Белорусская, 2011/12, заключительный этап, 9 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Для равноускоренного движения средняя скорость на интервале от нулевой отметки линейна по времени, а средняя скорость между соседними метками — по полусумме моментов прохождения; по наклону таких графиков находят ускорение, а его зависимость от разности высот аналогична зависимости от синуса угла наклона.

Ответ

1.3) нет, движение не равномерное (график \(x(t)\) не прямая); 1.4) \(\langle v\rangle=v_0+at/2\), график показывает отклонение от равноускоренного из-за сопротивления воздуха; по интервальной скорости \(v_{\text{ср},k}=v_0+a\,\dfrac{t_k+t_{k-1}}{2}\) получено \(a=(1{,}3\pm0{,}1)\) мм/с\(^2\) при \(h=130\) мм; 2.3) \(a=Ch+b\), \(C=0{,}015\text{ с}^{-2}\), \(b=-0{,}64\) мм/с\(^2\) (теория: \(a=2g\left(\dfrac{r}{R}\right)^2\dfrac{\Delta h}{L}\), \(C\approx0{,}011\text{ с}^{-2}\)).

Решение

Часть 1.

Для экспериментального изучения закона движения удобно засекать времена \(t_k\), когда ось диск проходит отметку координаты \(x_k\).

Результаты измерений времен прохождения отметок представлены в таблице 1 (для разности уровней \(h = 130\) мм). На графике 1 показан закон движения оси диска.

Таблица 1. Изучение закона движения для \(h = 130\) мм.

График не является прямой линией, поэтому движение не может считаться равномерным.

Построим график зависимости средней скорости от времени. Причем среднюю скорость рассчитываем на интервале \([x_0, x_k]\) по формуле (результаты расчетов представлены в таблице 1):

\[\langle v \rangle_k = \frac{x_k}{t_k}.\tag{1}\]

При равноускоренном движении, проходящем по закону

\[x = v_0 t + \frac{a t^2}{2},\tag{2}\]

данная средняя скорость должна линейно зависеть от времени

\[\langle v \rangle = \frac{x}{t} = v_0 + \frac{a t}{2},\tag{3}\]

График показывает, что, строго говоря, движение не является равноускоренным, так как полученная зависимость не является линейной. . На данном же графике видно, что со временем средняя скорость возрастает медленнее, чем по линейному закону – сказывается влияние силы сопротивления воздуха.

Нескольку лучший результат (в смысле приближенности к равноускоренному движению) получается, если времена и координаты отсчитывать от первой (а не нулевой отметки) – в этом случае участок, который можно приближенно отнести к равноускоренному движению больше (6 начальных точек хорошо ложатся на прямую линию).

Получим формулу для расчета средней скорости на интервале пути. Для этого запишем выражения для пройденных путей при равноускоренном движении

\[\begin{aligned} x_{k-1} &= v_0 t_{k-1} + \frac{a t_{k-1}^2}{2} \\ x_k &= v_0 t_k + \frac{a t_k^2}{2} \end{aligned}\tag{4}\]

И вычтем первое равенство из второго:

\[x _ { k } - x _ { k - 1 } = v _ { 0 } \left( t _ { k } - t _ { k - 1 } \right) + \frac { a \left( t _ { k } ^ { 2 } - t _ { k - 1 } ^ { 2 } \right) } { 2 } .\tag{5}\]

Из этой формулы следует выражение для средней скорости на интервале пути

\[v _ { \text{ср.}k } = \frac { x _ { k } - x _ { k - 1 } } { \left( t _ { k } - t _ { k - 1 } \right) } = v _ { 0 } + a \frac { \left( t _ { k } + t _ { k - 1 } \right) } { 2 } .\tag{6}\]

Из этого выражения следует, что данную среднюю скорость необходимо рассматривать в зависимости от среднего арифметического времен прохождения концов интервала. Результаты расчетов также приведены в таблице 1. График зависимости показан на рис. 3. На этой зависимости участок равноускоренного движения выражен более четко, однако разброс точек более заметен, что связано с большими погрешностями при расчете разностей времен.

Интересно отметить, что расчет ускорения по зависимости 3 дает значение \(a = (1{,}3 \pm 0{,}1) \frac{\text{мм}}{\text{с}^2}\), по графику 2* \(a = (1{,}3 \pm 0{,}4) \frac{\text{мм}}{\text{с}^2}\).

Тем самым приходим к выводу, что оптимальным способом расчета ускорения является изучение зависимости средней интервальной скорости от времени. Т.е. по изучению зависимости (6).

Часть 2.

Результаты времен прохождения отметок приведены в Таблицах 2 -3, там же приведены результаты расчетов ускорений (по наклону графика) для различных разностей высот крепления нитей. Графики полученных зависимостей показаны на рис. 4

Отметим, что на основании подробного анализа результатов для \(h = 130\) мм достаточно было для каждой разности высот снять показания для 4 точек. Также допустимо рассчитывать ускорения алгебраически «по трем точкам» по формуле, которая следует из формулы (6):

\[a = 2 \frac { v _ { \text{ср.}3 } - v _ { \text{ср.}2 } } { t _ { 3 } - t _ { 1 } } .\tag{7}\]

Расчеты дают близкие результаты, но их точность ниже.

