зад 1 Поплавок
Приборы и оборудование: Пузырек аптекарский, трубка для коктейля, соль, ложка чайная одноразовая, мензурка, стаканчик одноразовый, штангенциркуль, вода чистая, жидкость \(X\) (0,5 литра – она не ядовитая, но и не вкусная).
В данной работе вам необходимо изготовить прибор для измерения плотности жидкости (ареометра) и провести измерения зависимости плотности смеси жидкостей от ее концентрации.
Ареометр представляет собой цилиндрический сосуд (аптекарская мензурка) с солью внутри и тонкой трубкой, вертикально вставленной в его крышку.
Часть 1. Теоретическая.
Экспериментально удобнее измерять длину части трубки, находящейся над поверхностью жидкости} \(h\).
1.1 Запишите уравнение, связывающую объем пузырька \(V_0\), его массу \(m\), диаметр трубки \(d\), длину трубки \(l\), длину части трубки, находящейся над поверхностью жидкости \(h\) и плотность исследуемой жидкости \(\rho\).
1.2 Вам известна плотность (в данном случае чистой воды \(\rho_0 = 1{,}00 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}\)), длина части трубки над поверхностью жидкости \(h_0\). В исследуемой жидкости измеренная длина свободной части трубки увеличилась на величину \(\Delta h\). Получите формулу, позволяющую рассчитать плотность этой жидкости. Считайте, что плотность исследуемой жидкости отличается на малую величину \(\Delta \rho\), кроме того, изменение объема погруженной части трубки можно считать значительно меньшим, чем объем пузырька.
Часть 2. Конструкторская.
2.1 Экспериментально подберите такое количество соли внутри пузырька, что бы в чистой воде глубина погружения ареометра была максимальна (но пузырек еще не утонул), а в жидкости \(X\) минимальна (но поддающаяся измерению). Нанесите деления (лучше через \(0{,}5\) см) на трубку. Укажите пределы глубины погружения, которые вам удалось добиться.
2.2 Измерьте плотность жидкости \(X\). Укажите результаты всех измерений, которые Вам пришлось провести, чтобы определить плотность жидкости \(X\).
Часть 3. Исследовательская.
Вам необходимо исследовать зависимость плотности раствора жидкости \(X\) в воде. Используйте следующее определение концентрации раствора
\[c_X = \frac{V_X}{V_X + V_{\text{воды}}}\tag{1}\]
где \(V_x\) - объем жидкости \(X\), \(V_{\text{воды}}\) - объем чистой воды, налитые при приготовлении смеси. Согласно этому определению концентрация чистой воды равна 0, а концентрация жидкости \(X\) равна 1.
Для приготовления растворов известной концентрации рекомендуем использовать следующую методику. Удобно использовать порции жидкости постоянного объема (для этого используйте выданный вам одноразовый пластиковый стаканчик).
— Залейте в мензурку 10 порций чистой воды. Получите смесь концентрации 0. Проведите необходимые Вам измерения.
— Отлейте из мензурки одну порцию и залейте одну порцию жидкости \(X\), проведите измерения.
— Отлейте из мензурки одну порцию имеющейся смеси и опять добавьте одну порцию жидкости \(X\).
— Повторите эту процедуру 10 раз.
Покажите, что расчет концентраций смеси после \(k\) переливаний можно проводить последовательно по формуле
\[c_{Xk} = c_{Xk-1} + \frac{1 - c_{Xk-1}}{10}.\tag{2}\]
Теперь повторите описанную процедуру, но сначала залейте в мензурку 10 порций жидкости \(X\), после этого отливайте одну порцию смеси, а добавляйте одну порцию чистой воды. Получите формулу, описывающую изменение концентрации смеси в этом случае.
3.1 Проведите измерения зависимости длины трубки над жидкостью \(h\) от концентрации смеси.
3.2 Постройте график полученной зависимости изменения плотности смеси от его концентрации.
3.3 Получите формулу, описывающую полученную зависимость. Удовлетворяют ли Ваши экспериментальные данные этой теоретической зависимости?
▶ПодсказкаСкрыть
Масса ареометра не меняется, поэтому в любой жидкости сила Архимеда одна и та же: \(\rho\,V_{\text{погр}}=\text{const}\). Малое изменение плотности связано с малым изменением длины торчащей части трубки линейно.
