Белорусская, 2011/12, заключительный этап, 10 класс, теоретический тур

Подсказка

За один оборот спутника Земля поворачивается, и следующая точка пересечения экватора смещается на \(2\pi(1\mp\omega_{\text{З}}/\omega)\); по этому смещению найдите угловую скорость, а радиус орбиты — из второго закона Ньютона с силой тяготения.

Ответ

1.1) в ту же сторону, что и Земля; 1.2) \(T=\dfrac{2}{9}T_{\text{З}}=5{,}3\) ч, \(\omega=3{,}3\cdot10^{-4}\text{ с}^{-1}\), \(r=1{,}6\cdot10^{7}\) м, \(v=5{,}1\cdot10^{3}\) м/с; 1.3) при уменьшении радиуса расстояние растёт, максимум \(\approx169^\circ\) (\(3{,}0\) рад); 2.1) \(T=12\) ч, \(r=2{,}7\cdot10^{7}\) м; 2.2) связь пропадает на \(\approx55\) мин каждые \(6\) ч.

Решение

Часть 1

1.1 Пусть \(\omega_{\text{З}}\) – угловая скорость вращения Земли вокруг оси, а \(\omega\) – угловая скорость вращения спутника. И пусть в начальный момент времени спутник пересекает экватор. За время одного оборота спутника (\(T = \frac{2\pi}{\omega} \omega_{\text{З}}\)) Земля повернется на угол \(\frac{2\pi}{\omega} \omega_{\text{З}}\).

Если движение спутника и Земли происходит в одном направлении, то следующее пересечение экватора произойдет на:

\[\Delta\varphi = 2\pi - 2\pi \frac{\omega_{\text{З}}}{\omega} = 2\pi \left(1 - \frac{\omega_{\text{З}}}{\omega}\right)\tag{1}\]

восточнее (на рисунке — правее) предыдущего.

Если же спутник и Земля вращаются в разных направлениях, то за один оборот спутник сместится относительно Земли на:

\[\Delta\varphi = 2\pi + 2\pi \frac{\omega_{\text{З}}}{\omega} = 2\pi \left(1 + \frac{\omega_{\text{З}}}{\omega}\right)\tag{2}\]

в западном (левом) направлении. Т.е. в любом случае больше, чем на \(360^\circ\).

Согласно рисунку 1 условия задачи, спутник смещается на 14 клеток (\(280^\circ\)), т. е. движется по направлению вращения Земли.

1.2 Уравнение (1) позволяет найти угловую скорость вращения спутника:

\[280^\circ = \frac{14}{9} \pi = 2\pi \left(1 - \frac{\omega_{\text{З}}}{\omega}\right)\tag{3}\]

Таким образом:

\[\omega = \frac{9}{2} \omega_{\text{З}} = 3{,}3 \cdot 10^{-4} \, c^{-1}\tag{4}\]

\[T_{\text{С}} = \frac{2}{9} T_{\text{З}} = 5{,}3 \, \text{ч}\tag{5}\]

Радиус орбиты определим, записав Второй закон Ньютона:

\[m \omega_2 r = G \frac{M m}{r^2}\tag{6}\]

где \(M\) - масса Земли,

\(m\) - масса спутника.

Подставив \(\omega = \frac{2\pi}{T}\) и \(GM = g R_{\text{З}}^2\), получим:

\[\frac{4\pi^2}{T^2} r = g \frac{R_{\text{З}}^2}{r^2}\tag{7}\]

Тогда радиус орбиты:

\[r = \left( \frac{g R_{\text{З}}^2 T^2}{4\pi^2} \right)^{1/3} = 1{,}6 \cdot 10^7 \, \text{м}\tag{8}\]

Линейная скорость движения спутника:

\[v = \frac{2\pi r}{T} = 5{,}1 \cdot 10^3 \, \text{м/с}\tag{9}\]

\[\Delta \varphi = \pi \left( 1 - \frac { \omega _ { 3 } } { \omega } \right)\tag{10}\]

Это и есть расстояние между двумя последовательными точками пересечения экватора. При уменьшении радиуса орбиты угловая скорость увеличивается. Следовательно, увеличивается и искомое расстояние.

