a}{2} \frac{dB_z}{dz} = \pi a^2 \frac{dB_z}{dz} = p_m \frac{dB_z}{dz}.\]

Существенно, что рассматриваемая сила зависит только от магнитного момента (а не от «придуманных» параметров \(i\), \(a\)), продолжая цепочку преобразований, получим окончательное выражение

\[\begin{aligned} F_m &= p_m \frac{dB_z}{dz} = \chi V \frac{B_z}{\mu_0} \frac{dB_z}{dz} = \chi V \frac{d}{dz} \left( \frac{B_z^2}{2\mu_0} \right) = -\chi V \frac{3B_0^2}{\mu_0 R} \frac{\xi}{(1+\xi^2)^4} = \\ &= -F_0 \frac{\xi}{(1+\xi^2)^4} \end{aligned}\tag{5}\]

где обозначено

\[F_0 = \chi V \frac{3B_0^2}{\mu_0 R} = 800 \cdot \frac{4}{3} \pi (10^{-4})^3 \frac{3(6{,}28 \cdot 10^{-3})^2}{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 1 \cdot 10^{-2}} \approx 3{,}16 \cdot 10^{-5} \, \text{Н}.\]

Анализ функции (5) может быть проведен стандартными методами. Так, например, функция антисимметрична. Вычисляя производную и полагая ее равной нулю

\[\left( \frac{\xi}{(1+\xi^2)^4} \right)' = \frac{(1+\xi^2)^4 - \xi \cdot 4(1+\xi^2)^3 \cdot 2\xi}{(1+\xi^2)^8} = \frac{(1+\xi^2) - 8\xi^2}{(1+\xi^2)^5} = 0,\]

определим положение экстремумов \(\xi^{*} = \pm \frac{1}{\sqrt{7}} \approx 0{,}38\); и экстремальные значения функции в этой точке \(F_{m\,\text{max}} = \pm F_{0} \frac{1}{\sqrt{7}} \frac{7^{4}}{8^{4}} \approx \pm 0{,}222 F_{0} = \pm 7{,}02 \cdot 10^{-6}\,\text{Н}\). Тем самым можно определим параметры предлагаемой аппроксимации

\[l_{0} = \frac{2R}{\sqrt{7}} = 7{,}56 \cdot 10^{-3}\,\text{м}; \quad f_{0} = 3{,}56 \cdot 10^{-6}\,\text{Н}.\tag{6}\]

На рисунке показан график этой функции и ее предлагаемая аппроксимация. Заметим, что коэффициент пропорциональности в зависимости \(f_{0} = AI^{2}\), численно равен найденному значения (6), так как эта величина рассчитана при силе тока в 1 ампер, поэтому \(A = 3{,}56 \cdot 10^{-6}\,\dfrac{\text{Н}}{\text{А}^{2}}\).

Часть 3. «Течение и расход»}

В этой основной части задачи отметим, что влияние железных опилок на движение масла возможно лишь тогда, когда они движутся относительно масла! Действительно, если опилки жестко «скреплены» с движущейся жидкостью и равномерно в ней распределены, то суммарная сила, действующая на такую жесткую смесь равна нулю – силы, действующие с разных сторон кольца, уравновешивают друг друга. Очевидной причиной различия скоростей является «магнитная сила, действующая на опилки, но не на масло. Таким образом, необходимо рассмотреть движение опилок, с учетом того, что их скорости могут отличаться от скорости масла, которая в

свою очередь постоянна по всей длине трубки, вследствие постоянства потока. Кроме того, в рамках сделанного приближения мы считаем скорость жидкости постоянной и в поперечном сечении трубки. Итак, обозначим постоянную скорость движения масла \(u\). Рассмотрим движение отдельной железной частицы, скорость которой обозначим \(v\). На основании второго закона Ньютона, уравнение ее движения имеет вид

\[ma = \beta(u - v) + F_{m}(z).\tag{1}\]

где первое слагаемое описывает силу сопротивления, а второе – силу со стороны магнитного поля, вычислением которой мы так долго занимались. Так как частица мала, то можно в очередной раз использовать квазистационарное приближение, считая, что в любой момент времени суммарная сила, действующая на частицу равна нулю (т.е. полагая \(ma = 0\)). В этом вполне обоснованном приближении можно выразить скорость частицы как функцию координаты

\[v(z) = u + \frac{F_{m}(z)}{\beta}.\tag{2}\]

В установившемся движении среднее число опилок, проходящее через любое поперечное сечение трубки постоянно (выполняется «закон

сохранения числа опилок»), что может быть выражено очевидным уравнением

\[n_{0} u=n(z) v,\tag{3}\]

которое с использованием выражения (2) позволяет найти концентрацию опилок как функцию координаты

\[n(z)=\frac{n_{0} u}{v(z)}=\frac{n_{0} u}{u+\frac{F_{m}(z)}{\beta}}=\frac{n_{0}}{1+\frac{F_{m}(z)}{\beta u}}.\tag{4}\]

Для используемой нами зависимости силы от координаты, эта зависимость качественно представлена на рисунке: при приближении к катушке скорость опилок возрастает, а их концентрация падает, за катушкой ситуация обратная. Следовательно, за катушкой создается повышенная концентрация медленно движущихся опилок, которые тормозят движение масла.

