зад 1 Такие разные колеса
Задача 1. «Такие разные колеса»
1. «Игрушка» При изготовлении колеса детской игрушки была допущена небольшая ошибка — тонкие диски, расположенные на жесткой оси длиной \(l = 1{,}00\) см, имели разные радиусы \(R_1 = 10{,}0\) см и \(R_2 = 10{,}1\) см. Определите радиус \(R\), окружности, которую опишет такое колесо, если его толкнуть без проскальзывания.
2. «Автомобиль» При повороте автомобиля по окружности радиуса \(R = 20\) м его колеса вращаются с различными угловыми скоростями. Это возможно благодаря тому, что каждое колесо радиусом \(r = 40\) см имеет возможность независимого вращения (например, ось разбита на две полуоси). Расстояние между колесами \(l = 1{,}0\) м. Найдите разность \(\Delta\omega\) угловых скоростей вращения колес автомобиля при повороте со скоростью \(\upsilon = 36 \frac{\text{км}}{\text{ч}}\). Движение происходит без проскальзывания.
3. «Поезд» При повороте поезда используется жесткая ось, поэтому колеса имеют одинаковую угловую скорость вращения. В этом случае дискам вагонных колес придают форму усеченных конусов (см. рис.) с малым углом \(\alpha = 5{,}0^\circ\) при вершине, что позволяет колесной паре поворачивать без проскальзывания: при повороте колеса смещаются на некоторое расстояние \(\Delta R\) от центра поворота так, чтобы проскальзывание отсутствовало. Найдите смещение колесной пары поезда при повороте радиусом \(R = 1{,}0\) км. Расстояние между колесами поезда \(l = 1{,}5\) м, радиус колеса \(r = 40\) см.
4. Рассмотрим два цилиндра радиусами \(R_1\) и \(R_2\), между которыми без проскальзывания движется малый цилиндр. Определите угловую скорость \(\omega\) вращения малого цилиндра вокруг собственной оси и угловую скорость \(\Omega\) движения центра малого цилиндра относительно точки \(O\). Рассчитайте численные значения скоростей \(\omega\) и \(\Omega\) при следующих параметрах: угловая скорость вращения внутреннего цилиндра \(\omega_1 = 5{,}5 \frac{\text{рад}}{\text{с}}\), внешнего \(\omega_2 = 7{,}5 \frac{\text{рад}}{\text{с}}\), \(R_1 = 10\) см, \(R_2 = 11\) см. Рассмотрите различные случаи направления вращения внешнего и внутреннего цилиндров.
▶ПодсказкаСкрыть
Скорость точки касания колеса с опорой равна ω·R, поэтому линейные скорости разных колёс связаны с расстояниями до центра поворота как скорости при вращении вокруг одной точки; в п. 4 напишите условия отсутствия проскальзывания для обеих точек касания.
▶ОтветСкрыть
1) \(R=\dfrac{R_1}{R_2-R_1}\,l=1{,}00\text{ м}\); 2) \(\Delta\omega=\dfrac{v}{R}\dfrac{l}{r}=1{,}3\text{ рад/с}\); 3) \(\Delta R=\dfrac{r}{2\alpha}\dfrac{l}{R}=3{,}4\text{ мм}\); 4) вращение в одну сторону: \(\omega=\dfrac{\omega_2R_2-\omega_1R_1}{R_2-R_1}=28\text{ рад/с}\), \(\Omega=\dfrac{\omega_2R_2+\omega_1R_1}{R_2+R_1}=6{,}5\text{ рад/с}\); в разные стороны: \(\omega=\dfrac{\omega_2R_2+\omega_1R_1}{R_2-R_1}=1{,}4\cdot10^{2}\text{ рад/с}\), \(\Omega=\dfrac{\omega_2R_2-\omega_1R_1}{R_2+R_1}=1{,}3\text{ рад/с}\).