▶ОтветСкрыть
1.1) \(m=\rho\Bigl(V_0+\dfrac{\pi d^2}{4}(l-h)\Bigr)\); 1.2) \(\Delta\rho=\rho_0\dfrac{\pi d^2}{4V_1}\Delta h\), где \(V_1=V_0+\dfrac{\pi d^2}{4}(l-h_0)\) — объём погружённой части в воде; 2.2) в образце организаторов \(\rho_X\approx1{,}07\text{ г/см}^3\); 3) \(c_{Xk}=c_{Xk-1}+\dfrac{1-c_{Xk-1}}{10}\), при добавлении воды вместо жидкости \(X\) — \(c_{Xk}=\dfrac{9}{10}c_{Xk-1}\); 3.3) \(\rho=\rho_0+c_X(\rho_X-\rho_0)\) (линейная зависимость, опыт её подтверждает).
▶РешениеСкрыть
1.1 Сила тяжести, действующая на ареометр, уравновешивается силой Архимеда
\[mg = \rho g \left( V_0 + \frac{\pi d^2}{4} (l - h) \right).\tag{1}\]
1.2 Так как масса ареометра не изменяется, то при изменении плотности жидкости выполняется соотношение
\[\rho_0 g \left( V_0 + \frac{\pi d^2}{4} (l - h_0) \right) = (\rho_0 + \Delta \rho) \left( V_0 + \frac{\pi d^2}{4} (l - h_0) - \frac{\pi d^2}{4} \Delta h \right).\tag{2}\]
Раскроем скобки в правой части этого уравнения
\[\rho_0 \left( V_0 + \frac{\pi d^2}{4} (l - h_0) \right) = \rho_0 \left( V_0 + \frac{\pi d^2}{4} (l - h_0) \right) - \rho_0 \frac{\pi d^2}{4} \Delta h + \Delta \rho \left( V_0 + \frac{\pi d^2}{4} (l - h_0) \right) - \Delta \rho \frac{\pi d^2}{4} \Delta h\]
Последним слагаемым можно пренебречь из-за его малости, поэтому формула для расчета изменения плотности имеет вид
\[\Delta \rho = \rho_0 \frac{\pi d^2}{4 V_1} \Delta h,\tag{3}\]
где обозначено \(V_1 = \left( V_0 + \frac{\pi d^2}{4} (l - h_0) \right)\) - объем погруженной части ареометра в воде, который легко измерить с помощью мензурки.
2.1 Глубина погружения изменяется примерно на 11-12 см.
2.2 Для определения плотности жидкости X можно использовать формулу (3). Измерения параметров ареометра дают следующие значения
\[\begin{aligned} d &= (4{,}50 \pm 0{,}05) \text{мм} \\ V_1 &= (25 \pm 1) \text{см}^3 \\ \Delta h &= (11{,}0 \pm 0{,}25) \text{см} \end{aligned}\]
Плотность жидкости X
\[\rho = \rho_0 \left( 1 + \frac{\pi d^2}{4 V_1} \Delta h \right) = 1{,}00 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} \left( 1 + \frac{3{,}14 \cdot 0{,}45^2}{4 \cdot 25} \cdot 11 \right) = 1{,}070 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}\]
\[\delta(\Delta \rho) = \Delta \rho \sqrt{ \left( 2 \frac{\delta d}{d} \right)^2 + \left( \frac{\delta V_1}{V_1} \right)^2 + \left( \frac{\delta(\Delta h)}{\Delta h} \right)^2 } = 0{,}004 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}\]
3. При отливании смеси в мензурке остается \(9 c_{Xk-1}\) порций жидкости X, добавляется еще одна порция смеси, поэтому концентрация нового раствора оказывается равной
\[c_{Xk} = \frac{9 c_{Xk-1} + 1}{10} = c_{Xk-1} + \frac{1 - c_{Xk-1}}{10}.\tag{4}\]
При добавлении воды концентрации пересчитываются по формуле
\[c_{Xk} = \frac{9 c_{Xk-1}}{10}.\tag{5}\]
3.1 Результаты измерений и расчетов изменения плотности смеси приведены в таблице 1. График полученной зависимости показан на рис. 1.
Таблица 1.
