зад 1 Фонарь
Молодой, но талантливый физик Федя (он же Дядя Федор) летом гостил в деревне Простоквашино. Хозяин дома кот Матроскин поручил Феде как-нибудь оригинально подвесить старинный фонарь на стене дома. Основная идея конструкции появилась быстро: надо соединить две одинаковых трубки шарнирно, одну прикрепить к стене дома, верхние концы трубок связать с помощью чего-нибудь красивого! Тут Федя вспомнил, что его японский друг подарил ему недавно легкий, хорошо растягивающийся резиновый жгут, который можно использовать для крепления подвижной трубки. Матроскин конструкцию одобрил, особенно ему понравилось, что фонарь сможет слегка покачиваться под действием ветра, дождя, и птичек, который его могут облюбовать. Правда, он выразил сомнение в прочности жгута!
Федя с помощью своего верного друга Шарика приступил к конструкторской проработке проекта. Прежде всего, он взвесил фонарь, его масса оказалась равной \(m_0 = 7{,}0\,\text{кг}\); измерил длину жгута в нерастянутом состоянии, она оказалась равной \(x_0 = 20\,\text{см}\). После этого он подвесил вертикально фонарь на жгут, при этом жгут растянулся до длины \(x_1 = 70\,\text{см}\). Из эстетических соображений Федя решил использовать легкие алюминиевые трубки длиной \(l = 70\,\text{см}\). При этом, как прикинул Федя, трубки и жгут образуют треугольник близкий к правильному.
Часть 1.
«Не коллайдер строим!» - решил Федя, поэтому принял ускорение свободного падения равным \(g = 10\,\frac{\text{м}}{\text{с}^2}\), для проведения оценочных расчетов Федя решил пренебречь массой трубок и начальной длиной жгута, т.е. решил, что \(x_1 \gg x_0\), поэтому \(x_0 \approx 0\).
После этого Федя быстро записал условие равновесия подвижной трубки и... с удивлением обнаружил, что равновесие возможно только при выполнении условия
\[mg = kl,\tag{1}\]
где \(k\) - жесткость резинового жгута (в справедливости закона Гука для этого жгута Федор не сомневался!)
1.1 Запишите уравнение, выражающее условие равновесия конструкции.
1.2 Получите и Вы условие (1), проверьте его выполнения при заданных параметрах установки.
1.3 Найдите, все-таки, возможные значения угла \(\alpha^*\), при которых трубка будет находиться в равновесии (в рамках использованной Федей упрощенной модели). Постройте график зависимости угла \(\alpha\), под которым будет располагаться трубка, от массы подвешенного к ее концу груза (для \(0 < m < 20\,\text{кг}\)).
Как и Феде, Вам может понадобиться тригонометрическая формула
\[\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cdot\cos\frac{\alpha}{2}\]
Часть 2.
Слегка удрученный первой неудачей, Федя решил рассмотреть задачу точнее. После недолгих размышлений он пришел с следующим выводам: уточнять значения ускорения свободного падения смысла нет (все равно сокращается), учет массы трубки также ничего принципиально не изменяет (при необходимости можно включить в массу фонаря), а вот учесть начальную длину резинового жгута необходимо! То есть, считать, что \(x_0 = 20\) см.
Федор записал условие равновесия в этом уточненном варианте и с удовлетворением отметил, что, во-первых, оно имеет разумные решения, во-вторых, их не сложно найти. Кроме того, Федя решил, что вместо угла отклонения \(\alpha\) удобней в качестве параметра, характеризующего положение трубки использовать длину растянутого резинового жгута \(x\).
2.1 Запишите условие равновесия подвижной трубки в данном случае.
2.2 Найдите длину жгута, при которой фонарь может находится в равновесии.
2.3 Рассчитайте максимальную массу тела, которое можно подвесить к трубке, чтобы она еще не опрокинулась (т.е. трубка не опустилась в нижнее вертикальное положение).
2.4 Найдите зависимость потенциальной энергии системы от длины растянутого шнура. Укажите, какие положения равновесия являются устойчивыми.
Часть 3.
После столь серьезной теоретической проработки ответственного задания Дядя Федор с помощью Шарика приступил к практической реализации проекта. Указанную конструкцию оказалось построить даже проще, чем ее теоретическую модель.
Будучи уверен, что все расчеты верны и не сомневаясь в справедливости законов физики, на торжественное открытие фонаря Дядя Федор созвал всех своих друзей. Закрепил японский резиновый жгут, подвесил фонарь и медленно отпустил его. Подвижная трубка легко отошла от стенки и остановилась, правда угол ее отклонения оказался заметно меньше рассчитанного. Но тут, на фонарь сел изрядно располневший галчонок – фонарь начал медленно опускаться, трубка прошла горизонтальное положение и ... остановилась. Разозленный кот Матроскин согнал галчонка – фонарь начал медленно подниматься, но ... не вернулся в исходное положение!
После проверки и длительного анализа своих теоретических измышлений Федя понял, что что-то здесь не так! Снял фонарь, снял драгоценный жгут и решил измерить, как изменяется длина жгута, если к нему подвешивать грузы различной массы. В итоге кропотливой работы Федор получил зависимость, показанную на рисунке. «Оказывается, японцы ничего не знают о законе Гука!» - объяснил свою неудачу дядя Федор.
Получив теперь уже все необходимые ему экспериментальный данные, Федя опять засел за расчеты, тем более, что они оказались совсем простыми.