Для получения вполне приличного результата достаточно провести измерения для трех углов наклона.

Таблица 2. Измерения ускорений.

Таблица 2. Измерения ускорений.

График 4. Измерение ускорений График 5. Зависимость ускорения от разности высот

График зависимости ускорения от разности высот точек крепления показан на рис. 5. Как и в случае поступательного движения тела по наклонной плоскости, ускорение пропорционально синусу угла наклона, поэтому зависимость ускорения от разности высот линейная. Наличие постоянной составляющей может быть объяснено присутствием почти постоянной силы трения качения, которая в данном случае может быть заметна из-за неизбежного прогиба нитей.

Аналитически данная зависимость описывается формулой

\[a = Ch + b.\tag{8}\]

где \(C = 0{,}015 \, c^{-2}\), \(b = -0{,}64 \, m \cdot c^{-2}\).

В заключение укажем, что теоретическое значение ускорения оси диска описывается формулой

\[a = 2g \left( \frac{r}{R} \right)^2 \frac{\Delta h}{L},\]

где \(R\), \(r\) - радиусы диска и его оси, соответственно, \(L\) - длина нитей. В нашей установке теоретическое значение параметра \(C = 2 \cdot 10^4 \, \frac{\text{мм}}{c^2} \left( \frac{2{,}8}{120} \right)^2 \frac{1}{10^3 \, \text{мм}} \approx 0{,}011 \, c^{-2}\), что близко к найденному значению.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Нагрузку на таблетку считайте из правила моментов для линейки, а сопротивление находите по делителю напряжения с известным резистором; линейную связь напряжения с массой получите, подобрав сопротивление резистора, чтобы проводимость таблетки зависела от силы линейно.

Ответ

1.1) \(m_0=m_1\dfrac{l_1}{L-l_1/2}=(14\pm2)\) г; 1.3–1.4) закон Ома выполняется; \(R_x=(137\pm7)\) Ом при \(F=5\) Н и \(R_x=(94\pm5)\) Ом при \(F=10\) Н; 2.4) \(G=cF+b\), \(c=(0{,}98\pm0{,}04)\) мСм/Н, \(b=(3{,}2\pm0{,}3)\) мСм; сила давления \(F=(0{,}9+n)\) Н для груза \(100\) г; 3.2) \(r\approx2{,}2\) Ом, \(m_0\approx40\) мВ.

Решение

Часть 1. Изучение вольтамперной характеристики таблетки.

1.1 Для измерения массы линейки можно использовать правило рычага. Для этого на конец линейки следует поместить гирьку массой \(m_1 = 50\) г и уравновесить линейку на упоре (в качестве которого можно использовать край стола). Условие равновесия линейки с гирькой имеет вид

\[m_1 l_1 = m_0 \left( L - \frac{l_1}{2} \right),\tag{1}\]

где \(l_1\) - расстояния от центра гирьки до упора, \(L\), \(m_0\) - длина и масса линейки. Из уравнения (1) следует, что масса линейки рассчитывается по формуле

\[m_0 = m_1 \frac{l_1}{L - \frac{l_1}{2}}.\tag{2}\]

По результатам измерений: \(L = (40{,}8 \pm 0{,}2)\) см, \(l_1 = (4{,}6 \pm 0{,}3)\) см, \(m_1 = (50 \pm 2)\) г. По этим данным масса линейки равна

\[m_1 = (14 \pm 2) \text{ г}.\tag{3}\]

Погрешность определена по методу границ.

1.2 Рассчитаем на каком расстоянии следует расположить гирьку массы \(m\), чтобы на таблетку со стороны линейки действовала сила давления \(F\). Здесь и далее будем использовать следующие обозначения:

\(a\) - расстояние от скобы до центра таблетки; \(l\) - расстояние от скобы до центра гирьки. По третьему закону Ньютона на линейку со стороны таблетки действует сила \(F'\) равная по модулю силе давления на таблетку \(F\). Поэтому условие равновесия линейки имеет вид

\[Fa = m_0 g \frac{L}{2} + mgl.\tag{4}\]

Откуда следует, что место гирьки можно рассчитать по формуле

\[l = \frac{Fa - m_0 g \frac{L}{2}}{mg}.\tag{5}\]

Для измерений необходимо использовать гирьку массой \(m = 100\) г. Для создания нагрузки \(F = 5\) Н гирька должна располагаться на расстоянии \(l = 15\) см, а для нагрузки \(F = 10\) Н на расстоянии \(l = 35\) см. Для измерения вольтамперной характеристики следует измерить: напряжение \(U_0\) на резисторе с известным сопротивлением \(R_0 = 100\) Ом и напряжение \(U_x\) на таблетке. Сила тока рассчитывается по формуле

\[I = \frac { U _ { 0 } } { R _ { 0 } } \, .\tag{6}\]

Результаты измерений, а также результаты расчетов силы тока приведены в Таблицах 1 и 2 (для различных сил давления).

Таблица 1. \(F = 5\,H\).

