Белорусская, 2005/06, заключительный этап, 9 класс, теоретический тур

Подсказка

Три независимые задачи: для свечи — условие плавания и устойчивость (центр плавания выше центра масс); для проводника — баланс мощностей нагрева и охлаждения при растяжении; для глобуса — построение хода лучей по касательной к шару в крайней видимой точке.

Ответ

1.1.1) \(8{,}5\text{ см}\le l\le 18{,}5\text{ см}\); 1.1.2) \(t=15\) мин; 1.2) \(t_2\approx 10^\circ\text{C}\); 1.3) \(R_{\min}=R(\cos\varphi+(1+\sin\varphi)\operatorname{tg}\varphi)\approx 0{,}63\) м.

Решение

Задание 1. «Разминка»

Задача 9.1.1

1.1.1 На свечу, погруженную в воду, действуют сила тяжести \(F_{\text{Т}}\) и сила Архимеда \(F_{\text{А}}\).

Чтобы свеча вообще плавала, должно выполняться условие плавания: архимедова сила должна быть равна силе тяжести

\[F_{\text{А}} = F_{\text{Т}}.\tag{1}\]

Для устойчивого плавания свечи необходимо, чтобы при отклонениях от вертикального положения возникал момент сил, возвращающий свечу в первоначальное положение. Это условие будет выполнено, если точка приложения силы тяжести (центр масс свечи) будет лежать ниже точки приложения выталкивающей силы Архимеда совпадающей с центром масс вытесненной жидкости – центром плавания (рис.1а), в противном случае вертикальное положение будет неустойчиво (рис.1б).

В случае однородной свечи центр тяжести всегда будет находиться выше центра плавания, поэтому свеча не может устойчиво плавать в вертикальном положении. Именно для этого к нижнему основанию свечи прикрепляется алюминиевая шайба.

Если длина свечи больше нескольких диаметров, то можно пренебречь изменением положения точки приложения силы Архимеда при ее наклоне.

Обозначим глубину погружения свечи с алюминиевой шайбой под воду \(d\) (рис. 2). Тогда условие (1) записывается, как

\[\rho g s l + \rho_{1} g s h = \rho_{0} g s d\tag{2}\]

откуда следует

\[d = \frac{\rho l + \rho_{1} h}{\rho_{0}}.\tag{3}\]

Свеча будет плавать, если глубина её погружения не превышает сумму высот свечи и шайбы, то есть при \(d \le l + h\). С учетом соотношения (3) это условие принимает вид

\[\frac{\rho l + \rho_{1} h}{\rho_{0}} \le l + h.\tag{4}\]

Теперь определим, при какой высоте свеча сможет плавать устойчиво в вертикальном положении. Выберем ось координат \(Oy\), с началом отсчета по нижнему краю алюминиевой шайбы. Тогда координата центра плавания будет равна

\[y_{\text{А}} = \frac{d}{2} = \frac{1}{2} \frac{\rho l + \rho_{1} h}{\rho_{0}},\tag{6}\]

а координата центра тяжести

\[y_{c}=\frac{\rho_{1} h \frac{h}{2}+\rho l\left(h+\frac{l}{2}\right)}{\rho_{1} h+\rho l}\tag{7}\]

Таким образом, условие устойчивости \(y_{A} \geq y_{C}\) формулируется в виде неравенства

\[\frac{1}{2} \frac{\rho l+\rho_{1} h}{\rho_{0}} \geq \frac{\rho_{1} h \frac{h}{2}+\rho l\left(h+\frac{l}{2}\right)}{\rho_{1} h+\rho l} .\tag{8}\]

Совместное решение неравенств (4) и (8), первое из которых линейное, а второе - квадратное, и дает нам интервал длин, при которых свеча устойчиво будет плавать в воде

\[8{,}5 \text{~см} \leq l \leq 18{,}5 \text{~см} .\tag{9}\]

1.1.2 Свеча погаснет, когда её длина станет равной минимально возможной для плавания, т.е. \(l_{\min }=8{,}5 \text{~см}\). Значит, гореть она будет в течение времени

\[t=\frac{l-l_{\min }}{u}=15 \text { мин. }\tag{10}\]

Отметим, что все время горения свеча будет плавать устойчиво.

Дополнения.

1.Проиллюстрируем графически решение данной задачи. На рис. 3 построены графики зависимостей полной длины свечи вместе с шайбой \((l+h)\); глубины погружения \(d\), рассчитанной по формуле (3); координаты центра плавания (6) и координаты центра масс (7) от длины парафиновой части свечи \(l\) (деления шкал даны в сантиметрах). Заливкой выделены области, в которых выполняются условие плавания и условие устойчивости.