В итоге он сумел объяснить проведенный эксперимент с галчонком. После этого он закрепил жгут на прежнее место своей конструкции и провел экспериментальную проверку проведенных расчетов, они подтвердили (естественно, в пределах погрешности измерений) справедливость построенной теории!
3.1 Постройте график зависимости длины растянутого жгута от массы подвешенного к подвижной трубке груза (на месте фонаря), если массу этого груза сначала увеличивать от \(0\) до \(10\) кг, а затем медленно уменьшать от \(10\) кг до нуля.
Все-таки, законы физики оказались верными, жаль только, что конструкцию подвеса фонаря пришлось менять, ведь к галчонку могут еще и его друзья прилетать!
▶ПодсказкаСкрыть
Условие равновесия трубки — равенство моментов силы тяжести груза и силы упругости жгута относительно шарнира. После сокращения на \(\sin\alpha\) или \(\cos\frac\alpha2\) не забудьте про потерянные корни. Устойчивость положений удобно исследовать через потенциальную энергию как функцию длины жгута.
▶ОтветСкрыть
1.1) \(mgl\sin\alpha=Fl\cos\dfrac{\alpha}{2}\); 1.2) \(mg=kl\) (при заданных параметрах выполняется: \(l=x_1\)); 1.3) потерянные корни \(\alpha^*=0\) и \(\alpha^*=\pi\): при \(m<m^*=7{,}0\) кг устойчив \(\alpha^*=0\), при \(m>m^*\) устойчив \(\alpha^*=\pi\); 2.1) \(mgl\sin\alpha=k(x-x_0)\,l\cos\dfrac{\alpha}{2}\); 2.2) \(x=\dfrac{x_0}{1-\dfrac{m(x_1-x_0)}{m_0l}}\) (и корень \(x=2l\)); 2.3) \(m_{\max}=m_0\dfrac{2l-x_0}{2(x_1-x_0)}\approx8{,}4\) кг; 2.4) \(U=\dfrac k2\Bigl(\bigl(1-\dfrac{mg}{kl}\bigr)x^2-2xx_0+x_0^2\Bigr)\), при \(mg<kl\) устойчиво положение \(x=\dfrac{x_0}{1-mg/kl}\), при \(mg>kl\) — \(x=2l\); 3.1) при \(m<6{,}3\) кг и при \(m>8{,}75\) кг одно положение равновесия, при \(6{,}3\text{ кг}<m<8{,}75\) кг — три (среднее неустойчиво); бистабильность и петля гистерезиса при увеличении и последующем уменьшении нагрузки.
▶РешениеСкрыть
Часть 1.
Условие равновесия удобно записать, приравнивая модули моментов силы тяжести \(m\vec{g}\) и силы упругости жгута \(\vec{F}\), относительно шарнирного крепления
\[mgl \sin \alpha = Fl \cos \frac{\alpha}{2}.\tag{1}\]
Длина растянутого жгута равна
\[x = 2l \sin \frac{\alpha}{2}.\tag{2}\]
При выполнении закона Гука и пренебрежимо малой начальной длине жгута сила упругости выражается формулой
\[F = kx = 2kl \sin \frac{\alpha}{2}.\tag{3}\]
Таким образом, уравнения равновесия имеет вид
\[mgl \sin \alpha = 2kl \sin \frac{\alpha}{2} \cdot l \cos \frac{\alpha}{2}.\tag{4}\]
Если воспользоваться тригонометрической формулой и сократить \(\sin \alpha\), то получается приведенное условие
\[mg = kl.\tag{5}\]
Для определения коэффициента жесткости следует воспользоваться результатами измерений длины жгута при известной массе подвешенного груза.
\[m_0 g = kx_1 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{m_0 g}{x_1}.\tag{6}\]
Подстановка этого значения в условие (5) дает
\[m_0 g = \frac{m_0 g}{x_1} l \quad \Rightarrow \quad l = x_1 \quad (?)\tag{7}\]
что случайно выполняется в данном случае! Однако уравнение (4) имеет корни, (которые оказались потерянными при сокращении)
\[\sin \alpha = 0 \quad \Rightarrow \quad \alpha^* = 0, \quad \alpha^* = \pi.\tag{8}\]
При \(mg < kl\) устойчивым будет корень \(\alpha^* = 0\), при \(mg > kl\) устойчивым будет корень \(\alpha^* = \pi\). Критическое значение массы, при котором произойдет опрокидывание находится из исходных данных
\[m^* g = kl = \frac{m_0 g}{x_1} l \quad \Rightarrow\]
\[m^* = m_0 \frac{l}{x_1} = 7{,}0 \text{ кг}\tag{9}\]
Требуемый график имеет вид, показанный на рисунке.
Примечание. Здесь записаны условия равновесия для произвольной массы подвешенного груза.
Часть 2.