3.2 Прежде чем переходить к рассмотрению довольно сложного выражения (4) оценим отношение модулей сил, действующих на отдельную частицу. Для оценки силы вязкого трения, действующей на покоящуюся частичку \(\beta u_{0}\), находящуюся в потоке масла, выразим скорость движения масла в отсутствии магнитного поля из известного значения расхода масла

\[u_0 = \frac{q_0}{\pi r_0^2} = \frac{10 \cdot 10^{-6}}{60 \pi \cdot 10^{-6}} \approx 5{,}31 \cdot 10^{-2} \frac{\text{м}}{\text{с}},\]

в этом случае сила вязкого трения \(\beta u_{0}=1{,}5 \cdot 10^{-4} H\) значительно больше вычисленной ранее магнитной силы \(f_{0}\). Поэтому добавка к единице в знаменателе функции (4) мала, поэтому это выражение можно упростить

\[n(z)=n_{0}\left(1+\frac{F_{m}(z)}{\beta u}\right)^{-1} \approx n_{0}\left(1-\frac{F_{m}(z)}{\beta u}\right).\]

Если жидкость действует на частицу с силой \(\beta(u-v)\), то с такой же по модулю силой частичка действует на жидкость. Выделим в движущейся жидкости слой толщиной \(\Delta z\), суммарная сила\(^{3}\), действующая на жидкость со стороны опилок в этом слое, будет равна

\[\delta\left(\Delta P_{m}\right)=n \Delta z \beta(v-u)=n \Delta z F_{m}(z).\tag{5}\]

здесь \(n \Delta z\) - число опилок в слое единичной площади, кроме того учтено квазистационарное приближение уравнивающее силу вязкости с магнитной силой. Для того чтобы найти суммарное давление необходимо просуммировать выражение (5) по всей длине трубки, такое суммирование в рассматриваемом случае проводится тривиально (необходимо просуммировать два слагаемых, соответствующих двум областям, где скорость опилок отлична от скорости масла

\[\Delta P _ { m } = n _ { 0 } \left( 1 - \frac { f _ { 0 } } { \beta u } \right) f _ { 0 } l _ { 0 } - n _ { 0 } \left( 1 + \frac { f _ { 0 } } { \beta u } \right) f _ { 0 } l _ { 0 } = - 2 \frac { n _ { 0 } f _ { 0 } ^ { 2 } l _ { 0 } } { \beta u } .\tag{6}\]

В соответствии с нашими качественными рассуждениями это дополнительное давление оказалось отрицательным, то есть действительно, магнитное поле, действуя непосредственно только на опилки, опосредовано тормозит масло.

3.3 Относительное изменение расхода ввиду малости дополнительного давления также будет мало, поэтому может быть найдено приближенными методами. Запишем выражения для расхода масла в двух случаях в присутствии поля и без него

\[\begin{aligned} q_0 &= C \Delta P_0 \\ q &= C (\Delta P_0 + \Delta P_m) \end{aligned}\tag{7}\]

и найдем их отношение

\[\frac{q}{q_0} = 1 + \frac{\Delta P_m}{\Delta P_0} = 1 - 2 \frac{n_0 f_0^2 l_0}{\beta u \Delta P_0}.\tag{8}\]

Нет необходимости решать это уравнение точно (обратите внимание - справа в уравнении присутствует неизвестная скорость \(u\), пропорциональная расходу масла), так как само уравнение является приближенным, поэтому, не теряя степени точности, можно считать, что \(u \approx u_0\) и записать

\[\frac{q}{q_0} = 1 + \frac{\Delta P_m}{\Delta P_0} = 1 - 2 \frac{n_0 f_0^2 l_0}{\beta u_0 \Delta P_0},\tag{9}\]

откуда следует

\[\frac{\delta q}{q_0} = -2 \frac{n_0 f_0^2 l_0}{\beta (u_0 + \delta u) \Delta P_0} \approx -2 \frac{n_0 f_0^2 l_0}{\beta u_0 \Delta P_0}.\tag{10}\]

Подстановка численных значений дает результат \(\displaystyle \frac{\delta q}{q_0} \approx -1{,}3 \cdot 10^{-2}\).

Как следует из формулы (10) относительное изменение расхода пропорционально квадрату силы, действующей на опилки, которая в свою очередь пропорциональна квадрату силы тока в кольце, следовательно, уменьшение расхода пропорционально четвертой степени силы тока в кольце, \(\displaystyle -\frac{\delta q}{q_0} \propto I^4\).

3.4 Получим точное уравнение, определяющее скорость установившегося движения масла.