Таблица 2. \(F = 10\,H\).

Графики полученных зависимостей показаны ниже.

Графики показывают, что с высокой точностью сила тока пропорциональна напряжению, то есть закон Ома выполняется.

Сопротивления таблетки при разных нагрузках следует определять по наклону графиков

\[R_{\text{x}} = \frac{\Delta U}{\Delta I} \, .\tag{7}\]

Понятно, что основную погрешность в определении сопротивления вносит приборная погрешность известного сопротивления, поэтому относительная погрешность измеренных сопротивлений также будет равна 5%.

Из построенных графиков находим:

при нагрузке \(F = 5\,\text{Н}\) \(R_x = (137 \pm 7)\,\text{Ом}\);

при нагрузке \(F = 10\,\text{Н}\) \(R_x = (94 \pm 5)\,\text{Ом}\).

Часть 2. Зависимость сопротивления таблетки от нагрузки.

Для расчета силы давления на таблетку можно воспользоваться уравнением (4), из которого следует расчетная формула

\[F = m_0 g \frac{L}{2a} + mg \frac{l}{a}.\tag{7}\]

Если воспользоваться «подсказкой» (\(l = na\), \(n = 0{,}1{,}2{,}3...\)) и подставить численные значения, то получится формула для расчета «в уме»: для груза массы 100 г: \(F = (0{,}9 + n) \, \text{Н}\); для груза массы 50 г: \(F = (0{,}9 + 0{,}5n) \, \text{Н}\). Для измерения сопротивления по-прежнему необходимо измерять напряжения на резисторе и на таблетке. Формула для расчета сопротивления таблетки очевидна:

\[R_x = R_0 \frac{U_x}{U_0}.\tag{8}\]

Таблица 3. Зависимость сопротивления от нагрузки (\(m = 100 \, \text{г}\))

Таблица 4. Зависимость сопротивления от нагрузки (\(m = 50 \, \text{г}\))

Результаты измерений и последующих расчетов приведены в таблицах 3 и 4. (Отметим, что по условию задачи для груза \(m = 50\) г достаточно было провести измерения только при нагрузке). Ниже показаны графики зависимостей сопротивления от силы давления на таблетку. График 2. Зависимости сопротивления от силы давления

Из графиков видно, что незначительный гистерезис деформации наблюдается, однако им можно пренебречь, так как различия не превышают 10%. Более убедительно согласование данных видно на графике 3, где представлена зависимость проводимости таблетки от приложенной к ней силе.

График 3. Зависимость проводимости от силы давления

\[G = cF + b.\tag{9}\]

Параметры этой зависимости, найденные по методу наименьших квадратов (напомним, ученикам погрешности рассчитывать не обязательно) равны

\[c = (0{,}98 \pm 0{,}04) \frac{\text{мСм}}{H}; \quad b = (3{,}2 \pm 0{,}3) \text{мСм}.\tag{10}\]

Часть 3. Конструирование весов.

Согласно полученным данным проводимость таблетки линейно зависит от силы давления, следовательно, при постоянном напряжении сила тока (!) через таблетку линейно зависит от силы давления. Поэтому, необходимо подключить таблетку к источнику постоянного напряжения и измерять силу тока. Для ее измерения можно в цепь последовательно включить малый резистор (сопротивление которого значительно меньше сопротивления таблетки) и измерять напряжение на нем. Роль такого резистора может сыграть реостат, причем, изменяя его сопротивление \(r\) можно подобрать необходимые параметры установки. Таким образом, мы приходим к следующей схеме измерений.

Расчет напряжения на резисторе (при условии, что \(r \ll R_x\)) не представляет труда и с учетом полученных ранее формул, приводит к результату

\[U = I \cdot r = U _ { 0 } G \, r = U _ { 0 } ( c F + b ) r = U _ { 0 } \left( c \cdot \left( F _ { 0 } + m g \, \frac { l } { a } \right) + b \right) r =\]

\[= U _ { 0 } r \left( c F _ { 0 } + b \right) + U _ { 0 } c \, r m g \, \frac { l } { a }\tag{11}\]

Осталось только подобрать необходимые параметры. Для повышения чувствительности весов примем \(\frac{l}{a} = 10\) (т.е. \(l = 35\,\text{см}\)). Тогда слагаемое в формуле (11), зависящее от измеряемой массы груза (в граммах) равно

\[U _ { 0 } c \, r m g \, \frac { l } { a } = 4 { , } 6 8 \cdot 0 { , } 9 8 \cdot 1 0 \cdot 1 0 \cdot \frac { m } { 1 0 0 0 } r \approx m \, ,\]

если \(r \approx 2 { , } 2 \, \text{Ом}\). При этом значении сопротивление постоянное слагаемое в формуле (11) оказывается равным

\[m _ { 0 } = U _ { 0 } \left( c F _ { 0 } + b \right) r \approx 4 0 \, \text{мВ} \, .\]

Настраивать установку можно следующим образом: собираем цепь, не помещая груза, с помощью движка реостата выводим напряжение до 40 мВ, после этого на расстоянии 35 см устанавливаем измеряемый груз.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.