Белорусская, 2008/09, заключительный этап, 11 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Движение гайки в вязкой жидкости настолько медленное, что слагаемым \(ma\) в уравнении движения маятника можно пренебречь: сила сопротивления уравновешивает горизонтальную составляющую силы тяжести, и скорость оказывается пропорциональной смещению. Отсюда экспонента, а наклон графика времени от \(\ln x\) даёт \(1/\gamma\).

Ответ

1.1) \(\dfrac{\Delta x}{\Delta t}=-\gamma x\); 1.2) \(\gamma=\dfrac{mg}{\beta L}\) (\(m\) — масса груза на стержне, \(L\) — длина нити); 4.1) \(\beta=\dfrac{mg}{\gamma L}\); в образце организаторов: \(m_1=6{,}0\) г, \(m_2=10{,}5\) г, \(L=(3{,}35\pm0{,}09)\) м, \(\gamma_1\approx2{,}6\cdot10^{-2}\text{ с}^{-1}\), \(\gamma_2\approx1{,}5\cdot10^{-2}\text{ с}^{-1}\) (отношение \(\gamma_2/\gamma_1\) соответствует отношению масс), \(\beta=(1{,}18\pm0{,}04)\text{ кг/с}\).

Решение

1.1 На основании второго закона Ньютона и с учетом малости угла отклонения \(\alpha = \frac{x}{L}\) запишем уравнение:

\[ma = -mg\alpha - \beta v.\tag{1}\]

Так как ускорение и скорость движения очень малы, то в этом уравнении можно пренебречь слагаемым \(ma\), тогда уравнение движения приобретает вид

\[v = -\frac{mg}{\beta L}x\tag{2}\]

или

\[\frac{\Delta x}{\Delta t} = -\gamma x,\tag{3}\]

где

\[\gamma = \frac{mg}{\beta L}.\tag{4}\]

Часть 2. Параметры установки.

2.1 Измеренные значения масс гайки \(m\) и стержня \(m_0\) равны

\[m = (4{,}5 \pm 0{,}1) \text{ г}\]

\[m_0 = (1{,}5 \pm 0{,}1) \text{ г}.\]

2.2 Период колебаний маятника

\[T = (3{,}67 \pm 0{,}05) \text{ с}.\]

Используя формулу для периода колебаний математического маятника

\[T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}},\tag{5}\]

рассчитаем длину нити

\[L = \frac{T^2 g}{4\pi^2} = 3{,}347 \text{ м}, \quad \Delta L = 2L \frac{\Delta T}{T} = 0{,}09 \text{ м}.\]

Окончательно получаем

\[L = (3{,}35 \pm 0{,}09) \text{ м}.\tag{6}\]

Часть 3. Изучение закона движения.

Результаты измерений времени движения до соответствующего значения координаты для маятника с одной и двумя гайками приведены в Таблице 1. На рис. 2 показаны графики законов движения, построенные по этим данным.

Таблица 1. Результаты измерений времени движения.

Полученные зависимости похожи на экспоненциальные. Для проверки этого утверждения необходимо построить эти графики в полулогарифмическом масштабе. Так как в ходе экспериментов непосредственно измерялось время достижения определенного значения координаты, то предпочтительнее\(^1\) построить графики зависимости времени от логарифма координаты \(t(\ln(x))\). Эти графики приведены на рис. 3 (при расчете учтено смещение нулевого положения маятника \(x_0 = 1{,}5 \text{ см}\)).

Как и следовало ожидать, получены линейные зависимости. В соответствии с приведенным законом движения

\[x(t) = x_0 \exp(-\gamma t),\tag{7}\]

Теоретически зависимости, приведенные на рис. 3 описываются функцией

\[t = -\frac{1}{\gamma} (\ln(x) - \ln(x_0)).\tag{8}\]

Следовательно, коэффициенты наклона графиков численно равны \(\gamma^{-1}\).

\(^1\) В этом случае применение метода наименьших квадратов обосновывается более строго. Не будет большой ошибкой и традиционное построение зависимости логарифма координаты от времени.

