Белорусская, 2008/09, заключительный этап, 11 класс, теоретический тур

Подсказка

Горизонтальная проекция скорости при броске сохраняется, а модуль скорости зависит только от высоты. Тот же вид имеет закон преломления в среде, где показатель преломления зависит от одной координаты, — отсюда оптико-механическая аналогия: показателю преломления соответствует модуль скорости тела. Для кругового луча нужно, чтобы фронт волны поворачивался вместе с радиусом.

Ответ

1.1) \(x=v_0t\sin\alpha_0\), \(y=v_0t\cos\alpha_0-\dfrac{gt^2}{2}\); 1.2) \(y=x\operatorname{ctg}\alpha_0-\dfrac{g}{2v_0^2\sin^2\alpha_0}x^2\); 1.3) \(S=\dfrac{2v_0^2\sin\alpha_0\cos\alpha_0}{g}\), \(h_{\max}=\dfrac{v_0^2\cos^2\alpha_0}{2g}\); 1.4) \(f(y)=v_0\sqrt{1-\dfrac{2g}{v_0^2}y}\) (модуль скорости); 1.5) малыми отрезками длины \(l\): \(x_{k+1}=x_k+l\sin\alpha_k\), \(y_{k+1}=y_k+l\cos\alpha_k\), \(\alpha_k=\alpha(y_k)\); 2.1) \(h_{\max}=\dfrac{\cos^2\alpha}{\gamma}\); 2.2) \(S=\dfrac{4\sin\alpha\cos\alpha}{\gamma}\); 3.1) \(r_0=\dfrac{gR^2}{v_0^2}\); 3.2) \(v=v_0\sqrt{\dfrac{2gR^2}{v_0^2r}-1}\); 3.3) \(\Delta v=-\dfrac{v_0}{\sqrt{\frac{2gR^2}{v_0^2r}-1}}\,\dfrac{gR^2}{v_0^2r^2}\,\Delta r\); 3.4) при \(r=r_0\): \(\dfrac{\Delta v}{\Delta r}=-\dfrac{v_0}{r_0}\); 4) \(r=\dfrac{1}{2\gamma}\).

Решение

1. Движение тела в поле тяжести.

1.1 Решение данной части задачи хорошо известно. Так как ускорение направлено вдоль оси \(Oy\), то закон равноускоренного движения имеет вид

\[\begin{cases} x = v_0 t \sin \alpha_0 \\ y = v_0 t \cos \alpha_0 - \frac{g t^2}{2} \end{cases}\tag{1}\]

1.2 Уравнение траектории получим, исключив из закона движения время \(t\):

\[t = \frac{x}{v_0 \sin \alpha_0} \quad \Rightarrow \quad y = v_0 \cos \alpha_0 \frac{x}{v_0 \sin \alpha_0} - \frac{g}{2} \left( \frac{x}{v_0 \sin \alpha_0} \right)^2.\]

После упрощения получим функцию

\[y = x \operatorname{ctg} \alpha_0 - \frac{g}{2 v_0^2 \sin^2 \alpha_0} x^2,\tag{2}\]

описывающую параболическую траекторию движения.

1.3 Выражения для дальности полета и максимальной высоты подъема также хорошо известны:

\[S = \frac{2 v_0^2 \sin \alpha_0 \cos \alpha_0}{g}; \qquad h_{\text{max}} = \frac{v_0^2 \cos^2 \alpha_0}{2g}.\tag{3}\]

1.4 Можно заметить, что произведение модуля скорости на синус угла \(\alpha\) является проекцией скорости на горизонтальную ось \(Ox\): \(v \sin \alpha = v_x\), которая остается неизменной в процессе движения, так как нет внешних сил, изменяющих эту проекцию скорости.

Таким образом, искомой функцией \(f(y)\) может служить модуль скорости тела, который может быть найден из закона сохранения энергии

\[v = \sqrt{v_0^2 - 2gy} = v_0 \sqrt{1 - \frac{2g}{v_0^2} y}.\tag{4}\]

Таким образом, уравнение (1), приведенное в условии задачи, может быть записано в виде

\[\sqrt{1 - \frac{2g}{v_0^2} y} \sin \alpha = \sin \alpha_0\tag{5}\]

1.5 Основная идея заключается в разбиении траектории на малые участки, предпочтительнее постоянной длины \(l\). Допустим, мы нашли точку траектории с координатами \((x_k, y_k)\). По известной зависимости угла координаты \(y\), можно рассчитать угол, под которым будет направлен следующий малый участок траектории \(\alpha_k = \alpha(y_k)\). Координаты конца очередного отрезка рассчитываются по формулам

\[\begin{cases} x_{k+1} = x_k + l \sin \alpha_k \\ y_{k+1} = y_k + l \cos \alpha_k \end{cases}\tag{6}\]

При заданных начальных координатах эта процедура позволяет однозначно построить всю траекторию движения. Таким образом, зависимость \(\alpha(y)\) однозначно определяет траекторию движения.

