Белорусская, 2005/06, заключительный этап, 10 класс, теоретический тур

Подсказка

Цепь — гибкая нить: сила натяжения в её нижней точке горизонтальна, а у конца уравновешивает вес половины цепи. Для пружин с блоком — условие равновесия блока; для фрактала — самоподобие: добавление внешнего квадрата не меняет сопротивления цепочки.

Ответ

1.1) \(F\approx 32\) Н, \(A\approx 30\) Дж; 1.2) \(F_{\min}=kh/5=10\) Н; 1.3) \(R_{AC}\approx 0{,}85\) Ом.

Решение

Задача 10.1.1

Условие равновесия цепи в проекции на вертикальное направление имеет вид

\[2F \sin \alpha = mg,\tag{1}\]

где \(F\) - сила натяжения цепи в крайних точках и равная ей сила, с которой надо удерживать веревку. Для определения угла \(\alpha\) между касательной к цепи и горизонтом необходимо знать форму, которую принимает цепь под действием силы тяжести. Решение этой проблемы известно, но достаточно сложно. В данном случае расстояние между концами цепи немного меньше ее длины. Поэтому цепь изогнута слабо, ее профиль можно

аппроксимировать кривой второго порядка – проще всего дугой окружности. В этом приближении найти угол \(\alpha\) не составляет труда. Проведя перпендикуляры к касательным в крайних точках, определим центр окружности \(O\) как точку их пересечения. Теперь длина участка цепи между нижней и крайней точками (она равна половине длины всей цепи \(\frac{L}{2}\)) выражается формулой

\[\frac{L}{2} = R\alpha,\tag{2}\]

а длина половины хорды

\[\frac{l}{2} = R \sin \alpha \approx R \left( \alpha - \frac{\alpha^3}{6} \right)\tag{3}\]

где использована приближенная формула для синуса малого угла.

Отметим, что в линейном приближении различие между длиной дуги и стягивающей ее хорды отсутствует, поэтому необходимо использовать приближение следующего порядка.

Из формул (3) –(2) получаем соотношение

\[\frac{l}{L} = 1 - \frac{\alpha^2}{6}.\tag{4}\]

Обозначим \(l = (1 - \eta)L\), где \(\eta\) - малый безразмерный параметр, согласно условию задачи \(\eta = 0{,}10\). С использованием этого удобного обозначения значения искомого угла определяется формулой

\[\alpha \approx \sqrt{6\eta}.\tag{5}\]

Теперь из формулы (1) определяем значение силы

\[F = \frac{mg}{2 \sin \alpha} \approx \frac{mg}{2\sqrt{6\eta}} \approx 32 \text{Н},\tag{6}\]

что больше половины веса веревки.

Для того чтобы оценить работу по выпрямлению веревки можно проинтегрировать выражение для силы в зависимости от параметра \(\eta\) (учитывая, что \(x = (1 - \eta)L\), \(dx = -L d\eta\))

\[A = \int_{l}^{L} F dx = L \int_{0}^{\eta_0} F d\eta = \frac{mgL}{2\sqrt{6}} \int_{0}^{\eta_0} \frac{d\eta}{\sqrt{\eta}} = \frac{mgL\sqrt{\eta_0}}{\sqrt{6}} \approx 30 \text{ Дж}.\]

Дополнения.

1. Отметим, что для полного выпрямления веревки необходимо приложить бесконечно большую силу: из формулы (6) следует, что при \(\eta \to 0\) \(F \to \infty\). Тем не менее, работа, совершенная при выпрямлении веревки, конечна.

2. Задача может быть решена и в более грубом приближении: если форму веревки считать в виде двух отрезков прямой линии.

В этом приближении зависимость угла наклона приложенной к веревке силы определяется из очевидного выражения \(\cos \alpha = \frac{l}{L} = 1 - \eta\).

Так как угол наклона мал, то допустимо использовать приближенную формулу \(\cos \alpha \approx 1 - \frac{\alpha^2}{2}\). Тогда искомый угол описывается формулой \(\alpha \approx \sqrt{2\eta}\), которая с точностью до постоянного коэффициента совпадает с использованной в решении формулой (5). Отличие между этими выражениями менее, чем в два раза, поэтому обе полученные оценки можно считать вполне приемлемыми.

Задача 10.1.2

Если мысленно заменить верхнюю пружину нерастяжимой веревкой, то под действием силы \(\vec{F}\), направленной вниз, нить через гладкий блок растянет нижнюю пружину вверх на величину

\[\Delta x_{1}=\frac{F}{k}.\]

Поскольку нить нерастяжима, то на такую же величину \(\Delta x_{1}\) опустится конец \(A\) веревки.

Из условия равновесия конца \(A\) веревки следует, что сила натяжения нити при этом \(T=F\).

