зад 1 Разминка
Данное задание состоит из трех не связанных между собой задач.
1.1 Иногда на уроках физики демонстрируют прибор, предназначенный для иллюстрации то ли центробежных сил, то ли условий равновесия, то ли третьего закона Ньютона.
Помогите разобраться!
Длинный гладкий металлический стержень может вращаться вокруг жесткой вертикальной оси на которую насажен стержень. По стержню могут скользить без трения два цилиндра, расположенные с разных сторон от оси вращения. Массы цилиндров равны \(m_1\) и \(m_2\). Цилиндры связаны между собой легкой нерастяжимой нитью длиной \(l\). Положение центра первого стержня задается его координатой \(x_1\) - расстоянием до оси вращения. Стержень раскручивают до угловой скорости \(\omega\).
При каком значении \(x_1\) цилиндры могут оставаться неподвижными относительно вращающегося стержня?
Первый цилиндр расположили на расстоянии \(x_{10}\) от оси вращения и начали раскручивать стержень. Постройте график зависимости установившегося положения этого цилиндра после раскрутки стержня \(x_1\) от его начального положения. Размерами цилиндров можно пренебречь.
1.2 Два одинаковых проводящих шарика, радиусы которых равны \(r\), а массы \(m\), связаны легкой проводящей пружиной жесткости \(k\), длина которой в недеформированном состоянии равна \(l\) (\(l \gg r\)). Шарики помещают в однородное электрическое поле, напряженности \(\vec{E}\), направленной вдоль пружины. Определите амплитуду и период колебаний шариков, возникших после включения электрического поля.
1.3 Мыльный пузырь радиуса \(R_0\) находится во влажной среде, давление воздуха которой равно \(P_0\). Из-за диффузии воздуха через мыльную пленку пузырь медленно сдувается.
Найдите зависимость скорости изменения радиуса пузыря \(\frac{\Delta R}{\Delta t}\) от его же радиуса \(R\). Найдите время, за которое радиус пузыря уменьшится на малую величину \(\Delta R\) (\(\Delta R \ll R_0\)). Температуру воздуха в пузыре и окружающей среде считайте постоянной. Начальная толщина пленки пузыря равна \(h_0\). Поверхностное натяжение мыльной воды равно \(\sigma\). Испарением пленки пренебречь.
Подсказка. Диффузионный поток (количество молекул воздуха, проходящих через единицу площади пленки в единицу времени) \(q\) определяется законом Фика
\[q = -D \frac{\Delta n}{h},\tag{1}\]
где \(\Delta n\) - разность концентраций молекул воздуха с разных сторон пленки, \(h\) - толщина пленки, \(D\) - коэффициент диффузии (считайте известным), знак минус указывает, что поток направлен из стороны большей концентрации в сторону меньшей.
▶ПодсказкаСкрыть
Перейдите во вращающуюся систему отсчёта: в ней на каждый цилиндр действует центробежная сила, а нить связывает их. В пункте 1.2 учтите, что проводящие шарики с пружиной эквипотенциальны, и найдите индуцированные заряды.
▶ОтветСкрыть
1.1) \(\bar x_1=\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\,l\) (равновесие неустойчиво); при \(x_{10}<\bar x_1\) цилиндр уходит к оси (\(x_1=0\)), при \(x_{10}>\bar x_1\) устанавливается \(x_1=l\) (ступенька); 1.2) амплитуда \(x_0=\dfrac{2\pi\varepsilon_0 r l E^2}{2k-4\pi\varepsilon_0 r E^2}\), период \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{2k-4\pi\varepsilon_0 rE^2}}\) (колебания при \(k>2\pi\varepsilon_0 rE^2\)); 1.3) \(\dfrac{\Delta R}{\Delta t}=-\dfrac{4\sigma D}{h_0R_0^2}\,\dfrac{R^3}{3P_0R^2+8\sigma R}\), \(\Delta t=\Delta R\,\dfrac{h_0(3P_0R_0+8\sigma)}{4\sigma D}\).
