Белорусская, 2010/11, заключительный этап, 10 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Характерное время зарядки равно \(RC\) только для идеального конденсатора: реальный электролитический конденсатор имеет ток утечки, то есть параллельный резистор, поэтому предел напряжения меньше \(U_0\), а время зарядки определяйте по касательной в начале процесса.

Ответ

1.1) \(\overline{U}_C=U_0\), \(\tau=RC\); 2.2) причина — ток утечки конденсатора; 2.3) \(R_C=R\,\overline{U}_C/U_R\): около \(295\) кОм при \(U_0=4{,}0\) В и около \(540\) кОм при \(2{,}0\) В (сопротивление падает с ростом напряжения); 2.4) \(\overline{U}\approx3{,}5\) В, \(\tau\approx150\) с при \(U_0=4{,}0\) В и \(\overline{U}\approx1{,}8\) В, \(\tau\approx200\) с при \(U_0=2{,}0\) В; 2.5) расчёт даёт \(\tau\approx153\) с и \(196\) с; 3.2) при токах выше \(40\) мкА напряжение на стабилитроне \(\approx1{,}5\) В; 4.1) с параллельным стабилитроном напряжение на конденсаторе не превышает \(\approx1{,}5\) В; 4.3) при последовательном — предельное напряжение уменьшается на \(1{,}5\) В, время зарядки растёт.

Решение

Часть 1. Введение.

1.1 Для рассматриваемой цепи в любой момент времени справедливо уравнение (закон Ома):

\[U_0 = IR + U_C.\tag{1}\]

Если напряжение на конденсаторе достигает стационарного значения, то ток в цепи прекращается, поэтому при \(I = 0\)

\[\overline{U}_C = U_0.\tag{2}\]

В начальный момент зарядки напряжение на конденсаторе равно нулю \(U_C = 0\), поэтому в этот момент сила тока равна

\[I_0 = \frac{U_0}{R}.\tag{3}\]

Следовательно, скорость изменения напряжения на конденсаторе в этот момент рассчитывается по формуле

\[\Delta U_C = \frac{\Delta q}{C} = \frac{I_0 \Delta t}{C} \quad \Rightarrow \quad \left( \frac{\Delta U_C}{\Delta t} \right)_0 = \frac{I_0}{C} = \frac{U_0}{RC}.\tag{4}\]

В соответствии с предложенной в условии методикой определяем характерное время зарядки

\[\tau = \frac{\overline{U}_C}{\left( \frac{\Delta U_C}{\Delta t} \right)_0} = RC.\tag{5}\]

Часть 2. Электролитический (полярный) конденсатор.

2.1 Результаты измерений зависимостей напряжения на конденсаторе от времени при двух значениях напряжения \(U_0\) (\(U^{(4)}(t)\) при \(U_0 = 4{,}0\) В и \(U^{(2)}(t)\) при \(U_0 = 2{,}0\) В) представлены в Таблице 1. Графики этих зависимостей показаны на рисунке.

Таблица 1. Зарядка конденсатора.

Зависимость напряжения на конденсаторе от времени

2.2 Главная причина неравенства предельных значений напряжения на конденсаторе \(\overline{U}_{C}\) с установленными напряжениями \(U_{0}\) - ток утечки конденсатора. Для подтверждения этого утверждения достаточно показать, что и в предельном режиме (по прошествии большого промежутка времени) достаточно провести измерения напряжения на резисторе — оно отлично от нуля, что свидетельствует о том, что ток в цепи продолжает идти. Так как напряжение на конденсаторе при этом не изменяется, то это есть ток утечки. Иными

словами, для правильного описания режимов работы цепи в эквивалентную схему параллельно конденсатору следует добавить резистор с сопротивлением равным сопротивлению конденсатора.

2.3 Для расчета сопротивления конденсатора можно измерить установившиеся значения напряжений на резисторе и на конденсаторе. В этом случае (при отсутствии тока зарядки) выполняется соотношение (условия постоянства силы тока):

\[\frac{U_{R}}{R} = \frac{\overline{U}_{C}}{R_{C}} \Rightarrow R_{C} = R \frac{\overline{U}_{C}}{U_{R}}.\tag{6}\]

Проведенные измерения (после 1 часа зарядки) дали следующие значения\(^{2}\):

Важно (и неожиданно!), оказывается сопротивление конденсатора зависит от напряжения на нем: с ростом напряжения сопротивление падает («конденсатор течет сильнее»). Кроме того, даже в установившемся режиме сумма напряжений на конденсаторе и резисторе оказывается меньше начального установленного напряжения \(U_0\). Это связано с тем, что сопротивление делителя напряжений (потенциометра) оказывается сравнимым с сопротивлением подключенной цепи.

