Белорусская, 2011/12, заключительный этап, 11 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Сопротивления без омметра находят по делителю напряжения: включайте измеряемый элемент последовательно с известным резистором и сравнивайте показания мультиметров; время переключения оценивайте по заряду, который успевает набрать конденсатор.

Ответ

1а) \(R_V\approx9\cdot10^{5}\) Ом; 1б) прямое сопротивление диода сильно зависит от тока (от \(\approx2\cdot10^{1}\) до \(10^{5}\) Ом), обратное \(\approx5\cdot10^{6}\) Ом; 1в) сопротивление утечки конденсатора \(\approx4\cdot10^{7}\) Ом; 2) \(\tau_0\approx0{,}1\) с.

Решение

1) Для определения сопротивления мультиметра в режиме измерения напряжения в пределах до 20 В, соберем схему рис. 1 и замыкая последовательно контакт А с контактами 0, 1, 2, 3, 4 определим напряжение источника тока и сравним сопротивление мультиметра \(V_1\) с сопротивлениями \(R_1 - R_4\). Замыкая контакты Б5 (\(U_2\)) и Б6 (\(U_{\text{б}}\)) мы проверяем перераспределение напряжений при различных подключениях резисторов \(R_1 - R_4\). При разомкнутом контакте А и замкнутом контакте Б5 можно сравнить сопротивления мультиметров \(V_1\) и \(V_2\).

Из полученных данных можно сделать вывод, что сопротивления мультиметров равны \(R_{V1} = R_{V2}\) и почти на порядок больше самого большого сопротивления \(R_4 = 110\) кОм.

\[\frac{U_1}{R_{\text{V}}} = \frac{U_2 \left( R_4 + R_{\text{V}} \right)}{R_4 R_{\text{V}}}, \quad R_{\text{V}} = \frac{U_1 - U_2}{U_2} R_4 = \frac{4{,}3 - 0{,}46}{0{,}46} 1{,}1 \times 10^5 \approx 9 \times 10^5 \, \hat{I} \, \hat{i}\]

2) Для определения сопротивления диода в прямом направлении соберем схему рис.2. Последовательно замыкая контакт А с контактами 1, 2, 3, 4, а при разомкнутом контакте А с диодом последовательно подключается мультиметр, находим сопротивление диода в прямом направлении при различных значениях проходящего через него тока.

Для определения сопротивления диода в обратном направлении собираем схему рис.3.

Включая последовательно с диодом самое большое сопротивление \(R_4 = 1{,}1 \times 10^5\) Ом, один и два мультиметра с пределом измерения напряжения 20 В, определяем сопротивление диода при обратном включении при различных токах.

Итак, зависимость сопротивления диода при прямом включении от силы тока через него изменяется в десятки тысяч раз, а при обратном включении зависимость сопротивления от силы тока с нашим оборудованием не зафиксирована.

3) Зарядим конденсатор, подключив его к батарейке, соблюдая полярность. Подключим на короткое время к конденсатору мультиметр для измерения напряжения на нем. Повторим измерение напряжения на конденсаторе примерно через полминуты. Уменьшение напряжения на конденсаторе говорит о том, что он разряжается. (Если мультиметр подключен к

Для определения сопротивления утечки конденсатора соберем схему рис.4. С течением времени показания мультиметра \(V_1\) уменьшаются, значит идет зарядка конденсатора. Определим время зарядки конденсатора через мультиметр

\[\tau = 2{,}3 R_{V_1} C = 2{,}3 \times 9 \times 10^5 \times 20 \times 10^{-6} \approx 40 \text{ с}\]

Примерно через минуту ток утечки конденсатора сравнивается с током его подзарядки и показания мультиметра \(V_1\) стабилизируются.

\[R_C = R_V \frac{U_2 - U_1}{U_1} = 9 \times 10^5 \frac{4{,}73 - 0{,}11}{0{,}11} \approx 4 \times 10^7 \text{ Ом}\]

(сопротивления утечки других конденсаторов: 70 Мом, 30 Мом, 7 Мом, 20 Мом. Здесь тоже разбежка в численных значениях как и обратное сопротивление диодов)

Часть 2.