Запишем условие стационарности потока масла для тонкого слоя толщиной \(\Delta z\)

\[\delta P + \delta P_m - \delta P_{\text{вязк.}} = 0,\tag{1}\]

в котором \(\delta P, \delta P_m, \delta P_{\text{вязк.}}\) - давления внешнее, магнитное и вязкое, соответственно.

Просуммируем это выражение по всей длине трубки. Отдельные слагаемые будут иметь вид:

\(\sum\limits_{L} \delta P = \Delta P_{0}\) - приложенная к концам трубки разность давлений; \(\sum\limits_{L} \delta P_{\text{вязк.}} = C u L = \Delta P_{0} \frac{u}{u_{0}}\) - падение давления вследствие сил вязкости; \(\sum\limits_{L} \delta P_{m} = \sum\limits_{L} n(z) \Delta z F_{m}(z)\) - суммарное давление со стороны опилок на масло.

Последнюю сумму легко вычислить для рассматриваемой нами модели распределения сил по длине трубки. На рисунке показаны зависимости от координаты силы, действующей на частицу, скорости частиц и их концентрации, с помощью этого рисунка находим

\[\sum\limits_{L} \delta P_{m} = \sum\limits_{L} n(z) \Delta z F_{m}(z) = \frac{n_{0} f_{0} l_{0}}{1 + \frac{f_{0}}{\beta u}} - \frac{n_{0} f_{0} l_{0}}{1 - \frac{f_{0}}{\beta u}} =\]

\[= -2 n_{0} f_{0}^{2} l_{0} \frac{\beta u}{(\beta u)^{2} + f_{0}^{2}}.\]

Таким образом, получаем уравнение, определяющее скорость \(u\) установившегося движения масла.

\[\Delta P_{0} = \Delta P_{0} \frac{u}{u_{0}} + 2 n_{0} f_{0}^{2} l_{0} \frac{\beta u}{(\beta u)^{2} - f_{0}^{2}} = 0.\tag{2}\]

Проанализируем возможные решения этого уравнения. Для этого построим примерные графики зависимостей давлений от скорости движения масла. Как следует из графика, данное уравнение может иметь два корня, больший из них дает интересующее нас значение установившейся скорости, меньший неустойчив (что легко показать). При увеличении силы тока возрастает магнитное давление и при некотором значении последнего уравнение (2) не будет иметь корней, что соответствует остановке масла. Таким образом, ответ на поставленный вопрос математически формулируется так: при каких условиях уравнение (2) корней не имеет. Для удобства анализа еще раз перепишем это уравнение

\[\Delta P_{0} = \Delta P_{0} \frac{u}{u_{0}} + 2 n_{0} l_{0} \beta u_{0} \left( \frac{f_{0}}{\beta u_{0}} \right)^{2} \frac{\frac{u}{u_{0}}}{\left( \frac{u}{u_{0}} \right) + \left( \frac{f_{0}}{\beta u_{0}} \right)^{2}}\]

и введем обозначения: \(\frac{u}{u_0} = x\), \(a = \frac{n_0 l_0 \beta u_0}{\Delta P_0}\), \(b = \frac{f_0}{\beta u_0}\), окончательно получим уравнение в «приведенном» виде

\[x + 2ab^2 \frac{x}{x^2 - b^2} = 1.\tag{3}\]

Это уравнение не будет иметь корней, если минимальное значение функции \(F(x) = x + 2ab^2 \frac{x}{x^2 - b^2}\) превысит единицу. Оценим численные значения параметров этого уравнения

\[a = \frac{n_0 l_0 \beta u_0}{\Delta P_0} = \frac{10^{10} \cdot 7{,}56 \cdot 10^{-3} \cdot 1{,}5 \cdot 10^{-4}}{10^3} \approx 11{,}3\]

\[b = \frac{f_0}{\beta u_0} \approx \frac{3{,}56 \cdot 10^{-6}}{1{,}5 \cdot 10^{-4}} \approx 2{,}4 \cdot 10^{-2}\]

Так как величина \(b\) мала, то рассматриваемую функцию можно упростить \(F(x) \approx x + \frac{2ab^2}{x}\). Минимального значения эта функция достигает при \(x = \sqrt{2ab^2}\) и равно \(F_{\min} = 2b\sqrt{2a}\). Таким образом, условие прекращения течения масла имеет вид

\[2b\sqrt{2a} \ge 1, \text{ или }\]

\[\frac{f_0}{\beta u_0} \ge \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\Delta P_0}{n_0 l_0 \beta u_0}},\tag{4}\]

Наконец вспомним, что величина \(f_0\) так является коэффициентом пропорциональности между силой, действующей на частицу и квадратом силы тока, поэтому окончательное выражения для силы тока, при котором произойдет остановка масла имеет вид

\[I \ge \sqrt{\frac{\beta u_0}{2f_0}} \sqrt{\frac{\Delta P_0}{n_0 l_0 \beta u_0}} \approx 2{,}5 \, \text{А}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.