▶РешениеСкрыть
1. Если угловая скорость вращения игрушки при качении без проскальзывания равна \(\omega\), то линейные скорости вращения колес различны
\[\upsilon_1 = \omega R_1\]
\[\upsilon_2 = \omega R_2.\]
Пусть радиус поворота игрушки \(R\), тогда можем записать
\[\upsilon_1 = \Omega R\]
\[\upsilon_2 = \Omega(R + l),\]
где \(\Omega\) — угловая скорость вращения игрушки вокруг центра описываемой окружности. Выражая отношения скоростей, находим
\[\frac{\upsilon_2}{\upsilon_1} = \frac{R_2}{R_1} = \frac{R + l}{R}.\]
Из последнего равенства
\[R = \frac{R_1}{R_2 - R_1} l = 100\,\text{см} = 1{,}00\,\text{м}.\]
2. При повороте автомобиля справедливы равенства: для ближнего (к центру поворота) колеса
\[\upsilon = \Omega R = \omega_1 r,\]
для дальнего
\[\upsilon + \Delta\upsilon = \Omega(R + l) = \omega_2 r,\]
где \(\Omega\) — угловая скорость вращения оси колеса вокруг центра описываемой окружности.
Из последнего равенства находим
\[\Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 = \frac{\Omega(R + l)}{r} - \frac{\Omega R}{r} = \Omega \frac{l}{r} = \frac{\upsilon}{R} \cdot \frac{l}{r}.\]
Расчет дает
\[\Delta\omega = 1{,}3 \frac{\text{рад}}{c}.\]
3. Поскольку угловая скорость вращения колес поезда одинакова, то, используя результаты п.1 задачи получаем
\[\frac{\upsilon_2}{\upsilon_1} = \frac{R_2}{R_1} = \frac{R + l}{R} = 1 + \frac{l}{R},\]
где \(R_1\) и \(R_2\) различные опорные радиусы колес после смещения колесной пары (в сторону от радиуса поворота).
При смещении колес на расстояние \(\Delta R\) относительно симметричного положения отношение опорных радиусов станет равным
\[\frac{R_{2}}{R_{1}}=\frac{(L+\Delta R) \operatorname{tg} \alpha}{(L-\Delta R) \operatorname{tg} \alpha} \approx 1+2 \frac{\Delta R}{L},\]
где \(L\) - расстояние до вершины соответствующего конуса. В нашем случае
\[L=\frac{r}{\alpha} .\]
Следовательно
\[\Delta R=\frac{r}{2 \alpha} \cdot \frac{l}{R}=3{,}4 \text{ мм. }\]
Как следует из полученного выражения, смещение колесной пары обратно пропорционально радиусу закругления железной дороги. Следовательно, для уменьшения величины смещения (реборда ограничивает), на железной дороге делают повороты с большим радиусом.
4. Поскольку проскальзывание малого цилиндра отсутствует, то его линейные скорости в точках касания должны быть равны соответствующим линейным скоростям цилиндров. При вращении в одном направлении имеем
\[\begin{aligned} & \omega_{2} R_{2}=\omega r+\Omega \frac{R_{1}+R_{2}}{2} \\ & \omega_{1} R_{1}=\Omega \frac{R_{1}+R_{2}}{2}-\omega r, \end{aligned}\]
где \(r=\frac{R_{2}-R_{1}}{2}\) - радиус малого цилиндра.
Решая систему, получаем
\[\omega=\frac{\omega_{2} R_{2}-\omega_{1} R_{1}}{2 r}=\frac{\omega_{2} R_{2}-\omega_{1} R_{1}}{R_{2}-R_{1}}=28 \frac{\text{ рад }}{c} .\]
Выражение для \(\Omega\) :
\[\Omega=\frac{\omega_{2} R_{2}+\omega_{1} R_{1}}{R_{2}+R_{1}}=6{,}5 \frac{\text{ рад }}{c} .\]
Направление вращения в данном случае будет совпадать с направлением вращения внешнего цилиндра.
