Белорусская, 2011/12, заключительный этап, 10 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Книга покоится, пока сила трения покоя не превышает \(\mu N\): граничные значения силы \(F\) получаются, когда трение направлено вниз или вверх вдоль доски; для линеаризации составьте сумму и разность границ.

Ответ

1.1) \(F_{(\pm)}=mg\sin\alpha\pm\mu mg\cos\alpha=mg\sqrt{1+\mu^2}\sin(\alpha\pm\varphi)\), \(\operatorname{tg}\varphi=\mu\); 1.2) при \(\alpha=0\) границы \(\pm\mu mg\), скольжение без силы начинается при \(\alpha=\operatorname{arctg}\mu\), максимум \(F_{(+)}=mg\sqrt{1+\mu^2}\) при \(\alpha^*=90^\circ-\varphi\); 2.2) \(\mu\approx0{,}31\) (по силе на горизонтальной доске \(0{,}31\pm0{,}09\), по углу начала скольжения \(0{,}31\pm0{,}04\)); 3.2–3.3) \(F_{(+)}+F_{(-)}=2mg\sin\alpha\), \(F_{(+)}-F_{(-)}=2\mu mg\cos\alpha\), \(\mu=0{,}304\pm0{,}015\); из зависимости \(\dfrac{R}{S}=\mu\operatorname{ctg}\alpha\): \(\mu=0{,}301\pm0{,}005\).

Решение

Часть 1. Теоретическая.

1.1 Границы возможных значений силы \(F\) определяются направлением действия силы трения. Модуль силы трения определяется стандартным образом

\[F_{\text{тр.}} = \mu N = \mu mg \cos \alpha.\tag{1}\]

Следовательно, проекция силы \(F\), при которой книга еще находится в покое, может лежать в пределах

\[F_{(\pm)} = mg \sin \alpha \pm \mu mg \cos \alpha.\tag{2}\]

Для удобства анализа эту формулу можно представить в виде

\[F_{(\pm)} = mg \sin \alpha \pm \mu mg \cos \alpha = mg \sqrt{1 + \mu^2} \sin(\alpha \pm \varphi),\tag{3}\]

где \(\operatorname{tg} \varphi = \mu\).

1.2

Графики этих функций показаны на рисунке (График 1).

Характерными точками графика являются:

1) значения сил при горизонтальном расположении доски

\[F_0 = \pm \mu mg,\tag{4}\]

2) точка пересечения с осью углов

\[\alpha = \varphi = \operatorname{arc tg} \mu,\tag{5}\]

при этом угле наклона начинается скольжение книги без внешней силы \(F\).

3) точка максимума функции \(F_{(+)}\):

\[F_{\text{max}} = mg \sqrt{1 + \mu^2} \quad \text{при} \quad \alpha^* = 90^\circ - \varphi.\tag{6}\]

1.3 Любая из этих точек может служить для определения коэффициента трения. Однако экспериментально определить положение максимума затруднительно.

Результаты измерений границ сил представлены в таблице 1. Для экономии места в ней же приведены и результаты необходимых расчетов.

Таблица 1. Результаты измерений и расчетов.

Для измерения сил, больших, чем \(4\)Н, можно воспользоваться следующей методикой: протянуть нить сквозь книгу, так, чтобы ее концы были параллельны друг другу. Один конец нити тянуть непосредственно рукой, а второй с помощью динамометра. Тогда суммарная сила, действующая на книгу, будет в два раза больше показаний динамометра.

Графики полученных зависимостей показаны на рисунке. Для построения теоретических зависимостей, описываемых формулой (3), необходимо определить (хотя бы приблизительно) коэффициент трения. Воспользуемся для этого двумя характерными точками. 1) Измеренное значение силы трения при движении по горизонтальной поверхности равно \(F_{0} = (1{,}3 \pm 0{,}1) \text{H}\); а значение силы тяжести \(F_{50} = (4{,}2 \pm 0{,}2) \text{H}\). Здесь погрешность, как минимум в два раза выше, потому, что второй конец нити удерживается рукой. По этим значениям сил рассчитаем коэффициент трения

\[\tilde{\mu}_{1} = \frac{F_{0}}{F_{50}} = \frac{1{,}3}{4{,}2} \approx 0{,}31,\tag{7}\]

с погрешностью

\[\Delta \mu = \tilde{\mu}_{1} \sqrt{\left(\frac{\Delta F_{0}}{F_{0}}\right)^{2} + \left(\frac{\Delta F_{50}}{F_{50}}\right)^{2}} \approx 0{,}09.\tag{8}\]

Оценка погрешности по упрощенной формуле

\[\Delta \mu = \tilde{\mu}_{1} \left(\frac{\Delta F_{0}}{F_{0}} + \frac{\Delta F_{50}}{F_{50}}\right) \approx 0{,}12.\tag{9}\]