Уравнение равновесия в данном случае будет иметь вид
\[mg \cdot l \sin \alpha = k(x - x_0) \cdot l \cos \frac{\alpha}{2}.\tag{10}\]
Используя приведенную в условии тригонометрическую формулу, получим
\[mg \cdot 2l \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} = k(x - x_0) \cdot l \cos \frac{\alpha}{2},\]
Наконец, учтем, что \(2l \sin \frac{\alpha}{2} = x\), тогда окончательно получим уравнение равновесия
\[mgx \cos \frac{\alpha}{2} = k(x - x_0) \cdot l \cos \frac{\alpha}{2}.\tag{11}\]
Это уравнение имеет корень, соответствующий условию
\[\cos \frac{\alpha}{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad \alpha = \pi \quad (x = 2l).\tag{12}\]
Второй корень находится из уравнения
\[mgx = kl(x - x_0) \quad \Rightarrow \quad x = \frac{x_0}{1 - \frac{mg}{kl}} = \frac{x_0}{1 - \frac{m(x_1 - x_0)}{m_0 l}},\tag{11}\]
При выводе использовано выражение для жесткости жгута
\[m_0 g = k(x_1 - x_0) \quad \Rightarrow \quad k = \frac{m_0 g}{x_1 - x_0}.\tag{12}\]
Для анализа устойчивости найденных точек равновесия можно рассмотреть зависимость потенциальной энергии системы от длины шнура. Потенциальная энергия системы включает:
— потенциальную энергию растянутого жгута \(\quad U_1 = \frac{k(x - x_0)^2}{2}\);
— потенциальную энергию подвешенного груза (относительно верхней точки крепления \(C\)) \(U_2 = -mgz\). Из теоремы Пифагора для треугольников \(\Delta ABD\) и \(\Delta BCD\) следует
\[\begin{cases} d^2 = x^2 - z^2 \\ d^2 = l^2 - (l - z)^2 = 2lz - z^2 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad z = \frac{x^2}{2l}\tag{13}\]
Таким образом, выражение для полной потенциальной энергии приобретает вид
\[U = \frac{k(x - x_0)^2}{2} - mg \frac{x^2}{2l} = \frac{k}{2} \left( (x - x_0)^2 - \frac{mg}{kl} x^2 \right) = \frac{k}{2} \left( \left(1 - \frac{mg}{kl}\right) x^2 - 2xx_0 + x_0^2 \right).\tag{14}\]
График этой зависимости есть парабола, с вершиной в точке
\[x = \frac{x_0}{1 - \frac{mg}{kl}},\]
что соответствует второму корню (11) уравнения равновесия. При \(mg < kl\) ветви этой параболы направлены вверх, поэтому положение равновесия (11) является устойчивым, при больших массах \(mg > kl\) это положение становится неустойчивым, устойчивым становится решение \(x = 2l\). Максимальное значение массы можно найти, положив в формуле (11) \(x = 2l\):
\[\frac { x _ { 0 } } { 1 - \displaystyle \frac { m ( x _ { 1 } - x _ { 0 } ) } { m _ { 0 } l } } = 2 l \quad \Rightarrow \quad 2 l - 2 \frac { m ( x _ { 1 } - x _ { 0 } ) } { m _ { 0 } } = x _ { 0 } \quad \Rightarrow\]
\[m = m _ { 0 } \frac { 2 l - x _ { 0 } } { 2 ( x _ { 1 } - x _ { 0 } ) } \approx 8 { , } 4 \text{ кг}\tag{15}\]
Часть 3.
Запишем еще раз условие равновесия трубки:
\[m g l \sin \alpha = F l \cos \frac { \alpha } { 2 } \quad \Rightarrow \quad m g \cdot 2 l \sin \frac { \alpha } { 2 } \cos \frac { \alpha } { 2 } = F l \cos \frac { \alpha } { 2 } .\tag{16}\]
После сокращения на косинус половинного угла (не забывая о потерянном при этом корне), получим уравнение для определения \(x\)
\[\frac { m g } { l } x = F ( x ) .\tag{16}\]
Это уравнение можно решить графически (можно и аналитически), для этого необходимо построить график зависимости величины \(\frac { 1 } { g } F ( x )\), для этого достаточно «перевернуть» график зависимости длины шнура от массы подвешенного груза, приведенный в условии задачи. Затем на этом графике следует провести семейство прямых \(f ( x ) = \frac { m } { l } x\) и найти точку их пресечения. Такие построения показаны на рисунке.
При массах груза, подвешенного кронштейну, меньших \(m _ { 1 } = 6 { , } 3 \text{ кг}\) имеется одно положение равновесия. Длина шнура в этом случае линейно изменяется от нуля до \(0 { , } 4\) м. Пи массах больших \(m _ { 2 } = 8 { , } 7 5 \text{ кг}\) также имеется одно положения равновесия. В этом интервале длина шнура линейно изменяется от \(1\) м до \(24\) м (когда масса груза достигает \(m _ { 3 } = 1 0 { , } 5 \text{ кг}\)).
В диапазоне масс от \(m_1 = 6{,}3\) кг до \(m_2 = 8{,}75\) кг есть три положения равновесия, центральное из которых является неустойчивым. Поэтому в этой области система обладает бистабильностью. Какое из возможных положений равновесия установится зависит от предыдущих состояний, следовательно, при увеличении нагрузки и последующем ее уменьшении будет наблюдаться петля гистерезиса (см. рис).
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 2 До какой же степени..?
Простейшей моделью заряженного тела является точечный заряд. Помимо этой модели в прикладной электростатике широко используются и другие модели заряженных тел (диполи, квадруполи и т.д.), получившие название мультиполей.
Диполи электрически нейтральны, поскольку их суммарный заряд равен нулю. Но, несмотря на это, между ними возникают силы притяжения, рассмотрению которых и посвящена эта задача.
Электрический диполь, представляет собой совокупность двух равных по величине разноименных точечных зарядов \(+q\) и \(-q\), находящихся на некотором расстоянии \(l\) друг от друга.