Процессы в электрической цепи довольно быстротечны, поэтому необходимо собрать такую схему рис.5, чтобы при перемещении ключа из положения 1 в положение 2 конденсатор

заряжался, а при замыкании контактов 3 и 2 или 3 и 1 зарядка и разрядка конденсатора через внешнюю цепь отсутствовала! Учитывая сопротивление утечки конденсатора, необходимо за короткое время после замыкания контакта 2 и 3 производить мультиметром измерение напряжение на конденсаторе. Время переключения выключателя из положения 3,1 в 3,2 сравнимо с временем реакции человека (\(\tau \approx 0{,}2\) с). Оценим время зарядки конденсатора при подключении контакта А последовательно с резисторами \(R_1 - R_4\), если контакт 3 не замкнут с контактами 1 и 2.

Таким образом, для определения времени переключения переключателя подходит резистор \(R_4 = 1{,}1 \times 10^5\) Ом последовательно включенный с диодом, сопротивление которого равно \(R_{\text{д}} = 1 \times 10^4\) Ом, т. к. время зарядки конденсатора существенно больше времени возможного переключения контакта.

Если считать ток зарядки конденсатора за время переключения ключа постоянным и равным \(I = \frac{U_2}{R_{\text{д}4} + R_4}\), то \(\frac{I \tau_0}{C} = U_1\) и время зарядки конденсатора (время, когда контакты 3,1 разомкнуты, а контакты 3,2 не замкнуты) равно:

\[\tau_0 = \frac{U_1 \left( R_{\text{д}4} + R_4 \right) C}{U_2} = \frac{0{,}23 \left( 10^4 + 1{,}1 \times 10^5 \right) 20 \times 10^{-6}}{4{,}73} = 0{,}1170 \approx 0{,}1 \text{ с}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Линейность фотоприёмника проверяйте двумя независимыми способами: интенсивность в расходящемся пучке обратно пропорциональна квадрату диаметра пятна, а \(n\) одинаковых светофильтров ослабляют свет как \(\gamma^n\) (линеаризуется логарифмом).

Ответ

Вопрос 0) портрет Огюста Френеля, автора формул Френеля для отражения и преломления света; 1.3) зависимость \(I(D^{-2})\) практически линейна — приёмник линейный; 2.3) \(\ln I=an+b\), \(a=-0{,}54\pm0{,}02\), \(\gamma=e^{a}=0{,}58\) (в официальном решении окончательно записано \(0{,}42\pm0{,}01\)); 3.1) коэффициент отражения резко растёт при углах падения больше \(50^\circ\).

Решение

Задание 11-2. Градуировка фотометра и изучение отражения света.

Вопрос 0. На заставке портрет Огюста Френеля – французского оптика, автора формул Френеля, описывающих интенсивности отраженного и преломленного света.

Часть 1. Фотометр - расходящийся пучок.

Оптическая схема показана на рисунке. Удобней располагать лампочку до фокуса линзы, в случае получается расходящийся световой пучок с резко очерченной границей. Для большего угла расхождения подставки линзы и лампочки – впритык друг к другу. Диаметр светового пятна измеряется с помощью линейки.

При неизменном расстоянии между лампочкой и линзой световой поток, падающий на линзу, остается неизменным. Поэтому интенсивность света в области круглого светового пятна оказывается обратно пропорциональной площади пятна, или обратно пропорциональной квадрату диаметра пятна.

Результаты измерений зависимости интенсивности \(I\) от диаметра пятна \(D\) приведены в таблице 1, зависимость интенсивности от \(D^{-2}\) показана на графике 1.

Таблица 1.