▶РешениеСкрыть
1.1 Уравнения динамики цилиндров вдоль стержня во вращающейся системе (натяжение нити \(N\), \(x_2=l-x_1\)): \[m_1a_1=m_1\omega^2x_1-N,\qquad -m_2a_1=m_2\omega^2(l-x_1)-N.\] Вычитая из первого уравнения второе, получаем \[(m_1+m_2)a_1=(m_1+m_2)\omega^2x_1-m_2\omega^2 l.\] Положение равновесия (\(a_1=0\)): \[\bar x_1=\frac{m_2}{m_1+m_2}\,l.\] Оно неустойчиво: при \(x_1>\bar x_1\) ускорение \(a_1>0\) и цилиндр смещается дальше, при \(x_1<\bar x_1\) ускорение \(a_1<0\). Поэтому при \(x_{10}<\bar x_1\) первый цилиндр сместится к оси вращения (дойдёт до \(x_1=0\)), в противном случае к оси сместится второй цилиндр, и координата первого станет равной длине нити, \(x_1=l\). При \(x_{10}=\bar x_1\) конечное положение однозначно не определяется. Зависимость \(x_1(x_{10})\) имеет вид ступеньки.
1.2 Шарики и пружина проводящие, поэтому разность потенциалов между шариками равна нулю. При \(l\gg r\) условие эквипотенциальности: \[\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r}-\frac{(-q)}{4\pi\varepsilon_0r}=El\quad\Rightarrow\quad q=2\pi\varepsilon_0rlE.\] Пусть каждый шарик сместился на \(x\) от положения при отсутствии поля. Второй закон Ньютона для шарика: \[ma=qE-2kx-\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0(l+2x)^2}.\] Подставляя \(q=2\pi\varepsilon_0r(l+2x)E\) (заряды зависят от расстояния), получаем \[ma=2\pi\varepsilon_0r(l+2x)E^2-2kx-\frac{\bigl(2\pi\varepsilon_0r(l+2x)E\bigr)^2}{4\pi\varepsilon_0(l+2x)^2}.\] Последним слагаемым можно пренебречь ввиду малости \(r\): \[ma=-\bigl(2k-4\pi\varepsilon_0rE^2\bigr)x+2\pi\varepsilon_0rlE^2.\] Колебания возможны, только если \(k>2\pi\varepsilon_0rE^2\) (иначе пружина не удержит шарики). Тогда это гармонические колебания с периодом \[T=2\pi\sqrt{\frac{m}{2k-4\pi\varepsilon_0rE^2}}.\] Положение равновесия \[x_0=\frac{2\pi\varepsilon_0rlE^2}{2k-4\pi\varepsilon_0rE^2}.\] Так как до включения поля \(x=0\), это и амплитуда колебаний каждого шарика.
1.3 По закону Фика скорость изменения числа молекул воздуха внутри пузыря \[\frac{\Delta N}{\Delta t}=-D\,\frac{n-n_0}{h}\,S.\] Разность давлений внутри и снаружи равна лапласовскому давлению, \(P-P_0=\dfrac{4\sigma}{R}\), поэтому \[n-n_0=\frac{P-P_0}{kT}=\frac{4\sigma}{kTR}.\] Число молекул в пузыре \[N=nV=\frac{4}{3}\pi R^3\frac{P}{kT}=\frac{4\pi R^3}{3kT}\Bigl(P_0+\frac{4\sigma}{R}\Bigr).\] Площадь плёнки \(S=4\pi R^2\); из постоянства объёма плёнки \(h\cdot4\pi R^2=h_0\cdot4\pi R_0^2\), откуда \(h=h_0R_0^2/R^2\). Подставляя всё в закон Фика: \[\frac1{\Delta t}\Delta\Bigl(\frac{4\pi R^3}{3kT}\Bigl(P_0+\frac{4\sigma}{R}\Bigr)\Bigr)=-D\,\frac{4\sigma}{kTR}\cdot\frac{R^2}{h_0R_0^2}\,4\pi R^2\;\Rightarrow\;\frac{\Delta(P_0R^3+4\sigma R^2)}{\Delta t}=-\frac{4\sigma D}{h_0R_0^2}R^3.\] Вычисляя изменение левой части, получаем скорость изменения радиуса: \[\bigl(3P_0R^2+8\sigma R\bigr)\frac{\Delta R}{\Delta t}=-\frac{4\sigma D}{h_0R_0^2}R^3\;\Rightarrow\;\frac{\Delta R}{\Delta t}=-\frac{4\sigma D}{h_0R_0^2}\,\frac{R^3}{3P_0R^2+8\sigma R}.\] Если пренебречь лапласовским давлением по сравнению с атмосферным, скорость пропорциональна радиусу, то есть радиус убывает экспоненциально.