Дипольным моментом \(p\) системы называется произведение заряда \(+q\) на расстояние \(l\) между зарядами
\[p = ql.\]
Вектор \(\vec{p}\) дипольного момента направлен от отрицательного заряда к положительному.
1. Найдите напряженность электростатического поля \(E_1\), создаваемого диполем на больших расстояниях \(r (r \gg l)\) вдоль линии, соединяющей заряды (см. рис.).
Выразите \(E_1\) через дипольный момент системы \(p\) и расстояние \(r\) до центра диполя.
Примечание: при малых \(x\) (\(x \to 0\)) справедливо приближенное равенство.
\[(1+x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha \cdot x.\]
2. Пробный заряд \(q_0\) находится в вакууме на расстоянии \(r\) от точечного заряда \(-q_1\). Найдите силу притяжения между зарядами. Запишите полученную формулу в виде \(F_1 \sim \frac{1}{r^n}\) и найдите значение \(n\) в данном пункте задачи.
3. Пробный заряд \(q_0\) находится в вакууме на расстоянии \(r (r \gg l)\) от центра диполя с моментом \(p\) (см. рис.). Найдите силу \(\vec{F}_2\) взаимодействия пробного заряда с диполем. Запишите полученную формулу в виде \(F_2 \sim \frac{1}{r^n}\) и найдите значение \(n\) в данном пункте задачи.
4. Найдите силу взаимодействия \(\vec{F}_{3}\) двух одинаковых диполей с дипольным моментом \(p\) каждый, расположенных на расстоянии \(r(r \gg l)\) друг от друга вдоль прямой, соединяющей заряды, так как показано на рисунке (см. рис.). Запишите полученную формулу в виде \(F_{3} \sim \frac{1}{r^{n}}\) и найдите значение \(n\) в данном пункте задачи.
5. Эксперименты показывают, что под действием внешнего электрического поля напряженностью \(\vec{E}\) диэлектрики (отдельные молекулы) поляризуются и приобретают наведенный (индуцированный) дипольный момент
\[p = \alpha \varepsilon_{0} E,\]
ориентированный по полю (см. рис.). Коэффициент \(\alpha\), имеющий в данном случае размерность объема, называется поляризуемостью молекулы диэлектрика.
Точечный заряд \(q_{0}\) находится на расстоянии \(r\) от молекулы диэлектрика с поляризуемостью \(\alpha\). Найдите силу \(\vec{F}_{4}\) взаимодействия заряда с молекулой. Запишите полученную формулу в виде \(F_{4} \sim \frac{1}{r^{n}}\) и найдите значение \(n\) в данном пункте задачи.
6. Диполь с моментом \(p\) находится на расстоянии \(r\) от молекулы с поляризуемостью \(\alpha\) (см. рис.). Найдите силу \(\vec{F}_{5}\) взаимодействия заряда с молекулой. Запишите полученную формулу в виде \(F_{5} \sim \frac{1}{r^{n}}\) и найдите значение \(n\) в данном пункте задачи.
▶ПодсказкаСкрыть
Поле диполя на большом расстоянии получайте суперпозицией полей двух зарядов, разлагая по малому \(l/r\) с помощью \((1+x)^\alpha\approx1+\alpha x\). Силу взаимодействия диполей находите как разность сил на концах второго диполя; индуцированный дипольный момент пропорционален полю.
▶ОтветСкрыть
1) \(E_1=\dfrac{1}{2\pi\varepsilon_0}\dfrac{p}{r^3}\); 2) \(F_1=\dfrac{q_0q_1}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), \(n=2\); 3) \(F_2=\dfrac{q_0}{2\pi\varepsilon_0}\dfrac{p}{r^3}\) (отталкивание), \(n=3\); 4) \(F_3=\dfrac{3p^2}{2\pi\varepsilon_0}\dfrac{1}{r^4}\) (отталкивание), \(n=4\); 5) \(F_4=\dfrac{\alpha q_0^2}{8\pi^2\varepsilon_0}\dfrac{1}{r^5}\) (притяжение), \(n=5\); 6) \(F_5=\dfrac{3\alpha p^2}{4\pi^2\varepsilon_0}\dfrac{1}{r^7}\) (притяжение), \(n=7\).