Примечание. Можно показать, что задание функции* \(\alpha(y)\) позволяет записать дифференциальное уравнение, имеющее однозначное решение.

2. Луч света в слоисто-неоднородной среде.

Запишем закон преломления света в слоисто неоднородной среде

\[n(y) \sin \alpha = n_0 \sin \alpha_0,\]

И подставим выражение для зависимости показателя преломления от координаты \(y\)

\[n_0 \sqrt{1 - \gamma y} \sin \alpha = n_0 \sin \alpha_0.\tag{7}\]

Это уравнение полностью совпадает с уравнением (5), определяющим траекторию движения тела, брошенного под углом к горизонту.

Заметим, что в механике аналогом показателя преломления служит модуль скорости тела – неожиданный результат: там, где в оптике скорость луча возрастает, в механике должна убывать!

Для полного соответствия между уравнениями (5) и (7) следует положить

\[\gamma = \frac{2g}{v_0^2}.\tag{8}\]

Следовательно, траектория луча, описываемая уравнением (7), также является параболой, с параметрами, определяемыми формулами (3). Поэтому для решения данной части задачи достаточно переписать формулы (4) с соответствующей заменой (8)

\[\begin{aligned} S &= \frac{2v_0^2 \sin \alpha_0 \cos \alpha_0}{g} &\Rightarrow& \quad S = \frac{4 \sin \alpha_0 \cos \alpha_0}{\gamma} \\ h_{\text{max}} &= \frac{v_0^2 \cos^2 \alpha_0}{2g} &\Rightarrow& \quad h_{\text{max}} = \frac{\cos^2 \alpha_0}{\gamma} \end{aligned}\tag{9}\]

Примечание. Максимальную глубину проникновения света в брусок, можно найти из условия полного внутреннего отражения. На максимальной глубине проникновения* \(\sin \alpha = 1\), поэтому*

\[n _ { 0 } \sqrt { 1 - \gamma \, y } \sin \alpha = n _ { 0 } \sin \alpha _ { 0 } \quad \Rightarrow\]

\[\sqrt { 1 - \gamma h _ { \mathrm { m a x } } } = \sin \alpha _ { 0 } \quad \Rightarrow \quad h _ { \mathrm { m a x } } = \frac { 1 - \sin ^ { 2 } \alpha _ { 0 } } { \gamma } = \frac { \cos ^ { 2 } \alpha _ { 0 } } { \gamma } \, .\]

Найти подобным образом расстояние, на котором луч выйдет из бруска затруднительно.

3. Круговая орбита.

3.1 При движении по круговой орбите выполняется соотношение, следующее из второго закона Ньютона и закона всемирного тяготения:

\[\frac { m v _ { 0 } ^ { 2 } } { r _ { 0 } } = G \frac { M m } { r _ { 0 } ^ { 2 } } \, .\tag{10}\]

Массу планеты можно выразить из формулы для ускорения свободного падения на поверхности планеты

\[g = G { \frac { M } { R ^ { 2 } } } \, .\tag{11}\]

Из этих выражений определяем соотношение между скоростью спутника и радиусом его круговой орбиты

\[v _ { 0 } ^ { 2 } = { \frac { g R ^ { 2 } } { r _ { 0 } } } \, .\tag{12}\]

Откуда радиус орбиты

\[r _ { 0 } = { \frac { g R ^ { 2 } } { v _ { 0 } ^ { 2 } } } \, .\tag{13}\]

3.2 Зависимость скорости спутника от его расстояния до центра можно выразить из закона сохранения энергии

\[\frac { m v _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } - G \frac { m M } { r _ { 0 } } = \frac { m v ^ { 2 } } { 2 } - G \frac { m M } { r _ { 0 } } \, .\tag{14}\]

С учетом соотношений (11) и (12), формула для скорости приобретает вид

\[\frac { v _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } - \frac { g R ^ { 2 } } { r _ { 0 } } = \frac { v ^ { 2 } } { 2 } - \frac { g R ^ { 2 } } { r _ { 0 } } \quad \Rightarrow \quad - \frac { v _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } = \frac { v ^ { 2 } } { 2 } - \frac { g R ^ { 2 } } { r _ { 0 } } \quad \Rightarrow\]

\[v = v _ { 0 } \sqrt { \frac { 2 g R ^ { 2 } } { v _ { 0 } ^ { 2 } r } - 1 }\tag{15}\]