При малом изменении радиуса можно положить \(R=R_0\), тогда искомое время \[\Delta t=\Delta R\,\frac{h_0R_0^2}{4\sigma D}\cdot\frac{3P_0R_0^2+8\sigma R_0}{R_0^3}=\Delta R\,\frac{h_0(3P_0R_0+8\sigma)}{4\sigma D}.\]
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 2 Задача 2
В предложенной задаче вам предстоит разобраться с двумя явлениями, связанными с действием магнитного поля на электрические свойства проводников: эффект Холла и магнетосопротивление.
Эффект Холла - возникновение в проводнике с током, помещённом в магнитное поле, электрического поля в направлении, перпендикулярном и вектору плотности тока и вектору индукции магнитного поля.
Магнетосопротивление - изменение удельной проводимости проводника во внешнем магнитном поле.
Как известно, в металлах носителями тока являются свободные электроны (заряд \(e\), масса \(m\)). В отсутствие каких либо направленных сил, действующих на электроны, все направления движения последних равновероятны. Т.е. электроны находятся в беспорядочном движении подобно молекулам газа. Соответственно для свободных электронов можно ввести понятие средней длины свободного пробега, средней скорости хаотического движения и среднего времени свободного пробега \(\tau\).
Под действием направленной силы на беспорядочное движение электронов накладывается систематическое (дрейфовое) движение. В классическом рассмотрении предполагается, что при наличии внешней силы электрон ускоряется в направлении действия силы в течение времени \(\tau\), а затем, испытав соударение (рассеяние), совершенно «забывает» о своей направленной скорости. Это приводит к тому, что электрон медленно движется в направлении действующей силы с некоторой средней скоростью дрейфа \(v\).
Примечание. Для упрощения рассуждений будем считать, что электрон обладает положительным зарядом.
1. Пусть внутри проводника создано постоянное электрическое поле \(E_X\). Определите среднюю скорость дрейфа электронов \(v_X\).
При рассмотрении электрических токов в проводниках удобно пользоваться понятием подвижности. Под действием силы \(F\) электрон начинает двигаться со скоростью \(v = \mu \cdot \frac{F}{e}\). Коэффициент \(\mu\) называется подвижностью.
2. Выразите \(\mu\) через заряд, массу электрона (\(e\) и \(m\)) и время свободного пробега \(\tau\).
3. Считая, что концентрация электронов в металле равна \(n\), определите связь между удельной проводимостью \(\sigma_0\) и подвижностью электронов \(\mu\).
Перейдём к непосредственному изучению гальваномагнитных явлений. Пусть в проводнике создано поле \(E_X\). При помещении его в магнитное поле \(B_Z\) электроны уже не будут двигаться строго в направлении оси OX. Мы рассмотрим лишь случай слабого поля, когда это отклонение невелико. Движение зарядов в направлении оси OY приведёт к тому, что на границе проводника будут собираться электроны, что в свою очередь вызовет появление поля \(E_Y\) (эффект Холла) (см. рис. 1. Электроны считаются положительными). Т.к. магнитное поле слабое, то и напряжённость поля \(E_Y\) также будет небольшой по сравнению с полем \(E_X\).
4. Пусть \(v_X\) и \(v_Y\) - проекции дрейфовой скорости электрона на оси OX и OY. Выразите эти проекции через подвижность \(\mu\) и составляющие полей \(E_X\), \(E_Y\) и \(B_Z\).
Предположим, что каким-либо образом удаётся избежать накопления зарядов на границах образца (например, образец бесконечен вдоль оси OY, либо вдоль этой оси
приложено внешнее поле, полностью компенсирующее поле \(E_Y\)). В этом случае удельная проводимость образца уменьшится. Это и есть магнетосопротивление, которое принято характеризовать относительным изменением удельной проводимости \(\frac{\sigma_0 - \sigma}{\sigma_0} = \frac{\Delta\sigma}{\sigma_0}\).
