Белорусская, 2010/11, заключительный этап, 11 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Малое смещение луча при отражении от сферического зеркала равно \(2L/R\) на единицу смещения линзы, а при преломлении в тонкой линзе — \(L/F\); по наклонам графиков найдите \(R_1\), \(R_2\), \(F\) и затем \(n\) из формулы линзы.

Ответ

1.1) \(\Delta x=\pm\dfrac{2L}{R}\,x\) (знак зависит от типа зеркала); 1.2) \(\Delta x=-\dfrac{L}{F}\,x\) (для рассеивающей линзы \(F<0\)); 2.2–2.4) собирающая линза: \(R_1=(9{,}64\pm0{,}15)\) см, \(R_2=(11{,}3\pm0{,}3)\) см, \(F=(9{,}41\pm0{,}16)\) см, \(n=1{,}54\pm0{,}02\); рассеивающая: \(R_1=(-10{,}59\pm0{,}11)\) см, \(R_2=(-10{,}97\pm0{,}15)\) см, \(F=(-9{,}88\pm0{,}12)\) см, \(n=1{,}55\pm0{,}02\); 3.1) «радиус кривизны» зеркала Френеля \(R\approx20\) см; 3.2) период решётки обратно пропорционален расстоянию до центра: \(d=C/(2D)\).

Решение

Часть 1. Теоретическая.

На рисунке показан ход лучей, при попадании на выпуклую линзу. Жирными стрелками указаны положительные направления отсчета соответствующих смещений. Пусть расстояние от точки падения луча до главной оптической оси равно \(y\). Обозначим угол между главной оптической осью и направлением на точку падения \(\alpha\). Из рисунка следует, что в приближении малых углов (когда \(\operatorname{tg} \alpha \approx \alpha\))

\[\alpha = \frac{y}{R}.\tag{1}\]

Тогда в соответствии с законом отражения света отраженный луч отклонится на угол \(2\alpha\). Считая этот угол малым (то есть, полагая, что \(\operatorname{tg} 2\alpha \approx 2\alpha\)) найдем, что смещение отраженного луча равно

\[\Delta x_1 = 2\alpha L_1 = \frac{2L_1}{R_1} y.\tag{2}\]

Для смещения преломленного луча, учитывая подобие треугольников, можно записать пропорцию

\[\frac{y}{F} = \frac{\Delta x_2}{L_2},\tag{3}\]

из которой следует, что (с учетом направления отклонения)

\[\Delta x_2 = -\frac{L_2}{F} y.\tag{4}\]

Не сложно показать, что приведенные формулы справедливы и для рассеивающей линзы, только в этом случае радиус кривизны и фокусное расстояние следует считать отрицательными.

Формулы (2) и (4) дают метод измерения радиусов кривизны поверхностей линзы и ее фокусного расстояния. Так по коэффициенту наклона графика функции \(\Delta x_1(y)\) можно найти

\[\Delta x_1 = \frac{2L_1}{R_1} y = K_1 y \quad \Rightarrow \quad R_1 = \frac{2L_1}{K_1}.\tag{5}\]

Аналогично по коэффициенту наклона графика \(\Delta x_2(y)\) определяется фокусное расстояние

\[\Delta x_1 = -\frac{L_2}{F} y = K_0 y \quad \Rightarrow \quad F = -\frac{L_2}{K_0}.\tag{6}\]

2.1 Результаты измерения смещения отраженного \(\Delta x_1\) и преломленного \(\Delta x_2\) лучей в зависимости от смещения линзы \(y\) для обеих сторон приведены в Таблице 1. В наших измерениях расстояния от линзы до экрана были равны

\[L_1 = (510 \pm 2)\,\text{мм}; \quad L_2 = (400 \pm 2)\,\text{мм};\]

Таблица 1. Собирающая линза.

По данным Таблицы 1 построим графики соответствующих зависимостей. В соответствии с формулами (2), (4) эти зависимости линейны (смещения от начала отсчета легко объяснимы неточностью установки начального отсчета – центр линзы не совпадает с началом отсчета). На рисунке представлены графики полученных зависимостей.

