Белорусская, 2006/07, заключительный этап, 10 класс, теоретический тур

Подсказка

Варистор: найдите напряжение пересечением его ВАХ с нагрузочной прямой для эквивалентной цепи. Гидроподушка: сила давления струи на брусок — импульс воды в секунду; по мере подъёма струя замедляется и расширяется.

Ответ

1.1) напряжение на нагрузке вырастет примерно в \(2\) раза (с \(4\) В до \(8{,}2\) В); 1.2) \(h\approx 56\) см.

Решение

1.1 Варистор. До скачка параллельное соединение варистора и нагрузки имеет сопротивление не больше \(10\) Ом, поэтому напряжение на нём не превышает \(4\) В; при таком напряжении ток через варистор очень мал, и напряжение на нагрузке было \[U_{\text{Н1}}=U_0\frac{R_{\text{Н}}}{R+R_{\text{Н}}}=4\text{ В}.\tag{1}\] После скачка общее напряжение — сумма падения напряжения на резисторе \(R\) и напряжения \(U\) на варисторе: \[R I_{\text{Ц}}+U=U_1,\qquad I_{\text{Ц}}=I+\frac{U}{R_{\text{Н}}},\tag{2}\] откуда ток варистора связан с напряжением на нём соотношением \[I=2{,}4-\frac{3}{20}\,U.\tag{3}\] Пересечение этой прямой с ВАХ варистора из условия даёт \(U=U_{\text{Н2}}=8{,}2\) В. Напряжение на нагрузке возрастёт чуть больше чем в два раза: \[\frac{U_{\text{Н2}}}{U_{\text{Н1}}}\approx 2.\]

1.2 «Гидроподушка». Струя сечением \(S\) со скоростью \(\upsilon\), неупруго ударяясь о брусок, передаёт ему за время \(\Delta t\) импульс \(\rho S\upsilon^2\Delta t\), то есть сила давления \(F=\rho S\upsilon^2\). На высоте \(h\) скорость струи \(\upsilon_1^2=\upsilon_0^2-2gh\), а из неразрывности струи \(S_1=S_0\upsilon_0/\upsilon_1\), где \(S_0=\pi r^2\). Поэтому сила одной струи \[F=\rho S_0\upsilon_0\sqrt{\upsilon_0^2-2gh}.\] Брусок удерживают \(N\) струй: \[N\rho\pi r^2\upsilon_0\sqrt{\upsilon_0^2-2gh}=mg,\] откуда \[h=\frac{\upsilon_0^2}{2g}\left(1-\left(\frac{mg}{N\rho\pi r^2\upsilon_0^2}\right)^2\right)\approx 56\text{ см}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Работа силы сопротивления за виток равна изменению полной энергии \(E=-mv^2/2\), поэтому скорость растёт, а радиус орбиты падает. Плотность воздуха найдите из тангенциального ускорения по наклону графика \(v(t)\).

Ответ

1) \(v_0=\sqrt{GM/R_0}\), \(T_0=2\pi R_0/v_0\); 2) \(E_0=-mv_0^2/2\); 3) \(\dfrac{\Delta v}{v_0}=2\pi R_0\dfrac{C\rho_0S}{m}\), \(\dfrac{\Delta R}{R_0}=2\dfrac{\Delta v}{v_0}\); 4) \(a_\tau=\dfrac{C\rho_0Sv_0^2}{m}\); 5) \(v_{n0}=\dfrac{2R_0C\rho_0Sv_0}{m}\), \(\alpha=-\dfrac12\); 6) \(\beta=(1{,}3\pm0{,}2)\cdot10^{-4}\) м\(^{-1}\).

Решение

1. При движении спутника, на него действует лишь сила притяжения со стороны Земли (сопротивление пока не учитываем). Она же является центростремительной силой.

\[G\frac{Mm}{R_{0}^{2}} = \frac{mv_{0}^{2}}{R_{0}}\tag{1}\]

Отсюда получаем:

\[v_{0} = \sqrt{\frac{GM}{R_{0}}}\tag{2}\]

Период обращения:

\[T_{0} = \frac{2\pi R_{0}}{v_{0}} = \frac{2\pi}{\sqrt{GM}} R_{0}^{3/2}\tag{3}\]

2. Полная механическая энергия спутника есть сумма его потенциальной и кинетической энергий:

\[E_{0} = -G\frac{Mm}{R_{0}} + \frac{mv_{0}^{2}}{2} = -G\frac{Mm}{2R_{0}} = -\frac{mv_{0}^{2}}{2}\tag{4}\]

Заметим, что полная энергия является отрицательной величиной и по модулю равна кинетической энергии.