Обработка этих зависимостей по МНК (где \(t = a \ln(x) + b\)) приводит к следующим значениям коэффициентов наклона для маятника с одной и двумя гайками, соответственно

\[a_1 = -(67{,}2 \pm 1{,}7) c\]

\[a_2 = -(38{,}7 \pm 0{,}9) c\]

В соответствии с формулой (4) отношение этих коэффициентов должно быть равно обратному отношению масс грузов, подвешенных к маятнику. Вычислим это отношение:

\[\frac{a_1}{a_2} = (1{,}74 \pm 0{,}06).\]

Рассчитаем также отношение масс грузов

\[m_1 = m + m_0 = 6{,}0\,z, \quad \Delta m_1 = \sqrt{(\Delta m)^2 + (\Delta m_0)^2} = 0{,}14\,z;\]

\[m_2 = 2m + m_0 = 10{,}5\,z, \quad \Delta m_2 = \sqrt{(2\Delta m)^2 + (\Delta m_0)^2} = 0{,}22\,z;\]

\[\frac{m_2}{m_1} = 1{,}75 \quad \Delta\left(\frac{m_1}{m_2}\right) = \frac{m_1}{m_2} \sqrt{\left(\frac{\Delta m_1}{m_1}\right)^2 + \left(\frac{\Delta m_2}{m_2}\right)^2} = 0{,}05.\]

Таким образом, полученные данные соответствуют теоретической модели. Значение параметров \(\gamma\) в двух случаях равны:

\[\gamma_1 = (2{,}58 \pm 0{,}06) \cdot 10^{-2}\,c^{-1}\]

\[\gamma_2 = (1{,}49 \pm 0{,}04) \cdot 10^{-2}\,c^{-1}.\]

Часть 4. Итоги.

4.1 Из выражения (4) следуют формулы для расчета коэффициента лобового сопротивления

\[\beta = \frac{mg}{\gamma L} = a \frac{mg}{L}, \quad \Delta\beta = \beta \sqrt{\left(\frac{\Delta a}{a}\right)^2 + \left(\frac{\Delta m}{m}\right)^2 + \left(\frac{\Delta L}{L}\right)^2}.\tag{9}\]

Расчеты по ним приводят к следующим значениям искомого параметра:

Маятник с одной гайкой:

\[\beta_1 = a_1 \frac{m_1 g}{L} = 67{,}2 \frac{6{,}0 \cdot 10^{-3} \cdot 9{,}81}{3{,}35} \approx 1{,}18 \frac{\text{кг}}{c}, \quad \Delta\beta_1 = 0{,}04 \frac{\text{кг}}{c};\]

Маятник с двумя гайками:

\[\beta_2 = a_2 \frac{m_2 g}{L} = 38{,}7 \frac{10{,}5 \cdot 10^{-3} \cdot 9{,}81}{3{,}35} \approx 1{,}19 \frac{\text{кг}}{c}, \quad \Delta\beta_2 = 0{,}05 \frac{\text{кг}}{c};\]

Окончательный результат можно представить в виде

\[\beta = (1{,}18 \pm 0{,}04) \frac{\text{кг}}{c}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

В стационарном режиме вся выделяющаяся мощность уходит в окружающую среду, поэтому \(\Delta T=P/\beta\). При остывании запишите уравнение теплового баланса зажимов (теплоёмкостью стержня пренебрегаем) — получится экспонента с временем \(\tau=cm/\beta\).

Ответ

1.1) \(R_C=R_{C0}(1-\gamma P)\), \(\gamma=\alpha/\beta\) — относительное изменение сопротивления при изменении мощности на 1 Вт; 1.2) \(\tau=\dfrac{cm}{\beta}\), \(\alpha=\gamma\,\dfrac{cm}{\tau}\); в образце организаторов: \(R_{C0}\approx1{,}05\) Ом, \(\gamma=(6{,}9\pm0{,}3)\cdot10^{-2}\text{ Вт}^{-1}\), \(\tau\approx67\) с, 4.1) \(\alpha\approx1{,}5\cdot10^{-3}\text{ К}^{-1}\); 4.2) \(\Delta T\approx90\) К.

Решение

Часть 1. Теоретическая.

В условии приведены формулы, определяющие стационарный режим протекания тока и значения температуры:

\[R = R_0(1 - \alpha \Delta T).\tag{1}\]

\[P = \beta \Delta T.\tag{2}\]

В стационарном режиме вся мощность, выделяющаяся на стержне при протекании тока, рассеивается в окружающую среду. Выражая из формулы (2) разность температур и подставляя в формулу (1) получим

\[R = R_0\left(1 - \frac{\alpha}{\beta}P\right) = R_0(1 - \gamma P).\tag{3}\]

Следовательно, параметр равен

\[\gamma = \frac{\alpha}{\beta}\tag{4}\]

и имеет смысл мощностного коэффициента сопротивления, указывает относительное изменение сопротивления при изменении мощности на нем на 1 Вт.