Теперь «вернем» верхнюю пружину на место, ведь по условию задачи блок «подвижный». На блок вниз действуют две силы натяжения нити \(T\) (Рис. 2), а вверх — сила упругости \(\vec{F}_{\text{У}}\) верхней пружины. Из условия равновесия блока получим

\[F_{\text{У}}=k \Delta x_{2}=2 T=2 F \quad \Rightarrow \quad \Delta x_{2}=\frac{2 F}{k},\]

где \(\Delta x_{2}\) — абсолютная деформация верхней пружины. Следовательно, в положении равновесия нижний конец верхней пружины (центр блока) опустится на \(\Delta x_{2}\).

Поскольку при опускании центра блока на \(\Delta x_{2}\) «освободится» участок нити длиной \(2 \Delta x_{2}\), то результирующее смещение \(\Delta x\) вниз конца нити \(A\) с учетом деформаций обеих пружин составит

\[\Delta x=\Delta x_{1}+2 \Delta x_{2}=\frac{F}{k}+2 \frac{2 F}{k}=5 \frac{F}{k}.\]

Для касания веревкой земли должно быть выполнено условие

\[\Delta x=h \quad \Rightarrow \quad \frac{5 F}{k}=h \quad \Rightarrow \quad F=\frac{k h}{5}.\]

Расчет дает

\[F=\frac{k h}{5}=10 \text{ Н}.\tag{1}\]

Поскольку при меньшем значении силы \(F\) конец \(A\) веревки не дотянет до земли (колебания в системе отсутствуют), то (1) дает искомое значение \(\vec{F}_{\min }\)

\[F_{\min }=\frac{k h}{5}=10 \text{ Н}.\]

Дополнение.

Решение данной задачи можно сделать и покороче. Обозначим \(\Delta x_{1}\) - деформацию нижней пружины. Тогда из условия равновесия блока и закона Гука следует, что деформация верхней пружины должна быть в два раза больше \(\Delta x_{2}=2 \Delta x_{1}\). Далее из условия не растяжимости веревки, переброшенной через блок, следует, что ее конец опустится на расстояние \(h=2 \Delta x_{2}+\Delta x_{1}=5 \Delta x_{1}\). Наконец, искомая сила натяжения веревки равна силе упругости нижней пружины, то есть

\[F=k \Delta x_{1}=\frac{k h}{5}.\]

Впрочем, эти элементарные выкладки нуждаются в физических обоснованиях, приведенных в основном решении.

Задача 10.1.3

Поскольку электрическое сопротивление \(R = \rho \frac{l}{S}\) пропорционально длине \(l\) проводника, то можем заметить, что сопротивление \(R_{i+1}\) каждого следующего вложенного квадрата меньше сопротивления \(R_i\) предыдущего в \(\sqrt{2}\) раз

\[R_{i+1} = \frac{R_i}{\sqrt{2}}.\tag{1}\]

Преобразуем цепь, разорвав ее в эквипотенциальных точках \(E\) и \(F\) (Рис.2), лежащих на оси симметрии \(BD\) фрактала. Это не изменит искомого сопротивления \(R_F\) фрактала, поскольку по «разорванным» малым перемычкам ток все равно не идет из-за отсутствия напряжения на них.

Однако теперь можем заметить, что цепь между точками \(G\) и \(H\) (см. рис. 2) также представляет собой бесконечный фрактал, начальный размер которого ровно в два раза меньше размера исходного фрактала.

Следовательно, в силу (1) (примененного дважды!), сопротивление \(R_{GH}\) цепи между указанными точками также в два раза меньше искомого сопротивления «большого» фрактала

\[R_{GH} = \frac{R_F}{2}.\tag{2}\]

С учетом (2) электрическую схему можно перечертить в виде, представленном на рис. 3.

Для дальнейшего преобразования схемы представим сопротивление \(R_F/2\) как два параллельно соединенных сопротивления \(R_F\), и вновь, в силу симметрии цепи, разорвем полученную схему в эквипотенциальных точках \(G\) и \(H\). В результате получим еще более упрощенный вариант цепи фрактала, представленный на рис. 4.

Дальнейший расчет сопротивления цепи достаточно стандартен: нужно только помнить, что соединительные «проволочки» на данной схеме имеют разные сопротивления, каждое из которых пропорционально соответствующей длине.

Так для расчета сопротивления \(R_{IJ}\) цепи между точками \(I\) и \(J\) используем правила расчета для параллельного сопротивления

\[\frac{1}{R_{IJ}} = \frac{1}{R} + \frac{\sqrt{2}}{R} + \frac{1}{R_F + \frac{R}{\sqrt{2}}},\tag{3}\]

где \(R_{AB}\) (сопротивление большой стороны фрактала) для удобства обозначено через \(R\).