Максимальное значение угловой скорости спутника достигается на орбите, проходящей в непосредственной близости к поверхности Земли. Записав Второй закон Ньютона:

\[m \omega _ { m a x } ^ { 2 } R _ { 3 } = m g\tag{11}\]

получим:

\[\omega _ { m a x } = \sqrt { g / R _ { 3 } } = 1 { , } 2 \cdot 1 0 ^ { - 3 }\tag{12}\]

Тогда максимальное расстояние между двумя точками последовательного пересечения экватора:

\[\Delta \varphi = \pi \left( 1 - \frac { \omega _ { 3 } } { \omega _ { \mathrm { m a x } } } \right) = 3 { , } 0 \, \text{рад} = 1 6 9 ^ { \circ }\tag{13}\]

Часть 2

2.1 Т.к. спутники одновременно пересекают линию экватора, то периоды их обращения по орбитам одинаковы, а значит, равны и радиусы орбит. Изображенные на рисунке 2 условия задачи траектории соответствуют спутникам, двигающимся по одной орбите в разных направлениях.

Если спутник движется по направлению вращения Земли («сжатая» траектория), то расстояние, которое проходит спутник относительно Земли за один оборот, равно \(180^\circ\) (9 клеток). Согласно (1), угловая скорость вращения равна:

\[\omega = 2 \omega _ { 3 }\tag{14}\]

Аналогично можно рассуждать, рассматривая движение второго спутника. Для него выражение (1) будет иметь вид:

\[\Delta \varphi = \pi \left( 1 + \frac { \omega _ { 3 } } { \omega } \right)\tag{15}\]

За один оборот этот спутник смещается относительно Земли на 27 клеток, т. е. на \(540^\circ\). Подставляя это значение в (15), получим тот же ответ (14).

Таким образом, период обращения по орбите равен:

\[T = T _ { 3 } / 2 = 1 2 { \mathrm { q } }\tag{16}\]

Радиус орбит спутников равен:

\[r = \left( \frac { g R _ { 3 } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 3 } = 2 { , } 7 \cdot 1 0 ^ { 7 } \, \text{м}\tag{17}\]

2.2 Пусть спутники встретились в точке \(A\) (рис. 1). Между ними будет возможна прямая связь, пока они не достигнут точек \(B\) и \(B'\) соответственно. В течение времени, необходимом для перемещения в точки \(C\) и \(C'\), связь будет отсутствовать.

Таким образом, связь исчезает на время:

\[\Delta t _ { 1 } = \beta / \omega\tag{18}\]

с периодичностью

\[\Delta t_{2}=T / 2=6 \text { ч }\tag{19}\]

Угол \(\beta\) найдем из равнобедренного треугольника \(O B C\).

\[\begin{aligned}\sin \frac{\beta}{2}=\frac{R_{\text{З}}}{r} \qquad(20) \\ \beta=0.48 \text{ рад } \qquad(21)\end{aligned}\]

Тогда время молчания:

\[\Delta t_{1}=\frac{T \cdot 0.48}{2 \pi}=0.92 \text { ч }=55 \text { мин }\tag{22}\]

Часть 3

Один из возможных траекторий изображены на рис. 2. Спутник движущийся по направлению вращения Земли пересекает экватор через каждые а движущийся против — через \(300^{\circ}\). «Размах» траекторий в вертикальном направлении составляет \(45^{\circ}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Электроны проводимости ведите как идеальный газ с концентрацией, равной концентрации атомов; дрейфовая скорость связана с током через \(I=n_0eS\langle v\rangle\), а закон Ома получается из равноускоренного движения между столкновениями.