Рис.3

2. Приведем более подробные выкладки, необходимые для решения системы неравенств. Для упрощения работы с громоздкими выражениями в дальнейшем введем безразмерные переменные \(\eta = \rho / \rho_0\), \(\eta_1 = \rho_1 / \rho_0\), \(\xi = l / h\). Используя данные условия \(\eta = 0{,}8\); \(\eta_1 = 2{,}7\). В новых переменных глубина погружения

\[d = (\eta \xi + \eta_1) h,\tag{\text{д}1}\]

а условие плавания (4) превращается в

\[\eta \xi + \eta_1 \le \xi + 1.\tag{\text{д}2}\]

Решаем это неравенство: \(\xi(1 - \eta) \ge \eta_1 - 1\) и поскольку \(1 - \eta = 0{,}2 > 0\), то

\[\xi \ge \frac{\eta_1 - 1}{(1 - \eta)}.\tag{\text{д}3}\]

Минимальная высота свечи, при которой она ещё сможет плавать, равна

\[l_{\min} = \xi_{\min} h = \frac{\eta_1 - 1}{(1 - \eta)} h,\tag{\text{д}4}\]

или \(l_{\min} = \frac{2{,}7 - 1}{1 - 0{,}2} \cdot 1{,}0 \text{ см} = 8{,}5 \text{ см}\). В безразмерных переменных координата центра выталкивания равна

\[y_A = \frac{d}{2} = \frac{(\eta \xi + \eta_1) h}{2},\tag{\text{д}5}\]

а координата центра тяжести

\[y_C = \frac{\rho_1 h \frac{h}{2} + \rho l (h + \frac{l}{2})}{\rho_1 h + \rho l} = \frac{\frac{1}{2} \eta_1 + \eta \xi + \frac{1}{2} \eta \xi^2}{\eta_1 + \eta \xi} h.\tag{\text{д}6}\]

Выполним математические преобразования необходимые для решения неравенства (8) с учетом того, что \(\eta_1 + \eta \xi > 0\)

\[\frac{(\eta \xi + \eta_1) h}{2} \ge \frac{\frac{1}{2} \eta_1 + \eta \xi + \frac{1}{2} \eta \xi^2}{\eta_1 + \eta \xi} h\]

\[(\eta \xi + \eta_1) \ge \frac{\eta_1 + 2 \eta \xi + \eta \xi^2}{\eta_1 + \eta \xi}\]

\[(\eta \xi + \eta_1)^2 \ge \eta_1 + 2 \eta \xi + \eta \xi^2\]

\[\eta^2 \xi^2 + \eta_1^2 + 2 \eta \eta_1 \xi \ge \eta_1 + 2 \eta \xi + \eta \xi^2\]

\[\eta(1 - \eta) \xi^2 + 2 \eta(1 - \eta_1) \xi + \eta_1(1 - \eta_1) \le 0\]

Мы получили квадратичное неравенство относительно \(\xi\). Поскольку коэффициент при \(\xi^2\) положительный, решением этого неравенства будет \(\xi_1 \le \xi \le \xi_2\), где \(\xi_{1{,}2}\) - корни квадратного уравнения

\[\eta(1 - \eta) \xi^2 + 2 \eta(1 - \eta_1) \xi + \eta_1(1 - \eta_1) = 0.\]

Его дискриминант равен

\[D/4 = (b/2)^2 - ac = \eta^2(1 - \eta_1)^2 - \eta(1 - \eta) \eta_1(1 - \eta_1) = \eta(1 - \eta_1)[\eta(1 - \eta_1) - \eta_1(1 - \eta)] =\]

\[\eta(1 - \eta_1)[\eta - \eta \eta_1 - \eta_1 + \eta \eta_1] = \eta(1 - \eta_1)(\eta - \eta_1) = \eta(\eta_1 - 1)(\eta_1 - \eta)\]

При наших данных \(D/4 = 0{,}8(2{,}7 - 1)(2{,}7 - 0{,}8) = 2{,}6 > 0\), следовательно, существует 2 действительных корня этого уравнения:

\[\xi_{1{,}2} = \frac{-\eta(1 - \eta_1) \pm \sqrt{\eta(\eta_1 - 1)(\eta_1 - \eta)}}{\eta(1 - \eta)} = \frac{\eta_1 - 1}{1 - \eta} \pm \frac{1}{1 - \eta} \sqrt{\frac{(\eta_1 - 1)(\eta_1 - \eta)}{\eta}}.\]

Подстановка численных значений исходных данных приводит к результату \(\xi_1 = -1{,}5\); \(\xi_2 = 18{,}5\).