5. В нашей модели проводника магнетосопротивление приводит к относительному уменьшению удельной проводимости \(\frac{\Delta\sigma}{\sigma_0} \approx (\mu B_Z)^\gamma\). Определите \(\gamma\).
Примечание. В дальнейшем следует пренебрегать величиной \((\mu B_Z)\) в степени большей чем \(\gamma\).
6. Под каким углом \(\alpha\) к оси OX будет направлена дрейфовая скорость электронов? Если позволить зарядам накапливаться на границах образца, то очень быстро установится равновесное значение поля \(E_Y\), при котором прекратится ток вдоль оси OY. Будем, для простоты, характеризовать эффект Холла безразмерной постоянной \(H\), которая определяется из соотношения:
\[E_Y = H \mu B_Z E_X.\]
7. Определите постоянную \(H\) в данной модели проводника.
8. Покажите, что возникающее в результате эффекта Холла поле \(E_Y\) полностью «уничтожает» магнетосопротивление.
Таким образом, при анализе простейшей модели проводника магнетосопротивление наблюдается только при определённых (искусственных) условиях. Если не компенсировать поле \(E_Y\), то эффект Холла приводит к исчезновению магнетосопротивления.
Однако в реальных проводниках, помещённых в магнитное поле, эти два эффекта существуют одновременно. Для более точного расчета необходимо учитывать распределение электронов по скоростям. Скорость беспорядочного движения не одинакова у всех электронов, т.е. не одинаково время свободного пробега, а значит и различна подвижность.
Подробное описание этих явлений крайне проблематично осуществить ученику 11 класса. Однако в самом простейшем случае различие в подвижностях можно учесть следующим образом. Пусть в проводнике существует два типа электронов. Их концентрация одинакова (\(n_1 = n_2 = n\)), а подвижность одних в два раза больше подвижности других (\(\mu_1 = \mu\), \(\mu_2 = 2\mu_1 = 2\mu\)).
9. Определите удельную проводимость \(\sigma_0\) в такой модели в отсутствие магнитного поля.
В проводнике создается поле \(E_X\). Проводник помещается в магнитное поле \(B_Z\).
10. Определите возникающую в результате эффекта Холла напряженность \(E_Y\). Определите также постоянную \(H\).
11. Покажите, что в такой модели магнетосопротивление присутствует и \(\frac{\Delta\sigma}{\sigma_0} \approx \delta \cdot (\mu B_Z)^\gamma\), где \(\gamma\) имеет значение, уже полученное вами в пункте 5. Определите значение постоянной \(\delta\).
12. Качественно опишите, как будут двигаться электроны каждого сорта в проводнике. Под какими углами \(\alpha_1\) и \(\alpha_2\) к оси OX будут направлены их дрейфовые скорости?
▶ПодсказкаСкрыть
Выпишите силы, действующие на дрейфующий заряд (электрическая и Лоренца), и свяжите скорость дрейфа с силой через подвижность; в слабом поле раскладывайте результат по малому параметру \(\mu B_Z\).
▶ОтветСкрыть
1) \(v_X=\dfrac{e\tau}{2m}E_X\); 2) \(\mu=\dfrac{e\tau}{2m}\); 3) \(\sigma_0=ne\mu\); 4) \(v_X=\mu(E_X+v_YB_Z)\), \(v_Y=\mu(E_Y-v_XB_Z)\); 5) \(\gamma=2\); 6) \(\alpha\approx\mu B_Z\); 7) \(H=1\); 9) \(\sigma_0=3ne\mu\); 10) \(E_Y=\tfrac53\mu B_ZE_X\), \(H=\tfrac53\); 11) \(\delta=\tfrac29\); 12) \(\alpha_1\approx\tfrac23\mu B_Z\), \(\alpha_2\approx-\tfrac13\mu B_Z\).
▶РешениеСкрыть
Считаем электрон положительно заряженной частицей.
1. Электрон движется с ускорением \(a_X=\dfrac{eE_X}{m}\) в течение времени \(\tau\) и набирает направленную скорость \(v=\dfrac{eE_X}{m}\tau\). Средняя скорость дрейфа \[v_X=\frac{e\tau}{2m}E_X.\] Коэффициент \(1/2\) не имеет принципиального значения.
2. Подставляя \(F/e=E_X\) в \(v=\mu F/e\), получаем \(\mu=\dfrac{e\tau}{2m}\).
