Белорусская, 2009/10, заключительный этап, 11 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Внутреннее сопротивление и ЭДС находят как коэффициенты линейной зависимости \(U=\varepsilon-Ir\). Мощность во внешней цепи максимальна, когда сопротивление нагрузки равно внутреннему сопротивлению источника. При разрядке измеряйте пары \((U,I)\) для двух положений реостата.

Ответ

1) \(U=\varepsilon-Ir\) — линейная зависимость; в образце организаторов \(\varepsilon=(5{,}05\pm0{,}06)\) В, \(r=(2{,}07\pm0{,}05)\) Ом; 3) \(P(R)\) максимальна при \(R=r\approx2{,}1\) Ом, \(P_{\max}=\dfrac{\varepsilon^2}{4r}\); 4) при разрядке \(r=\dfrac{U_2-U_1}{I_1-I_2}\) растёт, а \(\varepsilon=U_1+I_1r\) падает; протёкший заряд \(\Delta q=\dfrac{I_{\text{рн}}+I_{\text{рк}}}{2}\Delta t\).

Решение

Из закона Ома для полной цепи следует, что напряжение на внешней нагрузке \(U\) и сила тока в цепи \(I\) связаны соотношением

\[U = \varepsilon - IR.\tag{1}\]

Для экспериментального исследования этой зависимости применима следующая традиционная схема, показанная на рисунке. Ключ обязательно необходим, чтобы отключать батарейку от цепи.

Результаты измерения зависимости тока от напряжения, а также расчетов сопротивления по формуле

\[R = \frac{U}{I}\tag{2}\]

и мощности во внешней цепи по формуле

\[P = UI\tag{3}\]

приведены в Таблице 1.

Таблица 1. Зависимость напряжения на внешней цепи от силы тока в ней.

Полученные зависимости приведены и на графиках. Зависимость напряжения от силы тока линейна, что подтверждает формулу (1), а также независимость ЭДС и внутреннего сопротивления от силы тока. И формулы (1), следует, что численные значения ЭДС и внутреннего сопротивления могут быть легко найдены как коэффициенты линейной зависимости (1). Расчет по методу наименьших квадратов приводит к следующим значениям этих характеристик батарейки:

\[\varepsilon = (5{,}05 \pm 0{,}06) \text{ В}; \quad r = (2{,}07 \pm 0{,}05) \text{ Ом}\tag{4}\]

Зависимость мощности во внешней цепи, от ее сопротивления не является монотонной, она имеет максимум при \(R \approx 2{,}1\,\text{Ом}\), что совпадает с внутренним сопротивлением батарейки. Этот факт подтверждает закон Ома для внешней цепи, постоянство ЭДС и внутреннего сопротивления батарейки, а также математические правила нахождения экстремумов функций.

Разрядку батарейки следует проводить через амперметр, при этом фиксировать время разрядки \(\Delta t\), также пределы, в которых изменяется ток (начальный ток \(I_{\text{рн}}\), конечный ток разрядки \(I_{\text{рк}}\)). Эти значения нужны, чтобы вычислить заряд, который протек через батарейку за данный промежуток времени

\[\Delta q = \frac{I_{\text{рн}} + I_{\text{рк}}}{2} \Delta t.\tag{5}\]

Затем следует быстро измерить значения напряжения \(U_1, U_2\) и силы тока \(I_1, I_2\) при двух положениях движка реостата. Причем необходимо стремиться к тому, чтобы значения сил токов различались как можно больше (но были измеряемы). По этим значениям можно вычислить внутренне сопротивление и ЭДС батарейки по формулам

\[r = \frac{U_2 - U_1}{I_1 - I_2}, \qquad \varepsilon = U_1 + I_1 r.\tag{6}\]

Результаты таких измерений и расчетов приведены в таблице 2.

Таблица 2. Результаты измерений и расчетов зависимости внутреннего сопротивления и ЭДС батарейки от протекшего электрического заряда.

Графики этих зависимостей показывают, что в процессе разрядки внутреннее сопротивление монотонно растет, а ЭДС монотонно падает, и то и другое ухудшает качество источника.

Теперь вы должны усвоить методику проверки рекламной компании про «Энерджазер» и прочие «вечные» батарейки!

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Фотоэлемент — нелинейный источник: его внутреннее сопротивление зависит от тока, поэтому ВАХ не прямая. Коэффициент пропускания светофильтра найдите по логарифмическому графику показаний от числа фильтров, если сигнал прямо пропорционален интенсивности.

Ответ

Сила тока в цепи \(I=\dfrac{U_1}{R_0}\) (\(R_0=20\) кОм), напряжение на нагрузке \(U_0\); 1) зависимость \(U(I)\) нелинейна, потому что внутреннее сопротивление фотоэлемента зависит от тока; 2) максимум мощности смещается при увеличении освещённости (внутреннее сопротивление падает), мощность тем больше, чем ярче свет; 6) в образце организаторов \(\ln\gamma=-0{,}26\), коэффициент пропускания фильтра \(\gamma\approx0{,}77\); 7) фототок практически пропорционален интенсивности, особенно при меньшем сопротивлении нагрузки (при большем — чувствительность выше, но проявляется нелинейность).