| \(c_{\text{x}}\) | \(\Delta h\), см | \(\Delta \rho \cdot 10^{3}\), \(\frac{\text{кг}}{\text{см}^{3}}\) |
| 0,000 | 0,0 | 0,00 |
| 0,100 | 1,3 | 8,27 |
| 0,190 | 2,6 | 16,54 |
| 0,271 | 3,6 | 22,90 |
| 0,344 | 4,3 | 27,35 |
| 0,410 | 4,6 | 29,26 |
| 0,469 | 5,1 | 32,44 |
| 0,522 | 5,5 | 34,98 |
| 0,570 | 6,1 | 38,80 |
| 0,613 | 6,8 | 43,25 |
| 0,651 | 7,7 | 48,97 |
| 1,000 | 11,0 | 69,96 |
| 0,900 | 9,8 | 62,33 |
| 0,810 | 8,9 | 56,60 |
| 0,729 | 8,2 | 52,15 |
| 0,656 | 7,6 | 48,34 |
| 0,590 | 7,0 | 44,52 |
| 0,531 | 6,0 | 38,16 |
| 0,478 | 5,2 | 33,07 |
| 0,430 | 4,8 | 30,53 |
| 0,387 | 4,2 | 26,71 |
| 0,349 | 3,3 | 20,99 |
Получена линейная зависимость, которая теоретически должна описываться функцией
\[\rho = \rho_{0}(1 - c_{\text{x}}) + \rho_{\text{x}}c_{\text{x}} = \rho_{0} + c_{\text{x}}(\rho_{\text{x}} - \rho_{0}).\tag{6}\]
Экспериментальные вполне соответствуют этой теоретической зависимости.
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 2 Трение и равновесие
Приборы и оборудование: Нитки, кнопки канцелярские, набор грузов \(6 \times 100\) г, линейка 40 см.
В данной работе вам предстоит исследовать условия равновесия тел и силу трения между нитью и пластмассовой канцелярской кнопкой. Воткните две кнопки в торец крышки стола. К одной из них привяжите конец нити, перебросьте нить через вторую кнопку. Грузы необходимо прикреплять к концу нити и к середине между кнопками. Вам необходимо измерять высоты подъемов грузов, прикрепленных к концу нити и к ее середине.
Обозначим высоту подъема груза \(m_0\) через \(x\), расстояние от точки крепления грузов до стола \(h\), расстояние между кнопками \(2l\).
Когда нить переброшена через стержень, натяжения нити различны с различных сторон от стержня из-за наличия сил трения между нитью и поверхностью стержня. Можно показать, что отношение сил натяжения нитей при постоянном угле закрутки остается постоянным:
\[T_1 = \beta T_0,\tag{1}\]
где \(\beta\) - коэффициент, зависящий от коэффициента трения и угла закрутки. Основной целью вашей работы является проверка данной формулы и определение коэффициента \(\beta\).
Теоретическое введение.
Для определения силы натяжения нити \(T_1\) необходимо рассмотреть геометрические соотношения между сторонами треугольника \(ABC\) и измеряемыми параметрами \(h\) (расстояние на которой опустился центральный груз) и \(x\) (высота подъема крайнего груза). Выразим из теоремы Пифагора длину отрезка \(\vert AD\vert = a\)
\[a = \sqrt{l^2 - h^2}.\tag{1}\]
Теперь из подобия треугольников \(BCD\) и \(AGB\) следует
\[\frac{h}{l+x} = \frac{d}{2l}, \quad \Rightarrow \quad d = 2l \frac{h}{l+x}\tag{2}\]
Условие равновесия груза \(m_1\) имеет вид
\[m_1 g a = T_1 d,\tag{3}\]
из которого следует формула для расчета силы \(T_1\):
\[T_1 = m_1 g \frac{a}{d}\tag{4}\]
Измерения
Все измерения проводите в двух случаях: при опускании грузов \(m_0\) и при их подъеме:
— Сначала поднимите груз \(m_0\) выше положения равновесия, затем, слегка придерживая его рукой, дайте ему медленно опуститься до положения равновесия;
— Опустите груз \(m_0\) ниже положения равновесия, а затем, придерживая его рукой, дайте ему подняться до положения равновесия.
Результаты измерений и последующих расчетов удобно представить в таблице
| \(m_0\), г | \(m_1\), г | подъем | опускание | ||||||||
| \(x\), мм | \(h\), мм | \(a\), мм | \(d\), мм | \(T_1\), Н | \(x\), мм | \(h\), мм | \(a\), мм | \(d\), мм | \(T_1\), Н |
1.1 Прикрепите к середине нити один груз. Измерьте значения опускания грузов \(x\) и высоты подъема центрального груза \(h\) от числа грузов, подвешенных к концу нити. Измерения проведите при опускании и при подъеме грузов.
1.2 Постройте графики полученных зависимостей \(x(m_0)\) и \(h(m_0)\) при подъеме и при опускании. Дайте им качественное объяснение.
1.3 Постройте графики зависимостей силы натяжения \(T_1\) от силы натяжения \(T_0\) при подъеме и при опускании грузов. Подтверждают ли полученные результаты формулу (1)?
