Белорусская, 2012/13, заключительный этап, 10 класс, теоретический тур

Подсказка

Коэффициент теплоотдачи находится из числа ударов молекул воздуха о стенку и избытка энергии, которую молекула уносит; потоки тепла складываются в баланс, а испарение даёт разность потоков молекул пара вверх и вниз.

Ответ

1.1) \(a=\frac58P_0\sqrt{\frac{8R}{\pi MT_0}}\approx1{,}0\cdot10^{5}\ \text{Вт/(м}^2\cdot\text{К)}\); 1.2) \(t_{\text{чёрн}}=q_0/a\approx1{,}4\cdot10^{-2}\) К, \(t_{\text{бел}}\approx2{,}8\cdot10^{-3}\) К над температурой воздуха; 2.1) \(t_1-t_2=\frac{q_0}{a}\frac{1}{1+2\gamma}\approx1{,}34\cdot10^{-2}\) К, \(\gamma=\alpha/(ha)\approx0{,}023\); 3.1) \(q_{\text{исп}}\approx5{,}6\cdot10^{4}\ \text{Вт/м}^2\); 3.2) \(t\approx9{,}4^{\circ}\)C.

Решение

Часть 1. Почему черное теплее?

1.1 Рассчитаем коэффициент теплоотдачи в рамках заданной модели. За промежуток времени \(\Delta t\) на поверхность пластинки попадет количество молекул

\[N = \frac{1}{4} n \langle \nu \rangle S \Delta t = \frac{1}{4} n S \Delta t \sqrt{\frac{8RT_0}{\pi M}}\tag{1}\]

Где \(T_0\) — абсолютная температура воздуха. Поскольку «молекулы» воздуха двухатомные, то средняя энергия каждой подлетающей молекулы \(\langle E_1 \rangle = \frac{5}{2} k T_0\), где \(k\) – постоянная Больцмана. После контакта с пластинкой (согласно условию) каждая молекула увеличит свою энергию до среднего значения, соответствующего абсолютной температуре \(T\) пластинки \(\langle E_2 \rangle = \frac{5}{2} k T\). Увеличение средней энергии каждой молекулы составит величину

\[\langle \Delta E \rangle = \frac{5}{2} k (T - T_0).\tag{2}\]

Следовательно, суммарное количество энергии, уносимой всеми молекулами от пластинки за промежуток времени \(\Delta t\) равно

\[\Delta E = N \langle \Delta E \rangle = \frac{1}{4} n S \Delta t \sqrt{\frac{8RT_0}{\pi M}} \cdot \frac{5}{2} k (T - T_0) = \frac{5}{8} k n S \Delta t \sqrt{\frac{8RT_0}{\pi M}} \cdot (T - T_0) = q S \Delta t.\tag{3}\]

Сравнивая выражение (4) с выражением (3) в условии, найдем значение коэффициента теплоотдачи в рамках данной модели

\[a = \frac{5}{8} k n \sqrt{\frac{8RT_0}{\pi M}}.\tag{4}\]

Выражая концентрацию молекул воздуха из уравнения Клапейрона-Менделеева \(n = \frac{P_0}{k T_0}\), получим

\[a = \frac{5}{8}\,\frac{P_0}{T_0}\sqrt{\frac{8RT_0}{\pi M}} = \frac{5}{8}\,P_0\sqrt{\frac{8R}{\pi M T_0}} = 1{,}0\cdot10^{5}\,\frac{\text{Вт}}{\text{м}^2\cdot\text{К}}\,.\tag{5}\]

1.2 Мощность солнечной энергии, попадающей на единицу площади пластинки, постоянна и равна \(q_0\).. Мощность потока теплоты с единицы площади пластинки определяется формулой

\[q_1 = a t_1 \, ,\tag{6}\]

здесь \(t_1 = T_1 - T_0\) - разность между температурой поверхности пластинки и температурой воздуха.

