Белорусская, 2008/09, заключительный этап, 9 класс, теоретический тур

Подсказка

Период обращения найдите из третьего закона Кеплера, сравнив астероид с Землёй; ускорение свободного падения — через массу шара \(M=\frac43\pi r^3\rho\). Уменьшение веса на экваторе даёт центростремительное ускорение вращения.

Ответ

1.1) \(T_{\text{А}}\approx4{,}0\) года; 1.2) наименьшее расстояние \(1{,}5\) а.е. \(\approx2{,}2\cdot10^{11}\) м, повторится через \(\dfrac{T_{\text{З}}T_{\text{А}}}{T_{\text{А}}-T_{\text{З}}}\approx1{,}33\) года, примерно 1 мая 2010 г.; 1.3) \(g_{\text{А}}=\dfrac{4\pi}{3}G\rho r_{\text{А}}\approx7{,}5\cdot10^{-3}\text{ м/с}^2\); 1.4) \(v=\sqrt{g_{\text{А}}r_{\text{А}}}\approx8{,}7\) м/с; 1.5) \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{r_{\text{А}}}{\eta g_{\text{А}}}}\approx2{,}3\cdot10^4\text{ с}\approx6{,}4\) ч; 1.6.1) \(h=h_0\dfrac{g_{\text{З}}}{g_{\text{А}}}\approx0{,}65\cdot10^3\) м; 1.6.2) примерно на \(12\%\); 1.6.3) ошибка около \(6\%\) (уточнённая высота \(\approx0{,}69\cdot10^3\) м).

Решение

1.1 По второму закону Ньютона (с учетом закона всемирного тяготения)

\[G \frac{M_{\text{С}} m}{R^{2}} = m \frac{4 \pi^{2}}{T^{2}} R,\tag{1}\]

где \(m\) – масса планеты, \(R\) – радиус орбиты планеты, \(T\) - период обращения планеты вокруг Солнца. Сравним движение Астероида и Земли, получим

\[T_{\text{А}} = T_{\text{З}} \sqrt{\left(\frac{R_{\text{А}}}{R_{\text{З}}}\right)^{3}} \approx 1 \sqrt{\left(\frac{2{,}5}{1}\right)^{3}} \approx 4{,}0 \text{ года}.\tag{2}\]

1.2 Наименьшее расстояние между астероидом и Землей будет, когда Солнце, Земля и Астероид установятся на одной прямой (точка 1 на рис.). При этом расстояние между Астероидом и Землей равно

\[L = R_{\text{А}} - R_{\text{З}} = 1{,}5 \text{ а.е.} \approx 2{,}2 \cdot 10^{11} \text{ м}.\tag{3}\]

Следующий раз такая ситуация повторится, когда Земля в своем движении вокруг Солнца обгонит астероид на угол \(2\pi\), (или \(360^{\circ}\)) - точка 2. Относительная угловая скорость Земли относительно астероида равна \(\omega_{\text{отн.}} = \omega_{\text{З}} - \omega_{\text{А}} = \frac{2\pi}{T_{\text{З}}} - \frac{2\pi}{T_{\text{А}}}\).

Следовательно, время движения можно рассчитать по формуле

\[\tau = \frac{2\pi}{\omega_{\text{отн.}}} = \frac{2\pi}{\frac{2\pi}{T_{\text{З}}} - \frac{2\pi}{T_{\text{А}}}} = \frac{T_{\text{З}} T_{\text{А}}}{T_{\text{А}} - T_{\text{З}}} \approx 1{,}33 \text{ года}.\tag{4}\]

Таким образом, следующий раз минимальное расстояние между Землей и Астероидом случится через 1,33 года, т.е. примерно 1 мая 2010 года.

1.3 На любое тело, на поверхности Астероида, действует сила всемирного тяготения, сообщающая ему ускорение \(g_{\text{А}}\), которое можно выразить из уравнения

\[m g_{\text{А}} = G \frac{M_{\text{А}} m}{r_{\text{А}}^{2}}; \quad \Rightarrow \quad g_{\text{А}} = G \frac{M_{\text{А}}}{r_{\text{А}}^{2}}.\tag{5}\]

Масса Астероида выражается через его плотность

\[M_{\text{А}} = \rho V = \frac{4}{3} \pi r_{\text{А}}^{3} \rho.\tag{6}\]

Подстановка формулы для массы в формулу (5) и последующий расчет приводит к результату

\[g_{\text{А}} = \frac{4\pi}{3} G r_{\text{А}} \rho = \frac{4\pi}{3} \cdot 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 10 \cdot 10^{3} \cdot 2{,}7 \cdot 10^{3} \approx 7{,}5 \cdot 10^{-3} \frac{\text{м}}{\text{с}^{2}}.\tag{7}\]