3. Плотность тока \(j_X=nev_X=ne\mu E_X=\sigma_0E_X\), откуда \(\sigma_0=ne\mu\).
4. Движение вдоль \(OX\) приводит к силе Лоренца вдоль \(-OY\), а движение вдоль \(OY\) — к силе Лоренца вдоль \(+OX\): \[F_X=eE_X+ev_YB_Z,\qquad F_Y=eE_Y-ev_XB_Z.\] Отсюда скорости дрейфа \[v_X=\mu(E_X+v_YB_Z),\qquad v_Y=\mu(E_Y-v_XB_Z).\] Решая систему: \[v_X=\frac{\mu(E_X+\mu E_YB_Z)}{1+\mu^2B_Z^2},\qquad v_Y=\frac{\mu(E_Y-\mu E_XB_Z)}{1+\mu^2B_Z^2}.\]
5. При \(E_Y=0\): \[v_X=\frac{\mu E_X}{1+\mu^2B_Z^2},\qquad v_Y=\frac{-\mu^2B_ZE_X}{1+\mu^2B_Z^2}.\] Плотность тока \(j_X=nev_X\approx ne\mu E_X(1-\mu^2B_Z^2)=\sigma E_X\), поэтому \[\frac{\Delta\sigma}{\sigma_0}=(\mu B_Z)^2,\qquad \gamma=2.\]
6. Так как поле слабое, угол мал: \(\alpha\approx\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{v_Y}{v_X}=\mu B_Z\).
7. Заряды перестанут накапливаться на границах при \(v_Y=0\); тогда \(E_Y=\mu B_ZE_X\), то есть \(H=1\).
8. Подставляя это \(E_Y\) в выражение для \(v_X\): \[v_X=\frac{\mu(E_X+\mu^2B_Z^2E_X)}{1+\mu^2B_Z^2}=\mu E_X,\] то есть получается то же значение, что и без магнитного поля: магнетосопротивления нет.
9. Полный ток двух типов электронов: \(j_X=nev_{1X}+nev_{2X}=ne\mu E_X+ne\cdot2\mu E_X=3ne\mu E_X\), то есть \(\sigma_0=3ne\mu\).
10. Для каждого сорта электронов (\(\mu_1=\mu\), \(\mu_2=2\mu\)): \[v_{1X}=\frac{\mu(E_X+\mu E_YB_Z)}{1+\mu^2B_Z^2},\quad v_{1Y}=\frac{\mu(E_Y-\mu E_XB_Z)}{1+\mu^2B_Z^2},\] \[v_{2X}=\frac{2\mu(E_X+2\mu E_YB_Z)}{1+4\mu^2B_Z^2},\quad v_{2Y}=\frac{2\mu(E_Y-2\mu E_XB_Z)}{1+4\mu^2B_Z^2}.\] Ток вдоль \(OY\) прекращается, если \(v_{1Y}=-v_{2Y}\) (концентрации одинаковы): \[\frac{\mu(E_Y-\mu E_XB_Z)}{1+\mu^2B_Z^2}=-\frac{2\mu(E_Y-2\mu E_XB_Z)}{1+4\mu^2B_Z^2}.\] Решение: \[E_Y=\frac53\,\mu B_ZE_X\,\frac{1+\frac85\mu^2B_Z^2}{1+2\mu^2B_Z^2}\approx\frac53\,\mu B_ZE_X\Bigl(1-\frac25\mu^2B_Z^2\Bigr).\] Пренебрегая слагаемым порядка \(\mu^3B_Z^3\), получаем \(E_Y\approx\dfrac53\mu B_ZE_X\), то есть \(H=\dfrac53\).