Ответ

1.1) \(n_0=8{,}4\cdot10^{28}\text{ м}^{-3}\); 1.2) \(\langle v_{\text{кв}}\rangle=1{,}2\cdot10^{5}\) м/с; 1.3) \(T_e=8{,}8\cdot10^{4}\) К; 1.4) \(P=1{,}0\cdot10^{11}\) Па; 2.1) \(\langle v_{\text{др}}\rangle=7{,}4\cdot10^{-5}\) м/с; 2.2) \(E=1{,}0\) В/м; 2.3) \(I=\dfrac{n_0e^2\tau S}{2mL}\,U\), \(\rho=\dfrac{2m}{n_0e^2\tau}\), \(\tau=5{,}0\cdot10^{-14}\) с; 3.1) \(\varphi=\varphi_0\dfrac{\rho_2}{\rho_1+\rho_2}=213\) В; 3.3) \(E=j\rho_1\left(1+\beta\dfrac{x}{L}\right)\), \(\varphi(\xi)=U\left(1-\dfrac{(2+\beta\xi)\xi}{2+\beta}\right)\), \(\beta=\rho_2/\rho_1=30\).

Решение

1.1 Концентрация свободных электронов равна концентрации атомов меди, следовательно: \(n_{0} = \frac{N}{V} = \frac{D}{m_{\text{Cu}}}\); \(m_{\text{Cu}} = \frac{M}{N_{\text{A}}} \Rightarrow\)

\[n_{0} = \frac{D N_{\text{A}}}{M};\tag{1}\]

\[n_{0} = \frac{8{,}9 \cdot 10^{3} \cdot 6{,}02 \cdot 10^{23}}{6{,}4 \cdot 10^{-2}} = 8{,}4 \cdot 10^{28} \text{ м}^{-3}.\tag{1'}\]

1.2. Тепловое равновесие означает, что электронному газу можно присвоить температуру, равную температуре меди. В результате:

\[\langle v_{\text{кв.}} \rangle = \sqrt{\frac{3kT}{m}};\tag{2}\]

\[\langle v_{\text{кв.}} \rangle = \sqrt{\frac{3 \cdot 1{,}38 \cdot 10^{-23} \cdot 300}{9{,}1 \cdot 10^{-31}}} = 1{,}2 \cdot 10^{5} \frac{\text{м}}{\text{с}}.\tag{2'}\]

1.3.

\[\langle v_{\text{кв.}} \rangle = \sqrt{\frac{3kT_{e}}{m}} \Rightarrow T_{e} = \frac{m \langle v_{\text{кв.}} \rangle^{2}}{3k};\tag{3}\]

\[T_{e} = \frac{9{,}1 \cdot 10^{-31} \cdot (2 \cdot 10^{6})^{2}}{3 \cdot 1{,}38 \cdot 10^{-23}} = 8{,}8 \cdot 10^{4} \text{ К}.\tag{3'}\]

1.4.

\[p = n_{0} k T_{e};\tag{4}\]

\[p = 8{,}4 \cdot 10^{28} \cdot 1{,}38 \cdot 10^{-23} \cdot 8{,}8 \cdot 10^{4} = 1{,}0 \cdot 10^{11} \text{ Па}\tag{4'}\]

Это очень большое давление. Однако при его выводе не учитывались положительные ионы кристаллической решетки, взаимодействие с которыми уменьшает давление электронного газа. Полученное значение является парциальным давлением электронного газа, к которому необходимо добавить давление электрического поля, создаваемого положительным зарядом, которое противоположно по знаку.

Часть 2.

2.1. По определению сила тока: \(I = \frac{\Delta q}{\Delta t}\); \(\Delta q = \Delta N e\), где \(\Delta N\) количество электронов, способных за промежуток времени пересечь поперечное сечение проводника. \(\Delta N = n_{0} \Delta V\), \(\Delta V = S \Delta l = S \langle v_{\text{др.}} \rangle \Delta t\) (см. рисунок). В итоге: \(\Delta q = n_{0} e S \langle v_{\text{др.}} \rangle \Delta t \Rightarrow I = n_{0} e S \langle v_{\text{др.}} \rangle \Rightarrow\)

\[\langle v_{\text{др.}} \rangle = \frac{I}{n_{0} e S};\tag{5}\]

\[\langle v _ { \text{др.}} \rangle = \frac { 1 } { 8 { , } 4 \cdot 1 0 ^ { 2 8 } \cdot 1 { , } 6 \cdot 1 0 ^ { - 1 9 } \cdot 1 } = 7 { , } 4 \cdot 1 0 ^ { - 5 } \, \frac { \text{м} } { \text{с} } .\tag{5'}\]

Это очень малая скорость, особенно по сравнению со скоростью хаотического движения электронов. Тем не менее, с такой скоростью дрейфует много электронов, в результате этого получается заметный ток.