1.4 Первая космическая скорость соответствует скорости движения по круговой орбите с радиусом, равным радиусу астероида, поэтому

\[m \frac{v^{2}}{r_{\text{А}}} = m g_{\text{А}} \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{g_{\text{А}} r_{\text{А}}} = \sqrt{7{,}5 \cdot 10^{-3} \cdot 10 \cdot 10^{3}} \approx 8{,}7 \frac{\text{м}}{\text{с}}.\tag{8}\]

1.5 Вес тела на полюсе планеты численно равен силе тяжести, действующей на тело

\[P _ { 0 } = m g _ { A } .\tag{9}\]

На экваторе планеты вес тела уменьшается из-за суточного вращения планеты, поэтому на экваторе вес тела оказывается равным

\[P _ { 1 } = m g _ { A } - m \omega ^ { 2 } r _ { A } = m g _ { A } - m \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { T _ { A } ^ { 2 } } r _ { A } = m g _ { A } \left( 1 - 4 \pi ^ { 2 } \frac { r _ { A } } { T _ { A } ^ { 2 } g _ { A } } \right) .\tag{10}\]

Следовательно, относительное изменение веса тела равно

\[\eta = 4 \pi ^ { 2 } \frac { r _ { A } } { T _ { A } ^ { 2 } g _ { A } } .\tag{11}\]

Из этой формулы следует, что период обращения Астероида вокруг собственной оси (т.е. сутки) рассчитывается по формуле

\[T _ { A } = 2 \pi \sqrt { \frac { r _ { A } } { \eta g _ { A } } } \approx 2{,}3 \cdot 10 ^ { 4 } \, c \approx 6{,}4 \, \text{часа} .\tag{12}\]

1.6.1 Высота прыжка рассчитывается по известной формуле

\[h = \frac { v _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 g } .\tag{13}\]

Так как начальная скорость прыжка одинакова на Земле и Астероиде, то высота прыжка оказывается обратно пропорциональной ускорению свободного падения, поэтому высота прыжка на Астероиде будет равна

\[h = h _ { 0 } \frac { g _ { 3 } } { g } \approx 0{,}65 \cdot 10 ^ { 3 } \, \text{м} .\tag{14}\]

1.6.2 Ускорение свободного падения на высоте \(h\) рассчитывается по формуле

\[g = G \frac { M } { ( r + h ) ^ { 2 } } = G \frac { M } { r ^ { 2 } } \frac { r ^ { 2 } } { ( r + h ) ^ { 2 } } = g _ { 0 } \frac { r ^ { 2 } } { ( r + h ) ^ { 2 } } ,\tag{15}\]

здесь \(r\) - радиус планеты, \(g _ { 0 }\) - ускорение свободного падения на поверхности планеты.

Таким образом, относительное уменьшение ускорения свободного падения равно

\[\varepsilon = \frac { g _ { 0 } - g } { g _ { 0 } } = 1 - \left( \frac { r } { r + h } \right) ^ { 2 } \approx 12\% .\tag{16}\]

1.6.3 Уточнить найденную приближенно высоту прыжка можно, заменив в формуле (13) ускорение свободного падения на поверхности на среднее значение ускорения на поверхности и на найденной максимальной высоте, то есть положить

\[\overline { { { h } } } = \frac { v _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \displaystyle \frac { g _ { 0 } + g _ { h } } { 2 } } = \frac { v _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 g _ { 0 } } \frac { 2 } { 1 + \displaystyle \frac { g _ { h } } { g _ { 0 } } } = h \frac { 2 } { 1 + \left( \displaystyle \frac { r } { r + h } \right) ^ { 2 } } = h \frac { 2 } { 2 - \varepsilon } \approx 1{,}06 h \approx 0{,}69 \cdot 10 ^ { 3 } \, \text{м} .\tag{17}\]

Таким образом, учет зависимости ускорения свободного падения от высоты приводит к увеличению высоты примерно на \(6\%\), что составляет примерно \(40\) м.

Небольшое дополнение.

