Белорусская, 2009/10, заключительный этап, 10 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Силу тока через порошок находите по напряжению на известном резисторе, а напряжение на порошке измеряйте тем же вольтметром, переключая ключ. Омический участок ВАХ — это участок, где проводимость не зависит от тока; в сжатом порошке контактов больше и проводимость растёт.

Ответ

Схема измерений: \(I=\dfrac{U_1}{R_0}\), проводимость \(\Lambda=\dfrac{1}{R_x}=\dfrac{I}{U_2}\). Часть 1: ВАХ порошка без нагрузки линейна лишь при токах меньше \(0{,}5\) мА (там закон Ома выполняется), при больших токах проводимость монотонно растёт примерно на \(10\%\) (частичное спекание частиц). Часть 2: проводимость растёт при увеличении нагрузки (больше площадь контактов), наблюдается петля гистерезиса (остаточная деформация), размах и ширина петли уменьшаются от цикла к циклу (уплотнение порошка). Часть 3: при максимальной нагрузке ВАХ явно нелинейна, закон Ома не выполняется.

Решение

В работе использован железный металлический порошок.}

Все измерения удобно проводить по схеме, показанной на рисунке. Переменный резистор \(R\) позволяет регулировать напряжение, подаваемое на исследуемый порошок. При включении ключа в положение 1 измеряется напряжение \(U_1\) на известном резисторе \(R_0\) (в наших измерениях \(510\) Ом), что позволяет рассчитать силу тока чрез порошок;

\[I = \frac{U_1}{R_0}.\tag{1}\]

Переключение ключа в положение 2 дает возможность измерить напряжение на порошке \(U_2\). Проводимость порошка рассчитывается по формуле

\[\Lambda = \frac{1}{R_x} = \frac{I}{U_2} = \frac{1}{R} \frac{U_1}{U_2}\tag{2}\]

Часть 1.

На графике представлена вольтамперная характеристика порошка без нагрузки. Строго говоря, эта зависимость не линейна, поэтому в общем случае следует сказать, что закон Ома не выполняется. Однако, для токов, меньших \(0{,}5\) мА наблюдается прямо пропорциональная зависимость между силой тока и напряжением, поэтому в этом диапазоне закон Ома для участка цепи справедлив.

Этот вывод подтверждает и рассчитанная зависимость проводимости порошка от силы тока. В указанном диапазоне результаты измерений разброса хаотично, что связано, скорее всего, с погрешностями измерений. При больших токах проводимость монотонно возрастает, чуть более, чем на \(10\%\). Можно предположить, что увеличение проводимости (или уменьшение сопротивления) связано с частичным спеканием микрочастиц порошка.

Примечание. В этой части не приведены данные в табличном виде, только для экономии места, все результаты представлены на графиках. От участников олимпиады не требуется такого большого числа точек – достаточно 15-20 точек, но в приведенном здесь интервале напряжений.

Часть 2.

В таблице приведены результаты измерений проводимости металлического порошка при попеременном увеличении и снятии нагрузки для трех циклов нагрузки-разгрузки. После каждого изменения нагрузки выдерживался интервал времени 40-50 с, пока показания вольтметра не стабилизировались.

Таблица 1. Результаты измерений проводимости порошка при нагрузке и разгрузке.

Цикл 1.

Цикл 2.

Цикл 3.

Для сравнения, приведены три цикла «нагрузка-разгрузка на одной диаграмме. Полученные зависимости обладают рядом особенностей:

— при увеличении нагрузки проводимость порошка возрастает, что связано со сжатием порошка и, как следствие увеличением площади контактов между микрочастицами;

— наблюдается петля гистерезиса, т.е. при снятии нагрузки остается некоторая остаточная деформация порошка (или сохранение структуры упаковки частиц);

— при повторении циклов уменьшается «размах» изменения проводимости, из-за постепенного уплотнения (трамбовки) порошка;

— в повторных циклах ширина петли также уменьшается, что также связано с «трамбовкой».

И все же правильный вывод из данной работы, заключается в том, что сопротивление порошка может быть любым, потому, что зависит от всего!

Часть 3.