Таким образом, условие устойчивого плавания имеет вид:

\[\frac{\eta_1 - 1}{1 - \eta} - \frac{1}{1 - \eta} \sqrt{\frac{(\eta_1 - 1)(\eta_1 - \eta)}{\eta}} \le \xi \le \frac{\eta_1 - 1}{1 - \eta} + \frac{1}{1 - \eta} \sqrt{\frac{(\eta_1 - 1)(\eta_1 - \eta)}{\eta}},\]

а с учетом условия плавания (дЗ))

\[\frac{\eta_1 - 1}{1 - \eta} \le \xi \le \frac{\eta_1 - 1}{1 - \eta} + \frac{1}{1 - \eta} \sqrt{\frac{(\eta_1 - 1)(\eta_1 - \eta)}{\eta}}.\]

Итак, для устойчивого плавания должно выполняться \(-1{,}5\,\text{см} \le l \le 18{,}5\,\text{см}\), для плавания вообще \(l \ge 8{,}5\,\text{см}\). Таким образом, свеча будет устойчиво плавать, если длина свечи лежит в интервале \(8{,}5\,\text{см} \le l \le 18{,}5\,\text{см}\).

Задача 9.1.2

После замыкания электрической цепи вследствие выделения тепла Джоуля-Ленца температура \(t\) проводника начнет расти. Однако как следует из условия, по мере роста температуры проводника будет увеличиваться и количество теплоты, отдаваемое им в единицу времени в окружающее пространство. Следовательно, при некотором значении \(t_i\) мощность \(P\) тепловыделения в проводнике сравняется с мощностью \(P_{\text{охл}}\) тепловых потерь (охлаждения) через его поверхность, и дальнейший рост температуры в системе прекратится.

Запишем условие динамического равновесия \(P_{\text{охл}} = P\) с учетом закона Джоуля-Ленца

\[\frac{U^2}{R} = \alpha (t_i - t_0) S,\tag{1}\]

где \(t_i\) — максимальная (установившаяся) температура проводника.

Подставляя в (1) выражения для сопротивления проводника \(R = \rho \frac{l}{S} = \rho \frac{l}{\pi r^2}\) и площади его боковой поверхности \(S = 2\pi r l\) (теплоотдачей через торцы цилиндра пренебрегаем, т.к. \(r \ll l\)) получим

\[\frac{U^2}{\rho l} \pi r^2 = \alpha (t_i - t_0) 2\pi r l \quad \Rightarrow \quad t_i - t_0 = \{t_0 = 0{,}0^\circ\text{C}\} = t_i = \frac{U^2 r}{2\rho \alpha l^2},\tag{2}\]

где \(U\) — напряжение на проводнике. Поскольку объем проводника остается неизменным, то изменение длины проводника приводит к изменению его радиуса. Эта связь следует из выражения для объема

\[V = \pi r^2 l \quad \Rightarrow \quad r = \sqrt{\frac{V}{\pi l}}.\tag{3}\]

Подставляя, это выражение в формулу (2), для температуры проволоки получим

\[t_i = \frac{U^2}{2\rho \alpha l^2} \sqrt{\frac{V}{\pi l}} = \frac{C}{l^{5/2}}.\tag{4}\]

где \(C\) — постоянный для данных условий коэффициент. Записав два подобных соотношения для начальной конечной длины проводника и разделив их друг на друга, получим пропорцию

\[\frac{t_2}{t_1} = \frac{l_1^{5/2}}{l_2^{5/2}}.\tag{5}\]

из которой следует ответ задачи \(t_2 = t_1 \sqrt{\left(\frac{l_1}{l_2}\right)^5} \approx 10^\circ \text{C}\).

Уменьшение температуры проводника после растяжения вполне понятно и на качественном уровне: к этому ведет как падение мощности тепловыделения вследствие увеличения сопротивления, так и увеличение площади теплоотдачи (поверхности) проводника.

Отметим, что радиус проводника, заданный в условии задачи, не вошел в конечный результат. Однако малое численное значение этого параметра позволяет считать, что распределение тока внутри проводника является однородным.

Задача 9.1.3

Как следует из рисунка, увидеть в зеркале минимального размера некоторую точку \(G\) на глобусе можно только в том случае, если луч, идущий по касательной к шару в этой точке попадет на край зеркала \(A\).

Следует заметить, что в этом случае она будет всего лишь «на горизонте» глобуса, но предположим, что острота зрения смотрящего достаточна для подобного наблюдения.

Искомый минимальный радиус зеркала найдем как

\[R_{\text{min}} = DC + CA = \{(DC = OB)\} = R \cos \varphi + CG \operatorname{tg} \varphi.\tag{1}\]

Поскольку \(CG = R + R \sin \varphi\), то окончательно получаем

\[R_{\text{min}} = R \cos \varphi + R (1 + \sin \varphi) \operatorname{tg} \varphi = R (\cos \varphi + (1 + \sin \varphi) \operatorname{tg} \varphi).\tag{2}\]

Расчет по (2) для угла \(\varphi = 55^\circ\) дает

\[R_{\text{min}} = 0{,}63 \text{ м}.\]

Интересно, что, чисто теоретически из (2) следует, при неограниченном возрастании радиуса зеркала (\(R_{\text{min}} \to \infty\)) можно увидеть даже точку северного полюса глобуса (\(\varphi = \frac{\pi}{2}\)), что в реальности невозможно из-за ограниченной разрешающей способности глаза человека.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Сигнал отражается в момент \(t_1\), когда его положение совпадает с положением тела, а возвращается через такое же время: \(x(t_1)=c(\tau-t_1)\) при \(x>0\). Решите это уравнение относительно \(t_1(\tau)\) и учтите, что при \(v_0>c\) отражений может быть два.

