Белорусская, 2012/13, заключительный этап, 10 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Логарифм сопротивления терморезистора линеен по \(1/T\) — наклон даёт энергию активации; теплоёмкость цилиндра находят из баланса теплоты с поправкой на теплоотдачу воды в окружающую среду по линейному закону \(P=At+B\).

Ответ

1.3) \(\Delta E\approx 0{,}44\pm0{,}04\) эВ (\(a=\Delta E/2k\approx 2{,}55\cdot10^3\) К); 2.2) \(A\approx0{,}73\) Вт/К, \(B\approx-27\) Вт; 2.6) теплоёмкость цилиндра \(C\approx 55\) Дж/К (по скорости остывания; \(c_{\text{Al}}\approx0{,}92\) Дж/(г\(\cdot\)К)).

Решение

Часть 1. Градуировка терморезистора.

1.1 Результаты измерений зависимости сопротивления терморезистора от температуры приведены в таблице 1. График полученной зависимости показан на рисунке

Таблица 1. Зависимость сопротивления от температуры.

1.2 Для доказательства применимости приведенной формулы и определения энергии активации полученную зависимость \(R(t)\) следует привести к линейному виду. Для этого прологарифмируем приведенную формулу (записанную для сопротивления)

\[R = R_{0} \exp \left( \frac{\Delta E}{2kT} \right) \quad \Rightarrow \quad \ln R = \ln R_{0} + \frac{\Delta E}{2kT} \, .\tag{1}\]

Из этого выражения следует, что зависимость логарифма сопротивления \(y = \ln R\) от величины обратной абсолютной температуре \(x = \frac{1}{T}\) линейна

\[y = ax + b \, ,\tag{2}\]

Причем параметры этой зависимости определяются формулами

\[a = \frac{\Delta E}{2k} \, , \quad b = \ln R_{0} \, .\tag{3}\]

В Таблице 1 приведены рассчитанные значения логарифма сопротивления и обратной абсолютной температуры. Также на графике показан график полученной зависимости. Линейность графика доказывает применимость приведенной формулы. Параметры линейной зависимости предпочтительнее рассчитывать по методу наименьших квадратов. Расчет приводит к следующим значениям\(^{1}\)

\[\begin{aligned} a &= (2,55 \pm 0,2) \cdot 10^{3} \, K^{-1} \\ b &= (0,70 \pm 0,07) \, \text{усл.ед.} \end{aligned}\tag{4}\]

Используя выражение для параметра \(a\), легко найти энергию активации в джоулях:

\[\Delta E = 2ka\]

в электрон-вольтах:

\[\Delta E = \frac{2k}{e} a\tag{5}\]

Численное значение этой величины

\[\Delta E = \frac{2k}{e} a = \frac{2 \cdot 1{,}38 \cdot 10^{-23}}{1{,}6 \cdot 10^{-19}} \cdot 2{,}55 \cdot 10^{3} = 0{,}44 \, \text{эВ} \, .\tag{6}\]

С погрешностью

\[\delta(\Delta E) = \Delta E \frac{\Delta a}{a} = 0{,}04 \, \text{эВ} \, .\tag{7}\]

Часть 2. Измерение теплоемкости.

2.1 Результаты измерений зависимости температуры воды от времени приведены в Таблице 2.

Таблица 2. Остывание воды.

\(^{1}\) Допустимо определять параметр \(a\) по наклону графика. Значение параметра \(b\) зависит от того в каких единицах (Ом или кОм) измерены сопротивления, кроме того, для дальнейших расчетов от не нужен, поэтому его можно не рассчитывать.

2.2 Для расчета мощности теплоотдачи следует использовать формулу

\[P = \frac{\delta Q}{\Delta \tau} = c m \frac{\Delta t^{\circ}}{\Delta \tau},\tag{8}\]

где \(c = 4{,}2 \frac{\text{Дж}}{\text{г} \cdot \text{К}}\) — удельная теплоемкость воды, \(m = 80\,\text{г}\) — масса воды в сосуде, \(\Delta t^{\circ}\) — изменение температуры воды, \(\Delta \tau\) — время, в течение которого это изменение произошло. В качестве температуры, для которой рассчитана данная мощность, предпочтительнее использовать среднее значение температуры \(t_{\text{ср.}}\) на рассматриваемом интервале. В Таблице 2 также приведены результаты этих расчетов. Ниже показаны графики зависимости температуры воды от времени (кривая 1) и мощности теплоотдачи от температуры.

Параметры зависимости мощности теплоотдачи от температуры \(P = A t + B\) также могут быть рассчитана по МНК (или графически). Численные значения этих параметров равны

\[A = 0{,}73 \frac{\text{Вт}}{\text{К}}, \quad B = -27\,\text{Вт}.\tag{9}\]

2.3 Зависимость температуры воды \((t, {}^{\circ}\text{C})\) от времени \((\tau, \text{с})\) при остывании с опущенным цилиндром представлена в Таблице 3. График данной зависимости показан на рисунке (кривая 2).