Для грубой оценки сопротивления конденсатора можно попытаться воспользоваться и данными снятыми с графиков зависимости напряжения на конденсаторе от времени, полагая, что суммарное напряжение не изменилось. Такие оценки дают следующие результаты: (\(U^{(4)}(t)\) при \(U_0 = 4{,}0B\) и \(U^{(2)}(t)\) при \(U_0 = 2{,}0B\))

для \(U_0 = 4{,}0B\) \(R_C = R \frac{\overline{U}_C}{U_0 - U_R} = 30 \cdot \frac{3500}{4000 - 3500} \approx 210\) кОм

для \(U_0 = 2{,}0B\) \(R_C = R \frac{\overline{U}_C}{U_0 - U_R} = 30 \cdot \frac{1750}{2000 - 1750} \approx 210\) кОм

При таком подходе получены заниженные оценки, кроме того не проявляются различия в сопротивлении конденсатора при разных напряжениях. Поэтому дополнительные измерения при большем времени зарядки необходимы!

2.4 По построенным графикам временных зависимостей можно определить примерные предельные значения напряжений на конденсаторах и характерные времена зарядки конденсатора при двух напряжениях источника. Такие построения показаны на рисунке, результаты представлены ниже:

\[\begin{aligned} \overline{U}^{(4)} &\approx 3{,}5 \text{ В}, & \tau^{(4)} &\approx 150 \text{ с} \\ \overline{U}^{(2)} &\approx 1{,}8 \text{ В}, & \tau^{(2)} &\approx 200 \text{ с} \end{aligned}\tag{7}\]

Важно отметить, что характерные времена зарядки зависят от начального напряжения, что свидетельствует о зависимости сопротивления конденсатора от напряжения на нем!

2.5 Теоретический расчет характерных времен зарядки представляет собой достаточно громоздкую, но посильную задачу. Прежде всего, отметим, что упрощенный расчет этих времен (при условии постоянства напряжения на выходе потенциометра) дает принципиально неверный результат.

Действительно, в рассматриваемой цепи (в рамках сделанного приближении) при зарядке выполняются соотношения

\[\overline{U} = \frac{U_0 R_C}{R + R_C}, \quad I_0 = \frac{U_0}{R},\tag{8}\]

из которых следует, что \(\tau = \frac{C\overline{U}}{I_0} = \frac{C R_C R}{R + R_C} < RC \approx 120 \text{ с}\). Хотя в действительности эти времена оказываются большими, чем \(RC\).

Следовательно, необходимо полностью и корректно рассчитывать начальные токи и установившиеся напряжения на конденсаторе в цепи, показанной на рисунке. Причем в начальный момент времени следует полагать, что \(R_x = R\) и рассчитать силу тока \(I_1\), а в установившемся режиме \(R_x = R + R_C\) и найти напряжение на \(R_C\).

Результаты таких расчетов представлены в таблицах

Полученные результаты совпадают с результатами измерений (как по временам зарядки, так и по предельным значениям).

Часть 3 Стабилитрон.

Схема для измерения вольтамперной характеристики стабилитрона очевидна. Результаты измерений и требуемый график приведены в таблице и на рисунке.

Таблица 2. ВАХ стабилитрона

Важно отметить, что при токах больших \(40\) мкА напряжение на стабилитроне остается практически постоянным, что и оправдывает название этого прибора!

Часть 4. Конденсатор и стабилитрон.

4.1 Результаты измерения временных зависимостей напряжения на конденсаторе для схемы, показанной на рисунке, и соответствующие графики приведены в таблице 3 и на рисунке.

Таблица 3. Зарядка с параллельным стабилитроном.