1.4 Проведите аналогичные измерения для всевозможных отношений масс \(m_1\) и \(m_0\) (при этом всегда должно выполняться условие \(m_0 \ge m_1\)). Постройте объединенные графики зависимостей силы натяжения \(T_1\) от силы натяжения \(T_0\) при подъеме и при опускании грузов. Используя полученные экспериментальные зависимости, определите значение коэффициента \(\beta\) в формуле (1). Согласуются ли полученные значения этого коэффициента, рассчитанные по двум зависимостям (при подъеме и опускании)?
1.5 Представьте все полученные данные в виде одной, объединенной зависимости, укажите, как это можно сделать. Определите значение коэффициента \(\beta\) по этой объединенной зависимости. Оцените погрешность полученного результата.
▶ПодсказкаСкрыть
Груз на середине нити уравновешивается двумя натяжениями; из подобия треугольников выразите плечо силы натяжения через измеряемые \(h\) и \(x\). Трение нити о кнопку уменьшает натяжение в одно и то же число раз, поэтому зависимость \(T_1(T_0)\) должна быть линейной.
▶ОтветСкрыть
Расчётные формулы: \(a=\sqrt{l^2-h^2}\), \(d=2l\dfrac{h}{l+x}\), \(T_1=m_1g\dfrac{a}{d}\); \(T_1=\beta T_0\) — зависимости практически линейны (при подъёме \(\beta\approx0{,}82\), при опускании \(\beta\approx0{,}81\)); по объединённой зависимости \(\beta\approx0{,}85\pm0{,}06\).
▶РешениеСкрыть
1.1 Результаты измерений приведены в таблице 1.
Таблица 1. Результаты измерений и расчетов.
| \(m_{0}\), г | \(m_{1}\), г | Подъем | опускание | ||||||||
| \(x\), мм | \(h\), мм | \(a\), мм | \(d\), мм | \(T_{1}\), Н | \(x\), мм | \(h\), мм | \(a\), мм | \(d\), мм | \(T_{1}\), Н | ||
| 1 | 1 | 50 | 125 | 305,4 | 217,1 | 1,41 | 167 | 230 | 236,6 | 305,4 | 0,77 |
| 2 | 1 | 19 | 70 | 322,5 | 132,4 | 2,44 | 45 | 110 | 311,1 | 193,6 | 1,61 |
| 3 | 1 | 10 | 45 | 326,9 | 87,4 | 3,74 | 20 | 65 | 323,5 | 122,6 | 2,64 |
| 4 | 1 | 5 | 35 | 328,1 | 69,0 | 4,76 | 10 | 50 | 326,2 | 97,1 | 3,36 |
| 2 | 2 | 47 | 127 | 304,6 | 222,3 | 2,74 | 160 | 235 | 231,7 | 316,5 | 1,46 |
| 3 | 2 | 20 | 85 | 318,9 | 160,3 | 3,98 | 70 | 150 | 293,9 | 247,5 | 2,38 |
| 4 | 2 | 12 | 70 | 322,5 | 135,1 | 4,77 | 35 | 105 | 312,8 | 189,9 | 3,30 |
1.2 Графики зависимости \(x(m_0)\) и \(h(m_0)\) показаны на рис. 1
Рис. 1
Эти зависимости не линейны, потому что изменяется не только масса груза, но и плечо силы натяжения нити \(T_1\).
1.3 Аналогичные зависимости регистрируются при других значениях масс подвешенных грузов.
Графики зависимости силы натяжения \(T_1\) от натяжения \(T_0\) показаны на рис. 2. Данные зависимости практически линейны, что подтверждает высказанное предположение о том, что трение уменьшает силу натяжения нити в одно и тоже число раз. Параметр \(\beta\) определяется как коэффициент наклона при подъеме и величина обратная коэффициенту наклона при опускании груза. Значение коэффициента \(\beta\), рассчитанное по зависимости при подъеме равно \(\beta \approx 0{,}82\); по зависимости при опускании \(\beta = \frac{1}{1{,}24} \approx 0{,}81\). Таким образом, данные согласуются друг с другом.
Рис. 2
1.5 Для объединения всех данных необходимо построить зависимость «меньшей силы» от «большей» (т.е. обратить зависимость, полученные при опускании). В этом случае график будет отражать именно уменьшение силы натяжения нити из-за ее трения о кнопку. Этот график показан на рис. 3. Значение коэффициента \(\beta\), рассчитанное по этой зависимости равно
\[\beta \approx 0{,}85 \pm 0{,}06.\]
Рис. 3
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Источник: Республиканская физическая олимпиада Беларуси, 2008/09, заключительный этап, 9 класс, экспериментальный тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.