3.3 Искомое соотношение проще вычислить, с помощью производной

\[\Delta v = v _ { r } ^ { \prime } \Delta r = \frac { v _ { 0 } } { 2 \sqrt { \displaystyle { \frac { 2 g R ^ { 2 } } { v _ { 0 } ^ { 2 } r } } - 1 } } \left( - \frac { 2 g R ^ { 2 } } { v _ { 0 } ^ { 2 } r ^ { 2 } } \right) \Delta r = - \frac { v _ { 0 } } { \sqrt { \displaystyle { \frac { 2 g R ^ { 2 } } { v _ { 0 } ^ { 2 } r } } - 1 } } \left( \frac { g R ^ { 2 } } { v _ { 0 } ^ { 2 } r ^ { 2 } } \right) \Delta r \, .\tag{16}\]

3.4 Полагая \(r = r _ { 0 } = \frac { g R ^ { 2 } } { v _ { 0 } ^ { 2 } }\), получим, что \(\frac { g R ^ { 2 } } { v _ { 0 } ^ { 2 } r } = 1\). В этом случае из формулы (16) следует

\[\frac { \Delta v } { \Delta r } = - \frac { v _ { 0 } } { r _ { 0 } } \, ,\tag{17}\]

что и требовалось доказать.

4. Луч света в осесимметричной неоднородной среде.

Проводя аналогию между оптикой и механикой (показатель преломления аналогичен скорости тела!), можно утверждать, что условием возможности существования кругового луча является условие

\[\frac{\Delta n}{\Delta r} = -\frac{n(r)}{r}.\tag{18}\]

Используя заданную зависимость показателя преломления от радиуса \(n(r) = n_0(1 - \gamma r)\), найдем

\[\frac{\Delta n}{\Delta r} = -n_0 \gamma.\]

Теперь из условия (18) определяем искомый радиус кругового луча

\[-n_0 \gamma = -\frac{n_0(1 - \gamma r)}{r} \quad \Rightarrow \quad r = \frac{1}{2\gamma}.\tag{19}\]

Примечание. Основное условия существования кругового луча (18) может быть получено и без использования оптико-механической аналогии. Фронт этого луча должен поворачиваться так, чтобы оставаться направленным радиально. Это возможно в том случае, если выполняется условие

\[\frac{v(r + \Delta r)}{r + \Delta r} = \frac{v(r)}{r}, \quad \text{или} \quad \frac{\Delta v}{\Delta r} = \frac{v(r)}{r}.\]

Учитывая, что в «оптике» \(v = \dfrac{c}{n}\) (из которого следует \(\dfrac{\Delta v}{\Delta r} = -\dfrac{c}{n^2} \dfrac{\Delta n}{\Delta r}\)), получим

\[\frac{\Delta v}{\Delta r} = \frac{v(r)}{r} \quad \Rightarrow \quad -\frac{c}{n^2} \frac{\Delta n}{\Delta r} = \frac{c}{nr} \quad \Rightarrow \quad \frac{\Delta n}{\Delta r} = -\frac{n}{r}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Пластины раздвигают мгновенно, при максимальном напряжении (нулевом токе): заряд конденсатора не меняется, меняются только емкость, напряжение и энергия. Для малых относительных изменений используйте связь \(\Delta y/y=k\,\Delta x/x\) для степенных зависимостей.

Ответ

1.1) \(\dfrac{\Delta C}{C}=-\delta\); 1.2) \(\dfrac{\Delta U}{U}=\delta\), \(\dfrac{\Delta W}{W}=\delta\), \(\dfrac{\Delta T}{T}=-\dfrac{\delta}{2}\); 1.3) \(W/U=\text{const}\); 1.4) \(WT^2=\text{const}\); 2.1) \(n=\dfrac{\ln10}{\ln(1+\delta)}\approx231\) раздвиганий, время \(t\approx116\,T_0\); 2.2) \(\delta=\dfrac{T_0}{2RC_0}\); 3) промежуток между максимумами напряжения \(t=\dfrac{T_0^2}{4\,\Delta t}\).

Решение

Часть первая. Толчок.

Обозначим площадь пластин конденсатора буквой \(S\). Тогда его емкость:

\[C_0 = \frac{\varepsilon_0 S}{d} .\tag{1}\]

1.1 При увеличении расстояния между пластинами на величину \(\Delta x\), емкость конденсатора становится равной:

\[C_1 = \frac{\varepsilon_0 S}{d + \Delta x} .\tag{2}\]

Относительное изменении емкости:

\[\frac{\Delta C}{C_0} = \frac{C_1 - C_0}{C_0} = \frac{C_1}{C_0} - 1 = \frac{d}{d + \Delta x} - 1 = \frac{1}{1 + \frac{\Delta x}{d}} - 1 \approx -\frac{\Delta x}{d} = -\delta .\tag{3}\]

Причем это соотношение будет справедливо при любом \(d\).