2.2. Для однородного поля:

\[E = \frac { U } { L } \, ; \quad E = 1 { , } 0 \, \frac { \text{В} } { \text{м} } .\tag{6}\]

2.3. Средняя скорость равноускоренного движения из состояния покоя равна \(\frac{1}{2}v_{\text{max}}\) и совпадает со средней скоростью дрейфа: \(\frac{1}{2}v_{\text{max}} = \langle v_{\text{др.}} \rangle \Rightarrow\) (учитывая (5)):

\[v_{\text{max}} = \frac{2I}{n_0 e S} .\tag{7}\]

С другой стороны: \(v_{\text{max}} = a \tau\), где ускорение: \(a = \frac{eE}{m} = \frac{eU}{mL} \Rightarrow\)

\[\frac{eU}{mL} \tau = \frac{2I}{n_0 e S} \quad \Rightarrow \quad I = \frac{n_0 e^2 \tau S}{2mL} U .\tag{8}\]

Сила тока пропорциональна напряжению, это и есть закон Ома. Сопротивление:

\[R = \frac{U}{I} \quad \Rightarrow R = \frac{2mL}{n_0 e^2 \tau S} .\tag{9}\]

Сравнивая полученное выражение с формулой \(R = \rho_1 \frac{L}{S}\), получим:

\[\rho_1 = \frac{2m}{n_0 e^2 \tau} \quad \Rightarrow \quad \tau = \frac{2m}{n_0 e^2 \rho_1} ;\tag{10}\]

\[\tau = \frac{2 \cdot 9{,}1 \cdot 10^{-31}}{8{,}4 \cdot 10^{28} \cdot (1{,}6 \cdot 10^{-19})^2 \cdot 1{,}7 \cdot 10^{-8}} = 5{,}0 \cdot 10^{-14} \, \text{с} .\tag{10'}\]

3.1. Сопротивление первого проводника: \(R_1 = \rho_1 \frac{l_1}{S}\), второго — \(R_2 = \rho_2 \frac{l_2}{S}\). Сила тока в проводниках: \(I_1 = \frac{\varphi_0 - \varphi_1}{R_1} = \frac{\varphi_0 - \varphi_1}{\rho_1 l_1} S\); \(I_2 = \frac{\varphi_1 - 0}{R_2} = \frac{\varphi_1}{\rho_2 l_2} S\). Поскольку при последовательном соединении сила тока в проводниках одинакова,

\[I_1 = I_2 \quad \Rightarrow \quad \frac{\varphi_0 - \varphi_1}{\rho_1 l_1} S = \frac{\varphi_1}{\rho_2 l_2} S \quad \Rightarrow \quad \varphi_1 = \varphi_0 \frac{\rho_2 l_2}{\rho_1 l_1 + \rho_2 l_2} .\tag{12}\]

При \(l_1 = l_2\): \(\varphi = \varphi_0 \frac{\rho_2}{\rho_1 + \rho_2}\); \(\varphi_1 = 220 \cdot \frac{5{,}1 \cdot 10^{-7}}{1{,}7 \cdot 10^{-8} + 5{,}1 \cdot 10^{-7}} = 213\) В.

3.2. Закон Ома: \(I = \frac{\varphi_0 - \varphi}{R} \Rightarrow \varphi = \varphi_0 - I \rho \frac{l}{S}\). Зависимость потенциала \(\varphi\) от длины проводника \(l\) линейная, \(\varphi\) равномерно убывает в медном проводнике от \(\varphi_0\) до \(\varphi_1\), а в проводнике из константана от \(\varphi_1\) до 0.