▶РешениеСкрыть
1. Напряженность электростатического поля \(E_1\), создаваемого диполем на больших расстояниях \(r (r \gg l)\) вдоль линии, соединяющей заряды, найдем по принципу суперпозиции полей. Для этого следует построить векторную сумму напряженностей, создаваемых в точке наблюдения положительным \(\vec{E}_+\) и отрицательным \(\vec{E}_-\) зарядами диполя
\[\vec{E} = \vec{E}_+ + \vec{E}_-.\]
Поскольку векторы \(\vec{E}_+\) и \(\vec{E}_-\) на этой прямой противоположны друг другу, то модуль их суммы
\[E_1 = E_+ - E_- = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{1}{\left(r - \frac{l}{2}\right)^2} - \frac{1}{\left(r + \frac{l}{2}\right)^2} \right).\tag{1}\]
Используя формулы приближенных вычислений \((1+x)^\alpha \approx 1 + \alpha \cdot x\) при малых \(x\), получим
\[\frac{1}{\left(r \mp \frac{l}{2}\right)^2} = \frac{1}{r^2} \cdot \frac{1}{\left(1 \mp \frac{l}{2r}\right)^2} = \begin{cases} \alpha = -2 \\ x = \frac{l}{2r} \end{cases} = \frac{1}{r^2} \left(1 \pm \frac{l}{r}\right).\tag{2}\]
С учетом (2) выражение (1) примет вид
\[E_1 = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{1}{r^2} \left(1 + \frac{l}{r}\right) - \frac{1}{r^2} \left(1 - \frac{l}{r}\right) \right) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{2l}{r^3} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{2p}{r^3}.\tag{3}\]
Подставляя в (3) выражение для дипольного момента \(p = ql\) системы, окончательно получаем
\[E _ { 1 } ( r ) = \frac { 1 } { 2 \pi \varepsilon _ { 0 } } \cdot \frac { p } { r ^ { 3 } } .\tag{4}\]
С учетом направления вектора дипольного момента \(\vec{p}\) системы (4) можно переписать в векторном виде (в решении не требуется)
\[\vec{E}_1 = \frac{1}{2\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{\vec{p}}{r^3}.\]
Таким образом, как следует из (4), модуль напряженности поля \(E_1\), создаваемого диполем вдоль его оси на больших расстояниях (\(r \gg l\)) убывает обратно пропорционально кубу расстояния \(r\) до диполя
\[E_1 \sim \frac{1}{r^3}.\tag{5}\]
Заметим, что выражение (4) можно получить и традиционным способом, без использования приведенного в условии приближенного равенства. Действительно, приняв обозначения
\[\begin{aligned} r_1 &= r - \frac{l}{2} \\ r_2 &= r + \frac{l}{2} \end{aligned},\]
перепишем (1) в виде
\[E_1 = E_+ - E_- = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{1}{r_1^2} - \frac{1}{r_2^2} \right) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{r_2^2 - r_1^2}{r_2^2 r_1^2}.\]
С учетом того, что \(r_2^2 - r_1^2 = 2rl\), и в рамках принятых приближений можно считать, что \(r_2^2 \cdot r_1^2 \approx r^4\), получим
\[E_1 = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{2rl}{r^4} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{2p}{r^3}.\]
Интересно, что зависимость, подобная (5), сохраняется и при нахождении напряженности поля \(E_2\) «перпендикулярно» диполю, т.е. на прямой, перпендикулярной оси диполя и проходящей через его центр. В этом случае изменяется только безразмерный коэффициент
\[E_2 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{p}{r^3}.\]
Общая картина силовых линий диполя на большом расстоянии от него дана на рисунке справа. Расположение положительного и отрицательного зарядов диполя соответствует расположению, приведенному в условии задачи.
2. Согласно закону Кулона пробный заряд \(q_0\) (он является
положительным точечным зарядом) будет притягиваться к точечному заряду \(-q_1\) в вакууме с силой
\[F_1 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q_0 q_1}{r^2}.\tag{6}\]
Согласно третьему закону Ньютона с такой же по модулю силой \(F_1\) заряд \(-q_1\) будет притягиваться к заряду \(q_0\).
Следовательно, в данном случае справедливо утверждение
\[F_1 \sim \frac{1}{r^2}.\]
Таким образом, в данном пункте задачи
\[n = 2.\tag{7}\]
3. При взаимном расположении диполя \(\vec{p}\) и пробного заряда \(q_0\) как на рисунке взаимодействие будет носить характер отталкивания, поскольку одноименный (положительный) заряд диполя находится ближе к пробному (положительному) заряду, чем разноименный (отрицательный). В таком случае силы отталкивания преобладают над силами притяжения, что приводит к возникновению результирующей силы \(\vec{F}_2\), направленной вправо (см. рис).
Следовательно, в данном случае диполь будет отталкивать пробный заряд вдоль своей оси с силой
\[F_2 = q_0 E_1(r) = \{(4)\} = \frac{q_0}{2\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{p}{r^3}.\tag{8}\]
Заметим, что при изменении ориентации диполя \((-\vec{p})\), характер взаимодействия диполя с пробным зарядом изменится с отталкивания на притяжение.
Следовательно, в данном случае справедливо утверждение
\[F_2 \sim \frac{1}{r^3}.\]
Таким образом, в данном пункте задачи
\[n = 3.\tag{9}\]
4. Для определенности будем считать, что левый диполь \(\vec{p}\) создает напряженность поля в пространстве, которое действует на правый диполь \(-\vec{p}\).
Поскольку одноименные заряды диполей находятся на меньших
расстояниях, чем разноименные, то согласно закону Кулона сила отталкивания в системе будет больше силы притяжения.
Это приведет к возникновению результирующей силы \(\vec{F}_3\) отталкивания между диполями, направленной вправо (см. рис.).