1.2 Т.к. перемещение мгновенное, заряд на конденсаторе не изменяется, поэтому:

\[C_0 U_0 = C_1 U_1 ,\tag{4}\]

т.е.

\[U_1 = U_0 \frac{C_0}{C_1} .\tag{5}\]

Относительно изменение напряжения:

\[\frac{\Delta U}{U} = \frac{U_1 - U_0}{U_0} = \frac{C_0}{C_1} - 1 = \delta .\tag{6}\]

Выражения для энергий:

\[W_0 = \frac{Q^2}{2C_0}, \quad W_1 = \frac{Q^2}{2C_1} ,\tag{7}\]

где \(Q\) - заряд конденсатора.

Поэтому:

\[\frac{\Delta W}{W} = \frac{W_1 - W_0}{W_1} = 1 - \frac{W_0}{W_1} = 1 - \frac{C_1}{C_0} = \delta .\tag{8}\]

Периоды колебаний в контуре до и после перемещения равны соответственно:

\[T_0 = 2\pi \sqrt{LC_0}, \quad T_1 = 2\pi \sqrt{LC_1} .\tag{9}\]

Относительное изменение:

\[\frac{\Delta T}{T} = \frac{T_1 - T_0}{T_0} = \sqrt{\frac{C_1}{C_0}} - 1 = \sqrt{\frac{1}{1 + \delta}} - 1 \approx -\frac{1}{2}\delta .\tag{10}\]

1.3 Т.к. относительные изменения напряжения и энергии одинаковы (выражения (6) и (8)), то можно записать следующее равенство:

\[\frac{\Delta W}{\Delta U} = \frac{W}{U} ,\tag{11}\]

из которого следует, что энергия пропорциональна напряжению, а их отношение остается постоянным:

\[\frac{W}{U} = const .\tag{12}\]

1.4 Аналогично, используя выражения (8) и (10), получаем:

\[\frac{\Delta W}{\Delta T} = -2 \frac{W}{T} ,\tag{13}\]

т.е. \(W \sim T^{-2}\), следовательно:

\[W T^{2} = const\tag{14}\]

Часть 2. Раскачка.

2.1 При возвращении пластин на первоначальное расстояние, энергия конденсатора не изменяется, т.к. эта операция проводится при нулевом напряжении на пластинах конденсатора. Поэтому два раза за период колебаний энергия увеличивается в \((1+\delta)\) раз. Количество перемещений находит из условия:

\[(1+\delta)^{n} = 10\tag{15}\]

Получаем:

\[n = \log_{1+\delta} 10 = \frac{\ln 10}{\ln(1+\delta)} = 231{,}4 \approx 231\tag{16}\]

Т.к. увеличение энергии происходит дважды за период, то время необходимое для увеличения энергии в 10 раз:

\[t = \frac{n}{2} T_{0} \approx 116 T_{0}\tag{17}\]

2.2 Т.к. сопротивление небольшое, то на протяжении половины периода напряжение изменяется по синусоидальному закону. Тогда средняя мощность, выделяемая на сопротивлении:

\[\langle P \rangle = \frac{1}{2} \frac{U_{\text{max}}^{2}}{R}\tag{18}\]

Для поддержания колебаний необходимо, чтобы увеличение энергии за половину периода полностью компенсировало тепловые потери:

\[\frac{1}{2} \frac{U_{\text{max}}^{2}}{R} \frac{T_{0}}{2} = \delta W_{0} = \delta \frac{C_{0} U_{\text{max}}^{2}}{2}\tag{19}\]

Поэтому:

\[\delta = \frac{1}{2} \frac{T_{0}}{R C_{0}}\tag{20}\]

Часть 3. Сбой по согласованию. Предположим, что в начальный момент времени все происходит так, как было описано в предыдущих пунктах задачи. Затем, т.к. частоты не совпадают, увеличение расстояния между пластинами будет происходить не в моменты максимального напряжения на конденсаторе. Соответственно и энергия будет увеличиваться не так значительно. С другой стороны, при уменьшении расстояния между пластинами при ненулевом значении напряжения на конденсаторе, энергия будет уменьшаться. В целом, энергия будет увеличиваться до тех пор, пока значение напряжения на конденсаторе при увеличении расстояния между пластинами, будет больше такового при уменьшении расстояния. Затем энергия системы будет постепенно уменьшаться. Максимальная скорость уменьшения будет в том случае, когда увеличение расстояния между пластинами происходит при нулевом напряжении на них. Затем процесс пойдет в обратную сторону. Потери начнут уменьшаться, а прибыль – расти. Полное время таких изменений определим следующим образом. Обозначим за \(n\), количество полупериодов, необходимых для возникновения первоначальной ситуации. Тогда можно записать следующее условие:

\[n \Delta t = \frac{T_{0}}{2}\tag{21}\]

Тогда искомый промежуток времени равен:

\[t = \frac{T_{0}}{2} n = \frac{T_{0}^{2}}{4 \Delta t}\tag{22}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Проводимость собственного полупроводника складывается из вклада электронов и дырок, а их равновесная концентрация зависит от температуры по экспоненте — температурный коэффициент удобно искать через производную логарифма концентрации. Для фоторезистора запишите баланс: тепловая генерация плюс световая минус рекомбинация, пропорциональная квадрату концентрации.