Относительная погрешность измерения коэффициента трения таким способом равна \(\varepsilon_{\mu} = 40\%\). 2) Определение коэффициента трения по углу наклона плоскости, при котором начинается скольжение (по нашим измерениям он соответствует высоте подъема \(h = (15 \pm 2) \text{см}\)), приводит к такому же результату:

\[\tilde{\mu}_{2} = \operatorname{arc tg} \frac{h}{\sqrt{L^{2} - h^{2}}} \approx 0{,}31\tag{10}\]

но с меньшей погрешностью

\[\Delta \mu \approx \tilde{\mu}_{2} \frac{\Delta h}{h} = 0{,}04.\tag{11}\]

При этом методе относительная погрешность измерения равна \(\varepsilon_{\mu} = 13\%\) Таким образом, для теоретических расчетов можно значение коэффициента трения принять равным \(\mu \approx 0{,}31\).

Часть 3. Экспериментально-теоретическая.

Расчеты удобно проводить по формуле (3), в которой \(\varphi = \arcsin \frac{h}{L} \approx 0{,}305\). Результаты расчетов также отражены на графике 1. Максимальное различие между результатами измерений и расчетов не превышает 10%.

3.2 Наиболее простая линеаризация зависимостей непосредственно следует из формулы (2). Можно выразить сумму и разность верхней и нижней границ измеренных сил

\[S = F_{(+)} + F_{(-)} = 2mg \sin \alpha\]

\[R = F_{(+)} - F_{(-)} = 2\mu mg \cos \alpha.\tag{22}\]

Эти величины линейно зависят от синуса и косинуса угла наклона, которые не сложно рассчитать по высоте подъема доски. Тогда отношение коэффициентов пропорциональности в этих зависимостях и будет равно коэффициенту трения.

Результаты расчетов также приведены в Таблице 1. Графики линеаризованных зависимостей показаны на рисунке 2.

Каждая из этих зависимостей имеет четко выраженный прямолинейный участок. Отклонения от линейности наблюдаются только при больших углах, где погрешности измерений особенно велики.

Расчет параметров линейных зависимостей предпочтительнее провести по методу наименьших квадратов. Для суммы параметры линейной зависимости \(S = a_S \sin \alpha + b_S\) равны (не смотря на то, что размерности в данном случае не существенны, назовем – ньютоны)

\[a_S = 8{,}36 \pm 0{,}12\]

\[b_S = -0{,}04 \pm 0{,}05.\tag{23}\]

Параметр сдвига \(b_S\) может считаться равным нулю, поэтому подтверждается теоретическая прямо пропорциональная зависимость.

Для разности сил аналогичные параметры зависимости \(R = a_R \cos \alpha + b_R\) имеют следующие значения

\[a_R = 2{,}54 \pm 0{,}12\]

\[b_R = -0{,}09 \pm 0{,}09.\tag{24}\]

Значение параметра сдвига и его погрешность также позволяют считать данную зависимость прямо пропорциональной. Значение коэффициента трения, рассчитанное по найденным коэффициентам наклона, равно

\[\tilde{\mu}_{3}=\frac{a_{R}}{a_{S}}=0{,}304.\tag{25}\]

Его погрешность

\[\Delta \mu=\tilde{\mu}_{3} \sqrt{\left(\frac{\Delta a_{R}}{a_{R}}\right)^{2}+\left(\frac{\Delta a_{S}}{a_{S}}\right)^{2}} \approx 0{,}015.\tag{26}\]

Таким образом, более тщательная обработка с учетом всех полученных данных позволила повысить точность определения коэффициента трения почти в три раза. Окончательное значение измеренного коэффициента трения равно

\[\mu=0{,}304 \pm 0{,}015.\tag{27}\]

Здесь относительная погрешность определения коэффициента трения составляет \(\varepsilon_{\mu}=5\%\) Рассмотрим, наконец, еще один эффектный способ линеаризации. Для этого разделим две функции (22) друг на друга

\[\frac{R}{S}=\mu \operatorname{ctg} \alpha.\tag{28}\]

Построенный график зависимости «отношения разности к сумме» от котангенса угла наклона показан на следующем рисунке.

График 4. Последняя линеаризация

Коэффициент наклона этого графика непосредственно равен коэффициенту трения. Расчет по методу наименьших квадратов дает следующее значение

\[\mu = 0{,}301 \pm 0{,}005.\]

Причем относительная погрешность составляет \(\varepsilon_{\mu} = 2\%\).

Отметим, что в данном случае параметр сдвига равен \(b = -0{,}009 \pm 0{,}016\), поэтому его достоверно можно считать равным нулю.