Ответ

Для \(x=x_0+v_0t\) изображение движется со скоростью \(v_0/(1-\gamma)\) при приближении и \(v_0/(1+\gamma)\) при удалении объекта (\(\gamma=v_0/c\)); \(x'=\dfrac{x_0+v_0\tau}{1\mp\gamma}\); при \(v_0>c\) изображений два. Для \(x=at^2/2\) ветви: \(x'_{1,2}=\dfrac{c}{a}\left(a\tau+c\mp\sqrt{c^2+2ac\tau}\right)\).

Решение

Задание 9.2. «Запаздывание»

Сначала рассмотрим общие подходы к решению данной задачи.

Схематически изобразим (рис. 1) закон движения тела \(x(t)\). Сигнал, посланный в момент времени \(t_0\) распространяется по закону \(x_c = c(t - t_0)\). Когда сигнал достигнет движущегося тела, их координаты будут равны, поэтому момент времени отражения сигнала \(t_1\), может быть найдено из уравнения

\[x(t_1) = c(t_1 - t_0).\tag{1}\]

Это уравнение позволяет найти момент времени отражения \(t_1\) как функцию времени испускания сигнала \(t_0\). Отраженный сигнал движется в обратном направлении с той же скоростью, поэтому он вернется в исходную точку в момент времени \(\tau\), для которого выполняется соотношение

\[t_1 - t_0 = \tau - t_1.\tag{2}\]

Согласно описанной в условии методике, за положение объекта в момент прихода сигнала принимается его положение в момент отражения сигнала. На рисунке отмечена ошибка определения закона движения \(\delta x\), связанная с тем, что координата движущегося тела в момент отражения сигнала, приписывается изображению в момент прихода отраженного сигнала. Итак, в принципе, первый путь решения задачи проясняется: из уравнения (1) находим \(t_1\) как функцию \(t_0\); вычисляем координату \(x(t_1(t_0))\), затем из уравнения (2) \(t_1(t_0) - t_0 = \tau - t_1(t_0)\) выражаем \(t_0\) как функцию \(\tau\); наконец записываем закон движения\(^1\) изображения \(x'(\tau) = x(t_1(t_0(\tau)))\).* Однако на этом пути придется решать два уравнения (1) и (2), при этом необходимо находить промежуточную функцию \(t_1(t_0)\), которая не нужна в окончательном результате. Поэтому можно элементарно избавиться от этой функции, переписав уравнение (1) с помощью соотношения (2)

\[x(t_1) = c(\tau - t_1).\tag{3}\]

Из этого уравнения можно найти время отражения как функцию времени приема отраженного сигнала \(t_1(\tau)\), а закон движения изображения далее можно определить двумя способами

\[x'(\tau) = x(t_1(\tau)),\tag{4}\]

либо

\[x'(\tau) = c(\tau - t_1(\tau)).\tag{5}\]

Этот путь явно короче: решение одного уравнения и одна подстановка. Теперь еще одно дополнительное осложнение – а если координата объекта отрицательна? Сделаем рисунок для этого варианта (рис. 2) Тогда следует рассматривать сигнал, распространяющийся в отрицательном направлении оси \(Ox\), в этом случае уравнение (1) надо заменить на

\[x(t_1) = -c(t_0 - t_1),\tag{1*}\]

соответственно изменится и более удобное уравнение

(3)

\[x(t_1) = -c(\tau - t_1).\tag{3*}\]

Уравнения (3) и (3*) отличаются только знаком правой части, поэтому их можно объединить

\[x(t_1) = \pm c(\tau - t_1)\tag{6}\]

или переписать в виде, который отражает явный физический смысл (расстояние до объекта равно расстоянию, которое проходит сигнал):

\[\vert x(t_1)\vert = c(\tau - t_1).\tag{7}\]

Кстати, при любом движении (не только вдоль оси \(Ox\)) – справедливо такое уравнение! Замечательно, но уравнение (7) или равносильное ему (6) может иметь несколько корней. Конечно, исходя из постановки задачи\(^2\), следует выбирать только те корни, для которых выполняется условие

\[t_0 < t_1 < \tau.\tag{8}\]

Каждый раз придется анализировать корни – искать их смысл, принимать, или отбрасывать. По-видимому, все же сначала лучше анализировать, а потом искать то, что нужно. Такой анализ можно унифицировать: построить график закон движения и график распространения сигнала (рис.3), а затем рассмотреть точки их пересечения. При этом следует посмотреть, как меняется «картинка» при изменении параметров задачи. Применим эти общие рассуждения к тем вариантам движения объекта, которые описаны в условии задачи.