3. Т.к. радиус орбиты изменяется несущественно, то можно считать, что на протяжении всего витка на него действует одна и та же постоянная по модулю сила сопротивления \(F_{C} = C\rho_{0}Sv_{0}^{2}\), т.е. плотность воздуха и скорость в этом выражении считаем постоянными. Эта сила будет совершать отрицательную работу \(A_{C} = -F_{C} \cdot 2\pi R_{0}\), что приведёт к уменьшению полной энергии спутника. Для вычисления относительного изменения скорости, воспользуемся выражением полной энергии спутника через его скорость. Тогда закон сохранения энергии примет вид:

\[-\frac{mv_{0}^{2}}{2} - C\rho_{0}Sv_{0}^{2} \cdot 2\pi R_{0} = -\frac{m(v_{0} + \Delta v)^{2}}{2}\tag{5}\]

Сразу же отметим, что скорость должна увеличиваться. Преобразуем выражения, стоящие в правой части равенства.

\[(v_{0} + \Delta v)^{2} = v_{0}^{2}\left(1 + \frac{\Delta v}{v_{0}}\right)^{2} = v_{0}^{2}\left(1 + 2\frac{\Delta v}{v_{0}} + \left(\frac{\Delta v}{v_{0}}\right)^{2}\right) \approx v_{0}^{2}\left(1 + 2\frac{\Delta v}{v_{0}}\right)\tag{6}\]

В последнем преобразовании было учтено, что величина \(\left(\frac{\Delta v}{v_{0}}\right)^{2}\) очень маленькая, поэтому её можно не учитывать. Используя такое упрощение и преобразуя уравнение (5), получим:

\[\frac{\Delta v}{v_{0}} = 2\pi R_{0} \frac{C\rho_{0}S}{m}\tag{7}\]

Для определения относительного изменения радиуса орбиты, поступим следующим образом. Из (2) следует, что:

\[v_{0}^{2}R_{0} = GM = const\tag{8}\]

Другими словами, произведения квадрата скорости на радиус орбиты остаётся постоянной величиной. Значит:

\[(v_0 + \Delta v)^2 \cdot (R_0 - \Delta R) = v_0^2 R_0\tag{9}\]

Совершив, преобразование (6), получим:

\[\frac{\Delta R}{R_0} = 2 \frac{\Delta v}{v_0} = 4\pi R_0 \frac{C\rho_0 S}{m}\tag{10}\]

Заметим, что в решении этого пункта присутствует существенное упрощение. С одной стороны мы считаем силу постоянной, а, т.к. в выражение для силы входит квадрат скорости, то его мы фактически тоже считаем постоянным. С другой стороны мы ищем изменение этой самой скорости. На самом деле, с изменением скорости изменяется и сила сопротивления, и точное решение будет несколько отличаться от полученного нами. Однако для малых относительных изменений скорости это различие будет несущественным и такой метод решения вполне применим.

4. Выражение для тангенциального ускорения легко получить, разделив изменение скорости спутника на величину промежутка времени, за который это изменение произошло, т.е. на продолжительность одного «витка».

\[a_T = \Delta v / (2\pi R_0 / v_0) = \frac{C\rho_0 S v_0^2}{m} = \frac{F_C}{m}\tag{11}\]

Такой вот получается парадокс. Вроде как сила сопротивления, а приводит к ускорению спутника.

5. Скорость снижения спутника находится аналогично:

\[v_{n0} = \Delta R / (2\pi R_0 / v_0) = \frac{2 R_0 C\rho_0 S v_0}{m}\tag{12}\]

Используя выражение (2), получим:

\[v_{n0} = \frac{2 C\rho_0 S \sqrt{GM}}{m} \sqrt{R_0}\tag{13}\]

Если плотность будет убывать обратно пропорционально корню квадратному от расстояния до центра Земли, то скорость \(v_{n0}\) не будет изменяться. Поэтому

\[\alpha = -\frac{1}{2}\tag{14}\]

6. Рассмотрим подробнее выражение (11). Выражая плотность, получим:

\[\rho = \frac{m}{CS} \frac{1}{v^2} a_T = \frac{m}{CS} \frac{1}{v^2} \frac{\Delta v}{\Delta t}\tag{15}\]

Таким образом, чтобы найти плотность, надо не знать скорость и ускорение спутника. Кроме того, понадобится также определять высоту, на которой находится спутник в данный момент времени:

\[h = R - R_0 = \frac{GM}{v^2} - R_0\tag{16}\]

Подставим известные численные значения постоянных и получим:

\[\rho = 100 \frac{1}{v^2} \frac{\Delta v}{\Delta t}\tag{17}\]

\[h = \frac{4{,}00 \cdot 10^{14}}{v^2} - 6{,}4 \cdot 10^6\tag{18}\]

Для вычисления \(\rho(h)\) необходимо на приведённом графике взять несколько точек, по значению скорости вычислить высоту полёта спутника, а проведя касательные в этих точках, вычислить ускорения, что позволит определить плотность атмосферы. Результаты приведены в таблице 1.