В заключение подчеркнем, что повышение точности связано с увеличением числа результатов измерений, которые принимаются во внимание.

Впрочем, сам коэффициент трения изменяется от точки к точке в большем диапазоне.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Расход вязкой жидкости пропорционален разности давлений на концах трубки, а роль ЭДС играет гидростатическое давление \(\rho gh\); сопротивление трубки найдите по наклону зависимости расхода от высоты.

Ответ

1.1) аналог ЭДС — величина \(\rho gh\) (работа силы тяжести на единицу объёма); 2.1) \(Q=(0{,}383\pm0{,}009)\) мл/с; 2.2) \(Q=\dfrac{h_1+h_2}{R}\) даёт \(R_2\approx2{,}6\cdot10^{3}\) гом, а данные лучше описывает эмпирическая формула \(Q\approx\dfrac{h_1+2h_2}{2R_2}\) с \(\overline{R}_2\approx1{,}3\cdot10^{3}\) гом.

Решение

Часть 1. Теоретическое введение.

1.1 В данной задаче сторонней силой, способной прогонять воду является сила тяжести. Аналогом ЭДС в данном случае выступает работа силы тяжести, отнесенная к объему жидкости, то есть величина \(\rho g h\).

1.2 При движении несжимаемой жидкости, ее расход в любом сечении трубы остается постоянным. Обозначим давление в месте стыка \(p_x\), тогда приравнивая расходы в обеих частях трубы, получим уравнение

\[q = \frac{p_0 - p_x}{R_1} = \frac{p_x}{R_2},\tag{1}\]

из которого следует

\[p_0 R_2 = (R_1 + R_2) p_x \quad \Rightarrow \quad p_x = p_0 \frac{R_2}{R_1 + R_2}.\tag{2}\]

Так как радиусы труб отличаются в два раза, то их

гидродинамические сопротивления изменяются в 16 раз, т.е. \(R_2 = 16 R_1\). Следовательно, давление на стыке будет равно \(p_x = \frac{16}{17} p_0\). В пределах же каждой из частей трубы давление будет падать по линейному закону. График этой зависимости показан на рисунке.

1.3 Если труба расположена вертикально, то на жидкость внутри нее действует сила тяжести (аналог ЭДС в электрической цепи). При неподвижной жидкости давление с глубиной возрастает по закону \(p = \rho g x\). При движении жидкости на нее будет действовать тормозящая сила, которую преодолевает разность сил давления. Иными словами при движение жидкости возникает дополнительное падение давления, которой определяется «законом Ома» для движущейся жидкости \(\Delta P = R q\). Кроме того следует учесть, что сопротивление пропорционально длине участка трубы. С учетом этих факторов давление, в верхней более толстой трубе будет изменяться по закону (также линейному)

\[p = \rho g x - R_1 q \frac{x}{l}.\tag{3}\]

Давление в нижней более узкой части трубы закон изменения давления также имеет линейный вид (с учетом, того, что давление на стыке равно \(p_x = \rho g l - R_1 q\))

\[\begin{aligned} p &= p_x + \rho g (x - l) - R_2 q \frac{x - l}{l} = \\ &= \rho g l - R_1 q + \rho g (x - l) - R_2 q \frac{x - l}{l}. \end{aligned}\tag{4}\]

Полагая, что на нижнем срезе (при \(x = 2l\)) давление равно нулю, найдем расход жидкости в составной трубе

\[q = \frac{2 \rho g l}{R_1 + R_2}\tag{5}\]

и давление на стыке \(p_x = \rho g l - R_1 \frac{2 \rho g l}{R_1 + R_2} = \rho g l \frac{R_2 - R_1}{R_2 + R_1}\). Учитывая, что \(R_2 = 16 R_1\), выразим это давление

\[p_x = \frac{14}{17} \rho g l.\tag{16}\]

График этой функции показан на рисунке.

Из проведенного решения следует важный вывод: если гидродинамическое сопротивление нижней части трубы значительно превышает сопротивление верхней части (как в нашем эксперименте), то падение всего давления фактически происходит на нижней части: иными словами, жидкость в верхней части создает дополнительное давление на нижней части трубы.

Существенное замечание: при переходе из одной трубки в другую скорость жидкости скачком изменяется, поэтому в месте стыка должен существовать скачок давления \(\Delta p\), который сложным образом зависит от скорости протекания жидкости, т.е. от ее расхода. Учесть его затруднительная задача, поэтому приступим к проведению экспериментов.