При вращении в разных направлениях в одном из уравнений системы следует поменять знак:
\[\begin{aligned} & \omega_{2} R_{2}=\Omega \frac{R_{1}+R_{2}}{2}+\omega r \\ & \omega_{1} R_{1}=\omega r-\Omega \frac{R_{1}+R_{2}}{2} . \end{aligned}\]
Решение в этом случае имеет вид
\[\omega=\frac{\omega_{2} R_{2}+\omega_{1} R_{1}}{2 r}=\frac{\omega_{2} R_{2}+\omega_{1} R_{1}}{R_{2}-R_{1}}=1{,}4 \cdot 10^{2} \frac{\text{ рад }}{c} .\]
Искомая угловая скорость
\[\Omega=\frac{\omega_{2} R_{2}-\omega_{1} R_{1}}{R_{2}+R_{1}}=1{,}3 \frac{\text{ рад }}{c} .\]
Направление вращения в этом случае также будет совпадать с направлением вращения внешнего цилиндра.
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 2 Потенциал Леннард-Джонса
Для жидкостей, состоящих из неполярных молекул, потенциальная энергия взаимодействия (по модулю) двух молекул приближенно выражается следующим образом:
\[E_{0}(r)=4 \varepsilon\left(\left(\frac{\alpha}{r}\right)^{12}-\left(\frac{\alpha}{r}\right)^{6}\right),\]
где \(r\) — расстояние между центрами молекул, а \(\varepsilon\) и \(\alpha\) — известные коэффициенты, определяемые строением молекул. Эта зависимость была предложена Джоном Эдвардом Леннард-Джонсом и достаточно хорошо описывает взаимодействие неполярных молекул.
В данной задаче мы предлагаем Вам рассчитать некоторые свойства жидкости (плотность, удельную теплоту парообразования и коэффициент поверхностного натяжения), основываясь на достаточно простых представлениях о ее строении.
Часть 1. Две молекулы
1.1 Определите, при каком расстоянии потенциальная энергия взаимодействия минимальна и чему она равна. При каком \(r\) энергия взаимодействия равна нулю?
1.2 Качественно изобразите график зависимости \(E_{0}(r)\).
Часть 2. Структура жидкости
Будем, для простоты, считать, что молекулы жидкости располагаются в узлах кубической решетки с периодом \(a\), т. е. в вершинах кубов со стороной \(a\). При вычислении потенциальной энергии молекулы Вам предстоит учесть взаимодействие со всеми соседями. Разделим соседние молекулы на три группы: «близкие соседи» — молекулы, находящиеся на расстоянии \(a\), «средние соседи» — молекулы, находящиеся на расстоянии малой диагонали куба (\(a\sqrt{2}\)), и «дальние соседи» — молекулы, находящиеся на расстоянии большой диагонали куба (\(a\sqrt{3}\)).
2.1 Сколько соседей каждой группы имеет молекула находящаяся внутри жидкости?
2.2 Сколько соседей каждой группы имеет молекула находящаяся на плоской поверхности жидкости?
2.3 Учитывая взаимодействия со всеми соседями, определите при каком значении периода \(a\) энергия взаимодействия молекулы, находящейся внутри жидкости, со своими соседями будет минимальна и чему она равна?
Часть 3. Свойства жидкости
3.1 Пусть молярная масса жидкости равна \(M\). Определите плотность жидкости \(\rho\).
3.2 Считая, что парообразование происходит с поверхности, определите удельную теплоту парообразования жидкости \(L\).
3.3 Определите коэффициент поверхностного натяжения жидкости \(\sigma\).
Часть 4. Вычислительная
4.1 Для молекул азота: \(M=0{,}028\,\text{кг/моль}\), \(\varepsilon=1{,}26\cdot 10^{-21}\,\text{Дж}\), \(\alpha=3{,}70\cdot 10^{-10}\,\text{м}\). Приведите численные значения для плотности, удельной теплоты парообразования и коэффициента поверхностного натяжения жидкого азота. Постоянная Авогадро равна \(N_{A}=6{,}02\cdot 10^{23}\,\text{моль}^{-1}\).