По мере увеличения температуры пластинки будет увеличиваться количество энергии, уносимой «горячими» молекулами от нее. Следовательно, при некоторой температуре количество теплоты, попадающее в систему, будет равно количеству теплоты, уносимому из нее. Далее температура пластинки перестанет меняться. Если пластинка нормально освещается солнечным светом на воздухе при указанных условиях, то для абсолютно черной поверхности (коэффициент поглощения равен единице \(\eta_1 = 1{,}0\)), то баланс потоков теплоты выражается уравнением

\[q_0 = q_1 \quad \Rightarrow \quad q_0 = a t_1 \, ,\tag{7}\]

из которого находим, насколько поверхность пластинки теплее воздуха

\[t_1 = \frac{q_0}{a} = 1{,}4 \cdot 10^{-2} \, \text{К} \, .\tag{8}\]

Если поверхность пластинки белая (коэффициент поглощения равен \(\eta_2 = 0{,}2\)), то она нагреется еще меньше

\[q_0 = q_1 \quad \Rightarrow \quad \eta q_0 = a t_1 \quad \Rightarrow \quad t_2 = \frac{\eta_2 \cdot q_0}{a} = 2{,}8 \cdot 10^{-3} \, \text{К}\tag{9}\]

Наш повседневный опыт свидетельствует, что нагрев поверхностей солнечным светом может быть значительно выше.

Часть 2. Почему в тени холоднее?

2.1 Если вторая сторона пластинки не теплоизолирована, то часть энергии солнечного потока \(q_0\) будет отводиться через переднюю \(q_1\) и заднюю \(q_2\) поверхности пластинки. В установившемся режиме баланс потоков теплоты выражается уравнениями

\[q_0 = q_1 + q_2 = a t_1 + a t_2 \, .\tag{10}\]

Кроме того, поток с теневой стороны пластинки равен потоку теплоты внутри пластинки

\[q_2 = q' \quad \Rightarrow \quad a t_2 = \frac{\alpha}{h} (t_1 - t_2) \, .\tag{11}\]

Запишем получившуюся систему уравнений в виде

\[\begin{aligned} & q_{0} = a t_{1} + a t_{2} \\ & \frac{\alpha}{h} (t_{1} - t_{2}) = a t_{2} \end{aligned}\]

Умножим второе уравнение на 2 и вычтем его из первого, в результате получим

\[q_{0} - 2 \frac{\alpha}{h} (t_{1} - t_{2}) = a (t_{1} - t_{2}) \quad \Rightarrow \quad t_{1} - t_{2} = \frac{q_{0}}{a} \frac{1}{1 + 2 \frac{\alpha}{ha}}.\tag{12}\]

Параметр \(\gamma = \frac{\alpha}{ha} = \frac{46}{2{,}0 \cdot 10^{-2} \cdot 1{,}0 \cdot 10^{5}} = 0{,}023\), имеющий смысл отношений коэффициентов теплопередачи через пластику и теплоотдачи, мал. То есть процессы теплоотдачи в окружающую среду преобладают над теплопереносом через пластинку. При этом значении параметра \(\gamma\) разность температур между сторонами пластинки равна

\[t_{1} - t_{2} = \frac{q_{0}}{a} \frac{1}{1 + 2 \gamma} = \frac{1{,}4 \cdot 10^{3}}{1{,}0 \cdot 10^{5}} \frac{1}{1 + 2 \cdot 0{,}023} = 1{,}34 \cdot 10^{-2} \, K.\tag{13}\]

Вычислим также значения разностей температур обоих сторон пластинки:

\[\frac{\alpha}{h} (t_{1} - t_{2}) = a t_{2} \quad \Rightarrow \quad t_{2} = \frac{\alpha}{ah} (t_{1} - t_{2}) = \frac{q_{0}}{a} \frac{\gamma}{1 + 2 \gamma} = 3{,}1 \cdot 10^{-4} \, K\]

\[t_{1} - t_{2} = \frac{q_{0}}{a} \frac{1}{1 + 2 \gamma} \quad \Rightarrow \quad t_{1} = t_{2} + \frac{q_{0}}{a} \frac{1}{1 + 2 \gamma} = \frac{q_{0}}{a} \frac{1 + \gamma}{1 + 2 \gamma} = 1{,}37 \cdot 10^{-2} \, K\]