Коэффициенты наклона графиков и их погрешности, рассчитанные по МНК, приведены в нижних строках таблицы 1. По этим коэффициентам с помощью формулы (2) определяем радиусы кривизны обеих поверхностей линз:

для первой поверхности:

\[R_1 = \frac{2L_1}{K_1} = \frac{2 \cdot 51}{10{,}58} = 9{,}64\,\text{см}; \quad \Delta R_1 = R_1 \frac{\Delta K_1}{K_1} = 0{,}15\,\text{см}\]

\[R_1 = (9{,}64 \pm 0{,}15)\,\text{см};\tag{7}\]

для второй поверхности:

\[R_2 = \frac{2L_1}{K_1} = \frac{2 \cdot 51}{9{,}04} = 11{,}28\,\text{см}; \quad \Delta R_1 = R_1 \frac{\Delta K_1}{K_1} = 0{,}28\,\text{см}\]

\[R_1 = (11{,}3 \pm 0{,}3)\,\text{см};\tag{8}\]

Наклоны графиков зависимостей \(\Delta x_2(y)\) в пределах погрешности совпадают, поэтому для определения фокусного расстояния можно использовать любое значение коэффициента наклона

\[F = -\frac{L_2}{K_0} = \frac{40}{4{,}25} = 9{,}41\,\text{см}; \quad \Delta F = F \frac{\Delta K_0}{K_0} = 0{,}16\,\text{см}.\]

\[F = (9{,}41 \pm 0{,}16)\,\text{см};\tag{9}\]

Отметим, что относительные погрешности измерения расстояний заметно превышают погрешности определения коэффициентов наклона, поэтому при расчете погрешностей погрешности радиусов кривизны и фокусного расстояния не учитывались.

Теперь с помощью формулы для фокусного расстояния линзы рассчитаем показатель преломления стекла, из которого изготовлена линза:

\[\frac{1}{F} = (n-1)\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right) \quad \Rightarrow \quad -\frac{K_0}{L_2} = (n-1)\left(\frac{K_1}{2L_1} + \frac{K_2}{2L_1}\right) \quad \Rightarrow \quad (n-1) = -\frac{2L_1}{L_2} \frac{K_0}{K_1 + K_2}\]

\[(n-1) = -\frac{2L_1}{L_2} \frac{K_0}{K_1 + K_2} = \frac{2 \cdot 51}{40} \frac{4{,}25}{10{,}58 + 9{,}64} = 0{,}54\]

\[\Delta n = (n-1) \sqrt{ \left( \frac{\Delta K_0}{K_0} \right)^2 + \left( \frac{\Delta K_1 + \Delta K_2}{K_1 + K_2} \right)^2 } = 0{,}54 \sqrt{ \left( \frac{0{,}07}{4{,}25} \right)^2 + \left( \frac{0{,}17 + 0{,}24}{10{,}58 + 9{,}64} \right)^2 } = 0{,}02\]

\[n = 1{,}54 \pm 0{,}02\tag{10}\]

2.4 Измерение характеристик второй линзы проводится аналогично. Результаты измерений зависимостей отклонения лучей от смещения линзы представлены в Таблице 2.

Таблица 2. Рассеивающая линза.

Ниже показаны графики измеренных зависимостей – обратите внимание, что наклоны графиков изменились на противоположные по сравнению с аналогичными графиками для собирающей линзы.

Расчеты также проводятся аналогично:

для первой поверхности:

\[R_{1} = \frac{2 L_{1}}{K_{1}} = \frac{2 \cdot 51}{-9{,}63} = -10{,}59 \text{ см}; \quad \Delta R_{1} = R_{1} \frac{\Delta K_{1}}{K_{1}} = 0{,}11 \text{ см}\]

\[R_{1} = (-10{,}59 \pm 0{,}11) \text{ см};\tag{11}\]

для второй поверхности:

\[R_{2} = \frac{2 L_{1}}{K_{1}} = \frac{2 \cdot 51}{-9{,}29} = -10{,}97 \text{ см}; \quad \Delta R_{1} = R_{1} \frac{\Delta K_{1}}{K_{1}} = 0{,}15 \text{ см}\]

\[R_{1} = (-10{,}97 \pm 0{,}15) \text{ см};\tag{12}\]