Ответ

1.1) \(\vec j=\sigma\vec E\); 1.2) \(j=qnv\); 1.3) \(\sigma=en\mu\); 2.1) \(\sigma_0=e\bar n(\mu_n+\mu_p)\approx3{,}0\cdot10^{-4}\text{ Ом}^{-1}\text{м}^{-1}\); 2.2) \(\gamma=\dfrac1T\Bigl(\dfrac32+\dfrac{E_g}{kT}\Bigr)\approx0{,}15\text{ К}^{-1}\); 3.1.1) \(\lambda_{\text{кр.}}=\dfrac{hc}{E_g}\approx1{,}0\) мкм; 3.1.2) \(\alpha=b\Bigl(\dfrac{\lambda_{\text{кр.}}}{\lambda}-1\Bigr)^2\), \(b=BE_g^2\approx4{,}9\cdot10^5\text{ м}^{-1}\); 3.1.3) \(G_r=\dfrac{I_0\lambda}{hc}\alpha\eta\); 3.2.1) \(\dfrac{\Delta n}{\Delta t}=G_T+G_r-R\); 3.2.2) \(\dfrac{\Delta n_1}{\Delta t}=-2r\bar n\,n_1\), \(r=\dfrac{1}{2\bar n\tau}\); 3.2.3) \(G_T=\dfrac{\bar n}{2\tau}\), \(R=\dfrac{n^2}{2\bar n\tau}\); 3.2.4) \(\dfrac{n}{\bar n}=\sqrt{1+W\dfrac{I_0}{I_{00}}\dfrac{\lambda}{\lambda_{\text{кр.}}}\Bigl(\dfrac{\lambda_{\text{кр.}}}{\lambda}-1\Bigr)^2}\), \(W\approx1{,}5\cdot10^9\); 3.3.1) \(\dfrac{i}{i_0}=\dfrac{n}{\bar n}\) (та же формула); 3.3.2) \(i/i_0\approx\sqrt{1{,}67\cdot10^7\,I_0/I_{00}}\propto\sqrt{I_0}\); 3.3.3) \(i/i_0=1\) при \(\lambda>\lambda_{\text{кр.}}\), при \(\lambda<\lambda_{\text{кр.}}\) зависимость близка к линейной.

Решение

1.1 По закону Ома для участка цепи сила тока равна

\[I = \frac{U}{R}.\tag{1}\]

Подставляя известные формулы: — сопротивления проводника \(R = \rho \frac{L}{S}\);

— связи напряжения и напряженности \(U = EL\); — связи силы и плотности тока \(I = jS\)

в уравнение (1), получим \(jS = \frac{EL}{\rho \frac{L}{S}}\), откуда следует, что \(j = \frac{1}{\rho} E = \sigma E\). Очевидно, что направление движения заряженных частиц совпадает с направлением вектора напряженности электрического поля, поэтому

\[\vec{j} = \sigma \vec{E}.\tag{2}\]

1.2 За время \(\Delta t\) площадку площадью \(\Delta S\), расположенную перпендикулярно векторам скоростей частиц, пересекут частицы, находящиеся от площадки на расстоянии \(v \Delta t\). Объем области, опирающейся на выделенную площадку, частицы в котором пересекут площадку равен \(\Delta V = v \Delta t \cdot \Delta S\), число частиц в нем \(N = n \Delta V = n v \Delta t \cdot \Delta S\), они переносят заряд \(\Delta Q = q N = q n v \Delta t \cdot \Delta S\). По определению плотности тока, получим

\[j = \frac{\Delta Q}{\Delta t \cdot \Delta S} = q n v.\tag{3}\]

1.3 Приравнивая выражения для плотности тока (2) и (3), получим

\[e n v = \sigma E.\tag{4}\]

Из этой формулы выразим среднюю скорость движения частиц \(v = \frac{\sigma}{e n} E\). Сравнивая это выражение с определением подвижности \(\langle v \rangle = \mu E\), находим, что проводимость металла находится по формуле

\[\sigma = e n \mu.\tag{5}\]

2.1 Для вычисления удельной проводимости полупроводника необходимо учесть, что ток обусловлен движением как свободных электронов, так и дырок. Не смотря на то, что электроны и дырки движутся в противоположных направлениях, электрические токи, обусловленные их движением, направлены в одну сторону (в сторону движения положительно заряженных дырок). С помощью формулы (5) находим

\[\sigma_0 = e (n_i \mu_n + p_i \mu_p) = e \bar{n} (\mu_n + \mu_p).\tag{6}\]