Температура освещенной стороны практически совпадает с температурой теплоизолированной пластинки. Температура неосвещенной стороны практически равна температуре окружающей среды. Если бы теплопроводность пластинки была велика (\(\gamma \gg 1\)), то температуры обеих сторон были бы одинаковы и два раза меньше температуры теплоизолированной пластинки.

И в этом случае результаты расчетов оказываются сильно занижены по сравнению с реальностью.

Часть 3. Почему мокрое холоднее?

Если поверхность пластинки влажная, то теплота уносится из-за испарения воды.

Для оценки мощности этого потока теплоты можно воспользоваться следующими рассуждениями. Если над поверхностью воды находится насыщенный водяной пар, то количество молекул воды, вылетающих с поверхности, равно числу молекул, попадающих на поверхность и задерживаемых ею. Это число рассчитывается по формуле

\[\nu_{-} = \frac{1}{4} n \sqrt{\frac{8 R T_{0}}{\pi M}} \cdot \eta = \frac{1}{4} \eta \frac{P_{\text{нас.}}}{k T_{0}} \sqrt{\frac{8 R T_{0}}{\pi M}}.\tag{14}\]

здесь \(n = \frac{P_{\text{нас.}}}{k T_{0}}\) концентрация молекул воды насыщенного пара.

Это число не зависит от того, какой газ находится над поверхностью воды. Если над поверхностью находится воздух, влажность которого равна \(\varphi\), то число молекул, возвращающихся в воду равно

\[\nu _ { + } = \frac { 1 } { 4 } \eta \varphi \frac { P _ { \text{нас} } } { k T _ { 0 } } \sqrt { \frac { 8 R T _ { 0 } } { \pi M } } \, .\tag{15}\]

Скорость испарения (в числах молекул) определяется как разность между найденными потоками

\[\nu = \nu _ { - } - \nu _ { + } = \frac { 1 } { 4 } \eta ( 1 - \varphi ) \frac { P _ { \text{нас} } } { k T _ { 0 } } \sqrt { \frac { 8 R T _ { 0 } } { \pi M } }\tag{16}\]

Поток теплоты, уносимой вследствие испарения, рассчитывается по формуле

\[q_{\text{исп}} = L\frac{\Delta m}{\Delta t} = L m_0 \nu = \frac{1}{4}L m_0 \eta(1-\varphi)\frac{P_{\text{нас}}}{kT_0}\sqrt{\frac{8RT_0}{\pi M}} = \frac{1}{4}L\eta(1-\varphi)P_{\text{нас}}\sqrt{\frac{8M}{\pi R T_0}}\,.\tag{17}\]

Подстановка численных значений приводит к следующему результату для потока теплоты, уносимого испаряющейся водой

\[q_{\text{исп}} = \frac{1}{4}\cdot 2{,}47\cdot10^{6}\cdot0{,}04\cdot0{,}4\cdot1{,}3\cdot10^{3}\sqrt{\frac{8\cdot18\cdot10^{-3}}{\pi\cdot8{,}31\cdot293}}\approx 5{,}6\cdot10^{4}\,\frac{\text{Вт}}{\text{м}^2}\,.\tag{18}\]

3.2 Баланс потоков теплоты при наличии испарения выражается уравнением

\[q_0 = q_{\text{исп}} + a\,\Delta T\,,\tag{19}\]

из которого следует оценка для температуры пластинки

\[t = t_0 + \frac{q_0 - q_{\text{исп}}}{a} = 9{,}4^{\circ}\text{C}\,.\tag{20}\]

В этом случае температура пластинки оказывается меньше температуры окружающего воздуха.