▶ПодсказкаСкрыть
Подстановкой \(x=(\alpha/r)^6\) энергия превращается в квадратный трёхчлен; энергию молекулы в жидкости и на поверхности находите суммированием по трём группам соседей, а \(L\) и \(\sigma\) связывайте с числом разорванных связей.
▶ОтветСкрыть
1.1) \(r_{\min}=\alpha\sqrt[6]{2}\), \(E_{\min}=-\varepsilon\); \(E=0\) при \(r=\alpha\); 2.1) 6, 12 и 8 соседей; 2.2) 5, 8 и 4; 2.3) \(a=\alpha/\sqrt[6]{0{,}63}\), \(E_{\text{ВН}}=-9{,}81\,\varepsilon\); 3.1) \(\rho=\dfrac{M}{a^3N_A}\); 3.2) \(L=7{,}35\,\varepsilon N_A/M\); 3.3) \(\sigma=2{,}46\,\varepsilon/a^2\); 4.1) \(\rho=728\text{ кг/м}^3\), \(L=199\text{ кДж/кг}\), \(\sigma=0{,}0194\text{ Н/м}\).
▶РешениеСкрыть
Часть 1. Две молекулы
1.1 Сделав замену \(x = \left( \frac{\alpha}{r} \right)^6\), получим квадратичную зависимость:
\[y(x) = x^2 - x - E_0 / 4\varepsilon\tag{1}\]
Минимальное значение достигается при:
\[x_{min} = 1/2\tag{2}\]
т. е. при:
\[r = \alpha \sqrt[6]{2}\tag{3}\]
и равно:
\[E_{min} = -\varepsilon\tag{4}\]
Энергия взаимодействия равна нулю при:
\[r = \alpha\tag{5}\]
1.2 График зависимости \(E(r)\) представлен на рис. 1.
Рис. 1. График зависимости \(E(r)\)
Часть 2. Структура жидкости
2.1 Кубическая решетка изображена на рис. 2. Молекула, находящаяся внутри жидкости, имеет 6 «близких соседей», 12 «средних» и 8 «дальних». Всего 26 штук.
2.2 Молекула, находящаяся на поверхности жидкости, имеет 5 «близких соседей», 8 «средних» и 4 «дальних».
Рис. 2. Кубическая решетка
2.3 Потенциальная энергия взаимодействия молекулы со всеми соседями равна:
\[E_{\text{ВН}} = 6 \cdot 4\varepsilon \left( \left( \frac{\alpha}{a} \right)^{12} - \left( \frac{\alpha}{a} \right)^6 \right) + 12 \cdot 4\varepsilon \left( \left( \frac{\alpha}{a\sqrt{2}} \right)^{12} - \left( \frac{\alpha}{a\sqrt{2}} \right)^6 \right) + 8 \cdot 4\varepsilon \left( \left( \frac{\alpha}{a\sqrt{3}} \right)^{12} - \left( \frac{\alpha}{a\sqrt{3}} \right)^6 \right)\tag{6}\]
Сделав замену \(x = \left( \frac{\alpha}{a} \right)^6\) и приведя подобные слагаемые, получим:
\[y(x) = 6{,}2x^2 - 7{,}8x - E_{\text{ВН}} / 4\varepsilon\tag{7}\]
Минимальное значение энергии реализуется при:
\[x_{min} = 0{,}629\tag{8}\]
т. е. при:
\[a = \frac{\alpha}{\sqrt[6]{0{,}63}}\tag{9}\]
Минимальное значение энергии равно:
\[E_{\text{ВН}} = -9{,}81\varepsilon\tag{10}\]
Часть 3. Свойства жидкости
3.1 В объеме \(V\) жидкости находится \(N = V / a^3\) штук молекул. Их масса равна \(m = \frac{N}{N_A} M\). Тогда плотность равна:
\[\rho = \frac{m}{V} = \frac{M}{a^3 N_A} = \frac{M \sqrt{0{,}629}}{a^3 N_A} .\tag{11}\]
3.2 Молекула должна получить энергию равную (по модулю) энергии взаимодействия со своими «соседями» на поверхности жидкости (п. 2.2):
\[E_{\text{ПОВ}} = 5 \cdot 4\varepsilon (x^2 - x) + 8 \cdot 4\varepsilon \left( \frac{x^2}{64} - \frac{x}{8} \right) + 4 \cdot 4\varepsilon \left( \frac{x^2}{729} - \frac{x}{27} \right) = 4\varepsilon (5{,}1x^2 - 6{,}1x) = -7{,}35\varepsilon\tag{12}\]