Таблица 3. Остывание цилиндра.

2.4 Мощность теплоотдачи в каждом температурном диапазоне рассчитана по значениям параметров (9) линейной зависимости \(P = A t + B\). Количество теплоты, отданное водой в каждом температурном интервале, рассчитано по формуле

\[\delta Q_0 = c m \Delta t^{\circ}.\tag{10}\]

В данном случае \(m=60\,\text{г}\), а \(\Delta t=5^\circ C\) для всех интервалов, поэтому эта величина постоянна для всех интервалов. Количество теплоты, отданное в окружающую среду, рассчитано по формуле

\[\delta Q_1 = P\Delta\tau.\tag{11}\]

Количество теплоты, переданное цилиндру, находится как разность

\[\delta Q_2 = \delta Q_0 - \delta Q_1.\tag{12}\]

Наконец, для подсчета величины \(Q_2\) - суммарной теплоты, переданной цилиндру, равно сумме теплот \(\delta Q_2\) от начала остывания до соответствующего значения температуры воды.

2.5 На рисунке показан график зависимости \(Q_2\) от температуры воды. В начале остывания температура цилиндра меньше температуры воды, поэтому цилиндр получает теплоту. Максимальное значение этой полученной теплоты равно \(Q_{2\,\text{max}} \approx 1700\,\text{Дж}\) и достигается при температуре примерно равной \(t^* \approx 65^\circ C\). После того, как температуры воды и цилиндра примерно выровнялись\(^2\), цилиндр начинает отдавать теплоту. Поэтому величины \(\delta Q_2\) становятся отрицательными, а зависимость \(Q_2(t)\) становится убывающей. Минимальное значение \(Q_{2\,\text{min}} \approx 500\,\text{Дж}\), очевидно, достигается при минимальной температуре воды \(t_{\text{min}} = 45^\circ C\).

2.6 Для расчета теплоемкости цилиндра можно использовать несколько методов, они изложены в порядке возрастания точности) Метод 1. По нагреву цилиндра. Из полученной зависимости \(Q_2(t)\) следует, что на нагревание цилиндра от комнатной температуры (в наших экспериментах \(t_{\text{ком}} = 16^\circ C\)) до максимальной температуры \(t^* \approx 65^\circ C\) потребовалось \(Q_{2\,\text{max}} \approx 1700\,\text{Дж}\). Следовательно, теплоемкость цилиндра равна

\[C = \frac{Q_{2\,\text{max}}}{t^* - t_{\text{ком}}} \approx \frac{1700}{65 - 16} \approx 35\,\frac{\text{Дж}}{\text{К}}\tag{13}\]

Метод 2. По остыванию цилиндра. При остывании цилиндра его температура упала от \(t^* \approx 65^\circ C\) до \(t_{\text{min}} = 45^\circ C\), при этом он отдал количество теплоты, равное \(Q_{2\,\text{max}} - Q_{2\,\text{min}} \approx 1200\,\text{Дж}\). Это позволяет оценить теплоемкость цилиндра

\[C = \frac{Q_{2\,\text{max}} - Q_{2\,\text{min}}}{t^* - t_{\text{min}}} \approx 60\,\frac{\text{Дж}}{\text{К}}.\tag{14}\]

Полученная разбежка может быть объяснена неточностью определения максимальной температуры цилиндра \(t^* \approx 65^\circ C\). Так как шаг изменения температуры составляет \(5^\circ C\), то и погрешность определения температуры составляет такую же величину, что приводит к погрешности определения теплоемкости минимум в \(20\%\). По этой же причине велика погрешность определения величины \(Q_{2\text{max}}\). Кроме того, на быстром этапе нагревания возможно, что не весь цилиндр успевает достичь теплового равновесия, что приводит к заниженному значению его теплоемкости.

Метод 3. По скорости остывания цилиндра.

Можно заметить, что зависимость \(Q_2(t)\) на последних интервалах примерно линейна. Как уже отмечалось, на этом этапе температура цилиндра примерно равна температуре воды. На этом участке коэффициент наклона графика \(\frac{\Delta Q_2}{\Delta t^\circ}\) оказывается равным теплоемкости цилиндра. На рисунке проведена усредненная прямая, аппроксимирующая полученную зависимость на этапе остывания. Определенная по ее наклону теплоемкость цилиндра оказывается равной

\[C \approx 55 \frac{\text{Дж}}{K}.\tag{15}\]

Это значение и этот метод являются наиболее точными.