Напряжённость поля в каждом проводнике постоянная, однако, на границе соединения проводников претерпевает разрыв, в результате в проводнике из меди \(E_1 = \frac{\varphi_0 - \varphi_1}{l} = \frac{7{,}0}{l} \left( \frac{\text{В}}{\text{м}} \right)\), а в проводнике из константана \(E_2 = \frac{\varphi_1}{l} = \frac{213}{l} \left( \frac{\text{В}}{\text{м}} \right)\).

3.3. Совместим ось \(Ox\) с осью проводника, поместив начало оси на положительный конец. Удельное сопротивление материала проводника изменяется по закону:

\[\rho = \rho_1 \left( 1 + \beta \frac{x}{L} \right), \text{ где } \beta = \frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{5{,}1 \cdot 10^{-7}}{1{,}7 \cdot 10^{-8}} = 30.\tag{14}\]

Так как сила тока постоянна в любом сечении проводника, то для плотности тока (которая также постоянна) можно записать

\[j = \frac{1}{\rho} E = const.\tag{15}\]

Откуда следует, что напряжённость электрического поля изменяется по закону

\[E = j \rho = j \rho_1 \left( 1 + \beta \frac{x}{L} \right).\tag{16}\]

В этой зависимости нам не известна плотность тока, которую можно найти, зная значения потенциалов на концах проводника. Построим график зависимости модуля напряжённости от координаты. Площадь под графиком от точки \(x = 0\) до некоторого значения \(X\) численно равна разности потенциалов между этими точками. Поэтому потенциал в точке с координатой \(X\) равен

\[\varphi ( x ) = U - \frac { 1 } { 2 } ( E ( 0 ) + E ( x ) ) \cdot x = U - \frac { 1 } { 2 } j \rho _ { 1 } \left( 2 + \beta \frac { x } { L } \right) x \, .\tag{17}\]

Эта функция при \(x = L\) должна обращаться в нуль, что и дает возможность определить неизвестную постоянную:

\[U - \frac { 1 } { 2 } j \rho _ { 1 } ( 2 + \beta ) L = 0 \quad \Rightarrow \quad j = \frac { U } { \displaystyle { \frac { 1 } { 2 } \rho _ { 1 } ( 2 + \beta ) L } } \, .\tag{18}\]

Таким образом, получаем окончательное выражение для распределения потенциала

\[\varphi ( x ) = U - \frac { 1 } { 2 } j \rho _ { 1 } \left( 2 + \beta \frac { x } { L } \right) x = U - U \frac { \left( 2 + \beta \displaystyle { \frac { x } { L } } \right) x } { ( 2 + \beta ) L } \, .\tag{19}\]

Если обозначить \(\xi = \frac { x } { L }\), то эта функция приобретает вполне удобоваримый вид банальной параболы (с учетом \(\beta = 3 0\)):

\[\begin{array} { c } { { \displaystyle { \varphi ( x ) = U \left( 1 - \frac { ( 2 + \beta \xi ) \xi } { ( 2 + \beta ) } \right) = } } } \\ { { \displaystyle { = U \left( 1 - \frac { ( 2 + 3 0 \xi ) \xi } { 3 2 } \right) } } } \end{array} .\]

График этой функции показан на следующем рисунке.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Во вращающемся сосуде на частицу действуют сила Стокса и «архимедова» центробежная сила; распределение частиц по высоте такое же, как у молекул газа в поле тяжести, поэтому половинная высота определяет постоянную Авогадро.

Ответ

1.1) \(V=\dfrac{R^2(\rho-\rho_0)\omega^2r}{9\eta}\); 1.2) уменьшится в 4 раза; 1.3) \(V\approx0{,}010\) м/с; 1.4) \(t\approx4{,}3\) с; 2.1) \(V\approx9{,}55\cdot10^{-6}\) м/с; 2.2) \(t\approx5{,}2\cdot10^{3}\) с (около полутора часов); 3.1) \(\Delta h\approx77{,}6\) м \(\approx80\) м; 3.3) \(h_{1/2}=0{,}69\,\dfrac{RT}{Mg}\), \(N_A\approx7\cdot10^{23}\text{ моль}^{-1}\).