При подстановке численных значений из Таблицы справочных материалов их необходимо перевести в единицы системы СИ:

\[\sigma _ { 0 } = e \overline { { { n } } } \left( \mu _ { n } + \mu _ { p } \right) = 1 { , } 6 0 \cdot 1 0 ^ { - 1 9 } \, \textit { Кл } \cdot 1 { , } 0 \cdot 1 0 ^ { 1 6 } \, \textit { м } ^ { - 3 } \left( 1 { , } 4 \cdot 1 0 ^ { 3 } + 0 { , } 4 5 \cdot 1 0 ^ { 3 } \right) \cdot 1 0 ^ { - 4 } \, \frac { \textit { м } ^ { 2 } } { \textit { В } \cdot \textit { с } } \approx\tag{7}\]

\[\approx 3 { , } 0 \cdot 1 0 ^ { - 4 } \, O \textit { м } ^ { - 1 } \cdot \textit { м } ^ { - 1 }\]

2.2 Из приведенной в условии формулы

\[\sigma = \sigma _ { 0 } \left( 1 + \gamma \Delta T \right)\]

Следует, что температурный коэффициент равен

\[\gamma = \frac { 1 } { \sigma _ { 0 } } \frac { \Delta \sigma } { \Delta T } \; ,\]

При малых изменениях температуры отношение приращений следует заменить соответствующей производной\(^1\) \(\gamma = \frac { 1 } { \sigma _ { 0 } } \frac { \Delta \sigma } { \Delta T } = \frac { \sigma ^ { \prime } } { \sigma _ { 0 } }\).

При повышении температуры увеличивается концентрация носителей тока, что и приводит к увеличению проводимости. Так проводимость пропорциональна концентрации носителей, то

\[\frac { 1 } { \sigma _ { 0 } } \frac { \Delta \sigma } { \Delta T } = \frac { \sigma ^ { \prime } } { \sigma _ { 0 } } = \frac { 1 } { \overline { { { n } } } } \frac { \Delta \overline { { { n } } } } { \Delta T } = \frac { \overline { { { n } } } ^ { \prime } } { \overline { { { n } } } } \, .\tag{8}\]

Выражение для равновесной концентрации приведено в условии задачи. Указанное отношение проще вычислить с помощью известного математического приема (хотя можно пользоваться и простыми правилами вычисления производных):

\[\overline { { { n } } } = A T ^ { 3 / 2 } \exp \left( - \frac { E _ { g } } { k T } \right) \quad \Rightarrow \quad \ln \overline { { { n } } } = \ln A + \frac { 3 } { 2 } \ln T - \frac { E _ { g } } { k T } \quad \Rightarrow\]

\[\frac { \overline { { { n } } } ^ { \prime } } { \overline { { { n } } } } = \frac { 3 } { 2 } \frac { 1 } { T } + \frac { E _ { g } } { k T ^ { 2 } } = \frac { 1 } { T } \left( \frac { 3 } { 2 } + \frac { E _ { g } } { k T } \right)\tag{9}\]

При расчетах необходимо правильно перевести электрон-вольты в джоули с помощью соотношения \(E _ { g } \left[ \textit { Дж} \right] = e E _ { g } \left[ \textit { эВ} \right]\):

\[\gamma = \frac { 1 } { T } \left( \frac { 3 } { 2 } + \frac { E _ { g } } { k T } \right) = \frac { 1 } { 3 0 0 K } \left( \frac { 3 } { 2 } + \frac { 1 { , } 6 \cdot 1 0 ^ { - 1 9 } \cdot 1 { , } 1 2 } { 1 { , } 3 8 \cdot 1 0 ^ { - 2 3 } \cdot 3 0 0 } \right) \approx 0 { , } 1 5 \, K ^ { - 1 } \, .\tag{10}\]

3.1.1 Красной границе фотоэффекта соответствую фотоны, энергия которых равна ширине энергетической зоны

\[h \nu _ { \kappa p . } = E _ { g } \, .\tag{11}\]

Расчет длины волны не представляет труда:

\[\frac { h c } { \lambda _ { \kappa p . } } = E _ { g } \quad \Rightarrow \quad \lambda _ { \kappa p . } = \frac { h c } { E _ { g } } = \frac { 6 { , } 6 3 \cdot 1 0 ^ { - 3 4 } \, \textit { Дж} \cdot \textit { с } \cdot 3 { , } 0 \cdot 1 0 ^ { 8 } \, \frac { \textit { м} } { \textit { с} } } { 1 { , } 6 \cdot 1 0 ^ { - 1 9 } \, \textit { Кл} \cdot 1 { , } 1 2 \textit { эВ} } \approx 1 { , } 0 \cdot 1 0 ^ { - 6 } \, \textit { м} = 1 { , } 0 \, \textit { мкм}\tag{12}\]

