Белорусская, 2009/10, заключительный этап, 9 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Потери теплоты в окружающую среду изучите на опыте без льда: поток теплоты пропорционален разности температур воды и воздуха. Вычитая его из полного потока в опыте со льдом, получите поток теплоты ко льду; на плато он постоянен, пока лёд плавится.

Ответ

1.2) в образце организаторов лёд полностью растаял при \(\approx35^\circ\)C; 1.3) \(m_0\approx10\) г; 1.4) \(\lambda=\dfrac{cm_1\Delta t}{m_0}\approx630\) кДж/кг (почти вдвое больше табличного — потери не учтены); 2.3) поток теплоты в воздух линейно зависит от температуры (гипотеза подтверждена); 2.4) \(q_0=at+b=a(t-t_0)\), \(a\approx0{,}31\text{ Дж/(с}\cdot\text{К)}\), \(b\approx-7{,}6\) Дж/с, температура воздуха \(t_0\approx25^\circ\)C; 2.7) плавление длилось около \(160\) с при среднем потоке \(q\approx12\) Дж/с; 2.8) \(\lambda=\dfrac{q\Delta\tau}{m_0}\approx200\) кДж/кг.

Решение

Экспериментально удобней измерять времена, когда температура достигает определенного значения, так как точность измерения времен значительно выше точности измерения температуры. В Таблице 1 приведены результаты измерения именно таких времен при измерениях со льдом и безо льда. На графике 1 показаны, построенные по этим данным зависимости температуры воды в стаканчике от времени.

Таблица 1. Зависимость температуры воды от времени.

«На глаз» лед полностью расплавился, когда температура воды понизилась примерно до \(35^\circ\text{C}\). Масса воды в стаканчике \(m_1 = 150\,\text{г}\), масса льда в ампуле \(m_0 = 10\,\text{г}\). Расчет удельной теплоты плавления льда по эти данным дает следующий результат

\[\lambda = \frac{c m_1 \Delta t}{m_0} = \frac{4{,}2 \cdot 10^3 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}} \cdot 0{,}15\,\text{кг} \cdot 10^\circ\text{С}}{0{,}010\,\text{кг}} \approx 630 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}},\tag{1}\]

Что почти в два раза превышает табличное значение. Основные причины такой ошибки заключается в невозможности точно установить момент времени, когда началось плавление, а также пренебрежение потерями в окружающую среду. Поэтому необходимо провести рекомендованную процедуру обработки результатов.

В Таблице 2 приведены результатов расчетов зависимости потока теплоты от воды в окружающую среду. Для расчета теплоты использовалась следующая формула

\[q(t_k) \approx c m_1 \frac{t_{k+1} - t_{k-1}}{\tau_{k+1} - \tau_{k-1}} = 630 \frac{t_{k+1} - t_{k-1}}{\tau_{k+1} - \tau_{k-1}}\tag{2}\]

где использованы обозначения (и пояснения) из условия задания. Рядом приведен график этой зависимости.

Таблица 2. Зависимость потока теплоты «в воздух» от температуры.

Не смотря на погрешности измерений, четко видна линейная зависимость между потоком теплоты и температурой воды в стаканчике. Несколько начальных точек (при высоких температурах) выпадают из этой зависимости. Возможно, что на этом этапе еще не установился стационарный режим, разогрев стаканчика, термометра и т.д.

Таким образом, экспериментальные данные подтверждают гипотезу, высказанную в условии: поток теплоты пропорционален разности температур воды и окружающего воздуха.

На линейном участке зависимость потока от температуры имеет вид

\[q_0 = at^\circ + b = a(t - t_0),\tag{3}\]

здесь \(t_0 = -\frac{b}{a}\) предполагаемая температура воздуха, окружающего стаканчик. Значения параметров, рассчитанные по линейному участку зависимости равны

\[a \approx 0{,}31 \frac{\text{дж}}{c \cdot K}, \quad b \approx -7{,}6 \frac{\text{дж}}{c} \quad \Rightarrow \quad t_0 \approx 25^\circ C.\tag{4}\]

В Таблице 3. Приведены расчеты суммарного потока теплоты от воды, при измерениях «со льдом». В последнем столбце записаны рассчитанные зависимости потока теплоты «в лед», как разность между общим потоком и потоком «в воздух».

Для уменьшения погрешностей значения потоков теплоты «в воздух» рассчитаны по усредненной формуле (3).

Таблица 3. Расчет потока теплоты «в лед»

На графике 3 показана полученная зависимость потока теплоты, поступающего ко льду, от времени. На этом графике выделяется «плато» - участок почти постоянного потока теплоты. При плавлении льда его температура остается постоянной, поэтому и поток теплоты также стабилизируется. Эта область выделена на рисунке. Судя по графику время плавления составляет примерно 160 с, при среднем значении потока \(q \approx 12 \frac{\text{Дж}}{\text{с}}\).

Следовательно, удельная теплота плавления льда оценивается

\[\lambda = \frac{q \Delta \tau}{m_0} \approx 200 \frac{\text{кДж}}{\text{кг}}.\tag{5}\]

Так как измерения и обработка их результатов носит оценочный характер, то расчет погрешностей в данной работе проводить не имеет особого смысла.

Полученный результат тоже не очень хорошо совпадает с табличным, но может табличное значение не верно?