Решение

1.1 На частицу во вращающейся жидкости в радиальном направлении действуют сила вязкого трения (сила Стокса) \(F_{\text{С}} = 6\pi\eta RV\) и сила Архимеда \(F_{\text{А}} = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho_0 \omega^2 r\). Эти силы сообщают частице центростремительное ускорение \(a = \omega^2 r\). Пренебрегая изменением модуля скорости частицы относительно жидкости. На основании второго закона Ньютона запишем уравнение

\[\frac{4}{3}\pi R^3 \rho \omega^2 r = 6\pi\eta RV + \frac{4}{3}\pi R^3 \rho_0 \omega^2 r,\tag{1}\]

Из которого находим скорость радиального движения частицы

\[V = \frac{R^2 (\rho - \rho_0) \omega^2 r}{9\eta}.\tag{2}\]

Данная задача также может быть решена в неинерциальной вращающейся системе отсчета, связанной с жидкостью.

1.2 Так как скорость частицы пропорциональна квадрату ее радиуса, то при уменьшении радиуса в два раза, скорость уменьшится в 4 раза.

1.3 Подстановка численных значений приводит к результату

\[V = \frac{R^2 (\rho - \rho_0) \omega^2 r}{9\eta} = \frac{\left(0{,}212 \cdot 10^{-6}\right)^2 \text{ м}^2 \cdot (1{,}194 - 0{,}998) \cdot 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \left(2500 \frac{2\pi}{60}\right)^2 \text{с}^{-2} \cdot 0{,}15 \text{м}}{9 \cdot 1{,}005 \cdot 10^{-6} \frac{\text{кг} \cdot \text{м}}{\text{м}^2 \cdot \text{с}^2} \cdot \text{с}} =\tag{3}\]

\[= 0{,}010 \frac{\text{м}}{\text{с}}\]

1.4 Из формулы (2) следует, что скорость частицы пропорциональная расстоянию до оси вращения, поэтому движение такой частицы не является равномерным. Для оценки времени движения можно использовать среднее арифметическое скоростей движения частицы в начале и конце рассматриваемого интервала. Для упрощения численных расчетов зависимость скорости от расстояния запишем в виде

\[V(r) = V_0 \frac{r}{r_0},\tag{4}\]

где \(V_0\) - скорость частицы на расстоянии \(r_0\), причем в качестве этих величин используем численные значения, рассчитанные в п. 1.2. Указанная оценка времени движения частицы дает

\[\tilde{t} = \frac{2l}{V_0 + V_0 \frac{r_0 + l}{r_0}} = \frac{2 \cdot 0{,}05}{0{,}010 \left(1 + \frac{20}{15}\right)} \approx 4{,}3 \text{с}\tag{5}\]

Дополнение. Точный расчет времени движения также может быть проведен. Из уравнения (4), записанного в дифференциальной форме следует, что закон движения имеет экспоненциальный вид

\[\frac{dr}{dt} = V_0 \frac{r}{r_0} \quad \Rightarrow \quad r = r_0 \exp\left(\frac{V_0}{r_0} t\right).\]

Из точного закона движения находим время смещения частицы на расстояние \(l\) :

\[\widetilde { t } = \frac { r _ { 0 } } { V _ { 0 } } \ln \frac { r _ { 0 } + l } { r _ { 0 } } = \frac { 0 { , } 1 5 0 } { 0 { , } 0 1 0 } \ln \frac { 2 0 } { 1 5 } = 4 { , } 3 2 \, c \, .\]

Часть 2. Определение размеров частиц.