Из (3) находим

\[R_{IJ} = \frac{R\left(\sqrt{2}R_F + R\right)}{\left(1+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2}R_F + R\right) + \sqrt{2}R}.\tag{4}\]

Соответственно, сопротивление \(R_{ABC}\) участка цепи найдем по правилам последовательного соединения

\[R_{ABC} = \frac{R\left(\sqrt{2}R_F + R\right)}{\left(1+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2}R_F + R\right) + \sqrt{2}R} + R.\tag{5}\]

Поскольку верхняя и нижняя части полученной цепи симметричны, то окончательное выражение для нахождения сопротивления фрактала принимает вид

\[R_F = \frac{R_{ABC}}{2} = \frac{\frac{R\left(\sqrt{2}R_F + R\right)}{\left(1+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2}R_F + R\right) + \sqrt{2}R} + R}{2}.\tag{6}\]

Относительно \(R_F\) (6) представляет собой квадратное уравнение

\[2\sqrt{2}\left(1+\sqrt{2}\right)R_F^2 + 2\sqrt{2}RR_F - \left(1+2\sqrt{2}\right)R^2 = 0,\]

решения которого находим сравнительно легко (у нас получилось всего лишь с третьей попытки!).

Отрицательный корень (\(R_F = -0{,}984\,R\)) отбрасываем сразу, как не имеющий физического смысла. Окончательно

\[R_F = \frac{\sqrt{2 + 2\sqrt{2}\left(1+\sqrt{2}\right)\left(1+2\sqrt{2}\right)} - \sqrt{2}}{2\sqrt{2}\left(1+\sqrt{2}\right)}R = 0{,}569\,R.\tag{7}\]

Расчет по (7) дает численное значение сопротивления цепи бесконечного квадратного фрактала

\[R_{AC} = R_F = 0{,}85\,\text{Ом}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Пока мышцы действуют, центр масс системы двух грузов разгоняется с постоянным ускорением; высоту прыжка найдите по скорости центра масс в момент отрыва. На качелях изменение радиуса сохраняет момент импульса, а работа совершается мышцами.

Ответ

2.1) \(H_1\approx 0{,}45\) м, \(t_1\approx 0{,}10\) с, \(K=\dfrac{\eta-1}{2\eta}\approx 0{,}43\); 2.2) \(H_2\approx 1{,}2\) м; 2.3) \(\alpha_1\approx 10{,}8^\circ\), \(\alpha_2\approx 11{,}6^\circ\); 2.4) угловая скорость растёт примерно на \(15\%\) за оборот.

Решение

2.1 На верхний груз во время подскока действуют постоянные силы: сила тяжести \(m\vec{g}\) и сила мышц \(\vec{F}\). Поэтому этот груз движется равноускоренно с ускорением равным

\[a = \frac{F - mg}{m} = (\eta - 1)g \,.\tag{1}\]

Его скорость в верхней точке \(v_1\) легко находится из известной кинематической формулы \(h = \frac{v_1^2}{2a}\), она равна

\[v_1 = \sqrt{2(\eta - 1)gh} \,.\tag{2}\]

После того как верхний груз достиг верхней точки, оба груза начинают двигаться вместе, причем скорость центра масс системы равна половине максимальной скорости верхнего груза

\[v_{\text{С}} = \frac{1}{2}\sqrt{2(\eta - 1)gh} \approx 3{,}0 \frac{\text{м}}{\text{с}} \,.\tag{3}\]

Отметим, что в момент полного выпрямление часть механической энергии человека теряется – ситуация аналогична абсолютно неупругому удару. Высота подъема определяется по формуле

\[H_1 = \frac{v_{\text{С}}^2}{2g} = \frac{(\eta - 1)}{4}h \approx 0{,}45 \text{м} \,.\tag{4}\]

Время отталкивания можно рассчитать по формуле

\[t_1 = \frac{v_1}{a} = \sqrt{\frac{2h}{(\eta - 1)g}} \approx 0{,}10 \text{с} \,.\tag{5}\]

Определение КПД прыжка следует дать самостоятельно. Наиболее разумного его определить как отношение потенциальной энергии человека в верхней точки траектории к работе, совершенной во время подпрыгивания

\[K = \frac{2mgH_1}{Fh} = \frac{\eta - 1}{2\eta} \approx 0{,}43 \,.\tag{6}\]

2.2 Учитывая, что время прыжка в десять раз превышает период колебаний, можно пренебречь изменением ускорения платформы за время отталкивания. Кроме того, в условии не задан момент начала прыжка, поэтому его надо выбрать из условия максимальности достигаемой высоты. Совместим начало отсчета вертикальной оси \(OX\) со средним положением платформы, координату платформы (и нижнего груза) обозначим \(x_1\), а верхнего груза \(x_2\). Отсчет времени начнем в тот момент, когда платформа находится в крайнем нижнем положении. Пусть человек начал прыжок в момент времени \(\tau\), когда координата, скорость и ускорения платформы (а также обоих грузов) соответственно равны

\[\begin{aligned} x_{20} &= -A \cos \omega \tau \\ v_0 &= A \omega \sin \omega \tau \\ a_0 &= A \omega^2 \cos \omega \tau \end{aligned}\tag{7}\]