Используя (4), для рассматриваемой системы можем записать
\[F_3 = q\left(E_1(r - \frac{l}{2}) - E_1(r + \frac{l}{2})\right) = \frac{q\,p}{2\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{(r - \frac{l}{2})^3} - \frac{1}{(r + \frac{l}{2})^3}\right).\tag{10}\]
С помощью формулы приближенного вычисления \((1 + x)^\alpha \approx 1 + \alpha \cdot x\) (при \(x \to 0\)) в данном случае находим
\[\frac{1}{\left(r \mp \frac{l}{2}\right)^3} = \frac{1}{r^3} \cdot \frac{1}{\left(1 \mp \frac{l}{2r}\right)^3} = \begin{cases} \alpha = -3 \\ x = \frac{l}{2r} \end{cases} = \frac{1}{r^3}\left(1 \pm \frac{3}{2} \frac{l}{r}\right).\]
Соответственно, разность в выражении (10) примет вид
\[\frac{1}{(r - \frac{l}{2})^3} - \frac{1}{(r + \frac{l}{2})^3} \approx \frac{3l}{r^4}.\]
С учетом того, что \(p = ql\), окончательно получим
\[F_3 = \frac{3p^2}{2\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{1}{r^4}.\tag{11}\]
Следовательно, в данном случае справедливо утверждение
\[F_3 \sim \frac{1}{r^4}.\]
Таким образом, в данном пункте задачи
\[n = 4.\tag{12}\]
Заметим, что выражение (11) проще получить, используя производную от (4) по расстоянию \(r\), поскольку искомая сила \(F_3\) вычисляется как
\[F_3 = -p \frac{\partial E}{\partial r},\]
однако подобный подход выходит за рамки действующей школьной программы.
5. Будем считать, что напряженность \(E(r)\) электростатического поля, создаваемого точечным зарядом \(q_0\) в области нахождения молекулы, меняется незначительно (в силу малости размеров молекулы) и равна
\[E(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q_0}{r^2}.\]
Тогда индуцированный дипольный момент молекулы примет значение
\[p_i = \alpha\varepsilon_0 E(r) = \alpha\varepsilon_0 \cdot \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q_0}{r^2} = \frac{\alpha}{4\pi} \cdot \frac{q_0}{r^2}.\]
В пункте 3 задачи мы вычислили силу взаимодействия диполя и точечного заряда, правда в рассматриваемом случае индуцированный (наведенный) дипольный момент \(\vec{p}_i\) имеет противоположное направление («от заряда»), что приведет к возникновению в данной системе силы притяжения.
Используя (8) и третий закон Ньютона, найдем силу притяжения вынужденно поляризованной молекулы к точечному заряду
\[F_4 = \frac{q_0}{2\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{p_i}{r^3} = \frac{q_0}{2\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{1}{r^3} \cdot \frac{\alpha}{4\pi} \frac{q_0}{r^2} = \frac{\alpha q_0^2}{8\pi^2\varepsilon_0} \cdot \frac{1}{r^5}\tag{13}\]
Следовательно, в данном случае справедливо утверждение
\[F_4 \sim \frac{1}{r^5}.\]
Таким образом, в данном пункте задачи
\[n = 5.\tag{14}\]
6. Будем считать, что напряженность электростатического поля, создаваемого диполем \(\vec{p}\) в области нахождения молекулы, меняется незначительно. Тогда согласно (4) можем записать
\[E(r) = \frac{1}{2\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{p}{r^3}.\]
Соответственно, индуцированный дипольный момент молекулы в этом случае примет значение
\[p_i = \alpha\varepsilon_0 \cdot \frac{1}{2\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{p}{r^3} = \frac{\alpha}{2\pi} \cdot \frac{p}{r^3}.\tag{15}\]
В пункте 4 задачи мы вычислили силу отталкивания между диполями, ориентированными «навстречу» друг другу. В данном случае диполи ориентированы в
одном направлении, поскольку наведенный дипольный момент всегда ориентирован «по полю». Это обстоятельство приведет к возникновению силы притяжения между диполями в рассматриваемой системе.
Считая взаимодействие диполей по формуле (11), получим величину силы притяжения между ними для рассматриваемого случая
\[F_{5}=\frac{3 p \cdot p_{i}}{2 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{1}{r^{4}}=\frac{3 p}{2 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\alpha}{2 \pi} \cdot \frac{p}{r^{3}} \cdot \frac{1}{r^{4}}=\frac{3 \alpha p^{2}}{4 \pi^{2} \varepsilon_{0}} \cdot \frac{1}{r^{7}}.\tag{16}\]
Следовательно, в данном случае справедливо утверждение
\[F_{5} \sim \frac{1}{r^{7}}.\]
Таким образом, в данном пункте задачи
\[n=7.\tag{17}\]
Интересно, что в пунктах 3 и 4 задачи имеет место сила отталкивания между объектами, а в пунктах 5 и 6, связанных с индуцированным дипольным моментом, всегда имеет место сила притяжения.
Это связано с тем, что направление напряженности внешнего электрического поля однозначно определяет направление возникающего дипольного момента \(\vec{p}\) поляризуемого объекта — он всегда ориентирован «по силовой линии» внешнего (индуцирующего) поля.
В завершение задачи на рисунке справа приведена достаточно забавная (но верная!) зависимость показателя степени \(n\) в выражении для силы взаимодействия \(F_{i}\) от номера \(N\) пункта задачи.
Как говорится, комментарии излишни, но так и не понятно, почему последняя точка не ложится «на прямую». Было бы так красиво...
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 3 Машина Ньюкомена
Еще не родился изобретатель парового двигателя Джеймс Уатт, а на шахтах Англии уже широко использовались для откачки воды паровые машины Ньюкомена. В данной задаче вам предстоит рассмотреть принцип действия этой машины, рассчитать ее характеристики.
Основными деталями машины являются: Рабочий цилиндр \(B\) с подвижным поршнем \(D\); котел \(A\) с кипящей водой, пар из которого подается в цилиндр через патрубок с краном \(C\); подвижное качающееся коромысло \(FH\), соединенное цепями с поршнем рабочего цилиндра, с одной стороны, и поршнем водооткачивающего насоса \(I\) с другой. Для уравновешивания коромысла используется дополнительный груз \(K\).