1. Равномерное движение.

Построим график закона движения тела

\[x(t) = x_0 + v_0 t,\tag{1.1}\]

который является прямой линией (рис. 4) Также изобразим графики движения сигналов, испущенных в различные моменты времени. Легко заметить, что необходимо решать различные уравнения, в зависимости от знака координаты объекта в момент отражения сигнала. Эти два варианта легко различимы. Объект пересекает начало координат\(^3\) в момент времени

\[t^* = -\frac{x_0}{v_0};\tag{1.2}\]

Если сигнал послан в этот момент времени, то отражение и возвращение произойдут мгновенно, то есть при \(t_0 = t^*\) \(\tau = t_1 = t_0 = t^*\). Итак, при \(\tau = t_1 = t_0 < -\frac{x_0}{v_0}\), для определения закона движения следует решить уравнение

\[x_0 + v_0 t_1 = -c(\tau - t_1),\tag{1.3}\]

Сигнал распространяется во все стороны пространства, но только «из прошлого в будущее». В реальности, такая ситуация не очень приятна, как для объекта, так и для наблюдателя. Но в рамках нашей модели материальных точек, будем считать, что наши «герои» успешно разойдутся. Более правдоподобная ситуация будет рассмотрена чуть позже.

из которого следует, что \(t_1 = \frac{c\tau + x_0}{c - v_0}\), а закон движения имеет вид

\[x'(\tau) = -c(\tau - t_1) = \frac{c}{c - v_0}(x_0 + v_0\tau).\tag{1.4}\]

При \(\tau = t_1 = t_0 > -\frac{x_0}{v_0}\) уравнение, для определения времени отражения, имеет вид

\[x_0 + v_0 t_1 = c(\tau - t_1),\tag{1.5}\]

из которого определяем \(t_1 = \frac{c\tau - x_0}{c + v_0}\) и закон движения изображения

\[x'(\tau) = c(\tau - t_1) = \frac{c}{c + v_0}(x_0 + v_0\tau).\tag{1.6}\]

Итак, закон движения изображения в рассматриваемом случае имеет вид

\[x'(\tau) = \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{1 - \gamma}(x_0 + v_0\tau), & \text{при} \quad \tau < -\frac{x_0}{v_0} \\ \displaystyle \frac{1}{1 + \gamma}(x_0 + v_0\tau), & \text{при} \quad \tau > -\frac{x_0}{v_0} \end{cases},\tag{1.7}\]

здесь обозначено \(\gamma = \frac{v_0}{c}\) (это обозначение мы будем использовать и в дальнейшем).

График этой функции показан на рисунке 5, там же изображен и график движения самого объекта. Скорость движения изображения изменяется скачком при переходе объекта через начало координат: при приближении объекта его изображение движется быстрее, при удалении наоборот – изображение движется медленнее:

\[v'(\tau) = \begin{cases} \displaystyle \frac{v_0}{1 - \gamma}, & \text{при} \quad \tau < -\frac{x_0}{v_0} \\ \displaystyle \frac{v_0}{1 + \gamma}, & \text{при} \quad \tau > -\frac{x_0}{v_0} \end{cases}.\tag{1.8}\]

Попытайтесь качественно объяснить этот эффект изменения скорости.

На этом решение данной части задачи не заканчивается – необходимо отдельно рассмотреть движение объекта со скоростью, большей скорости сигнала \(v_0 > c\). Опять построим графики законов движения объекта и сигналов, посланных в различные моменты времени (рис. 6 – на котором ради экономии места масштаб оси времени изменен по сравнению с предыдущими рисунками). В этом случае ситуация кардинально изменяется. Во-первых, сигналы, посланные в моменты времени \(t_0 > t^*\) не догонят объект, следовательно, не дают изображения (оно исчезает!).

Во-вторых, сигналы, посланные при \(t_0 < t^*\), отразятся от объекта дважды: один раз при приближении самолета (в момент времени \(t_1^{(1)}\)) и при его удалении (в момент времени \(t_1^{(2)}\)). Второе отражение произойдет, когда объект догонит сигнал. Таким образом, при \(\tau > t^*\) сонар\(^4\) будет давать два изображения. Для расчета закона движения первого изображения следует решить уравнение

\[x_0 + v_0 t_1^{(1)} = -c(\tau - t_1^{(1)}),\tag{1.9}\]

которое совпадает с уравнением (1.3), и поэтому приводит к тому же закону движения (напомним, справедливому только при \(\tau > t^*\))

\[x'_{(1)}(\tau) = \frac{c}{c - v_0}(x_0 + v_0 \tau).\tag{1.10}\]

Поразительно, так как \(v_0 > c\), скорость изображения отрицательна – изображение движется в сторону противоположную движению объекта. Объяснение этого парадокса дано на рисунке 7. Сигнал, посланный раньше (\(t_{01} < t_{02}\)), возвратится позже (\(\tau_1 > \tau_2\)), поэтому быстрее будет поступать информация о более близком положении объекта.