Эти величины являются начальными для процесса отскока. Процесс отталкивания проще всего описывать в системе отсчета, связанной с платформой (не смотря на то, что эта система отсчета не инерциальная\(^{5}\)). Описание движения верхнего груза полностью аналогично п.2.1. Относительное ускорение верхнего тела равно

\[a' = \frac{F - m(g + a_0)}{m} = \left(\eta - 1 - \frac{a_0}{g}\right)g = (\eta - 1)g\left(1 - \frac{a_0}{g(\eta - 1)}\right).\tag{8}\]

Поэтому относительная скорость верхнего груза в момент максимального распрямления равна

\[v'_1 = \sqrt{2a'h} = \sqrt{2(\eta - 1)gh\left(1 - \frac{a_0}{g(\eta - 1)}\right)} = \sqrt{2(\eta - 1)gh\left(1 - \frac{A\omega^2 \cos \omega\tau}{g(\eta - 1)}\right)}.\tag{9}\]

Численная оценка\(^{6}\) безразмерной величины \(\frac{A_0\omega^2}{g(\eta - 1)} \approx 0{,}13\), позволяет использовать приближенное значение этой скорости

\[v'_1 = \sqrt{2(\eta - 1)gh\left(1 - \frac{A\omega^2 \cos \omega\tau}{g(\eta - 1)}\right)} \approx \sqrt{2(\eta - 1)gh} \cdot \left(1 - \frac{A\omega^2 \cos \omega\tau}{2g(\eta - 1)}\right).\tag{10}\]

.Возвращаясь в систему отсчета, связанную с поверхности земли, запишем выражения для скоростей обоих грузов в момент максимального подъема верхнего:

\[v_1 = v_0 + v'_1 = A\omega \sin \omega\tau + \sqrt{2(\eta - 1)gh} \cdot \left(1 - \frac{A\omega^2 \cos \omega\tau}{2g(\eta - 1)}\right).\tag{11}\]

\[v_2 = v_0 = A\omega \sin \omega\tau\]

Скорость центра масс человека в момент отрыва равна

\[v_C = \frac{v_1 + v_2}{2} = A\omega \sin \omega\tau + \frac{1}{2}\sqrt{2(\eta - 1)gh} \cdot \left(1 - \frac{A\omega^2 \cos \omega\tau}{2g(\eta - 1)}\right).\tag{12}\]

Для достижения максимальной высоты прыжка она должна быть максимальна. Максимум этой функции легко определяется (по аналогии с определением амплитуды колебаний) с помощью известных преобразований

\[v_C = \frac{1}{2}\sqrt{2(\eta - 1)gh} + A\omega \sin \omega\tau - \frac{1}{2}\sqrt{2(\eta - 1)gh} \cdot \frac{A\omega^2 \cos \omega\tau}{2g(\eta - 1)} =\tag{13}\]

\[= \frac{1}{2}\sqrt{2(\eta - 1)gh} + \sqrt{(A\omega)^2 + (A\omega)^2 \frac{\omega^2 h}{8g(\eta - 1)}} \sin(\omega\tau - \varphi)\]

Максимальное значение этого выражения достигается, когда аргумент синуса равен \(\frac{\pi}{2}\), и оно равно

\[v_C = \frac{1}{2}\sqrt{2(\eta - 1)gh} + \sqrt{(A\omega)^2 + (A\omega)^2 \frac{\omega^2 h}{8g(\eta - 1)}} = \frac{1}{2}\sqrt{2(\eta - 1)gh} + A\omega\sqrt{1 + \frac{\omega^2 h}{8g(\eta - 1)}}.\tag{14}\]

Первое слагаемое в данном выражении есть скорость, развиваемая человеком при прыжке с твердой поверхности, второе слагаемое – добавка обусловленная движением платформы.

Теперь можно найти высоту прыжка по формуле \(H_2 = \frac{v_C^2}{2g}\). Численные расчеты приводят к следующим результатам \(v_C \approx 4{,}91 \frac{\text{м}}{\text{с}}\), \(H_2 \approx 1{,}2 \text{м}\), что почти в три раза превышает высоту прыжка с твердой поверхности.

Достаточно интересно проанализировать формулу (13). В ней \(\operatorname{tg}\varphi = \sqrt{\frac{\omega^2 h}{8g(\eta - 1)}} \approx 0{,}06\). Из условия \(\sin(\omega\tau - \varphi) = 1\) находим, что фаза колебаний в момент прыжка должна быть равна \(\omega\tau = \frac{\pi}{2} + \varphi\). То есть – оптимальный момент прыжка после прохождения платформой своего среднего положения, что качественно объяснимо. Платформа «помогает» прыгуну по двум причинам: во-первых, она сама имеет некоторую скорость, во-вторых, при отрицательном ускорении прыгуну легче разогнать верхнюю часть своего тела, так как его вес уменьшается.