При испарении массы \(m\) необходимо разорвать \(\frac{m}{M} N_A\) связей, т.е:
\[Lm = \frac{m}{M} N_A \vert E_{\text{ПОВ}}\vert ,\tag{13}\]
откуда:
\[L = 7{,}35\varepsilon \frac{N_A}{M} .\tag{14}\]
3.3 Для выхода молекулы на поверхность ей необходимо сообщить энергию равную:
\[E_{\text{ВН-ПОВ}} = \vert E_{\text{ВН}} - E_{\text{ПОВ}}\vert = 2{,}46\varepsilon .\tag{15}\]
При образовании поверхности с площадью \(S\), на нее выходит \(S / a^2\) молекул, тогда:
\[\sigma S = \frac{S}{a^2} E_{\text{ВН-ПОВ}} ,\tag{16}\]
откуда
\[\sigma = \frac{2{,}46\varepsilon \sqrt[3]{0{,}629}}{a^2} .\tag{17}\]
Часть 4. Вычислительная
4.1 Численные значения плотности, удельной теплоты парообразования и коэффициента поверхностного натяжения:
\[\rho = 728 \, \text{кг} / \text{м}^3 ,\tag{18}\]
\[L = 199 \, \text{кДж} / \text{кг} ,\tag{19}\]
\[\sigma = 0{,}0194 \, \text{Н} / \text{м} .\tag{20}\]
Табличные значения равны:
\[\rho = 800 \, \text{кг} / \text{м}^3 ,\tag{21}\]
\[L = 200 \, \text{кДж} / \text{кг} ,\tag{22}\]
\[\sigma = 0{,}011 \, \text{Н} / \text{м} .\tag{23}\]
Очень даже неплохо!
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 3 Разминаясь, заряжаюсь
1. Две проводящие пластины находятся на некотором расстоянии друг от друга. Между ними вставлена пластина из непроводящего электрический ток вещества с некоторой диэлектрической проницаемостью. К образованному конденсатору подключают измерительные приборы и источник питания с ЭДС, равной \(U_0\) и внутренним сопротивлением \(r\) так, как показано на рис. 1. Внутреннее сопротивление вольтметра очень большое, сопротивление амперметра пренебрежимо мало.
Определите показания приборов сразу после замыкания ключа и через достаточно длительный промежуток времени. Качественно нарисуйте графики зависимости тока и напряжения, регистрируемых приборами, от времени.
2. Ответьте на вопросы предыдущего пункта и нарисуйте качественные графики, считая, что вещество между пластинами проводит электрический ток, причем сопротивление системы равно внутреннему сопротивлению источника питания. Диэлектрическая проницаемость вещества не изменилась.
3. Три металлические пластины расположены так, как показано на рис. 2. Между пластинами находится вещество с некоторой диэлектрической проницаемостью. Кроме того, вещество слева, между первой и второй пластиной, проводит электрический ток. Удельное сопротивление материала такое же, как и в предыдущем пункте. Вещество справа электрический ток не проводит.
Изобразите эквивалентную схему из резистора, конденсаторов и источника питания. Определите показания приборов сразу после замыкания ключа и через достаточно длительный промежуток времени. Качественно нарисуйте графики зависимости тока и напряжения, регистрируемых приборами, от времени.
4. Изобразите эквивалентную схему соединения, изображенного на рис. 3. Ответьте на вопросы предыдущего пункта и нарисуйте качественные графики.