3.1.2 Преобразуем выражение для коэффициента поглощения к виду, удобному для дальнейших расчетов:

—

\(^1\) Для тех, кто не знаком с производными: можно также воспользоваться приближенными формулами для расчета изменения функций.

\[\alpha = B \left( h \nu - E _ { g } \right) ^ { 2 } = B E _ { g } ^ { 2 } \left( \frac { h c } { E _ { g } \lambda } - 1 \right) ^ { 2 } = b \left( \frac { \lambda _ { \kappa p . } } { \lambda } - 1 \right) ^ { 2 } ,\tag{13}\]

Здесь \(b = B E _ { g } ^ { 2 } = 3 { , } 9 \cdot 1 0 ^ { 3 } \frac { c { \mathcal { M } } ^ { - 1 } } { { \ni } B ^ { 2 } } \left( 1 { , } 1 2 { \ni } B \right) ^ { 2 } = 4 { , } 9 \cdot 1 0 ^ { 5 } \, { \scriptscriptstyle M } ^ { - 1 }\) - постоянная величина; \(\lambda _ { \kappa p . } = 1 { , } 0 \, { \scriptscriptstyle M K M }\) - длина волны красной границы фотоэффекта.

3.1.3 В единицу времени на пластинку падает \(\frac { I _ { 0 } } { h \nu } S\) фотонов ( \(S\) - площадь поверхности), из них \(\frac { I _ { 0 } } { h \nu } S \cdot \alpha h\) поглощается, что приводит к появлению \(\frac { I _ { 0 } } { h \nu } S \cdot \alpha h \cdot \eta\) электронно-дырочных пар. Следовательно, в единице объема в единицу времени появляется \(G _ { r } = \frac { 1 } { V } \left( \frac { I _ { 0 } } { h \nu } S h \alpha \eta \right) = \frac { I _ { 0 } \lambda } { h c } \alpha \eta\) пар электронов (это есть скорость генерации).

3.2.1 Концентрация электронов в проводнике изменяется в ходе генерации и регенерации, поэтому уравнение изменения концентрации может быть записано в виде

\[\frac { \Delta n } { \Delta t } = G _ { T } + G _ { r } - R\tag{14}\]

3.2.2 При отсутствии освещения скорость изменения концентрации носителей тока можно представить в форме уравнения

\[\frac { \Delta n } { \Delta t } = G _ { T } - R \, ,\tag{15}\]

Представим концентрации носителей тока в виде \(n = \overline { { n } } + n _ { 1 }\). Скорость рекомбинации пропорциональна квадрату концентрации свободных электронов, поэтому запишем \(R = r n ^ { 2 } = r \left( \overline { { n } } + n _ { 1 } \right) ^ { 2 }\), где \(r\) - некоторый коэффициент пропорциональности. Теперь уравнение (11) принимает вид

\[\frac { \Delta \left( \overline { { n } } + n _ { 1 } \right) } { \Delta t } = G _ { T } - r \left( \overline { { n } } + n _ { 1 } \right) ^ { 2 } = G _ { T } - r \overline { { n } } ^ { 2 } - 2 r \overline { { n } } \cdot n _ { 1 } - r n _ { 1 } ^ { 2 } \, .\tag{16}\]

При \(\overline { { n } } > > n _ { 1 }\) можно пренебречь слагаемым пропорциональным \(n _ { 1 } ^ { 2 }\). Кроме того, равновесная концентрация носителей удовлетворяет условию \(G _ { T } = r \overline { { n } } ^ { 2 }\). Таким образом, уравнение (12) приобретает требуемый вид

\[\frac { \Delta n _ { 1 } } { \Delta t } = - 2 r \overline { { n } } \cdot n _ { 1 } \, .\tag{17}\]

Введенный коэффициент рекомбинации выражается через время жизни электронно-дырочной пары

\[2 r \overline { { n } } = \frac { 1 } { \tau } \quad \Rightarrow \quad r = \frac { 1 } { 2 \overline { { n } } \, \tau } \, .\tag{18}\]

Таким образом, скорость тепловой генерации выражается формулой

\[G _ { T } = r \overline { { n } } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 \tau } \overline { { n } } \ ,\tag{19}\]

а скорость рекомбинации

\[R = r n ^ { 2 } = \frac { n ^ { 2 } } { 2 \overline { { n } } \, \tau } \ .\tag{20}\]

3.2.4 В стационарном режиме концентрация свободных электронов не изменяется, следовательно, в этом случае выполняется соотношение

\[G_T + G_r - R = 0.\tag{21}\]