Пока напряжение на конденсаторе не достигло напряжения стабилизации, стабилитрон практически не влияет на процесс зарядки (для сравнения приведена кривая зарядки без стабилитрона). После того, как напряжение достигло 1,5 В зарядка прекращается – весь ток протекает через стабилитрон. При начальном напряжении 2,0 В стабилитрон практически не влияет на процесс зарядки, так как не достигается значения напряжения стабилизации.

4.2 При последовательном подключении стабилитрона временная характеристика зарядки становится иной.

Зарядка с последовательно подключенным стабилитроном

Предельное напряжение уменьшается на напряжение стабилизации стабилитрона (т.е на \(1{,}5\) В). Так как стабилитрон вносит дополнительное сопротивление, возрастает также время зарядки конденсатора.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Скорость течения вязкой жидкости по трубке пропорциональна разности давлений на её концах (закон Пуазейля); для перетекания получается \(v=k(L-x)\), для намокания бумаги сила сопротивления пропорциональна и скорости, и высоте столба, откуда \(x^2\propto t\).

Ответ

1.4) \(v=kx+b\) с \(k=-(2{,}4\pm0{,}2)\cdot10^{-3}\text{ с}^{-1}\), \(b=(0{,}41\pm0{,}02)\) мм/с (длина трубки \(L=-b/k\approx175\) мм; по логарифмическому графику \(k=-(2{,}24\pm0{,}03)\cdot10^{-3}\text{ с}^{-1}\)); 2.3) \((x-x_0)^2=At\), \(A=(3{,}0\pm0{,}1)\) мм\(^2\)/с.

Решение

Часть 1. Перетекание.

1.1 Результаты измерений зависимости высоты столбика масла \(x\) в верхней трубке от времени даны в Таблице 1. Там же приведены и результаты необходимых в дальнейшем расчетов.

Для расчета скорости использовалась предложенная в условии схема.

Отметим, что высота столбика воды в нижней практически такая же, как и масла в верхней. График полученной зависимости показан на рисунке.

Таблица 1. Перетекание масла.

1.2 Для объяснения наблюдаемого эффекта необходимо предположить, что нижний край верхней пластиковой трубки находится вверху нижнего сосуда, а верхний край нижней трубки внизу верхнего сосуда. В этом случае по первой трубке масло будет перетекать вверх, а по второй – вода вниз (см. рисунок).

1.3 Покажем, что скорость перетекания жидкостей линейно зависит от высоты столбика масла (и равной ей высоты столбика воды) \(x\). Обозначим давление жидкости на верхнем срезе трубки в верхнем сосуде \(P_0\), тогда давление в нижней области этой трубки будет равно

\[P = P_0 + \rho g x + \rho_0 g (L - x),\tag{1}\]

где \(\rho_0, \rho\) - плотности воды и масла, соответственно, \(L\) - высота сосуда и примерно равная ей длина трубки (различием в них и толщиной пробки пренебрегаем). Аналогично для нижнего сосуда: \(P_1\) - давление в его верхней части, тогда давление у дна

\[P = P_1 + \rho g (L - x) + \rho_0 g x.\tag{2}\]

Разумно предположить, что скорость течения жидкостей в трубках пропорциональна разности давлений на ее концах\(^3\). Тогда для скорости течения масла (вверх!) можно записать уравнение

\[P_1 - P_0 - \rho g L = \beta v,\tag{3}\]

где \(\beta\) - некоторый коэффициент пропорциональности, зависящий от геометрических размеров трубки и вязкости масса, \(\rho g L\) - гидростатическое давление масла в трубке. Аналогично для движения воды (вниз – поэтому гидростатическое давление воды в трубке войдет с другим знаком!) справедливо уравнение

\[(P_0 + \rho g x + \rho_0 g (L - x)) - (P_1 + \rho g (L - x) + \rho_0 g x) + \rho_0 g l = \beta_0 v.\tag{4}\]

Сложив уравнения (3)-(4), и после приведения подобных членов, получим

\[\begin{aligned} &+ \begin{cases} P_1 - P_0 - \rho g L = \beta v \\ (P_0 + \rho g x + \rho_0 g (L - x)) - (P_1 + \rho g (L - x) + \rho_0 g x) + \rho_0 g L = \beta_0 v \end{cases} \\ \Rightarrow \quad & (\rho_0 - \rho) g (L - x) = (\beta_0 + \beta) v \end{aligned}\tag{5}\]

Отсюда следует, что скорость движения жидкостей в трубках пропорциональна величине \((L - x)\), то есть высоте столба воды в верхнем сосуде

\[v = \frac{(\rho_0 - \rho) g}{(\beta_0 + \beta)} (L - x).\tag{6}\]

Следовательно, этой же величине пропорциональна и скорость движения границ масла и воды в обоих сосудах.