Пункт 1.6 может быть решен точно при использовании закона сохранения энергии и формулы для энергии гравитационного взаимодействия тел

\[\frac { m v _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } = G \frac { M m } { r } - G \frac { M m } { r + h } .\tag{18}\]

Решить данное уравнение не сложно:

\[\frac { v _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } = G \frac { M } { r } - G \frac { M } { r + h } = G \frac { M } { r } \left( 1 - \frac { r } { r + h } \right) = g _ { 0 } r \frac { h } { r + h }\]

\[\frac { v _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 g _ { 0 } } r + \frac { v _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 g _ { 0 } } h = r h \quad \Rightarrow \quad \overline { { { h } } } = \frac { v _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 g _ { 0 } } \frac { 1 } { 1 - \displaystyle \frac { v _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 g _ { 0 } r } } = \frac { h } { 1 - \displaystyle \frac { h } { r } } \approx 0 { , } 6 9 5 \cdot 1 0 ^ { 3 } \, \text{м}.\tag{19}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

У каждого элемента своя связь силы и деформации: пружина — \(x=F/k\), демпфер — \(v=F/a\), фрикцион — сила не больше \(f\). При параллельном соединении деформации одинаковы, а силы складываются, при последовательном — наоборот.

Ответ

1.1.1) \(v=\dfrac{F-kx}{a}\) (убывающая прямая от \(F/a\) до нуля при \(x=F/k\)), деформация асимптотически приближается к \(x_P=F/k\); 1.2.1) скорость сразу \(F/a\) и не меняется, деформация скачком до \(F/k\), затем растёт линейно: \(x=\dfrac{F}{k}+\dfrac{F}{a}t\); 1.3) мгновенная деформация \(F/k\), затем как в 1.1; 2.1) при \(F<f\) деформации нет, затем \(x=\dfrac{F-f}{k}\) до \(x_M=\dfrac{f}{k}\), при разгрузке деформация остаётся неизменной до \(F=0\), далее сжатие линейно; график \(x(F)\) — петля гистерезиса из отрезков 1–6.

Решение

Часть 1. Демпфер и пружина.

1.1 Деформации элементов одинаковы, а внешняя сила уравновешивается силой упругости пружины и демпфера:

\[\begin{cases} x_1 = x_2 = x \\ F_1 + F_2 = F \end{cases} .\tag{1}\]

Используя формулы (1) и (2) из условия задачи составим уравнение:

\[kx + av = F ,\tag{2}\]

Из которого получаем выражение для скорости

\[v = \frac{F - kx}{a} .\tag{3}\]

Зависимость скорости деформации от величины деформации представляет собой отрезок прямой, пересекающей ось \(v\) в точке \(\frac{F}{a}\) и ось \(x\) в точке \(\frac{F}{k}\).

В начальный момент времени деформация отсутствует, \(x = 0\), поэтому скорость деформации будет максимальна и равна:

\[v_0 = \frac{F}{a} .\tag{4}\]

Затем, по мере увеличения деформации, скорость деформации будет становиться все меньше и меньше (асимптотически приближаться к нулю).

Величина деформации \(x\) вначале достаточно быстро увеличивается, а затем, т.к. скорость уменьшается, постепенно приближается своему равновесному значению:

\[x_P = \frac{F}{k} .\tag{5}\]

1.2 При последовательном соединении величина деформации равна сумме деформаций каждого элемента, а сила \(F\) оказывается приложенной и к пружине и к демпферу (элементы невесомые).

\[\begin{cases} x_1 + x_2 = x \\ F_1 = F_2 = F \end{cases}\tag{6}\]

Следовательно, скорость деформации мгновенно достигнет значения (4) и не будет изменяться с течением времени. Величина деформации также мгновенно достигнет значения (5), а затем будет линейно увеличиваться.

1.3 Смешанное соединение приведет к тому, что в начальный момент времени произойдет мгновенная деформация на величину (5). Затем деформация будет повторять таковую, описанную в первом пункте задачи. Т.е. скорость в начальный момент будет равна (4), а затем будет уменьшаться. А деформация будет увеличиваться и приближаться к значению \(2F/k\). На графике зависимости \(v(x)\) также произойдет смещение на величину \(F/k\).

Часть 2. Фрикцион и пружина.

При параллельном соединении фрикциона и пружины сила \(F\) уравновешивается силой упругости пружины и силой трения возникающей внутри фрикциона. До тех пор пока значение силы не превысит \(f\), деформация будет отсутствовать (отрезок 1 на графике \(x(F)\)). Когда сила трения внутри фрикциона превращается в силу трения скольжения (т.е. остается постоянной и равной \(f\)) между силами выполняется соотношение:

\[F = kx + f\tag{7}\]

Т.е. зависимость деформации от величины силы представляет собой линейную зависимость:

\[x = \frac{1}{k}F - \frac{f}{k}\tag{8}\]

Максимальная деформация составит величину:

\[x _ { M } = \frac { f } { k } \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ( 9 ) .\]

Этот процесс изображен отрезком 2 на графике.