Часть 4.

Основная причина некоторой несуразности полученных результатов заключается в сильно завышенном значении коэффициента теплоотдачи. В реальности эти процессы идут гораздо медленнее, так как близи поверхности образуется поверхностный слой, температура которого плавно изменяется от температуры пластинки до температуры окружающего воздуха, теплопередача в котором определяется более медленным процессом теплопроводности воздуха.

Аналогично, при расчете скорости испарения необходимо учитывать более медленный процесс диффузии молекул воды в том же приповерхностном слое.

Полученные результаты описывают ситуацию при очень сильном ветре. На самом деле, чтобы весной погреться на солнышке мы ищем освещенное место, защищенное от ветра!

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Положение частицы дыма в момент \(t\) зависит от момента вылета \(\tau\): \(X=x(\tau)+(v(\tau)\pm u)(t-\tau)\); концентрация обратно пропорциональна \(|\Delta X/\Delta\tau|\). В последней части перейдите в систему отсчёта корабля.

Ответ

1.1) \(l_0=uT\); 1.2) \(a_0=u/T\); 1.3) \(x=2t-t^2/2\); 2.1) длина шлейфа \(12\,uT\); 2.2) \(X(t,\tau)=2\tau-\frac{\tau^2}{2}+(3-\tau)(t-\tau)\); 2.3) \(c=c_0\,u/|\Delta X/\Delta\tau|\); 3.1) \(Y=X-\frac12\left(\frac{X}{\sqrt2}-3\right)^2\) при \(\frac32\sqrt2\le X\le\frac92\sqrt2\).

Решение

Часть 1. Знакомство с новой системой единиц измерения.

1.1 – 1.2 Единицами измерения длины и ускорения являются

\[l_0 = uT\]

\[a_0 = \frac{u}{T}.\tag{1}\]

Отметим, что в этой системе единиц ускорение корабля всегда по модулю равно 1.

1.3 В традиционной системе единиц закон движения корабля имеет вид

\[x = 2ut - \frac{a_0 t^2}{2}\tag{2}\]

Чтобы перейти в собственную систему единиц, следует проделать замены (штрихами обозначены величины, измеренные в новой системе единиц):

\[t = T \cdot t', \quad x = l_0 x' = uT x',\tag{3}\]

которые приводят к выражению

\[uT x' = 2u \cdot T t' - \frac{1}{2} \frac{u}{T} (T t')^2,\]

В котором все параметры сокращаются (штрихи опущены за ненадобностью):

\[x = 2t - \frac{t^2}{2}\tag{4}\]

Часть 2. Открытый космос.

2.1 В этом пункте в последний раз используем обычную систему единиц измерения. Очевидно, что максимальную скорость будут иметь те частицы шлейфа, которые испущены в начальный момент времени, и эта скорость равна \(v_0 = 2u + u = 3u\). Скорости частиц, выпущенных позднее, будут меньше, так как ракета тормозит. Следовательно, на максимальное расстояние улетят частицы, испущенные в начальный момент времени. Из закона движения (2) следует, что время, через которое ракета вернется в начальное состояние равно

\[t_k = \frac{4u}{a_0} = 4T.\tag{5}\]

Поэтому максимальное удаление частиц шлейфа к моменту возвращения ракеты равно

\[x_{\text{max}} = 3u \cdot 4T = 12uT.\tag{6}\]

*В собственной системе единиц: \(x_{\text{max}} = 12\).* Для того, чтобы найти минимальную координаты частиц шлейфа, рассмотрим положение частиц дыма, испущенных на обратном пути ракеты. Так как направление вылета частиц противоположно скорости ракеты, то они никогда не смогут догнать ракету. Следовательно, минимальная координата частиц шлейфа равна минимальной координате ракеты, т.е. \(x_{\text{min}} = 0\) (в любой системе единиц). Таким образом, общая длина шлейфа к моменту возвращения ракеты равна \(L = 12uT\).