2.3 При решении задачи этого пункта следует воспользоваться законом сохранения момента импульса, если, по прежнему, считать время вставания малым. За малый промежуток времени действием момента силы тяжести можно пренебречь. Пусть за малый промежуток времени, когда качели находятся под углом \(\alpha\) к вертикали, человек (в рамках рассматриваемой модели) поднял часть своего тела на расстояние \(h\). Используя закон сохранения момента импульса, найдем изменение его угловой скорости. Если до начала вставания угловая скорость вращения качелей равнялась \(\omega_0\) и оба груза находились в нижнем положении, то момент импульса был равен \(2mL^2\omega_0\). После вставания угловая скорость стала равной \(\omega\), тогда момент импульса выражается формулой \(m\omega\left(L^2 + (L - h)^2\right)\). Приравнивая эти два выражения, получим уравнение

\[m\omega\left(L^2 + (L - h)^2\right) = 2mL^2\omega_0,\tag{15}\]

из которого не трудно найти новое значение угловой скорости:

\[\omega = \frac{2L^2}{L^2 + (L - h)^2}\omega_0 = \frac{2}{1 + \left(1 - \frac{h}{L}\right)^2}\omega_0.\tag{16}\]

Анализ формулы (15) показывает, что, во-первых, при вставании угловая скорость возрастает, а когда человек садится (в этом случае \(h\) можно считать отрицательной), то угловая скорость падает, во-вторых, возрастание скорости пропорционально ее начальному значению. Отсюда следует вывод – для наиболее эффективного раскачивания необходимо вставать в нижней точке (когда угловая скорость максимальна), а садится в верхних (когда угловая скорость вообще равна нулю), причем за один период колебаний это можно сделать дважды.

К этому же выводу о методике раскачивания можно прийти и на основании рассмотрения преобразования энергии. Действительно, в нижней точке вес человека максимален, поэтому при вставании он должен совершить большую работу, тем самым, увеличивая энергию системы. Так как процесс раскачивания должен быть периодическим, человек где-то должен приседать, при этом энергия системы уменьшается, ее

уменьшение будет тем меньше, чем меньше угловая скорость в момент приседания, поэтому эффективнее всего приседать в верхних точках траектории. Отметим также, что для корректного расчета изменения скорости движения необходимо учитывать, что в процессе вставания (и приседания) сила мышц не остается постоянной.

Итак, будем считать, что в верхней (начальной) точке угол отклонения равен \(\alpha_0\), тогда на основании закона сохранения энергии можно записать уравнение

\[2mgL(1 - \cos \alpha_0) = \frac{2mL^2 \omega_0^2}{2},\tag{17}\]

где \(\omega_0\) - угловая скорость в нижней точке, которая выражается из этого уравнения:

\[\omega_0^2 = 2 \frac{g}{L} (1 - \cos \alpha_0).\tag{18}\]

Применим теперь аналогичные энергетические рассуждения для определения максимального угла отклонения после того, как человек встал в нижней точке:

\[\frac{m(L^2 + (L - h)^2)\omega_1^2}{2} = m(L + L - h)g(1 - \cos \alpha_1).\]

Из уравнений (19), (18) и (16), следует, что максимальный и начальный углы отклонения связаны соотношением

\[(1 - \cos \alpha_1) = \beta (1 - \cos \alpha_0),\tag{19}\]

где обозначено \(\beta = \frac{4}{1 + (1 - h/L)^2} \cdot \frac{1}{2 - h/L} \approx 1{,}16\) - постоянный для рассматриваемой системы коэффициент. Такое же соотношение связывает углы после первого и второго вставаний

\[(1 - \cos \alpha_2) = \beta (1 - \cos \alpha_1) = \beta^2 (1 - \cos \alpha_0).\tag{20}\]

Расчеты приводят к следующим численным результатам: при \(\alpha_0 = 10^0\) \(\alpha_1 \approx 10{,}8^\circ\), \(\alpha_2 \approx 11{,}6^\circ\).

Интересно также подсчитать, сколько вставаний должен совершить человек, чтобы «крутануть солнышко». Для этого рекуррентную формулу (19) можно представить в явном виде

\[(1 - \cos \alpha_k) = \beta^k (1 - \cos \alpha_0)\]

из которого можно выразить число циклов \(N\) до полного оборота (пока косинус не станет равным -1). Результат расчетов \(N = \frac{\ln \frac{2}{1 - \cos \alpha_0}}{\ln \beta} \approx 30\) (15 полных колебаний) - многовато, может и не хватить сил! Причем, основная часть этих усилий затрачивается на начальную раскачку, так для того, чтобы раскрутиться от \(90^\circ\) до \(180^\circ\) достаточно пяти вставаний!