Запишем очевидное уравнение теплового баланса для стержня с зажимами

\[cm\Delta T = (P - \beta(T - T_0))\Delta t,\tag{5}\]

где \(T_0\) - комнатная температура. Так как сила тока слабо изменяется при небольшом изменении температуры, то выделяющуюся мощность можно считать примерно постоянной. Уравнение (5) перепишем в виде

\[\frac{\Delta T}{\Delta t} = -\frac{\beta}{cm}\left(T - \frac{P + \beta T_0}{\beta}\right) = -\frac{1}{\tau}(T - \overline{T}),\tag{6}\]

где обозначено — характерное время установления теплового равновесия:

\[\tau = \frac{cm}{\beta};\tag{7}\]

— стационарная температура (не нужная в дальнейшем): \(\overline{T} = \frac{P + \beta T_0}{\beta}.\) Из формул (4) и (7) находим

\[\alpha = \gamma \beta = \gamma \frac{cm}{\tau}.\tag{8}\]

Часть 2. Стационарный режим.

Для проведения измерений следует использовать следующую схему. Резистор \(R_0\) должен иметь минимальное значение, что бы достичь максимально возможного значения силы тока через графитовый стержень.

2.1 Результаты измерений напряжений на графитовом стержне \(U_{\text{С}}\) и резисторе \(U_{0}\), а также расчетов силы тока \(I\), мощности, выделяющейся на стержне \(P\), и сопротивления стержня \(R\) представлены в таблице 1.

Расчетные формулы хорошо известны:

— сила тока: \(I = \frac{U_{0}}{R_{0}}\), использован резистор с сопротивлением \(R_{0} = 0{,}51\) Ом;

— мощность: \(P = UI\);

— сопротивление: \(R = \frac{U}{I}\).

Таблица 1. Стационарный режим. Результаты измерений и расчетов.

2.2 Графики зависимостей силы тока от напряжения на графитовом стержне при нагреве и остывании показаны на рис. 2. Полученные результаты показывают, что эти зависимости практически совпадают, что свидетельствует о том, что в процессе измерений стационарный режим достигается.

Рис. 2. Вольт-амперная характеристика стержня.

На рис. 3 показаны зависимости сопротивления стержня от мощности, выделяющейся на нем.

Рис. 3. Зависимость сопротивления стержня от мощности.

Полученные зависимости близки к линейным, большой разброс наблюдается при малых силах токов, что вероятнее всего связано с погрешностями измерений; и при больших токах, где вероятнее всего, существенны конвективные потоки воздуха. Тем не менее, не сложно выделить линейные участки на обоих графиках (Они указаны на рис. 3 и жирным шрифтом в Таблице 1).

Эти линейные участки можно обработать по методу наименьших квадратов (или графически), полагая

\[R = aP + b.\tag{9}\]

Из сравнения с искомой зависимостью \(R = R_0(1 - \gamma P)\) получаем, что характеристики графитового стержня могут быть рассчитаны по параметрам линейной зависимости

\[R_0 = b, \quad \gamma = -\frac{a}{b}.\tag{10}\]

Проведенные расчеты приводят к следующим численным значениям: При нагреве:

\[a = -(7{,}5 \pm 0{,}4) \cdot 10^{-5} \text{ Ом} \cdot \text{мВт}^{-1}\]

\[b = R_0 = 1{,}060 \pm 0{,}003 \text{ Ом}\]

\[\gamma = (7{,}1 \pm 0{,}4) \cdot 10^{-5} \text{ мВт}^{-1} = (7{,}1 \pm 0{,}4) \cdot 10^{-2} \text{ Вт}^{-1}\]

При остывании:

\[a = -(7{,}0 \pm 0{,}4) \cdot 10^{-5} \text{ Ом} \cdot \text{мВт}^{-1}\]

\[b = R_0 = 1{,}036 \pm 0{,}003 \text{ Ом}\]

\[\gamma = (6{,}7 \pm 0{,}3) \cdot 10^{-5} \text{ мВт}^{-1} = (6{,}7 \pm 0{,}3) \cdot 10^{-2} \text{ Вт}^{-1}\]

В пределах погрешности измерений коэффициенты \(\gamma\) оказываются равными. Численные значения параметра \(R_0\) несколько различаются, что видно и на графике 2. Этот факт вполне объясним – при остывании температура оказывается немного выше (хотя это и не слишком существенно для данной работы).