2.2 Здесь и далее используем собственную систему единиц. Напоминаем, в этой системе ускорение ракеты \(a_0 = 1\), скорость вылета частиц дыма \(u = 1\).

Функцию \(X(t, \tau)\) - координата частицы дыма в момент времени \(t\), если эта частица была выпущена в момент времени \(\tau\), строится простым способом. Пусть закон движения ракеты задан функцией \(x(t)\). Тогда частица дыма, испущенная в момент времени \(\tau\) (в этот момент ее координата \(x(\tau)\)), за оставшееся время \((t - \tau)\) ее координата изменится на величину равную

\[\Delta x = (v(\tau) + 1)(t - \tau),\tag{7}\]

где \(v(\tau)\) - скорость ракеты в момент времени \(\tau\). Таким образом, искомая функция имеет вид

\[X(t, \tau) = x(\tau) + (v(\tau) + 1)(t - \tau).\tag{8}\]

Очевидно, что имеет смысл рассматривать эту функцию только при \(\tau \le t\). Рисунок еще раз иллюстрирует процедуру построения данной функции. В рассматриваемом случае, когда закон движения описывается функцией (4), \(v(\tau) = 2 - \tau\), поэтому

\[X(t, \tau) = 2\tau - \frac{\tau^2}{2} + (3 - \tau)(t - \tau).\tag{9}\]

Удобно в этой функции выделить полный квадрат:

\[X(t, \tau) = \frac{1}{2}(t + 1 - \tau)^2 - \frac{(t - 2)^2 - 3}{2}.\tag{10}\]

2.3 Построенная функция \(X(t, \tau)\) позволяет находить распределение концентрации частиц в шлейфе. Действительно: в малом слое шлейфа толщиной \(\Delta X\) окажутся частицы, испущенные в соответствующем интервале \(\Delta \tau\). Их масса равна \(\Delta m = \mu \Delta \tau\), где \(\mu\) - масса частиц, испускаемых дымовой пушкой в единицу времени. Поэтому концентрация частиц в слое

\[c = \frac{\Delta m}{S \Delta X} = \frac{\mu \Delta \tau}{S \Delta X},\tag{11}\]

где \(S\) - площадь поперечного сечения шлейфа. При неподвижной дымовой пушке, частицы, испущенные за время \(\Delta t\), окажутся в слое толщиной \(u \Delta t\), поэтому их концентрация определяется формулой:

\[c_0 = \frac{\mu \Delta t}{S u \Delta t} = \frac{\mu}{S u}.\tag{12}\]

Наконец, разделим равенство (11) на равенство (12), в результате чего получим (кроме того, в общем случае следует взять модули интервалов – нам важны только длины отрезков)

\[c = c_0 \frac{u}{\left\vert \frac{\Delta X}{\Delta \tau} \right\vert }.\tag{13}\]

В собственной системе единиц имеет смысл выбрать в качестве единицы концентраций использовать \(c_0\) (или, что равносильно, положить \(c_0 = 1\)). Тогда концентрация частиц в дымовом следе выражается очень просто:

\[c = \left\vert \frac { \Delta X } { \Delta \tau } \right\vert ^ { - 1 } .\tag{14}\]

Правда, эта формула определяет концентрацию, как функцию \(\tau\). Чтобы перейти к зависимости \(c(X)\) можно использовать один и возможных путей: - выразить \(\tau\) через \(X\) из функции \(X(t, \tau)\) и подставить в формулу (14); - найти обратную функцию к \(X(t, \tau)\) - \(\tau(X)\) и вычислить ее производную; - рассматривать выражения (14) и функцию \(X(t, \tau)\) как пару функций, определяющих концентрацию \(c(X)\) параметрически (где в качестве параметра выступает \(\tau\)). Отметим, что все эти способы пригодны, если функция \(X(t, \tau)\) является монотонной, когда существует обратная к ней функция. В противном случае, необходим дополнительный анализ.