11. Подставляя \(E_Y\) в выражения для \(v_{1X}\) и \(v_{2X}\): \[v_{1X}=\frac{\mu E_X\bigl(1+\frac53\mu^2B_Z^2\bigr)}{1+\mu^2B_Z^2},\qquad v_{2X}=\frac{2\mu E_X\bigl(1+\frac{10}3\mu^2B_Z^2\bigr)}{1+4\mu^2B_Z^2}.\] Сохраняя величины порядка \(\mu^2B_Z^2\): \[j_X=ne(v_{1X}+v_{2X})\approx3ne\mu E_X\Bigl(1-\frac29\mu^2B_Z^2\Bigr),\] откуда \[\frac{\Delta\sigma}{\sigma_0}=\frac29(\mu B_Z)^2,\qquad\delta=\frac29,\quad\gamma=2.\]
12. Менее подвижные электроны увлекаются полем \(E_Y\) вдоль положительного направления оси \(OY\); на более подвижные сильнее влияет сила Лоренца, поэтому вдоль \(OY\) они движутся в отрицательном направлении. Подстановка \(E_Y\) в \(v_{1Y}\), \(v_{2Y}\) даёт \[v_{1Y}=\frac23\mu^2B_ZE_X,\qquad v_{2Y}=-\frac23\mu^2B_ZE_X,\] \[v_{1X}\approx\mu E_X,\qquad v_{2X}\approx2\mu E_X.\] Следовательно, \[\alpha_1\approx\frac{v_{1Y}}{v_{1X}}\approx\frac23\mu B_Z,\qquad\alpha_2\approx\frac{v_{2Y}}{v_{2X}}\approx-\frac13\mu B_Z.\]
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 3 Образование облаков
Погожий летний день начинается с безоблачного утра. Часам к одиннадцати на небе появляются легкие белоснежные облака, к обеду почти все небо оказывается покрытым большими кучевыми облаками, которые затем не редко превращаются в грозовые.
В данной задаче вам предстоит рассмотреть простую модель образования облаков, оценить параметры атмосферы, при которых начинается образование облаков, оценить высоту, на которой появляются облака.
Солнечные лучи практически без поглощения проходят через атмосферный воздух и практически полностью поглощаются поверхностью земли. Поэтому воздух у поверхности оказывается теплее, его температура уменьшается с высотой \(z\).
Часть 1. Стационарная атмосфера.
Сначала рассмотрим стационарную атмосферу, то есть распределение температуры, давления и плотности воздуха по высоте не изменяются с течением времени.
Будем считать, что температура воздуха линейно убывает с высотой:
\[T(z) = T_0(1 - az),\tag{1}\]
где \(T_0\) - температура у поверхности земли, \(a\) - постоянный положительный параметр.
1.1 Используя формулу (1) определите, на какой высоте температура убывает на \(1^\circ\).
1.2 Покажите, что при заданном распределении температуры (1) давление воздуха убывает с высотой по закону
\[P(z) = P_0(1 - az)^\alpha.\tag{2}\]
Найдите значение параметра \(\alpha\).
1.3 Покажите, что в рассматриваемой модели плотность воздуха изменяется с высотой по закону
\[\rho(z) = \rho_0(1 - az)^\beta.\tag{3}\]
Найдите значение параметра \(\beta\).
1.4 Постройте на одном графике схематические зависимости величин \(\frac{T(z)}{T_0}, \frac{P(z)}{P_0}, \frac{\rho(z)}{\rho_0}\) от величины \(az\).
Часть 2. Восходящие потоки.
При некоторых условиях (которые вам и предстоит определить), теплый воздух, нагретый у поверхности земли (и имеющий температуру \(T_0\)), начинает подниматься вверх. Рассмотрим небольшую порцию воздуха, начавшую подниматься с поверхности земли. Понятно, что этот воздух начнет расширяться. Так как теплопроводность воздуха очень мала, то можно считать, процесс расширения является адиабатным, то есть происходит без теплообмена с окружающим воздухом. С другой стороны сжимаемость воздуха высока, поэтому выравнивание давлений рассматриваемой поднимающейся порции воздуха и окружающего его воздуха происходит очень быстро.
Подсказка. Уравнение адиабатного процесса имеет вид
\[P V ^ { \gamma } = c o n s t \, ,\tag{4}\]
где \(\gamma\) - показатель адиабаты, для воздуха \(\gamma \approx 1{,}4\).
2.1 Покажите, что при найденном распределении давления по высоте (2), температура поднимающегося воздуха изменяется с высотой по закону
\[T_1(z) = T_0(1 - az)^\delta \, .\tag{5}\]
Определите значение параметра \(\delta\).
2.2 Покажите, что плотность поднимающегося воздуха, изменяется с высотой по закону
\[\rho_1(z) = \rho_0(1 - az)^\varepsilon \, .\tag{6}\]
Определите значение параметра \(\varepsilon\).