Подставим в это уравнение полученные ранее выражения для скоростей потоков и коэффициента поглощения

\[\frac{1}{2\tau}\bar{n} + \frac{I_0\lambda}{hc}\alpha\eta - \frac{n^2}{2\bar{n}\tau} = 0.\]

Из этого уравнения получаем

\[\frac{n^2}{\bar{n}^2} = 1 + 2\frac{I_0\lambda}{hc\bar{n}}\alpha\eta\tau = 1 + 2\frac{I_0\lambda}{hc\bar{n}}\eta\tau b\left(\frac{\lambda_{\text{кр.}}}{\lambda} - 1\right)^2.\]

Для упрощения расчетов перепишем данное выражение в виде

\[\begin{aligned} \frac{n^2}{\bar{n}^2} &= 1 + 2\frac{I_0\lambda}{hc\bar{n}}\eta\tau b\left(\frac{\lambda_{\text{кр.}}}{\lambda} - 1\right)^2 = \\ &= 1 + 2\frac{I_{00}\lambda_{\text{кр.}}}{hc\bar{n}}\eta\tau b\frac{I_0}{I_{00}}\frac{\lambda}{\lambda_{\text{кр.}}}\left(\frac{\lambda_{\text{кр.}}}{\lambda} - 1\right)^2 = 1 + W\frac{I_0}{I_{00}}\frac{\lambda}{\lambda_{\text{кр.}}}\left(\frac{\lambda_{\text{кр.}}}{\lambda} - 1\right)^2 \end{aligned}\tag{22}\]

где в одном безразмерном коэффициенте объединились все параметры кремния

\[W = 2\frac{I_{00}\lambda_{\text{кр.}}}{hc\bar{n}}\eta\tau b = 2\frac{10^4\,\frac{\text{Вт}}{\text{м}^2} \cdot 1{,}0 \cdot 10^{-6}\,\text{м}}{6{,}63 \cdot 10^{-34}\,\text{Дж}\cdot\text{с} \cdot 3{,}0 \cdot 10^8\,\frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 1{,}0 \cdot 10^{16}\,\text{м}^{-3}} 0{,}1 \cdot 3{,}0 \cdot 10^{-3}\,\text{с} \cdot 4{,}9 \cdot 10^5\,\text{м}^{-1} =\]

\[= 1{,}5 \cdot 10^9\]

(здесь \(I_{00} = 1\,\frac{\text{Вт}}{\text{см}^2} = 10^4\,\frac{\text{Вт}}{\text{м}^2}\) - единица измерения интенсивности). Окончательно получаем искомую формулу

\[\frac{n}{\bar{n}} = \sqrt{1 + W\frac{I_0}{I_{00}}\frac{\lambda}{\lambda_{\text{кр.}}}\left(\frac{\lambda_{\text{кр.}}}{\lambda} - 1\right)^2}.\tag{23}\]

3.3.1 Сила тока через фоторезистор при постоянном напряжении на нем пропорциональна проводимости фоторезистора, которая в свою очередь пропорциональна концентрации носителей тока. Следовательно, формула (19) также описывает изменение силы тока

\[\frac{i}{i_0} = \sqrt{1 + W\frac{I_0}{I_{00}}\frac{\lambda}{\lambda_{\text{кр.}}}\left(\frac{\lambda_{\text{кр.}}}{\lambda} - 1\right)^2}.\tag{24}\]

3.3.2 Подставляя значение длины волны в выражение (20), вычислим значение коэффициента при интенсивности

\[W\frac{\lambda}{\lambda_{\text{кр.}}}\left(\frac{\lambda_{\text{кр.}}}{\lambda} - 1\right)^2 = 1{,}5 \cdot 10^9 \cdot 0{,}9 \cdot \left(\frac{1}{0{,}9} - 1\right)^2 \approx 1{,}67 \cdot 10^7.\]

Такое большое значение этого коэффициента позволяет пренебречь 1 под корнем, то есть сила тока пропорциональна корню квадратному из интенсивности падающего света. График этой зависимости показан на рисунке.

3.3.3 В данном случае требуется построить график функции

\[\frac { i } { i _ { 0 } } = \sqrt { 1 + 1 { , } 5 \cdot 1 0 ^ { 7 } \, \frac { \lambda } { \lambda _ { \kappa p . } } \left( \frac { \lambda _ { \kappa p . } } { \lambda } - 1 \right) ^ { 2 } } \ .\tag{25}\]

При построении следует учесть, что при \(\lambda > \lambda _ { \kappa p . }\) фотоэффект отсутствует, поэтому в этой

области \(i = i _ { 0 }\). При \(\lambda < \lambda _ { \kappa p . }\) искомая зависимость практически линейна (см. рисунок).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.