Среднее значение мощностного коэффициента сопротивления равно

\[\bar{\gamma} = (6{,}9 \pm 0{,}3) \cdot 10^{-2} \text{ Вт}^{-1}.\tag{11}\]

Часть 3. Остывание.

3.1 Результаты измерений зависимости напряжения от времени по предложенной схеме и последующих расчетов (см. ниже) приведены в Таблице 2.

Таблица 2. Результаты измерений зависимости напряжение от времени и расчеты параметров.

График полученной зависимости показан на рис. 4. Отметим, что фактически данный график представляет также зависимость температуры (в относительных единицах) от времени. Поэтому теоретические зависимости для напряжения можно переписать из условия, заменив температуру измеренным напряжением:

\[\frac{\Delta U}{\Delta t} = -\frac{1}{\tau}(U - \overline{U}_0).\tag{4}\]

\[(U - \overline{U}) = (U - \overline{U})_0 \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right).\tag{5}\]

Полученная кривая похожа на экспоненту, что качественно подтверждает предложенную модель теплоотдачи. Как видно из графика, напряжение не стремится к нулевому значению.

Можно, конечно, по графику приближенно оценить стационарное значение этого напряжения \(\overline{U} \approx 4\) В, необходимое для дальнейшего для дальнейшей проверки записанных законов и определения их параметров. Однако предпочтительнее непосредственно проверить справедливость уравнения (4)! Для двух соседних точек следует рассчитать значения скорости изменения напряжения («для красоты», взятую с обратным знаком)

\[\left(\frac{\Delta U}{\Delta t}\right)_k = \frac{U_k - U_{k-1}}{t_k - t_{k-1}},\tag{6}\]

среднего напряжения на данном участке

\[U_{\text{ср.}k} = \frac{U_k + U_{k-1}}{2}\tag{7}\]

и построить график их зависимости.

Результаты расчетов этих величин приведены в таблице 2, а график показан на рис. 5.

Как видно из графика уравнение (4) выполняется (если отбросить начальные точки, где скорость изменения велика, промежутки времени малы, поэтому и погрешность высока). Обработка линейной зависимости

\[-\frac{\Delta U}{\Delta t} = a U_{\text{ср.}} + b\tag{8}\]

по МНК (см. примечание ниже) приводит к следующим значениям параметров

\[a = 0{,}0150 \text{ с}^{-1}, \quad b = 0{,}0617 \text{ В}.\]

Сравнивая теоретическую зависимость (4) с линейной функцией, позволяет определить параметры уравнения (4)

Примечание. Понятно, что точность процедуры численного вычисления производной низка, поэтому не следует проводить расчет погрешностей параметров этой зависимости, самое важное в этом графике – возможность определить стационарное значение напряжения.

\[\tau = \frac { 1 } { a } \approx 6 7 \, c , \; \; \overline { { { U } } } = \frac { b } { a } \approx 4 { , } 1 B \, .\tag{9}\]

Найденное значение предельного напряжения позволяет теперь проанализировать «интегральную» зависимость (5). Для этого построим график зависимости \(\ln(U-\overline{U})\) от времени (рис. 6)

Рис. 6. Зависимость напряжения от времени (полулогарифмический масштаб).

Как видно, точки прекрасно легли на прямую (за исключением двух последних – где напряжение близко к предельному, поэтому точность измерений мала). Коэффициент наклона данной прямой, рассчитанный по МНК, равен

\[a = -(0{,}0150 \pm 0{,}0002)\,c^{-1},\]

Что дает значение времени установления теплового равновесия

\[\tau = (66{,}7 \pm 0{,}07)c\tag{10}\]

с погрешностью порядка \(1\%\).

Часть 4. Итоги.

4.1 По формуле (8) рассчитываем температурный коэффициент сопротивления графита

\[\alpha = \gamma \frac{cm}{\tau} = 6{,}9 \cdot 10^{-2}\,Bm^{-1} \frac{0{,}47 \cdot 10^{3}\,\frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot K} \cdot 3{,}0 \cdot 10^{3}\,\text{кг}}{66{,}7\,c} \approx 1{,}5 \cdot 10^{-3}\,K^{-1}.\tag{11}\]

4.2 В ходе измерений в Части 2 сопротивление графита упало от \(1{,}06\) Ом до \(0{,}93\) Ом. Это позволяет оценить изменение температуры стержня

\[\Delta T = \frac{1}{\alpha} \frac{\Delta R}{R_0} \approx \frac{1{,}06 - 0{,}93}{1{,}5 \cdot 10^{-3} \cdot 1{,}06} \approx 90^\circ.\tag{12}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.