2.4 При решении этого пункта следует воспользоваться основными результатами, полученными в предыдущем. Так, за время вставания в нижней точке угловая скорость вращения увеличится от \(\omega_0\) до \(\omega_1\), определяемой формулой (16)

\[\omega_1 = \frac{2}{1 + (1 - (h/L))^2} \omega_0.\tag{21}\]

Как мы выяснили, приседать надо в том месте, где угловая скорость минимальна, в данном случае – в верхней точке окружности (будем считать, что качели с человеком ее

достигают). На основании закона сохранения энергия для движения от нижней до верхней точек запишем

\[\frac{m L^{2}+m(L-h)^{2}}{2} \omega_{1}^{2}=\frac{m L^{2}+m(L-h)^{2}}{2} \omega_{2}^{2}+2 m g(L+L-h) .\tag{22}\]

Из этого уравнения выразим угловую скорость \(\omega_{2}\) в верхней точке окружности

\[\omega_{2}^{2}=\omega_{1}^{2}-4 \frac{g}{L} \frac{2-h / L}{1+\left(1-h / L\right)^{2}} .\tag{23}\]

Еще раз применим формулу (16) для расчета угловой скорости \(\omega_{3}\) после «приседания вверх» в верхней точке, заменив в ней \(h\) на \((-h)\)

\[\omega_{3}=\frac{2}{1+\left(1-\left(h / L\right)\right)^{2}} \omega_{2} .\tag{24}\]

Наконец еще раз применим уравнения закона сохранения энергия для движения от верхней точки до нижней

\[\frac{2 m L^{2}}{2} \omega_{4}^{2}=\frac{2 m L^{2}}{2} \omega_{3}^{2}+2 m g \cdot 2 L .\tag{25}\]

из которого получим формулу, аналогичную (23):

\[\omega_{4}^{2}=\omega_{3}^{2}+4 \frac{g}{L} .\tag{26}\]

Последовательные подстановки и численные расчеты приводят к следующим результатам:

\[\begin{gathered} \omega_{1} \approx 1{,}05 \omega_{0} ; \quad \omega_{2}^{2}=1{,}10 \omega_{0}^{2}-4{,}20 \frac{g}{L} ; \quad \omega_{3}^{2}=1{,}22 \omega_{2}^{2}=1{,}34 \omega_{0}^{2}-5{,}12 \frac{g}{L} ; \\ \omega_{4}^{2}=1{,}34 \omega_{0}^{2}-1{,}12 \frac{g}{L} . \end{gathered}\tag{27}\]

Учитывая, что второе слагаемое меньше первого (так минимальная скорость, необходимая для того, чтобы сделать один полный оборот должна удовлетворять условию \(\omega_{0}^{2}>4 \frac{g}{L}\)), можно приближенно записать (а можно и не записывать) \(\omega_{4} \approx 1{,}16 \omega_{0}\). Иными словами, за один оборот угловая скорость может быть увеличена на 15% - пока хватит сил, чтобы вставать и приседать.

Строго говоря, не лишним было бы привести и оценку силы, которую должны развивать мышцы ног в этом гимнастическом упражнении. Но, наш гимнаст силен! – он может развивать силу в три с половиной раза превышающую его вес, поэтому будьте уверены, что этой силы хватит!

\textsuperscript{5} Не намного сложнее и решение в обычной инерциальной системе отсчета, связанной с поверхностью земли.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Суммарная энергия взаимодействия иона с решёткой даётся знакопеременной суммой по узлам; ион растворяется, когда выигрыш энергии взаимодействия с диэлектриком не меньше, чем энергия связи в кристалле.

Ответ

1) \(r\approx 1{,}41\cdot10^{-10}\) м (\(d\approx2{,}82\cdot10^{-10}\) м); 2.1) \(W_{\text{вз}}=C_1\dfrac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 d}\approx-7{,}1\cdot10^{-19}\) Дж \(=-4{,}46\) эВ; 2.2) \(\varepsilon_{\min}=\dfrac{1}{1+C_1/2}\approx 8{,}0\); 2.3) \(H\approx 9{,}5\cdot10^{5}\) Дж/кг.

Решение

Задание 10.3. Решение.

Часть 1. «Ионные радиусы».

Рассмотрим кристалл поваренной соли объемом \(V\). Его масса равна

\[m = \rho V\tag{1}\]

С другой стороны масса кристалла равна

\[m = N m_{Na} + N m_{Cl} = N (M_{Na} + M_{Cl}) / N_A\tag{2}\]

где \(N\) — число атомов одного и другого сорта в кристалле, \(M_{Na} = 23{,}0 \cdot 10^{-3}\) кг/моль и \(M_{Cl} = 35{,}5 \cdot 10^{-3}\) кг/моль — молярные массы натрия и хлора соответственно.