Как только сила \(F\) начнет уменьшаться, сила трения в фрикционе снова станет силой трения покоя и деформация прекратится. По мере уменьшения приложенной силы, сила трения покоя будет уменьшаться и достигнет нулевого значения при \(F = f\). Далее сила трения покоя поменяет направление на противоположное и начнет возрастать, однако деформация не начнется до тех пор пока сила трения не достигнет значения \(f\), а это произойдет только в тот момент, когда внешняя сила \(F\) станет равной нулю. Только тогда пружина начнет сжиматься. Поэтому при уменьшении силы от \(2f\) до нуля график зависимости деформации от силы будет представлять горизонтальный отрезок 3.

Далее внешняя сила начнет сжимать систему. Сила трения в фрикционе будет являться силой трения скольжения и будет препятствовать сжатию с силой \(f\). При максимальной сжимающей силе \(F = -2f\) деформация достигнет максимального значения, модуль которой равен (7). Этот процесс изображен отрезком 4.

Затем возникнет аналогичная ситуация, и деформация будет оставаться неизменной до тех пор, пока модуль внешней силы не станет равным нулю, после чего деформация опять начнет линейно увеличиваться. Последние процессы изображаются отрезками 5 и 6 соответственно.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Резкое изображение получается, когда расстояние от линзы до экрана равно диаметру глаза. Глубину резкости найдите через допустимое смещение изображения на расстояние между колбочками и малое смещение предмета, связанное с ним через формулу линзы.

Ответ

1.3) \(\Delta b=-\Delta a\Bigl(\dfrac{F}{a-F}\Bigr)^2\) (изображение приближается к линзе); 2.1) \(F_{\min}\approx22\) мм, \(F_{\max}=24\) мм; 3.1) \(\Delta a_1\approx-1{,}3\) мм; 3.2) \(\Delta a_2\approx1{,}3\) мм; 4.1) \(h=\rho\dfrac{a_0}{D}\approx2{,}1\cdot10^{-2}\) мм (здесь \(\rho\approx2{,}0\cdot10^{-3}\) мм — расстояние между колбочками).

Решение

Часть 1. Введение.

1.1 Построение изображения проводится традиционно:

— от точки \(A\) проводим луч \(AC\), параллельный главной оптической оси, после преломления луч пройдет через точку заднего фокуса \(CF_2\);

— от точки \(A\) проводим луч, проходящий через точку переднего фокуса \(F_1\) до пересечения с плоскостью линзы \(AF_1D\), после преломления этот луч пойдет параллельно главной оптической оси; продлеваем его до пересечения с лучом \(CF_2\) - точки \(A'\), которая и является изображением точки \(A\).

1.2 Обозначим размер предмета \(AB\) - \(l\), а размер изображения \(A'B'\) - \(l'\). Из подобия треугольников \(ACD\) и \(F_1OD\) следует

\[\frac{l+l'}{a} = \frac{l'}{F}.\tag{1}\]

Аналогично, из подобия треугольников \(A'CD\) и \(F_2OC\) следует

\[\frac{l+l'}{b} = \frac{l}{F}.\tag{2}\]

Складывая эти уравнения, получим требуемое соотношение

\[\frac{l+l'}{a} + \frac{l+l'}{b} = \frac{l+l'}{F} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{F}.\tag{3}\]

1.3 Прежде всего, с помощью формулы линзы найдем расстояние от линзы до изображения предмета

\[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{F} \quad \Leftrightarrow \quad b = \frac{aF}{a-F}.\tag{4}\]

Теперь подставим в полученную формулу линзы (3), измененные расстояния от линзы до предмета и до изображения

\[\frac{1}{a+\Delta a} + \frac{1}{b+\Delta b} = \frac{1}{F}\]

и воспользуемся приведенной в условии приближенной формулой для обоих слагаемых:

\[\frac{1}{a} - \frac{\Delta a}{a^2} + \frac{1}{b} - \frac{\Delta b}{b^2} = \frac{1}{F}.\]

Из этого соотношения (с учетом связи между исходными расстояниями) получим требуемый результат:

\[\frac{\Delta b}{b^2} = -\frac{\Delta a}{a^2} \quad \Rightarrow \quad \Delta b = -\Delta a \left( \frac{b}{a} \right)^2 = -\Delta a \left( \frac{F}{a-F} \right)^2.\tag{5}\]

Знак минус указывает, что при удалении предмета от линзы его изображение приближается к ней. Рисунок иллюстрирует полученный алгебраический результат.