2.1 Для определения скорости опускания частиц достаточно в формуле (2) заменить центростремительное ускорение ускорением свободного падения. Расчет скорости в этом случае приводит к следующему значению кг (\(\cdot\)$-\(6)2\)\cdot\((\)-\()\)\cdot\(3\)\cdot$$-\(2\)\cdot\(2,021210м,1194,099810,981см R(\)\rho$$-$$\rho\()g3 0м V=== 9\)\eta\(кг\)\cdot\(м 9\)\cdot\(,1005\)\cdot\(с(6) м2\)\cdot\(с2\)-\(м =,955\)\cdot\(106 с M8 M9 \textbf{2.2} Скорость движения в данном случае постоянна, поэтому время движения рассчитывается по формуле M10 что примерно равно полутора часам. \begin{ris} \includegraphics{3-fig10.png} \end{ris} \textbf{Часть 3. Распределение частиц по высоте.} \textbf{3.1} При постоянной температуре концентрация молекул газа пропорциональна давлению газа. Изменение давления с высотой связано с действием силы тяжести. В пределах слоя малой толщины можно считать давление (а также концентрацию и плотность) постоянным. Тогда для изменения\)\Delta P\(давления при подъеме на высоту\)\Delta h\(справедливо выражение (где плотность газа выражена из уравнения состояния): M11 Полагая\)\displaystyle \frac { \Delta P } { P } = 1 % = 0 { , } 0 1\(, из этой формулы находим высоту M12 \textbf{3.2.} На каждом слое толщиной\)\left( \Delta h \right) _ { 1 % }\(концентрация убывает на 1\%, следовательно, с увеличением числа слоев концентрация убывает в геометрической прогрессии. Найдем, сколько слоев толщиной\)\left( \Delta h \right) _ { 1 % }\(необходимо пройти, чтобы, уменьшение концентрации составило 50\%. Для этого надо решить уравнение M13 Следовательно, высота, на которой концентрация убывает в два раза, равна M14 M15 \textbf{3.3} Так как к частицам применимы законы идеального газа, то применима и формула (11). Только в ней молярную массу молекул надо заменить «молярной» массой частиц\)M = N _ { A } m\(, где\)m\(- масса одной частицы. Кроме того, необходимо учесть действие силы Архимеда на частицу в воде, что приведет к появлению «эффективного» ускорения свободного падения\)g ^ { * }$. С учетом этих оговорок, из формулы (11) следует выражение для расчета постоянной Авогадро

\[h _ { 1 / 2 } = 0 { , } 6 9 \frac { R T } { M g } = 0 { , } 6 9 \frac { R T } { N _ { A } m g ^ { * } } \quad \Rightarrow \quad N _ { A } = 0 { , } 6 9 \frac { R T } { m g ^ { * } h _ { 1 / 2 } } \, .\tag{12}\]

Подстановка численных значений приводит к результату

\[\begin{aligned} N _ { A } & = 0 { , } 6 9 \frac { R T } { m g ^ { * } h _ { 1 / 2 } } = 0 { , } 6 9 \frac { R T } { \frac { 4 } { 3 } \pi R ^ { 3 } ( \rho - \rho _ { 0 } ) g h _ { 1 / 2 } } = \\ & = 0 { , } 6 9 \frac { 8 { , } 3 1 \frac { \text{Дж} } { \text{моль} \cdot \text{К} } \cdot 2 9 3 K } { \frac { 4 } { 3 } \pi ( 0 { , } 2 1 2 \cdot 1 0 ^ { - 6 } ) ^ { 3 } \, \text{м} ^ { 3 } \cdot ( 1 { , } 1 9 4 - 0 { , } 9 9 8 ) \cdot 1 0 ^ { 3 } \, \frac { \text{кг} } { \text{м} ^ { 3 } } \cdot 9 { , } 8 1 \, \text{с} ^ { - 2 } \cdot \text{м} \cdot 3 0 \cdot 1 0 ^ { - 6 } \, \text{м} } = \\ & = 7 { , } 2 3 \cdot 1 0 ^ { 2 3 } \, \text{моль} ^ { - 1 } \approx 7 \cdot 1 0 ^ { 2 3 } \, \text{моль} ^ { - 1 } \end{aligned}\tag{13}\]

Это значение немного превышает современное постоянной Авогадро, но это же было} первое ее экспериментальное измерение!

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.