Таблица 1.

Точно провести касательную – сложная задача, поэтому ускорение приведено с двумя (а в последнем случае – с одной) значащими цифрами. Видим, что в пятидесятикилометровом интервале высоты плотность изменяется почти на три порядка. В таблице также вычислен натуральный логарифм от плотности, что необходимо для определения \(\beta\). На рисунке 1 приведён график \(\ln(\rho) = f(h)\). Можно с достаточной долей уверенности сказать, что плотность действительно будет убывать по экспоненциальному закону.

Из этого графика можно получить величину постоянной \(\beta\):

\[\beta = (1{,}3 \pm 0{,}2) \cdot 10^{-1} \, \text{км}^{-1} = (1{,}3 \pm 0{,}2) \cdot 10^{-4} \, \text{м}^{-1} .\tag{19}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Диффузионный поток через мембрану пропорционален разности концентраций, поэтому разность убывает экспоненциально. Заряды ионов по обе стороны мембраны создают поле плоского конденсатора, а в установившемся режиме потоки уравновешены.

Ответ

1) \(\tau=\dfrac{h_0h_1}{g(h_0+h_1)}\); 2) \(\Delta\overline C=\dfrac{nm}{g}\); 3) \(\Delta\varphi=\dfrac{ea(C_1h_1-C_0h_0)}{2\varepsilon_0}\); 4) стационарная разность потенциалов — положительный корень квадратного уравнения (10) официального решения; 5, 6) схема: источник с ЭДС, равной равновесному потенциалу, и сопротивлением \(R\), емкость слоёв \(C\), время \(RC\).

Решение

1. Диффузия.

Выделим параллелепипед с единичной площадью основания, боковые стороны которого перпендикулярны плоскости мембраны. Изменение чисел части в вне клетки и внутри нее (в пределах выделенного параллелепипеда) описывается уравнениями

\[\begin{aligned} \frac{\Delta N_0}{\Delta t} &= -g(C_0 - C_1) \\ \frac{\Delta N_1}{\Delta t} &= -g(C_1 - C_0) \end{aligned} .\tag{1}\]

Учитывая связь меду числом частиц и соответствующей концентрацией \(N_{0{,}1} = C_{0{,}1} h_{0{,}1}\), перепишем уравнения (1) в виде

\[\begin{array} { c } { { \displaystyle h _ { 0 } \frac { \Delta C _ { 0 } } { \Delta t } = - g ( C _ { 0 } - C _ { 1 } ) } } \\ { { \displaystyle h _ { 1 } \frac { \Delta C _ { 1 } } { \Delta t } = - g ( C _ { 1 } - C _ { 0 } ) } } \end{array} ,\]

из которых следует уравнение, описывающие изменение разности концентраций

\[\frac { \Delta ( C _ { 0 } - C _ { 1 } ) } { \Delta t } = - g \left( \frac { 1 } { h _ { 0 } } + \frac { 1 } { h _ { 1 } } \right) ( C _ { 0 } - C _ { 1 } ) .\tag{2}\]

Из этого уравнения следует, что характерное время установления равновесия определяется формулой

\[\tau = \frac { 1 } { \displaystyle g \left( \frac { 1 } { h _ { 0 } } + \frac { 1 } { h _ { 1 } } \right) } = \frac { h _ { 0 } h _ { 1 } } { g ( h _ { 0 } + h _ { 1 } ) } .\tag{3}\]

2. Вынужденный перенос и диффузия.

При наличии вынужденного переноса в уравнениях (1) появятся дополнительные слагаемые

\[\begin{array} { c } { { \displaystyle \frac { \Delta N _ { 0 } } { \Delta t } = - g ( C _ { 0 } - C _ { 1 } ) - n m } } \\ { { \displaystyle \frac { \Delta N _ { 1 } } { \Delta t } = - g ( C _ { 1 } - C _ { 0 } ) + n m } } \end{array} .\tag{4}\]

Из этих уравнений следует, что в стационарном режиме (когда концентрации частиц не изменяются со временем) разность концентраций равна

\[\Delta \overline { { C } } = C _ { 1 } - C _ { 0 } = \frac { n m } { g } .\tag{5}\]

3. Электрическое поле.

Используя известные формулы для напряженностей полей, создаваемых плоским слоями, можно записать выражение для напряженности однородного поля внутри мембраны

\[E = \frac { e ( C _ { 1 } h _ { 1 } - C _ { 0 } h _ { 0 } ) } { 2 \varepsilon _ { 0 } } .\tag{6}\]

где \(e\) - заряд электрона, положительное направление поля - из клетки наружу.