Для фокусного расстояния

\[F = -\frac{L_{2}}{K_{0}} = -\frac{40}{4{,}05} = -9{,}88 \text{ см}; \quad \Delta F = F \frac{\Delta K_{0}}{K_{0}} = 0{,}12 \text{ см}.\]

\[F = (-9{,}88 \pm 0{,}12) \text{ см};\tag{13}\]

Показатель преломления:

\[(n - 1) = -\frac{2 L_{1}}{L_{2}} \frac{K_{0}}{K_{1} + K_{2}} = -\frac{2 \cdot 51}{40} \frac{4{,}05}{9{,}63 + 9{,}29} = 0{,}546\]

\[\Delta n = (n - 1) \sqrt{\left( \frac{\Delta K_{0}}{K_{0}} \right)^{2} + \left( \frac{\Delta K_{1} + \Delta K_{2}}{K_{1} + K_{2}} \right)^{2}} = 0{,}54 \sqrt{\left( \frac{0{,}05}{4{,}05} \right)^{2} + \left( \frac{0{,}10 + 0{,}13}{9{,}63 + 9{,}29} \right)^{2}} = 0{,}02\]

\[n = 1{,}55 \pm 0{,}02\tag{14}\]

Часть 3. Зеркало Френеля.

Для уменьшения размытости отраженного пятна расстояние от зеркала до экрана было уменьшено до \(L_{1} = 10 \text{ см}\). Результаты измерений зависимости отклонения луча от смещения зеркала приведены в Таблице 3. Там же даны результаты расчетов, необходимые для дальнейшей обработки результатов.

Таблица 3. Зеркало Френеля.

Полученная зависимость далека от линейной. Основной причиной является то, что в данном случае углы отклонения не могут считаться малыми, поэтому предпочтительнее перейти к синусам углов отклонения, которые рассчитываются по формуле

\[\sin \varphi = \frac{y}{\sqrt{y^2 + L^2}}.\tag{15}\]

Зависимость синуса угла отклонения от смещения зеркала показана на графике 2. На этой кривой (достаточно гладкой и монотонной) можно выделить линейный участок. Его коэффициент наклона \(K \approx 0{,}0094\) дает возможность оценить «радиус кривизны» зеркала Френеля:

\[\sin \varphi \approx 2 \sin \alpha = \frac{2}{R} y \quad \Rightarrow \quad R = \frac{2}{K} = \frac{2}{0{,}0094} \approx 20 \, \text{см}\tag{15}\]

Более интересным является вопрос об описании зеркала Френеля как дифракционной решетки с переменным шагом. Для определения периода решетки следует воспользоваться формулой (учитывая, что мы наблюдаем только первый дифракционный максимум)

\[d \sin \varphi = \lambda \quad \Rightarrow \quad d = \frac{\lambda}{\sin \varphi},\tag{16}\]

где \(\lambda = 0{,}655 \, \text{мкм}\) - длина волны излучения лазера. На графике 3 показанная рассчитанная по экспериментальным данным зависимость периода решетки от координаты. Данная

зависимость напоминает обратно пропорциональную. Что подтверждается графиком

зависимости периода решетки от величины обратной смещению \(d\left(y^{-1}\right)\), которая близка к линейной (График 4). Для большей наглядности левую половину графика мы отразили вертикально.

Таким образом, мы показали, что период решетки обратно пропорционален расстоянию до центра зеркала. Такой вид зависимости объясняется строением зеркала. Как сказано в условии, зеркало состоит из концентрических отражающих колец. Если квадрат диаметра кольца пропорционален его номеру

\[D_{n}^{2}=C n,\tag{17}\]

то края этих колец будут совпадать с границами зон Френеля, поэтому такая система отражает свет подобно сферическому зеркалу. Если формула (17) справедлива для исследуемого зеркала, то расстояния между соседними кольцами (то есть период решетки) находится по формулам

\[\begin{gathered} D_{n+1}^{2}-D_{n}^{2}=C \quad \Rightarrow \quad\left(D_{n+1}-D_{n}\right)\left(D_{n+1}+D_{n}\right)=C \quad \Rightarrow \\ d=D_{n+1}-D_{n} \approx \frac{C}{2 D} \end{gathered}\tag{18}\]

Что и объясняет полученные экспериментальные данные.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.