Получена практически линейная зависимость, что свидетельствует о линейности фотоприемника.

Часть 2. Фотометр - расходящийся пучок.

Оптическая схема остается неизменной. Расстояние до фотоприемника должно быть таким, чтобы диаметр пятна был минимальным, но при этом фотоприемник полностью освещен. Обозначим коэффициент поглощения одного светофильтра - \(\gamma\), тогда коэффициент пропускания равен \(\tau = 1 - \gamma\).

Если свет пройдет через \(n\) фильтров, то его интенсивность окажется равной

\[I_n = I_0 \cdot \gamma^n.\tag{1}\]

Для линеаризации этой зависимости, прологарифмируем ее:

\[\ln I_n = \ln I_0 - n \ln \gamma\tag{2}\]

Таким образом, зависимость логарифма интенсивности от числа фильтров линейна, причем коэффициент наклона равен логарифму коэффициента поглощения.

Результаты измерений зависимости интенсивности от числа фильтров приведены в Таблице 2. Линеаризованная зависимость показана на графике 2.

Таблица 2.

Получена практически линейная зависимость, что еще раз подтверждает линейность работы фотоприемника. Параметры линейной зависимости \(\ln I = a \cdot n + b\), рассчитанные по методу наименьших квадратов равны:

\[\begin{aligned} a &= -0{,}54 \pm 0{,}02 \\ b &= 5{,}16 \pm 0{,}06 \end{aligned}\tag{3}\]

Коэффициент поглощения (как следует из выражения (2)) рассчитывается по формуле

\[\gamma = \exp ( a ) = 0 { , } 5 8 \, .\tag{4}\]

Погрешность коэффициента поглощения необходимо рассчитывать по формуле

\[\Delta \gamma = \frac { d \gamma } { d a } \Delta a = \gamma \cdot \Delta a = 0 { , } 0 1\tag{5}\]

Окончательно, для коэффициента пропускания получаем:

\[\tau = 0 { , } 4 2 \pm 0 { , } 0 1\tag{6}\]

Часть 3. Отражение света от стеклянной пластинки.

Оптическая схема установки показана на рисунке. Опять удобно располагать лампочку до фокуса (собирается больший световой поток). Размеры пластинки позволяют отражать весь пучок, если расстояния от линзы до пластики и от пластинки фотоприемника примерно равны 20 см. Для измерения углов удобно разграфить лист бумаги. Не составляет труда построить равнобедренные треугольники со сторонами 20x20x3,5 см (тогда угол при вершине равен \(10^\circ\)) Перемещая фотоприемник по этой сетке, задаем двойной угол падения. Для измерения интенсивности падающего света фотоприемник следует расположить на оси пучка на таком же расстоянии, как и при измерении интенсивности отраженного света.

Результаты измерений приведены в Таблице 3. На графике 3 показана эта же зависимость. Интенсивность падающего света примерно 130 мВ

Таблица 3.

Главной особенностью полученной зависимости является резкое возрастание коэффициента отражения при углах падения больших \(50^\circ\).

Интересно сравнить полученную зависимость с теоретической зависимостью, рассчитанной по формулам Френеля. На графике 4 рассчитан коэффициент отражения неполяризованного света и показателя преломления пластики \(n = 1{,}5\). Как видно эти результаты качественно согласуются.

Часть 4. Отражение от зеркал.

Так как размеры зеркал малы, то необходимо сфокусировать излучение них, т.е. поместить лампочку за фокусом линзы. В этом случае юстировка установки при изменении отражения достаточно сложна, поэтому результаты носят качественный характер. Важно отметить, что для диэлектрического зеркала коэффициент отражения уменьшается при увеличении угла падения, а для металлического - растет. Значения коэффициента отражения при угле падения в \(30^\circ\) примерно равны 70-80%. В таблице 4 и на соответствующем графике приведены результаты измерений.

Таблица 5.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.