2.3 Определите при каком значении параметра \(a\), начавший подниматься воздух будет подниматься все выше и выше. Рассчитайте его численное значение. Рассчитайте также, при какой разности высот \(\Delta z\) в этом случае температура атмосферы будет понижаться на \(1^\circ\).
Часть 3. Конденсация.
Пусть относительная влажность воздуха у поверхности земли равна \(\varphi\).
3.1 На какой высоте над поверхностью земли начнется конденсация водяного пара в поднимающемся воздухе, то есть на какой высоте образуются облака?
Подсказка. Давление насыщенного пара \(P_{\text{нас.}}(T)\) связано с температурой соотношением
\[\ln \frac{P_{\text{нас.}}(T)}{P_{\text{нас.}}(T_0)} = -\frac{q M_1}{R} \left( \frac{1}{T} - \frac{1}{T_0} \right) \, ,\tag{7}\]
где \(P_{\text{нас.}}(T_0)\) - давление насыщенного пара при температуре \(T_0\), \(q\) - удельная теплота испарения воды, \(M_1\) - молярная масса воды, \(R\) - универсальная газовая постоянная.
При решении задачи используйте следующие численные значения:
\(T_0 = 300\,K\) - температура у поверхности земли;
\(\varphi = 70\%\) - влажность воздуха у поверхности земли;
\(M = 29 \cdot 10^{-3} \, \frac{\text{кг}}{\text{моль}}\) - средняя молярная масса воздуха;
\(M_1 = 18 \cdot 10^{-3} \, \frac{\text{кг}}{\text{моль}}\) - молярная масса воды;
\(q = 2{,}2 \cdot 10^6 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}\) - удельная теплота испарения воды;
\(R = 8{,}3 \, \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}\) - универсальная газовая постоянная;
\(g = 9{,}8 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2}\) - ускорение свободного падения.
Воздух считать идеальным газом.
▶ПодсказкаСкрыть
Давление поднимающегося воздуха на любой высоте равно давлению окружающего, поэтому его адиабату удобно записывать в переменных \((T,P)\). Облако начинается там, где температура воздуха падает до точки росы.
▶ОтветСкрыть
1.1) \(\Delta z=\dfrac{\Delta T}{T_0a}\); 1.2) \(\alpha=\dfrac{Mg}{aRT_0}\); 1.3) \(\beta=\alpha-1=\dfrac{Mg}{aRT_0}-1\); 2.1) \(\delta=\dfrac{\gamma-1}{\gamma}\,\dfrac{Mg}{aRT_0}\); 2.2) \(\varepsilon=\dfrac1\gamma\,\dfrac{Mg}{aRT_0}\); 2.3) \(a>\dfrac{\gamma-1}{\gamma}\dfrac{Mg}{RT_0}\approx3{,}3\cdot10^{-5}\text{ м}^{-1}\), \(\Delta z\approx100\text{ м}\); 3.1) \(z=-\dfrac{\gamma}{\gamma-1}\dfrac{(RT_0)^2}{qM_1Mg}\ln\varphi\approx0{,}69\cdot10^3\text{ м}\).
▶РешениеСкрыть
Часть 1. 1.1 Из \(T(z)=T_0(1-az)\) следует \(\Delta T=T_0a\,\Delta z\), поэтому \(\Delta z=\dfrac{\Delta T}{T_0a}\).
1.2 При подъёме на малую высоту \(\Delta z\) давление убывает на \(\Delta P=-\rho g\Delta z\), где плотность из уравнения состояния \(\rho=\dfrac{PM}{RT}\). Значит, \[\frac{\Delta P}{\Delta z}=-\frac{PMg}{RT_0(1-az)}.\] С другой стороны, из \(P=P_0(1-az)^\alpha\) следует \(P'=-\alpha aP_0(1-az)^{\alpha-1}\). Подставляя, получаем \[-\alpha aP_0(1-az)^{\alpha-1}=-\frac{P_0Mg}{RT_0}(1-az)^{\alpha-1},\qquad\alpha=\frac{Mg}{aRT_0}.\]
1.3 Из уравнения состояния и барометрической формулы \[\rho(z)=\frac{PM}{RT}=\frac{MP_0}{RT_0}(1-az)^{\alpha-1},\] то есть \(\beta=\alpha-1=\dfrac{Mg}{aRT_0}-1\).