Цикл машины состоит из следующих этапов:
1) Кран котла \(K_1\) открыт (\(K_2\) - закрыт), кран насоса \(K_3\) закрыт, открыт кран \(K_4\). Поршень цилиндра находится внизу, пар поступает в рабочий цилиндр, поршень начинает подниматься; вода из цилиндра насоса выливается.
2) После того, как поршень поднялся в верхнее положение в цилиндр впрыскивают холодную воду через кран \(K_2\), пар в цилиндре конденсируется (кран \(K_1\) закрыт);
3) Под действием атмосферного давления поршень опускается (краны \(K_1\), \(K_2\) - закрыты), при этом поднимается поршень водяного насоса, поднимая воду из шахты (кран \(K_3\) - открыт, кран \(K_4\) - закрыт);
4) Сконденсировавшуюся в рабочем цилиндре воду сливают, после чего цикл повторяется.
Параметры машины:
— высота рабочего цилиндра \(h_1 = 1{,}0\,\text{м}\), диаметр цилиндра \(d_1 = 60\,\text{см}\);
— высота цилиндра насоса \(h_2 = 1{,}0\,\text{м}\), его диаметр \(d_2 = 20\,\text{см}\);
— глубина, с которой откачивают воду, равна \(H = 6{,}0\,\text{м}\);
— масса противовеса подобрана таким образом, что в нерабочем состоянии (при открытом котле и пустом цилиндре насоса) коромысло уравновешено;
— атмосферное давление \(P_0 = 1{,}0 \cdot 10^5\,\text{Па}\);
— ускорение свободного падения \(g = 10\,\frac{\text{м}}{\text{с}^2}\);
— удельная теплоемкость воды \(c = 4{,}2 \cdot 10^3\,\frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}\), удельная теплота испарения воды \(L = 2{,}3 \cdot 10^6\,\frac{\text{Дж}}{\text{кг}}\) (считайте ее независящей от температуры);
— удельная теплоемкость железа \(c_1 = 0{,}46 \cdot 10^3\,\frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}\).
Температура кипения воды при атмосферном давлении \(P_0 = 1{,}0 \cdot 10^5\,\text{Па}\) равна \(100^\circ C\), при увеличении давления до \(P_0 = 1{,}4 \cdot 10^5\,\text{Па}\) температура кипения возрастает до \(110^\circ C\), В данном диапазоне зависимость температуры кипения от давления можно считать линейной.
Считайте, что все процессы протекают достаточно медленно, так что их можно считать квазистатическими. Считайте также, все движения поршней являются равномерными. Потерями теплоты в окружающую среду можно пренебречь.
1. Постройте график цикла машины Ньюкомена. Рекомендуем построить зависимость \(\frac{P_1}{P_0}\) от \(\frac{x}{h}\), где \(P_1\) - давление пара под поршнем, \(x\) - высота, на которой находится поршень рабочего цилиндра.
2. Определите минимальную и максимальную температуру пара под поршнем.
3. Рассчитайте полезную работу, совершенную машиной за один цикл.
4. Рассчитайте коэффициент полезного действия машины в двух случаях:
— пренебрегая теплоемкостью рабочего цилиндра и поршня;
— учитывая теплоемкость цилиндра, если он изготовлен из железа и его масса равна \(m = 200\,\text{кг}\).
5. Сравните полученные значения кпд, с максимально возможным кпд тепловой машины, работающей в найденном диапазоне температур.
▶ПодсказкаСкрыть
Поршни движутся равномерно, значит, силы на них скомпенсированы, а натяжения тросов равны: давление пара под поршнем линейно зависит от высоты подъёма и отличается от атмосферного на давление столба воды в насосе. Полезную работу совершает атмосферное давление; теплота тратится на испарение воды для заполнения цилиндра.
▶ОтветСкрыть
1) при подъёме \(\dfrac{P_1}{P_0}=(1-b)+b\dfrac{x}{h}\), при опускании \(\dfrac{P_1}{P_0}=\Bigl(1-b\bigl(1+\dfrac{H}{h}\bigr)\Bigr)+b\dfrac{x}{h}\), где \(b=\dfrac{\rho gh}{P_0}\dfrac{S_2}{S_1}\approx1{,}11\cdot10^{-2}\); 2) \(t_{\max}=100^\circ\)C, \(t_{\min}\approx98^\circ\)C (\(P_{\min}\approx0{,}92\cdot10^5\) Па); 3) \(A\approx2{,}0\cdot10^3\) Дж; 4) \(\eta\approx5{,}4\cdot10^{-3}\), с учётом теплоёмкости железного цилиндра \(\eta'\approx3{,}6\cdot10^{-3}\); 5) КПД цикла Карно \(\eta_0=\dfrac{\Delta T}{T}\approx5{,}4\cdot10^{-3}\), совпадает с КПД без учёта теплоёмкости цилиндра.