Расстояние между ионами равно их диаметру \(d\). Радиус иона \(r\). На каждый атом приходится объем

\[v = d^3 = (2r)^3\tag{3}\]

Всего в объеме \(V\) находится

\[N = \frac{1}{2} \frac{V}{v} = \frac{1}{2} \frac{V}{d^3}\tag{4}\]

атомов одного сорта. Из формул (1), (2), (4) определяем

\[\rho V = \frac{1}{2} \frac{V}{d^3} \frac{M_{Na} + M_{Cl}}{N_A}\]

\[\rho = \frac{1}{2d^3} \frac{M_{Na} + M_{Cl}}{N_A}\]

\[d = \sqrt[3]{\frac{M_{Na} + M_{Cl}}{2 \rho N_A}}\tag{5}\]

\[r = \frac{1}{2} \sqrt[3]{\frac{M_{Na} + M_{Cl}}{2 \rho N_A}}\tag{6}\]

\[d \approx 2{,}82 \cdot 10^{-10} \text{ м}\]

\[r \approx 1{,}41 \cdot 10^{-10} \text{ м}\]

Часть 2. «Растворимость»

2.1 Для расчета энергии взаимодействия иона со всеми остальными выберем систему координат с началом отсчета в центре некоторого иона (для определенности, пусть это будет ион \(Na^+\)), а оси системы координат направим вдоль ребер кубической решетки

(кружками на рисунке обозначены центры ионов).

Координаты некоторого иона \(x_k = kd, y_l = ld, z_m = md\), где \(k, l, m\) — целые числа, порядковые номера иона по осям \(Ox, Oy, Oz\) соответственно. Расстояние от начала отсчета до иона \((k, l, m)\) равно

\[R_{klm} = d\sqrt{k^2 + l^2 + m^2}\tag{7}\]

Заряд иона натрия в начале координат равен \(+e\) (абсолютная величина заряда электрона), его ближайшие соседи с номерами \((1{,}0{,}0), (0{,}1{,}0), (0{,}0{,}1), (-1{,}0{,}0), (0,-1{,}0), (0{,}0,-1)\) — ионы хлора с зарядом \(-e\). Далее, ионы с номерами \((-2{,}0{,}0), (-1,-1{,}0), (1{,}1{,}0), (2{,}0{,}0)\) — ионы натрия с зарядом \(+e\), и т. д. Нетрудно заметить, что ионы, сумма индексов которых нечетное число — это ионы хлора с зарядом \(-e\), а ионы, сумма индексов которых четное число — это ионы хлора с зарядом \(+e\). Удобно это записать так: заряд иона \((k, l, m)\)

\[q_{klm} = (-1)^{k+l+m} e\tag{8}\]

Энергия электростатического взаимодействия двух зарядов \(q_1\) и \(q_2\), расстояние между которыми \(R\) равна

\[W = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{R}.\tag{9}\]

При этом на каждый заряд приходится половина энергии, т.е.

\[W^* = \frac{1}{8\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{R}.\tag{10}\]

Чтобы найти энергию электростатического взаимодействия, приходящуюся на один ион, надо просуммировать величины

\[W_{klm}^* = \frac{1}{8\pi\varepsilon_0} \frac{q_{000} q_{klm}}{R_{klm}}\tag{11}\]

для всех ионов кристалла (кроме иона \((0{,}0{,}0)\)), т.е. найти такую сумму

\[W_{\text{вз}} = \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 d} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \sum_{l=-\infty}^{+\infty} \sum_{m=-\infty}^{+\infty} \frac{(-1)^{k+l+m}}{[k^2 + l^2 + m^2]^{1/2}} = C_1 \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 d}\tag{12}\]

где \(C_1 \approx -1{,}75\) численное значение тройной суммы. Численное значение искомой энергии равно

\[W_{\text{вз}} \approx -7{,}14 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} = -4{,}46 \text{ эВ}.\]

2.2. В этом пункте задачи мы считаем растворяемый кристалл состоящим из ионов—жестких непроводящих сфер, а растворитель— сплошной диэлектрической жидкой средой, характеризующейся относительной диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon\), хотя на самом деле растворитель тоже состоит их отдельных молекул.

Для того, что бы ионный кристалл растворился в жидкости, энергия взаимодействия ионов с растворителем должна быть меньше энергии взаимодействия отдельного иона со всеми остальными в кристалле. Будем считать, что концентрация ионов в растворе мала, так что их электростатическим взаимодействием друг с другом можно пренебречь.

Подчеркнем, что рассчитанная в предыдущем разделе энергия взаимодействия является частью полной энергии электростатического поля. Последняя может быть представлена в идее суммы собственных энергий отдельных ионов (энергия поля, создаваемого уединенным ионом в вакууме)

\[W _ { 0 } = \frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } d }\tag{13}\]

и рассчитанной энергии взаимодействия (12). Полная энергия электростатического поля иона в растворе находится по формуле

\[W _ { \text{ж} } = \frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi \varepsilon \varepsilon _ { 0 } d } \, .\tag{14}\]

Она также равна сумме собственной энергии иона (13) и энергии взаимодействия иона с молекулами растворителя.

Следовательно, для оценки минимальной диэлектрической проницаемости, необходимой для растворения соли можно найти из соотношения

\[C _ { 1 } \frac { e ^ { 2 } } { 8 \pi \varepsilon _ { 0 } d } = \frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi \varepsilon _ { \min } \varepsilon _ { 0 } d } - \frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } d } \, ,\tag{15}\]

из которого следует

\[\varepsilon _ { \min } = \frac { 1 } { 1 + \displaystyle \frac { C _ { 1 } } { 2 } }\tag{13}\]

или \(\varepsilon _ { \min } \approx 8{,}0\).