На рисунке приведен график вольтамперной характеристики порошка при его полной нагрузке. В данном случае зависимость явно не линейная. Поэтому необходимо констатировать – закон Ома для участка цепи не выполняется.

Причины, указанные при обсуждении ВАХ порошка без нагрузки здесь проявляются в большей степени:

во-первых, под нагрузкой проводимость порошка значительно выше (более чем в 20 раз). Следовательно, и сила тока больше, поэтому эффекты спекания могут проявляться сильнее;

во-вторых, площади контактов между частицами порошка больше, что также способствует образованию дополнительных связей между микрочастицами при протекании электрического тока.

Нелинейность зависимости между силой тока и напряжением подтверждается также и графиком зависимости проводимости порошка от силы тока. Здесь проводимость несомненно изменяется (почти более, чем на 50%), причем это изменение является монотонным. В этом случае не наблюдается участка с постоянной проводимостью (возможно, потому, что силы токов превышают 1 мА).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Кольцо отрывается от воды, когда сила тяжести досыпанного песка сравнивается с вертикальной составляющей силы поверхностного натяжения по двум границам — внешней и внутренней линиям контакта; длину линии отрыва найдите по диаметру и толщине кольца.

Ответ

1) \(\sigma=\dfrac{mg}{2\pi(D-h)\cos\theta}\), где \(m\) — масса досыпанного песка; 2) \(D=(32{,}0\pm0{,}1)\) мм, \(h=(6{,}0\pm0{,}1)\) мм, \(l=2\pi(D-h)\approx163\) мм; 3) для \(m=(2{,}42\pm0{,}06)\) г получено \(\sigma\approx0{,}29\) Н/м с погрешностью около \(5\%\) (так в образце организаторов); 4–6) с ростом температуры \(\sigma\) убывает, точности опыта недостаточно для выбора формулы, в простейшем случае зависимость аппроксимируют линейной.

Решение

Расчет коэффициента поверхностного натяжения проводится по формуле

\[\sigma = \frac{mg}{2\pi(D-h)\cos\theta},\tag{1}\]

где \(m\) - масса песка, который необходимо досыпать для отрыва кольца, \(D\) - внешний диаметр кольца, \(h\) - его толщина. Измеренные геометрические параметры кольца:

Внешний диаметр \(D = (32{,}0 \pm 0{,}1)\) мм Толщина \(h = (6{,}0 \pm 0{,}1)\) мм Длина линии отрыва \(l = 2\pi(D-h) = 163{,}4\) мм Оценим погрешность определения длины линии разрыва

\[\Delta l = 2\pi(\Delta D + \Delta h) = 1{,}3 \text{ мм}, \quad \varepsilon_l = \frac{\Delta l}{l} \approx 0{,}8\%.\tag{2}\]

При комнатной температуре получены следующие значения масс досыпаемого песка: \(m\)=2,4; 2,5; 2,3; 2,4; 2,5 г. Среднее значение массы досыпаемого песка равно \(m = (2{,}42 \pm 0{,}06)\) г. Приборную погрешность можно принять равной половине цены последнего деления \(\Delta m_{\text{пр}} = 0{,}05\) г. Таким образом, полная погрешность измерения массы песка равна \(\Delta m = 0{,}11\) г. Относительная погрешность измерения массы \(\varepsilon_m = \frac{0{,}11}{2{,}4} \approx 0{,}05 = 5\%\). Эта погрешность более, чем на порядок превышает погрешность измерения длины линии отрыва, поэтому именно она определяет погрешность определения коэффициента поверхностного натяжения. Расчет значения коэффициента поверхностного натяжения при комнатной температуре дает следующее значение

\[\sigma = \frac{2{,}42 \cdot 10^{-3} * 9{,}8}{163 \cdot 10^{-3} \cos 60^\circ} = 0{,}290 \frac{\text{мН}}{\text{м}},\]

с относительной ошибкой в \(5\%\).

Измерения при других температурах проводятся аналогично. График полученной зависимости показан на рисунке. Точности экспериментальных данных не хватает, чтобы точно установить вид зависимости, поэтому она может быть аппроксимирована различными функциями, в простейшем случае линейной.

Примечание. Квадратичная оценка погрешности приводит к ещё меньшему значению погрешности.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.