▶РешениеСкрыть
Обозначим давление пара в рабочем цилиндре \(P_1\), а давление воды на поршень цилиндра насоса \(P_2\). Так как поршни движутся равномерно, то сумма сил, действующих на них равна нулю. Кроме того, так как коромысло уравновешено, силы натяжений тросов, прикрепленных к поршням равны. Если поршень рабочего цилиндра находится на высоте \(x\), то поршень насоса находится на высоте \(h-x\). Выразим эти условия в уравнениях
\[\begin{cases} F = (P_0 - P_2)S_2 \\ F = (P_0 - P_1)S_1 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad P_1 = P_0 - (P_0 - P_2)\frac{S_2}{S_1}.\tag{1}\]
Очевидно, что
\[P_0 - P_2 = \rho g(h - x)\tag{2}\]
При опускании поршня насоса, и
\[P_0 - P_2 = \rho g(H + h - x)\tag{3}\]
При его подъеме. Таким образом, зависимости давления от положения поршня рабочего насоса имеют вид:
— при подъеме поршня рабочего цилиндра
\[P_1 = P_0 - \rho g(h - x)\frac{S_2}{S_1} \quad \Rightarrow \quad \frac{P_1}{P_0} = 1 - \frac{\rho g h}{P_0}\frac{S_2}{S_1}\left(1 - \frac{x}{h}\right);\tag{4}\]
— при его опускании
\[P_1 = P_0 - \rho g(H + h - x)\frac{S_2}{S_1} \quad \Rightarrow \quad \frac{P_1}{P_0} = 1 - \frac{\rho g h}{P_0}\frac{S_2}{S_1}\left(1 + \frac{H}{h} - \frac{x}{h}\right).\tag{5}\]
Обозначим параметр системы (и вычислим его численное значение):
\[b = \frac{\rho g h}{P_0}\frac{S_2}{S_1} = \frac{1{,}0 \cdot 10^3 \cdot 10 \cdot 1}{1{,}0 \cdot 10^5}\left(\frac{20}{60}\right)^2 = 1{,}11 \cdot 10^{-2}.\tag{6}\]
Таким образом, в «безразмерных параметрах» зависимости давления пара от высоты подъема имеют вид:
\[\begin{cases} \displaystyle \frac{P_1}{P_0} = (1 - b) + b\frac{x}{h} \\[1em] \displaystyle \frac{P_1}{P_0} = \left(1 - b\left(1 + \frac{H}{h}\right)\right) + b\frac{x}{h} \end{cases}.\tag{7}\]
Теперь не представляет труда построить диаграмму циклического процесса. Из рассмотрения процесса следует, что максимальная температура пара в цикле равна \(t_{\text{max}} = 100^\circ\text{C}\). Минимальная температура равна температуре кипения при минимальном давлении в цикле, т.е. при
\[P_{\text{min}} = P_0\left(1 - b\left(1 + \frac{H}{h}\right)\right) = 0{,}92 \cdot 10^5\,\text{Па}.\tag{7}\]
Для определения соответствующей температуры необходимо воспользоваться предлагаемой в условии линеаризацией зависимости температуры кипения от давления. Так изменение температуры при единичном изменении давления равен
\[\frac{\Delta t}{\Delta P} = \frac{110 - 100}{(1{,}4 - 1{,}0) \cdot 10^5} = 25 \cdot 10^{-5} \, \frac{\text{К}}{\text{Па}}.\tag{8}\]
Следовательно, искомая температура будет равна
\[t_{\min} = t_0 - \left( \frac{\Delta t}{\Delta P} \right) (P_0 - P_{\min}) = 100^\circ C - 25 \cdot 10^{-5} \cdot 0{,}08 \cdot 10^5 = 98^\circ C.\tag{9}\]
Полезную работу, фактически, совершает атмосферное давление! Работа, совершенная за цикл, отмечена на диаграмме заливкой. Численное значение этой работы
\[A = P_0 \cdot (1 - 0{,}93) \cdot \pi \frac{d_1^2}{4} h = 2{,}0 \cdot 10^3 \, \text{Дж}.\tag{10}\]
Теплота от нагревателя поступает на испарение воды (практически при атмосферном давлении), для заполнения котла. Максимальная масса пара в рабочем цилиндре находится из уравнения состояния
\[PV = \frac{m}{M} RT \quad \Rightarrow \quad m = \frac{MPV}{RT} = \frac{18 \cdot 10^{-3} \cdot 10^5 \cdot \pi \cdot 0{,}3^2 \cdot 1}{8{,}31 \cdot 373} \approx 1{,}6 \cdot 10^{-1} \, \text{кг}.\tag{11}\]
Количество теплоты, требуемое на испарение,
\[Q = Lm = 3{,}7 \cdot 10^5 \, \text{Дж}.\tag{12}\]
Теперь можно рассчитать КПД машины
\[\eta = \frac{A}{Q} = 5{,}4 \cdot 10^{-3}.\tag{13}\]
На нагревание котла требуется количество теплоты
\[Q_1 = c_1 m_1 \Delta t = 0{,}46 \cdot 10^3 \cdot 200 \cdot 2 = 1{,}8 \cdot 10^5 \, \text{Дж}.\tag{14}\]
Следовательно, с учетом теплоемкости котла, КПД понижается до
\[\eta' = \frac{A}{Q + Q_1} = 3{,}6 \cdot 10^{-3}.\tag{15}\]
Наконец, КПД машины, работающей по циклу Карно в том же диапазоне температур, равен
\[\eta_0 = \frac{\Delta T}{T_0} = \frac{2}{373} \approx 5{,}4 \cdot 10^{-3}.\tag{16}\]
что, как это не удивительно, совпадает с ранее полученным результатом.
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Источник: Республиканская физическая олимпиада Беларуси, 2009/10, заключительный этап, 10 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.