1.4 На графике показана зависимость скорости движения границы от координаты \(x\), рассчитанная по экспериментальным данным.

На начальном этапе, пока процесс перетекания не установился (когда случайным образом влияют пузырьки воздуха, капельки воды и масла в трубках) скорость даже возрастает.

Этот же факт можно видеть и на начальном этапе графика закона движения.

В дальнейшем скорость движения практически линейно зависит от координаты, что подтверждает проделанные теоретические расчеты.

Параметры линейной зависимости

\[v = kx + b,\tag{7}\]

рассчитанные по МНК оказываются равными

\[\begin{aligned} k &= -(2{,}4 \pm 0{,}2) \cdot 10^{-3} \text{ с}^{-1} \\ b &= (0{,}41 \pm 0{,}02) \text{ мм/с} \end{aligned}\tag{8}\]

Заметим, что уравнение (7) можно записать в виде

\[v = k_1(L - x),\]

где \(k_1 = -k\), \(L = -\frac{b}{k} \approx 175 \text{ мм}\), что, во-первых, совпадает с видом уравнения (6); во-вторых, дает значение длины трубки \(L\) близкое к ее реальной длине.

Дополнение (не обязательное для участников олимпиады).}

Более строго и надежно закон движения можно обосновать на основании уравнения (6). Если скорость изменения координаты \(x\) подчиняется уравнению

\[\frac{dx}{dt} = k(L - x),\tag{9}\]

то закон движения имеет вид

\[x = L(1 - \exp(-kt)).\tag{10}\]

Его удобно представить в логарифмической шкале

\[\ln(L - x) = \ln L - kt.\tag{11}\]

График этой зависимости показан на рисунке.

Как видно, в этом случае разброс точек значительно меньше (так как мы избежали процедуры численного дифференцирования). С помощью этого графика можно определить требуемые параметры с большей точностью.

Так, например, коэффициент наклона оказывается равным \(k = -(2{,}24 \pm 0{,}03) \cdot 10^{-3} \text{ с}^{-1}\), что на порядок точнее, чем приведенное ранее значение.

Часть 2. Намокание.

2.1 Результаты измерений\(^4\) зависимости высоты подъема мокрой границы \(x\) от времени \(t\) приведены в Таблице 1. Рядом показан график полученной зависимости.

Таблица 1. Намокание бумаги.

2.2 Так как процесс подъема воды медленный, то можно считать, что его скорость определяется процессами вязкого трения. В этом случае сила сопротивления пропорциональны скорости движения и высоте поднятого столба. Силы поверхностного натяжения, поднимающие воду, постоянны. Поэтому, приравнивая эти силы, получим

\[\beta x v = f.\tag{1}\]

Из этого уравнения следует

\[\beta x v = f \implies x \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{f}{\beta} \implies x \Delta x = \frac{f}{\beta} \Delta t.\tag{2}\]

Если просуммировать\(^5\) полученное уравнение, получим

\[(x - x_0)^2 = At,\tag{3}\]

где \(A\) - неизвестная постоянная, выражающаяся через столь же неизвестные параметры \(\beta, f\). Для проверки данной зависимости можно воспользоваться двумя равноценными способами, построив зависимость либо \((x - x_0)^2 = At\), либо \(x = x_0 + \sqrt{At}\).

На графиках представлены обе зависимости. Как видно, они достаточно близки к линейным, что подтверждает сделанное предположение и проведенные теоретический анализ. Значения требуемого параметра оказались в пределах погрешности совпадающими

\[A = (3{,}0 \pm 0{,}1) \frac{\text{мм}^2}{\text{с}}.\]

Отметим, что, не смотря на кажущееся подобие законов движения в двух частях данного задания, они оказались различными.

Справедливости ради следует сказать, что с определенной точностью процесс намокания бумаги также может быть аппроксимирован экспоненциальной зависимостью.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.