Для описания движения второго изображения необходимо решить уравнение, совпадающее с уравнением (1.5),

\[x_0 + v_0 t_1^{(2)} = c(\tau - t_1^{(2)}),\tag{1.11}\]

что приводит к аналогичному закону движения изображения

\[x'_{(2)}(\tau) = \frac{c}{c + v_0}(x_0 + v_0 \tau).\tag{1.12}\]

Графики этих законов движения построены на рисунке 8.

Скорости движения изображений легко найти из законов движения

\[v'_{(1)} = \frac{v_0}{1 - \gamma}, \quad \text{при} \quad \tau > -\frac{x_0}{v_0}\]

\[v'_{(2)} = \frac{v_0}{1 + \gamma}, \quad \text{при} \quad \tau > -\frac{x_0}{v_0}\tag{1.13}\]

Таким образом, изображения появляются в момент пересечения объектом начала координат, затем одно медленно удаляется в туже сторону, что и движущийся объект, а второе – движется быстрее в противоположную сторону.

2. Равноускоренное движение.

Если при равномерном движении пришлось рассматривать четыре варианта, то сколько их будет при равноускоренном движении объекта?

При законе движения

\[x(t) = \frac{at^2}{2}\tag{2.1}\]

объект все время находится с одной стороны от наблюдателя (\(x \ge 0\)), поэтому достаточно рассмотреть только сигнал, распространяющийся в положительном направлении оси \(Ox\). Также обратим внимание, что скорость объекта изменяется и на одних интервалах больше скорости сигнала, а на других меньше.

Графический анализ взаимного расположения графика движения объекта (парабола) и сигналов (лучей прямых) показывает (рис. 9), что от одного сигнала, испущенного в момент \(t_0\), может быть зарегистрировано два отражения \(\tau_1, \tau_2\) - один раз сигнал догоняет объект, второй раз объект догоняет сигнал. Возможна также ситуация, когда отраженных сигналов не будет – сигнал не может догнать объект, разогнавшийся до скорости большей скорости сигнала.

Граничным между этими случаями, является вариант, при котором график распространения сигнала является касательным к параболе – графику закона движения объекта (рис. 10).

Легко понять, что в этом случае в момент отражения скорость объекта \(v = at\) сравнивается со скоростью сигнала. Это позволяет найти этот момент (последней возможности догнать объект), используя уравнение \(at_{1\text{max}} = c\). Из которого следует

\[t_{1\text{max}} = \frac{c}{a}.\tag{2.2}\]

В этот момент находится в точке с координатой

\[x_{\text{max}} = \frac{a(t_{1\text{max}})^2}{2} = \frac{c^2}{2a}.\tag{2.3}\]

Максимальный момент отправления сигнала, который может догнать объект, определяется формулой

\[t_{0\text{max}} = t_{1\text{max}} - \frac{x_{\text{max}}}{c} = \frac{c}{2a},\tag{2.4}\]

а соответствующий момент возвращения «последнего» сигнала

\[\tau_{\text{max}} = t_{1\text{max}} + \frac{x_{\text{max}}}{c} = \frac{3c}{2a},\tag{2.5}\]

На первый взгляд, кажется, что решение задачи опять надо разбивать на различные этапы, но ведь мы разработали другой метод решения, основанный на «привязке» к моменту регистрации, а не к моменту «запуска». Поэтому рассмотрим графическую иллюстрацию уравнения (3), включающего законы движения объекта и отраженного сигнала. Этот метод позволяет решить задачу единообразно для любого момента времени регистрации. Для графического анализа этого уравнения необходимо «зеркально» отразить рисунок 1.9, в результате получим рисунок 11. Здесь также есть значения моментов регистрации \(\tau\), которым соответствуют два момента отражения, следовательно,

и два изображения; есть значение \(\tau_{\text{min}}\) - минимальное время прихода отраженных сигналов (независимо от времени их отправления). Это время находится аналогично (2.5)

\[\tau_{\text{min}} = -\frac{c^{2}}{2a} + \frac{c}{a} = -\frac{c}{2a}.\tag{2.6}\]

Таким образом, при \(\tau > \tau_{\text{min}}\) общее уравнение (3), имеющее вид

\[\frac{at_{1}^{2}}{2} = c(\tau - t_{1}),\tag{2.7}\]

имеет два корня

\[t_{1}(\tau) = -\frac{c}{a} \pm \sqrt{\left(\frac{c}{a}\right)^{2} + 2\frac{c}{a}\tau}.\tag{2.8}\]

Соответствующие этим решениям законы движения изображений имеют вид

\[x'_{(1{,}2)} = c(\tau - t_{1}) = c\left(\tau + \frac{c}{a} \mp \sqrt{\left(\frac{c}{a}\right)^{2} + 2\frac{c}{a}\tau}\right) = \frac{c}{a}\left(a\tau + c\left(1 \mp \sqrt{\left(\frac{c}{a}\right)^{2} + 2\frac{c}{a}\tau}\right)\right).\tag{2.9}\]

Проанализируйте эти функции самостоятельно, их графики показаны на рисунке 1.12.