Тогда разность потенциалов равна

\[\Delta \varphi = E a = \frac { e a ( C _ { 1 } h _ { 1 } - C _ { 0 } h _ { 0 } ) } { 2 \varepsilon _ { 0 } } .\tag{7}\]

4. Перенос ионов.

Будем считать, что концентрация ионов внутри клетки превышает их концентрацию вне ее. В этом случае уравнения баланса числа частиц принимают вид

\[\begin{array} { c } { { \displaystyle \frac { \Delta N _ { 0 } } { \Delta t } = - g ( C _ { 0 } - C _ { 1 } ) - n m + b C _ { 1 } \Delta \varphi } } \\ { { \displaystyle \frac { \Delta N _ { 1 } } { \Delta t } = - g ( C _ { 1 } - C _ { 0 } ) + n m - b C _ { 1 } \Delta \varphi } } \end{array} .\tag{8}\]

В стационарном режиме эти уравнения равносильны, поэтому для определения стационарных концентраций, к ним необходимо добавить условие постоянства числа частиц

\[C_0 h_0 + C_1 h_1 = C_e (h_0 + h_1).\tag{9}\]

Теперь из уравнений (7)-(9) нам необходимо найти выражение для разности потенциалов \(\Delta \varphi\). Для упрощения расчетов все концентрации, фигурирующие в этих уравнениях, выразим через искомую разность потенциалов. Для чего запишем

\[C_0 h_0 + C_1 h_1 = C_e (h_0 + h_1)\]

\[C_1 h_1 - C_0 h_0 = \frac{2 \varepsilon_0}{ea} \Delta \varphi\]

Теперь складывая и вычитая эти выражения, получим

\[C_1 = C_e \frac{(h_0 + h_1)}{2 h_1} + \frac{2 \varepsilon_0}{ea h_1} \Delta \varphi\]

\[C_0 = C_e \frac{(h_0 + h_1)}{2 h_0} - \frac{2 \varepsilon_0}{ea h_0} \Delta \varphi\]

Подставим эти выражения в уравнения (8) в стационарном режиме, в результате получим квадратное уравнение для определения стационарной разности потенциалов

\[-g \left( C_e \frac{(h_0 + h_1)}{2 h_0} - \frac{2 \varepsilon_0}{ea h_0} \Delta \varphi - C_e \frac{(h_0 + h_1)}{2 h_1} - \frac{2 \varepsilon_0}{ea h_1} \Delta \varphi \right) - nm + b \left( C_e \frac{(h_0 + h_1)}{2 h_1} + \frac{2 \varepsilon_0}{ea h_1} \Delta \varphi \right) \Delta \varphi = 0\]

Путем алгебраических преобразований преобразуем его к стандартному виду

\[\frac{2 \varepsilon_0 b}{ea h_1} (\Delta \varphi)^2 + \left( \frac{2 \varepsilon_0 g (h_0 + h_1)}{ea h_0 h_1} + b C_e \frac{(h_0 + h_1)}{2 h_1} \right) \Delta \varphi - \left( nm + C_e g \frac{h_1^2 - h_0^2}{2 h_0 h_1} \right) = 0\tag{10}\]

Положительный корень которого и даст искомую разность потенциалов.

5. Эквивалентная схема.

Конечно, указанную эквивалентную схему следует дополнить электрическими емкостями слоев жидкости вне и внутри клеток. Удобно моделировать эти слои не конденсаторами, а уединенными проводниками. Если же принять потенциал вне клетки равным нулю, то можно «обойтись» и одним уединенным проводником. В такой схеме очевидно, что эквивалентна ЭДС должна быть равна значению равновесного потенциала, определяемого уравнением (10), а величина \(RC\) соответствует времени установления равновесия, примерно определяемым формулой (3).

6. Когда натриевые каналы закрыты, то разность потенциалов определяется равновесной разностью потенциалов, обусловленной ионами калия (решением уравнения (10)). При открытии натриевых каналов В эквивалентную схему следует включить ЭДС, моделирующую натриевые насосы. В этом случае мембрана постепенно будет изменять свою поляризацию на противоположную, а разность потенциалов стремиться к равновесию, определяемому наличием двух ЭДС, то есть их разностью. Время перехода к этому равновесию будет меньше, так как сопротивление мембраны уменьшится. После закрывания натриевых каналов, мембрана система будет возвращаться к исходному состоянию с большим временем перехода. Схематически этот процесс показан на рисунке.

\textsuperscript{3} В реальности внутри и вне клетки присутствуют ионы и других типов, которые также вносят свой вклад в создание поля. Однако их концентрации практически не изменяются поэтому основную роль играют потенциалы изменяющихся полей, создаваемых теми ионами, концентрации которых изменяются. Поэтому здесь и в дальнейшем принимаем во внимание только их и поля создаваемые ими.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.