Предварительно предполагая, что расход определяется формулой

\[Q \approx \frac{\rho g (h_1 + h_2)}{R_2}.\tag{17}\]

2.1 Для проверки предположения о равномерности течения воды можно измерить зависимость объема протекшей воды от времени. В эксперименте удобнее последовательно засекать времена \(t_k\), когда объем воды в измерительной мензурке достигает определенных значений \(V_k\), соответствующих делениям шкалы мензурки. Результаты таких измерений представлены в Таблице 1. Рядом представлен график полученной зависимости. Отметим, что погрешность измерения времени превышает погрешность измерения объема, поэтому построена именно зависимость времени от объема. Измерения проведены при \(h_1 = 450\) мм, \(h_2 = 315\) мм (это длина трубки).

Таблица 1. Времена наливания.

Почти строгая линейная зависимость доказывает, что скорость вытекания постоянна. Коэффициент наклона этой прямой \(a = \frac{\Delta t}{\Delta V}\) равен величине обратной расходу. Расчет коэффициентов линейной зависимости \(t = aV + b\) по методу наименьших квадратов дает следующие значение ее параметров

\[a = (2{,}61 \pm 0{,}06) \frac{c}{\text{мл}}, \quad b = (-0{,}7 \pm 0{,}4) c.\tag{17}\]

Соответственно, расход воды в данном случае равен

\[Q = \frac{1}{a} = (0{,}383 \pm 0{,}009) \frac{\text{мл}}{c}.\tag{18}\]

Погрешность рассчитана по формуле \(\Delta Q = Q \frac{\Delta a}{a}\). Относительная погрешность равна всего 2,5%.

\(h_1\) при вертикальном положении трубки (\(h_2 = 315\,\text{мм}\)) приведена в таблице 2. Приведено среднее значение времени вытекания по двум измерениям (участникам олимпиады достаточно провести одно). Расход рассчитано по формуле

\[Q = \frac{\Delta V}{t}\tag{19}\]

Таблица 2.

За исключением двух точек (при малой скорости течения) зависимость очень близка к линейной. Параметры этой зависимости \(Q = a h_1 + b\) равны

\[a = 3{,}8 \cdot 10^{-4}, \quad b = 0{,}27\tag{20}\]

В соответствии с формулой (17), величина обратная коэффициенту \(a\) есть гидродинамическое сопротивление

\[R_2 = 2{,}6 \cdot 10^3\,\text{гом}\tag{22}\]

Тем не менее, полученный результат вызывает сомнения в применимости формулы (17), так как если представить линейную зависимость в виде

\[Q = a h_1 + b = \frac{h + b/a}{R_2},\tag{23}\]

То видно, что отношение коэффициентов линейной зависимости должно равняться длине трубки. Однако его численное значение равно

\[\tilde{h}_2 = \frac{0{,}27}{3{,}8 \cdot 10^{-4}} \approx 710\,\text{мм},\]

Что почти точно в два раза превышает длину капиллярной трубки! Поэтому эмпирическая формула, которая точнее описывает полученные данные, имеет вид

\[Q \approx \frac{\left( \dfrac{h_1}{2} + h_2 \right)}{R_2} = \frac{(h_1 + 2h_2)}{2R_2}.\tag{24}\]

Такой форме записи можно дать некоторое логическое объяснение: упомянутый скачок давления в месте стыка понижает гидростатическое давление жидкости в шланге примерно в два раза. В этом случае рассчитанное сопротивление капилляра необходимо разделить на два. То есть принять

\[\overline{R}_2 = 1{,}3 \cdot 10^3\,\text{гом}\tag{25}\]

2.3 Результаты измерений зависимости расхода от величины \(h_2\) (при неизменной величине \(h_1 = 195\) мм) приведены в таблице 3 и на графике 3.

Таблица 3.

В этом случае параметры линейной зависимости \(Q = a h_2 + b\) равны

\[a = 8{,}7 \cdot 10^{-4}, \quad b = 0{,}075\tag{26}\]

Снова мы получили несоответствие, как с проверяемой формулой (17), так и с ранее полученной зависимостью \(Q(h_1)\). Попробуем проверить применимость эмпирической формулы (24). Для этого линейную зависимость представим в виде

\[Q = a h_2 + b = \frac{h_2 + \frac{b}{a}}{a^{-1}} = \frac{2 h_2 + 2 \frac{b}{a}}{2 a^{-1}} = \frac{2 h_2 + h_1}{R_2}.\tag{27}\]

При записи в такой форме видно, что величина \(2 \frac{b}{a}\) должна равняться \(h_1\), расчет примерно подтверждает этот вывод \(2 \frac{b}{a} = 2 \frac{0{,}075}{8{,}7 \cdot 10^{-4}} \approx 170\) мм. Гидродинамическое сопротивление в этом случае оказывается равным \(R_2 = a^{-1} \approx 1{,}2 \cdot 10^3\) гом, что близко к значению полученному ранее.

Еще одним подтверждением найденной эмпирической зависимости может служить объединенный график, включающий данные, как одной так второй серии измерений.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.