Рассмотрите также физический смысл всех ветвей, соотнесите их с результатами проведенного качественного анализа. Для подсказки эти ветви обозначены на рис. 1.11 и 1.12 одинаково. А по существу, на них изображена одна и та же парабола, только повернутая и немного деформированная.

\textsuperscript{1} Все кинематические характеристики движения изображений будем «штриховать»

\textsuperscript{2} Сигнал распространяется во все стороны пространства, но только «из прошлого в будущее». 3 В реальности, такая ситуация не очень приятна, как для объекта, так и для наблюдателя. Но в рамках нашей модели материальных точек, будем считать, что наши «герои» успешно разойдутся. Более правдоподобная ситуация будет рассмотрена чуть позже.

\textsuperscript{4} Не будем обсуждать, можно ли реально зарегистрировать оба отраженных сигнала – в нашем рассмотрении затуханием сигнала пренебрегаем.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Давление \(p_B\) в точке соединения труб устанавливается так, чтобы суммарный приток через краны равнялся расходу через удлинитель. Температуру смеси находят из теплового баланса с весами, равными расходам.

Ответ

3.1) \(C=1{,}4\ \text{л/(с}\cdot\text{атм)}\); 3.2) \(q_2=1{,}1\) л/с; 3.3) \(q_3=1{,}7\) л/с, \(T_3=30^\circ\text{C}\); 3.4) \(q_4=1{,}2\) л/с, \(T_4=45^\circ\text{C}\); 3.5) \(p_{2\min}=\dfrac{\alpha_1p_1+p_0}{1+\alpha_1}=1{,}5\) атм.

Решение

Задание 9.3 «Смеситель»

3.1 Для вычисления значения \(C\) рассмотрим процесс вытекания холодной воды при полностью открытом кране. При течении несжимаемой жидкости ее расход для обеих трубок должен быть один и тот же

\[q_{AB} = q_{BD}\]

Это будет возможно в том случае, если в точке \(B\) (рис. 1) трубки установится некоторое «самосогласованное» давление \(p_B\), обеспечивающее прокачку соответствующего потока жидкости через каждую из трубок. Математически можем записать это условие в виде системы уравнений

\[q_{AB} = C(p_1 - p_B) = q_{BD} = C(p_B - p_0).\tag{1}\]

Из этого уравнения находим

\[p_B = \frac{p_1 + p_0}{2} = 2{,}0 \text{ атм}.\]

Соответственно, для расхода воды в этом случае получим

\[q_{AB} = C \frac{p_1 - p_0}{2} \quad \Rightarrow \quad C = \frac{2q_1}{p_1 - p_0}\tag{2}\]

Расчет по формуле (2) дает численное значение постоянной \(C\)

\[C = 1{,}4 \frac{\text{л}}{\text{с} \cdot \text{атм}} = 1{,}4 \cdot 10^{-8} \frac{\text{м}^3}{\text{с} \cdot \text{Па}}.\]

3.2 При полном открытии крана с горячей водой можно повторить рассуждения предыдущего пункта с той лишь разницей, что давление в магистрали равно \(p_2\), поэтому

\[q_2 = C \frac{p_2 - p_0}{2} = \frac{p_2 - p_0}{p_1 - p_0} q_1 = 1{,}1 \frac{\text{л}}{\text{с}}.\]

3.3 При полном открытии двух кранов в точке \(B\) системы должно установится давление \(p_B\), «обеспечивающее» прокачку через удлинитель \(BD\) суммарного потока \(q_3\), образованного слиянием двух (холодного \(q_1\) и горячего \(q_2\)) потоков из труб \(AB\) и \(CB\). Соответственно, в этом случае справедлива система уравнений

\[\begin{aligned} q_1 &= C(p_1 - p_B) \\ q_2 &= C(p_2 - p_B) \\ q_3 &= q_1 + q_2 = C(p_B - p_0) \end{aligned}\tag{3}\]

Решение системы (3) дает следующие результаты

\[\begin{aligned} p_B &= \frac{p_1 + p_2 + p_0}{3}, \\ q_1 &= C \frac{2p_1 - p_2 - p_0}{3} = 1{,}1 \frac{\text{л}}{\text{с}} \\ q_2 &= C \frac{2p_2 - p_1 - p_0}{3} = 0{,}6 \frac{\text{л}}{\text{c}} \\ q_3 &= q_1 + q_2 = C \frac{p_1 + p_2 - 2p_0}{3} = 1{,}7 \frac{\text{л}}{\text{с}} \end{aligned}\tag{4}\]

Как видим из (4), расход горячей воды почти в два раза меньше расхода холодной, что объясняется бóльшим давлением в магистрали холодной воды. Это приводит к своеобразному эффекту «закупоривания» трубы с горячей водой и, соответственно, падению ее расхода. С этой точки зрения можем заметить, что сильный перепад давлений в магистралях крайне нежелателен.