Решение

Для изучения фотоэлемента, который обладает большим внутренним сопротивлением, необходимо использовать следующую схему. Здесь резистор с сопротивлением \(R_{0} = 20\,\text{кОм}\) является составной частью нагрузки. В положении ключа 1 вольтметр показывает напряжение на этом резисторе \(U_{1}\), которое используется для расчета силы тока в цепи, в положении 2 вольтметр показывает полное напряжение на нагрузке \(U_{0}\).

Формулы для расчета силы тока, сопротивления нагрузки, и мощности выделяющейся на ней приведены в предыдущей задаче. Поэтому можно приступать к изложению полученных результатов.

В Таблице 1. приведены результаты измерений напряжений и расчетов сил токов, сопротивлений и мощностей при освещении фотоэлемента лампочкой без светофильтра и со светофильтром.

Таблица 1. Фотоэлемент – источник энергии.

Графики зависимости напряжения на нагрузке от силы тока, на первый взгляд, необычны (или неправильны?) – нет привычной линейной зависимости! Но ведь источником является полупроводниковый фотоэлемент, а его внутреннее сопротивление зависит от силы тока, поэтому и зависимость получается нелинейной. При большей интенсивности света и напряжение и сила тока, «выдаваемые» фотоэлементом больше, соответственно больше и мощность! Отсюда следует «неожиданный» вывод – хочешь получить большую мощность, ярче свети! Зависимости мощности от сопротивления нагрузки имеют максимумы, но их положение не может быть рассчитано аналитически, так как не известна аналитическая зависимость силы тока от напряжения (а кроме того,

внутреннее сопротивление, ЭДС и т.д.). По представленным графикам можно сделать вывод, что увеличение интенсивности приводит к уменьшению внутреннего сопротивления (это видно по смещению максимума мощности).

Численное значение мощности (даже максимальной) однозначно подтверждает истину – китайские калькуляторы не помогут нашей Республике решить энергетические проблемы!

Часть 2. Фотоэлемент как измеритель интенсивности света.

Очевидно, что измеряемой величиной должна быть сила тока, либо напряжение на нагрузке. При непосредственному подключению вольтметра к фотоэлементу оказывается, что регистрируемое напряжение (практически равное ЭДС фотоэлемента из-за значительного сопротивления вольтметра) очень слабо зависит от освещенности фотоэлемента. Однако заранее не очевидно, при каком сопротивлении внешней цепи следует производить измерения – слишком много факторов влияет на этот выбор. Основным критерием выбора должна быть чувствительность фотоприемника, отношение его изменения его показаний к изменению интенсивности света, \(\beta = \frac{\Delta U}{\Delta i}\). Поэтому все измерения следует провести, как минимум, при двух значениях сопротивления нагрузки.

Примечание. Мы обозначили интенсивность света символом \(i\), чтобы не путать с силой тока, хотя она в этой части фигурировать не будет. Как это часто бывает в оптических измерениях интенсивность света будем измерять в некоторых относительных единицах.

Основная проблема выполнения данной части задания заключается в том, что интенсивность падающего света меняется по заранее неизвестному закону.

Действительно, пусть коэффициент пропускания одного светофильтра равен \(\gamma\), тогда интенсивность света, прошедшего через \(N\) светофильтров будет равна

\[i = i_0 \cdot \gamma^N.\tag{1}\]

Но беда в том, что коэффициент пропускания \(\gamma\) не известен, его еще надо найти! Для этого можно использовать следующую последовательность действий:

1) предположим, что фотоэлемент линейный, то есть измеряемое напряжение пропорционально интенсивности;

2) измерим зависимость показаний фотометра от числа светофильтров

\[U = A \cdot \gamma^N\tag{2}\]

3) построим ее в логарифмическом масштабе

\[\ln U = \ln A + N \ln \gamma.\tag{3}\]

4) найдем коэффициент наклона (если получится линейная зависимость), который согласно формуле (3) равен \(\ln \gamma\) и определим коэффициент пропускания \(\gamma\);

5) рассчитаем интенсивности света, прошедшего через \(N\) светофильтров по формуле (1);

6) наконец, построим зависимости измеряемого напряжения от интенсивности падающего света! Если получаться линейные зависимости, то наше первое предположение верно! А если не получится? Будем оптимистами!

Итак, в Таблице 2 приведены результаты измерений и расчетов по предложенной схеме. А ниже показаны графики зависимости напряжения на нагрузке от числа светофильтров. Таблица 2. Фотоэлемент – измеритель интенсивности света.

Похоже, нам повезло – в логарифмическом масштабе получились практически линейные зависимости. Более того, они почти параллельны, следовательно коэффициенты их наклона практически одинаковы. Расчет этих коэффициентов по МНК дает значения -0,25 и -0,27. Поэтому далее используем среднее значение

\[\ln \gamma = -0{,}26 \quad \Rightarrow \quad \gamma = \exp(-0{,}26) \approx 0{,}77.\]

Наконец завершающий аккорд – зависимость измеряемого напряжения от интенсивности света. Получены практически линейные зависимости, особенно для меньшего сопротивления. При большем сопротивлении – чувствительность больше, но уже проявляется нелинейность. Так, что остается свобода выбора на свой вкус!

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.