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Момент силы упругости при равновесии равен моменту груза \(mgd\), а угол кручения находите по смещению стрелки на линейке: \(\varphi=\Delta h/L\). Закон Гука означает прямую пропорциональность \(\varphi\) нагрузке; степень в зависимости \(K(L)\) находят по наклону графика в логарифмических координатах или из линейности при малых \(L\).

Ответ

1.2) при нагрузке \(\varphi\propto N\), закон Гука выполняется; 1.3) при разгрузке угол отстаёт от нагрузки из-за остаточных деформаций стержня; 1.4) \(K=\dfrac{a}{mgd}\), где \(a\) — коэффициент наклона \(\varphi(N)\); в образце организаторов \(K=(7{,}34\pm0{,}08)\cdot10^3\ (\text{Н}\cdot\text{м})^{-1}\), физический смысл — угол кручения при единичном моменте сил; 2.4) \(\alpha=1\) (\(K\) пропорционален длине деформируемой части).

Решение

Во всех экспериментах использовались следующие значения параметров: расстояние от оси стержня до точки подвеса грузов \(d = 50\text{мм}\), расстояние от оси стержня до измерительной линейки \(L = 280\text{мм}\). Угол кручения рассчитывался по формуле

\[\varphi = \frac{\Delta h}{L},\tag{1}\]

где \(\Delta h\) - изменение высоты подъема стрелки при нагрузке.

Часть 1. Закон Гука.

В Таблице 1 приведены измеренные значения \(\Delta h\) при максимальной длине деформируемой части стержня \(l = 78\text{мм}\).

Таблица 1. Зависимость угла кручения от нагрузки (\(N\) - числа гвоздей в стакане)

На рисунке представлен график полученной зависимости.

Как видно, при нагрузке (при последовательном увеличении нагрузки) угол кручения прямо пропорционален приложенной нагрузке, то есть закон Гука выполняется.

При последовательном уменьшении нагрузки (при разгрузке) наблюдается некоторое «отставание» угла кручения от уменьшающейся нагрузки, что, очевидно связано с наличием остаточных деформаций в стержне.

Для определения коэффициента пропорциональности предпочтительнее воспользоваться методом наименьших квадратов (МНК), либо провести обработку линейной зависимости графически.

В данном случае коэффициенты линейной зависимости

\[\varphi = aN + b,\tag{1}\]

рассчитанные по МНК, оказались равными

\[a = (3{,}60 \pm 0{,}04) \cdot 10^{-2} \frac{\text{радиан}}{\text{гвоздь}}.\]

\[b = (3 \pm 2) \text{рад}\]

Так как коэффициент \(b\) оказался близким к нулю, а погрешность коэффициента \(a\) около \(1\%\), то можно считать, что зависимость прямо пропорциональная, что еще раз подтверждает применимость закона Гука в данном случае.

Для расчета коэффициента пропорциональности \(K\) в формуле закона Гука, необходимо произвести пересчет (масса одного гвоздя \(m = 10\,\text{г}\))

\[\begin{cases} \varphi = aN \\ \varphi = KNmgd \end{cases} \Rightarrow K = \frac{a}{mg} = \frac{3{,}60 \cdot 10^{-2}}{10^{-2} \cdot 10^{-3} \cdot 9{,}81 \cdot 5{,}0 \cdot 10^{-2}} \approx 7{,}34 \cdot 10^{3} (H \cdot \text{м})^{-1};\]

\[\Delta K = K \frac{\Delta a}{a} = 8 \cdot 10^{1} (H \cdot \text{м})^{-1}\]

Окончательно, получаем значения коэффициента

\[K = (7{,}34 \pm 0{,}08) \cdot 10^{3} (H \cdot \text{м})^{-1}\tag{2}\]

Смысл коэффициента – угол кручения, при единичном приложенном моменте сил.

Часть 2. Коэффициент пропорциональности.

В Таблице 2 приведены измеренные значения углов кручения стержня в зависимости от приложенной нагрузки (в гвоздях) и для различных длин деформируемой части стержня \(l\) (в мм). В предпоследней строке приведены значения коэффициента \(a\) (\(a' = a \cdot 10^2\) - для экономии места), которые нами рассчитаны по МНК, хотя их значения можно снять по графику, который приведен ниже.

Таблица 2. Зависимости угла кручения от нагрузки при разных длинах деформируемой части стержня.

Из графика видно, что при всех длинах деформируемой части стержня приближенно наблюдается прямо пропорциональная зависимость. В последней строке приведены результаты расчетов коэффициента пропорциональности \(K\) (\(K' = K \cdot 10^{-3}\))

График 2. Зависимости угла кручения от нагрузки (для разных длин стержня)

Наконец, строим график зависимости коэффициента пропорциональности в формуле закона Гука от длины деформируемой части стержня. Из этого графика видно, что при небольших длинах этот коэффициент пропорционален длине свободной части стержня, отсюда можно сделать вывод, что показатель степени в формуле \(K = CL^{\alpha}\) равен единице:

\[\alpha = 1,\]

что также следует из теории упругости. Возможно, что последние точки отклонились от прямой, из-за того, что угол кручения перестал быть малым, и следовало бы рассчитывать угол с помощью арктангенса – но только этого еще не хватало!

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.