Поскольку в смесителе потери теплоты практически отсутствуют (жидкости протекают через него достаточно быстро), то уравнение теплового баланса будет иметь вид

\[c m_1 (T - T_1) = c m_2 (T_2 - T),\tag{5}\]

где \(T\) — искомая температура воды на выходе из смесителя, \(c\) — удельная теплоемкость воды. Т.к. вода практически несжимаема, то можно считать, что ее плотность \(\rho\) в обеих магистралях одинакова. В этом случае \(m_1 = \rho V = \rho q_1 t\) и \(m_2 = \rho V = \rho q_2 t\), и из уравнения (5) получаем искомый результат

\[T_3 = \frac{q_1 T_1 + q_2 T_2}{q_1 + q_2} = 30^\circ \text{C}.\tag{6}\]

3.4 При различном открывании кранов система уравнений примет вид

\[\begin{aligned} q_1 &= \alpha_1 C (p_1 - p_B) \\ q_2 &= \alpha_2 C (p_2 - p_B) \\ q &= q_1 + q_2 = C (p_B - p_0) \end{aligned}\]

Соответственно ее решение также несколько изменится

\[p_B = \frac{\alpha_1 p_1 + \alpha_2 p_2 + p_0}{1 + \alpha_1 + \alpha_2}\]

\[\begin{aligned} q_1 &= \alpha_1 C \frac{p_1 (1 + \alpha_2) - \alpha_2 p_2 - p_0}{1 + \alpha_1 + \alpha_2} = 0{,}48 \text{ л/с} \\ q_2 &= \alpha_2 C \frac{p_2 (1 + \alpha_1) - \alpha_1 p_1 - p_0}{1 + \alpha_1 + \alpha_2} = 0{,}73 \text{ л/с} \\ q_4 &= q_1 + q_2 = C \frac{\alpha_1 (p_1 - p_0) + \alpha_2 (p_2 - p_0)}{1 + \alpha_1 + \alpha_2} = 1{,}2 \text{ л/с} \end{aligned}\tag{7}\]

Температуру воды на выходе из смесителя найдем с помощью выражения, аналогичного (6)

\[T_4 = \frac{q_1 T_1 + q_2 T_2}{q_1 + q_2} = 45^\circ \text{C}.\]

Если в качестве предельного перехода в выражениях (7) положить \(\alpha_1 = \alpha_2 = 1{,}0\), то, как и следовало ожидать, получится система решений (4).

Таким образом, с помощью кранов мы можем регулировать температуру воды от полностью холодной (\(T_1 = 10^\circ \text{C}\), \(\alpha_1 = 1{,}0\), \(\alpha_2 = 0{,}0\)), до полностью горячей (\(T_2 = 70^\circ \text{C}\), \(\alpha_1 = 0{,}0\), \(\alpha_2 = 1{,}0\)).

3.5 Интересно, что как следует из (7), при некоторых давлениях \(p_1\) и \(p_2\) в магистралях и коэффициентах \(\alpha_1\) и \(\alpha_2\) поток горячей воды может обратиться в нуль. При этом в кран горячей воды будет «закачиваться» холодная, поскольку давление там меньше. Так иногда принимая душ, можно почувствовать, что вода стала прохладнее после того, как в соседней кабинке кто-то откроет кран с горячей водой. Для вычисления \(p_{\text{min}}\) приравняем нулю выражение для \(q_2\) из (7)

\[q _ { 2 } = \alpha _ { 2 } \, C \, \frac { p _ { 2 } ( 1 + \alpha _ { 1 } ) - \alpha _ { 1 } p _ { 1 } - p _ { 0 } } { 1 + \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } } = 0 \qquad \Rightarrow \qquad p _ { 2 } ( 1 + \alpha _ { 1 } ) - \alpha _ { 1 } p _ { 1 } - p _ { 0 } = 0\tag{8}\]

Из равенства (8) найдем величину \(p_{min}\), при которой вода в кране станет полностью холодной даже при открытом кране с горячей водой

\[p_{2min} = \frac{\alpha_1 p_1 + p_0}{1 + \alpha_1} = 1{,}5 \text{ атм}.\tag{9}\]

Как следует из (9), эффект «обратной тяги» не зависит от коэффициента \(\alpha_2\) открытия крана с горячей водой. Это вполне можно понять, поскольку независимо от размера отверстия, сплошная среда (жидкость или газ) всегда устремляется в область пониженного давления.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.