Часть 2. Изменение фокусного расстояния глаза.

Наиболее отчетливое изображение получается в том случае, когда изображение предмета оказывается на экране (сетчатке), то есть когда расстояние от линзы до изображения равно диаметру глазного яблока

\[b = D.\tag{6}\]

2.1 Фокусные расстояния можно вычислить с помощью формулы линзы. В первом случае, когда \(a_1 \to \infty\), фокусное расстояние зрачка равно диаметру глазного яблока \(F_1 = D = 24\) мм. Когда расстояние до рассматриваемого предмета равно \(a_0\), фокусное расстояние оказывается равным

\[\frac{1}{a_0} + \frac{1}{D} = \frac{1}{F} \quad \Rightarrow \quad F_0 = \frac{a_0 D}{a_0 + D} = \frac{250 \cdot 24}{250 + 24} \approx 21{,}9 \text{ мм}.\]

Таким образом, фокусное расстояние зрачка изменяется в пределах

\[F_{\min} = 22 \text{ мм}, \quad F_{\max} = 24 \text{ мм}.\tag{7}\]

Часть 3. Глубина резкости.

В данной части задачи следует принять во внимание дискретную структуру рецепторов сетчатки. Поэтому сначала вычислим среднее расстояние \(\rho\) между отдельными рецепторами (колбочками). Можно считать, что рецепторы расположены по желтому пятну равномерно. Пусть на каждый рецептор приходится площадь \(s = \frac{1}{4} \pi \rho^2\), а \(N_2\) рецепторов покрывают всю площадь желтого пятна \(S = \pi r^2\). Тогда расстояние радиус кружка, приходящегося на один рецептор, оценивается следующим образом

\[N_2 \frac{1}{4} \pi \rho^2 = \pi r^2 \quad \Rightarrow \quad \rho = \frac{2r}{\sqrt{N_2}} \approx \frac{2 \cdot 2{,}5}{\sqrt{6{,}0 \cdot 10^6}} \approx 2{,}0 \cdot 10^{-3} \text{ мм}.\tag{8}\]

Интересно отметить, что расстояние между рецепторами не намного превышает длину световой волны видимого диапазона.

3.1 Если размер пятна на сетчатке меньше, чем среднее расстояние между рецепторами, глаз (точнее мозг) будет воспринимать это пятно как точку, то есть четкое изображение.

Следовательно, положение изображения, формируемого зрачком, может не попадать точно на сетчатку, а отстоять от нее на некотором расстоянии \(\Delta b\), таком, чтобы размер пятна на экране не превышал \(\rho\). Рисунок иллюстрирует ход лучей в такой ситуации (масштаб смещения сильно преувеличен). Диаметр зрачка обозначен \(d = 4{,}0\) мм.

Из рисунка следует, что предельное смещение изображения должно удовлетворять соотношению

\[\frac{\rho}{\Delta b} = \frac{d}{D + \Delta b}.\]

Учитывая, что \(\Delta b \ll D\), получим

\[\Delta b = \frac{D \rho}{d}.\tag{9}\]

Теперь можно воспользоваться соотношением (5) для определения возможного смещения рассматриваемого предмета

\[\frac{\Delta b}{b^2} = -\frac{\Delta a}{a^2} \quad \Rightarrow \quad \Delta a_1 = -\Delta b \left( \frac{a}{b} \right)^2 = -\rho \frac{D}{d} \left( \frac{a_0}{D} \right)^2 = -2{,}0 \cdot 10^{-3} \frac{24}{4{,}0} \left( \frac{250}{24} \right)^2 \approx -1{,}3 \text{ мм}.\tag{10}\]

3.2 В этом случае решение полностью аналогично, что подтверждается рисунком хода лучей при удалении предмета. Поэтому

\[\Delta a_2 \approx 1{,}3 \text{ мм}.\tag{11}\]

Часть 4. Разрешающая способность.

В этом случае расстояние между изображениями \(A'_1 A'_2 \le \rho\) двух точек должно быть больше, чем среднее расстояние между рецепторами \(\rho\). Положения изображений \(A'_1\) и \(A'_2\) проще всего найти, проведя лучи через оптический центр зрачка \(O\). Из подобия треугольников находим минимальной расстояние

\[\frac{h}{a_0} = \frac{\rho}{D} \quad \Rightarrow \quad h = \rho \frac{a_0}{D} = 2{,}0 \cdot 10^{-3} \frac{250}{24} \approx 2{,}1 \cdot 10^{-2} \text{ мм}.\tag{11}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.