▶ПодсказкаСкрыть
Заряжающийся конденсатор в начальный момент ведёт себя как проводник, а в конце процесса как разрыв цепи; в п. 3 и 4 нарисуйте эквивалентную схему и найдите, какие ветви продолжают проводить ток при \(t\to\infty\).
▶ОтветСкрыть
1) сразу после замыкания \(U(0)=0\), \(I(0)=U_0/r\); затем \(U(\infty)=U_0\), \(I(\infty)=0\); 2) \(U(0)=0\), \(I(0)=U_0/r\); затем \(I(\infty)=U_0/2r\), \(U(\infty)=U_0/2\); 3) \(U(0)=0\), \(I(0)=U_0/r\); затем \(I(\infty)=0\), \(U(\infty)=0\) (напряжение на левом конденсаторе сначала растёт, потом стекает по резистору); 4) схема сводится к п. 2: параллельно включены два конденсатора и резистор, ответы те же, что в п. 2.
▶РешениеСкрыть
1. Сила тока в цепи:
\[Ir = U_0 - U_C\tag{1}\]
где \(U_C\) - разность потенциалов между пластинами конденсатора. Сразу после замыкания ключа заряд на конденсаторе (и, соответственно, напряжение) равен нулю, а ток максимален и определяется внутренним сопротивлением источника:
\[U_C(0) = 0\tag{2}\]
\[I(0) = U_0 / r\tag{3}\]
Когда конденсатор зарядится, разность потенциалов между пластинами станет равной ЭДС источника, а ток станет равным нулю.
\[U_C(\infty) = U_0\tag{4}\]
\[I(\infty) = 0\tag{5}\]
Качественные графики зависимости тока и напряжения от времени приведены на рис. 1.
Рис. 1
Для проведения простых качественных рассуждений можно считать, что в начальный момент времени конденсатор ведет себя как резистор с очень малым сопротивлением, а в дальнейшем его сопротивление неограниченно возрастает.
2. Эквивалентная электрическая схема изображена на рис. 2.
В начальный момент времени сопротивление участка цепи, состоящего из параллельно включенных резистора и конденсатора, равно нулю. Поэтому разность потенциалов, регистрируемая вольтметром, равна нулю, а ток определяется внутренним сопротивлением источника:
\[U_C(0) = 0\tag{6}\]
\[I(0) = U_0 / r\tag{7}\]
Через достаточно большой промежуток времени сопротивление участка цепи будет равно \(r\), значит ток будет равен:
\[I(\infty) = U_0 / 2r\tag{8}\]
а напряжение:
\[U(\infty) = U_0 / 2\tag{9}\]
Качественные графики зависимости тока и напряжения от времени приведены на рис. 3.
Рис. 3.
3. Эквивалентная электрическая схема изображена на рис. 4. В начальный момент времени по-прежнему:
\[U_{C}(0) = 0\tag{10}\]
\[I(0) = U_{0} / r\tag{11}\]
Через длительный промежуток времени зарядится правый конденсатор, и ток в цепи прекратится, т. е.:
\[I(\infty) = 0\tag{12}\]
а напряжение:
\[U(\infty) = 0\tag{13}\]
Зависимость силы тока в цепи качественно не изменится
и будет приблизительно такой же, как и на рис. 1. При построении зависимости напряжения на левом конденсаторе от времени следует учесть, что в течение определенного времени конденсатор будет заряжаться, однако позже весь заряд «стечет» по параллельно присоединенному резистору. Качественный график зависимости напряжения, регистрируемого вольтметром, от времени представлен на рис. 5.
Рис. 5
4. Эквивалентная электрическая схема изображена на рис. 4. Как видно из рисунка, в цепь параллельно включены два конденсатора и резистор. Такое включение аналогично рассмотренному в п.2.
Рис. 6
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Источник: Республиканская физическая олимпиада Беларуси, 2010/11, заключительный этап, 10 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.