2.3 Относительная диэлектрическая проницаемость воды \(\varepsilon > \varepsilon _ { \min }\), значит, соль в ней будет растворяться. Поскольку энергия иона в воде будет меньше, чем энергия в кристалле, избыток энергии выделится в виде теплоты. При растворении одного иона выделяется теплота \(Q _ { 0 }\). Её мы определим из закона сохранения энергии

\[W _ { \text{кр} } + W _ { \text{вз} } = W _ { \text{ж} } + Q _ { 0 }\tag{14}\]

\[Q _ { 0 } = W _ { \text{кр} } + W _ { \text{вз} } - W _ { \text{ж} } = \frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } d } + C _ { 1 } \frac { e ^ { 2 } } { 8 \pi \varepsilon _ { 0 } d } - \frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi \varepsilon \varepsilon _ { 0 } d } = \frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } d } ( 1 + \frac { C _ { 1 } } { 2 } - \frac { 1 } { \varepsilon } )\tag{15}\]

Численное значение этой величины равно \(Q _ { 0 } = 9{,}20 \cdot 10 ^ { - 20 }\) Дж. В \(1\) кг поваренной соли содержится \(N _ { 1 } = \frac { 1{,}00 \, \text{кг} } { ( 23{,}0 + 35{,}5 ) \cdot 10 ^ { - 3 } \, \text{кг/моль} } \cdot 6{,}02 \cdot 10 ^ { 23 } \, \text{моль} ^ { - 1 } = 1{,}03 \cdot 10 ^ { 25 }\) ионов, поэтому удельная теплота растворения

\[H = N _ { 1 } Q _ { 0 }\tag{16}\]

численно \(H = 9{,}48 \cdot 10 ^ { 5 }\) Дж/кг \(= 948\) кДж/кг.

Дополнение.

Позволим себе более подробное объяснение расчета энергии взаимодействия иона с растворителем.

Собственная электростатическая энергия иона в вакууме – это энергия электрического поля. Интеграл от плотности энергии поля по всему пространству дает

\[W _ { 0 } = \int \frac { \varepsilon _ { 0 } \vec { E } ^ { 2 } } { 2 } d V = \frac { q ^ { 2 } } { 8 \pi \varepsilon _ { 0 } r }\tag{\text{д}1}\]

что и есть собственная энергия равномерно заряженной сферы.

Интеграл от плотности электрической энергии по всему пространству для двух ионов в вакууме

\[W _ { 0 } = \int \frac { \varepsilon _ { 0 } \vec { E } ^ { 2 } } { 2 } d V = \int \frac { \varepsilon _ { 0 } ( \vec { E } _ { 1 } + \vec { E } _ { 2 } ) ^ { 2 } } { 2 } d V = \int \frac { \varepsilon _ { 0 } \vec { E } _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } d V + \int \frac { \varepsilon _ { 0 } \vec { E } _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } d V + \int \varepsilon _ { 0 } \vec { E } _ { 1 } \cdot \vec { E } _ { 2 } d V =\]

\[= \frac { q _ { 1 } ^ { 2 } } { 8 \pi \varepsilon _ { 0 } r } + \frac { q _ { 2 } ^ { 2 } } { 8 \pi \varepsilon _ { 0 } r } + \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } \frac { q _ { 1 } q _ { 2 } } { R } = W _ { 1 } + W _ { 2 } + W _ { 1 2 }\tag{\text{д}2}\]

27

представляет собой сумму собственных энергий каждого из ионов и энергии их взаимодействия. Первые два слагаемых в этой сумме являются постоянными величинами, не зависящими от расстояния между ионами. Поэтому при расчете изменения энергии при изменении расстояния достаточно учитывать только последнее слагаемое.

Аналогично, энергия иона в кристалле будет складываться из его собственной электростатической энергии и энергии взаимодействия со всеми остальными, приходящейся на один ион

\[W_{\text{кр}} = \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r} + C_1 \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 d}\tag{\text{д}3}\]

Таким образом, полученная формула (12) описывает не полную энергию поля, только ее изменяющуюся часть (энергию взаимодействия).

При расчете изменения энергии при переходе иона в раствор также необходимо учитывать только эту изменяющуюся часть энергии – именно эта часть энергии равна разности между (14) и (13). Выражение для полной энергии поля (14), создаваемого ионом (и поляризационными зарядами!) вычисляется как интеграл по всему пространству от плотности энергии

\[W_0 = \int \frac{\varepsilon\varepsilon_0 \vec{E}^2}{2} dV = \frac{q^2}{8\pi\varepsilon\varepsilon_0 r}\tag{\text{д}4}\]

в \(\varepsilon\) раз меньше, чем для иона в вакууме из-за поляризации диэлектрика. Также следует отметить, что мы пренебрегли энергией взаимодействия ионов между собой в растворе, полагая расстояние между ними значительно большим размеров иона.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.