Отметим, что коэффициент наклона на этапе разогрева имеет примерно в два раза большее значение. Это подтверждает предположение о неполном нагревании цилиндра (т.е. его внутренняя часть нагреться не успевает).

Примечание. Масса цилиндра примерно равна \(m_0 \approx 60\,\text{г}\), следовательно, полученное значение удельной теплоемкости алюминия равно \(c = \frac{C}{m} \approx 0{,}92 \frac{\text{Дж}}{\text{г} \cdot \text{К}}\), при табличном значении \(c = 0{,}88 \frac{\text{Дж}}{\text{г} \cdot \text{К}}\). Таким образом, отличие составляет менее \(5\%\).

\(^2\) На самом деле температура цилиндра должна быть все время чуть выше температуры воды для обеспечения теплопередачи от цилиндра к воде. Однако процесс остывания идет достаточно медленно, а теплопроводность алюминия высока, поэтому можно считать, что в любой момент времени температура цилиндра равна температуре воды.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Расход через отверстие равен \(\pi r^2 v_0\), а дальность горизонтальной струи — \(v_0\sqrt{2h/g}\); сравните линейность в измерениях со скоростью по Торричелли и найдите, при каком \(h\) струя летит дальше всего.

Ответ

1.1) \(q=\pi r^2 v_0\); 1.3) \(\gamma=1\) (расход пропорционален напору); 2.1) \(x=v_0\sqrt{2h/g}\), откуда \(x=c\sqrt{h}\,H\); 2.3) линейные участки \(x=aH+b\), \(a\approx0{,}61\); 3.3) максимум дальности получен при \(h\approx 90\) мм.

Решение

1.1 Формула имеет вид

\[q = \pi r^{2} v_{0}\tag{1}\]

1.2 Для изучения зависимости расхода жидкости \(q\) от гидравлического напора воды \(H\), были проведены измерения времени вытекания \(V = 20\) мл воды. Для каждой высоты \(H\) проведено три измерения и вычислено среднее значение. Расход воды \(q\) рассчитывался по определению.

Результаты измерений и расчетов приведены в Таблице 1, полученная зависимость представлена на графике.

Таблица 1. Расход жидкости.

Полученные данные однозначно свидетельствуют, что расход воды прямо пропорционален гидравлическому напору. Так как скорость вытекания пропорциональна напору, то скорость вытекания прямо пропорциональна величине \(H\). Следовательно, показатель степени в приведенной формуле

\[\gamma = 1.\]

Часть 2.

2.1 (Теоретическая задача)

Длина струи, при отсутствии сопротивления воздуха рассчитывается по формуле

\[x = v_0 \tau = v_0 \sqrt{\frac{2h}{g}} \, ,\tag{2}\]

здесь \(\tau = \sqrt{\frac{2h}{g}}\) - время падения струи с высоты \(h\). Так как согласно результатам, полученным в части 1 начальная скорость \(v_0\) пропорциональна напору \(v_0 = aH\), то длина струи должна быть пропорциональна напору \(H\), причем коэффициент пропорциональности в свою очередь пропорционален \(\sqrt{h}\). Таким образом, теоретическая зависимость длины струи от параметров установки имеет вид

\[x = c \sqrt{h} \cdot H \, .\tag{3}\]

2.2 Результаты измерений зависимости длины струи от гидравлического напора \(H\) при двух значениях высоты струи приведены в Таблице 2. Рядом показаны графики полученных зависимостей.

Таблица 2. Длина струи.

2.3 На каждом из графиков можно выделить линейный участок коэффициенты этих зависимостей \(x = aH + b\) равны Для \(h = 14\) мм: \(a = 0{,}61\), \(b = -39\) мм; Для \(h = 7\) мм: \(a = 0{,}61\), \(b = -61\) мм. Однако зависимости не являются прямо пропорциональными, более того, коэффициенты наклона для них практически одинаковы. По-видимому, основной причиной расхождений

являются многочисленные факторы, влияющие на форму струи: поверхностное натяжение, сопротивление воздуха и т.д.

Часть 3.

3.1 В данной части высота \(H\) отсчитывается от уровня нижнего края струи. Эта конструкция моделирует сосуд, в котором высота уровня воды постоянна.

3.2 Результаты измерений приведены в Таблице 3 и на графике полученной зависимости.

Таблица 3. Длина струи.

Также на графике приведен вид теоретической зависимости, построенный по формуле (2) с подобранным коэффициентом \(c\). В данном случае также имеются заметные расхождения, особенно в области больших высот. Причины этого те же – форма струи заметно отличается от параболы. Максимальная длина струи получена при \(h \approx 90\) мм.

Результаты эксперимента показывают, что в области средних высот длина струи слабо зависит от высоты \(h\), убывая как при уменьшении этой высоты, так и при ее увеличении. Поэтому правильный рисунок должен иметь следующий вид.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.