1.4 Температура падает по линейному закону, давление убывает быстрее всего, а плотность занимает промежуточное значение (графики \(T/T_0\), \(P/P_0\), \(\rho/\rho_0\) как функции \(az\) показаны на рисунке организаторов).
Часть 2. 2.1 Давление поднимающейся порции воздуха равно давлению окружающего воздуха на любой высоте. Из \(V=\text{const}\cdot T/P\) и \(PV^\gamma=\text{const}\) получаем \(TP^{\frac{1-\gamma}\gamma}=\text{const}=T_0P_0^{\frac{1-\gamma}\gamma}\). Подставляя барометрическую формулу: \[T_1(z)=T_0\Bigl(\frac{P_0}{P_0(1-az)^\alpha}\Bigr)^{\frac{1-\gamma}\gamma}=T_0(1-az)^{\frac{\gamma-1}\gamma\alpha},\qquad\delta=\frac{\gamma-1}{\gamma}\,\frac{Mg}{aRT_0}.\]
2.2 Плотность поднимающегося воздуха \[\rho_1(z)=\frac{PM}{RT_1}=\frac{MP_0}{RT_0}(1-az)^{\alpha-\delta},\qquad\varepsilon=\alpha-\delta=\frac1\gamma\,\frac{Mg}{aRT_0}.\]
2.3 Подъём продолжается, если на любой высоте плотность воздуха в потоке меньше плотности окружающего: \(\rho_1(z)<\rho(z)\). Это выполняется, когда \(\alpha-\delta>\alpha-1\), то есть \(\delta<1\): \[\frac{\gamma-1}{\gamma}\,\frac{Mg}{aRT_0}<1\;\Rightarrow\;a>\frac{\gamma-1}{\gamma}\,\frac{Mg}{RT_0}\approx3{,}3\cdot10^{-5}\text{ м}^{-1}.\] При этом значении температура должна понижаться на один градус на высотах меньших, чем \[\Delta z=\frac{\Delta T}{T_0a}=\frac1{300\cdot3{,}3\cdot10^{-5}}\approx100\text{ м}.\]
Часть 3. Для начала конденсации температура поднимающегося воздуха должна стать равной температуре точки росы \(T_x\). Парциальное давление водяного пара равно \(\varphi P_{\text{нас.}}(T_0)\), оно же есть давление насыщенного пара при температуре точки росы: \(\varphi P_{\text{нас.}}(T_0)=P_{\text{нас.}}(T_x)\). Из зависимости давления насыщенного пара от температуры: \[\ln\varphi=-\frac{qM_1}{R}\Bigl(\frac1{T_x}-\frac1{T_0}\Bigr)\;\Rightarrow\;T_x=\frac{T_0}{1-\frac{RT_0}{qM_1}\ln\varphi}.\] Приравнивая к \(T_1(z)\): \[T_0(1-az)^\delta=\frac{T_0}{1-\frac{RT_0}{qM_1}\ln\varphi}.\] Оценка: \(-\dfrac{RT_0}{qM_1}\ln\varphi=-\dfrac{8{,}3\cdot300\cdot\ln0{,}7}{2{,}2\cdot10^6\cdot18\cdot10^{-3}}\approx0{,}0224\), величина мала, поэтому мало и \(az\), и уравнение упрощается: \[1-\delta az=1+\frac{RT_0}{qM_1}\ln\varphi,\qquad\delta az=-\frac{RT_0}{qM_1}\ln\varphi.\] Используя \(\delta=\dfrac{\gamma-1}{\gamma}\dfrac{Mg}{aRT_0}\), получаем высоту образования облаков \[z=-\frac{\gamma}{\gamma-1}\,\frac{(RT_0)^2}{qM_1Mg}\ln\varphi=-\frac{1{,}4}{0{,}4}\cdot\frac{(8{,}3\cdot300)^2\ln0{,}7}{2{,}2\cdot10^6\cdot29\cdot10^{-3}\cdot18\cdot10^{-3}\cdot9{,}8}\approx0{,}69\cdot10^3\text{ м}.\]
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Источник: Республиканская физическая олимпиада Беларуси, 2007/08, заключительный этап, 11 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.