2.4 – 2.5 Для построения схематического графика функции \(X(t, \tau)\) можно воспользоваться следующей процедурой: - построить график функции \(x(\tau)\): банальная парабола, ветви вниз, нули при \(t=0\) и \(t=4\), максимум при \(t=2\), при этом \(x=2\); - функция \(X(t, \tau)\) также парабола, ветви вверх, экстремум вне рассматриваемого интервала (в точке \(\tau=t=1\)), при \(\tau=0\) \(X=3t\), при \(\tau=t\) \(X=x(t)\); - можно «найти» еще одну точку: при \(\tau=3\) скорость частиц дыма равна нулю. Поэтому в этой точке тоже \(X=x(t)\). Используя вид функции (10), не сложно найти

\[\frac{\Delta X}{\Delta \tau} = t + 1 - \tau.\tag{15}\]

Для построения зависимости концентрации от координаты следует учесть следующее: - пределы изменения аргумента в пределах изменения функции \(X(t, \tau)\); - функция монотонно убывающая, выпуклостью вниз; - при \(X=X_{\text{max}}\) (т.е. при \(\tau=0\)), как следует из формулы (15) \(c=\frac{1}{t+1}\); - при \(X=x(\tau)\) (при \(\tau=t\)) \(c=1\). Можно также подсчитать значения и в некоторых промежуточных точках. Графики этих функций показаны на рисунках.

2.6 Первые шаги решения этой части задачи аналогичны рассмотренным ранее.

Для построения функции \(X(t, \tau)\) необходимо учесть, что вектор скорости вылетающего дыма направлен в противоположную сторону, поэтому следует записать

\[X(t, \tau) = x(\tau) + (v(\tau) - 1)(t - \tau).\tag{16}\]

При законе движения (4) эта функция задается формулой

\[X(t, \tau) = 2\tau - \frac{\tau^2}{2} + (1 - \tau)(t - \tau).\tag{17}\]

Выделяя полный квадрат, получим

\[X(t, \tau) = \frac{1}{2}(t - 1 - \tau)^2 - \frac{(t - 2)^2 - 3}{2}.\tag{18}\]

Нас интересует эта функция при \(t = 4\).

График этой функции также является параболой, только с одной существенной особенностью: ее минимум попадает внутрь рассматриваемого интервала \(\tau \le t\)! Для построения графика этой функции можно использовать следующие точки: - при \(\tau = 0\) \(X = t = 4\); - при \(\tau = t = 4\) \(X = x(t) = 0\); - вершина параболы: \(\tau = 3\), \(X = -0{,}5\). Скорость вылетающих частиц зависит от времени по закону \(v - u = 1 - \tau\). Поэтому при \(\tau = 1\) эта скорость равна нулю (частицы, вылетевшее в этот момент, покоятся) поэтому \(X(t, 1) = x(1)\).

Для наглядности, на рисунке указаны стрелки, указывающие направление, в котором движется шлейф после испускания. Так при \(\tau < 1\) скорость ракеты больше скорости испускания частиц дыма, поэтому шлейф следует за ракетой, отставая от нее. При \(\tau > 1\) частицы шлейфа движутся в отрицательном направлении выбранной оси.

Рисунок показывает, что при \(X > 0\) координата однозначно определяется временем испускания. В этой области для расчета распределения концентрации частиц в шлейфе можно использовать процедуру, рассмотренную ранее. Здесь (при \(X > 0\) или \(0 < \tau < 2\)) концентрация определяется формулой:

\[c = \left\vert \frac{\Delta X}{\Delta \tau} \right\vert ^{-1} = \frac{1}{\vert t - 1 - \tau\vert } = \frac{1}{3 - \tau} \quad .\tag{19}\]

В области \(X > 0\) одному значению \(X\) соответствует два значения \(\tau\).

Рассмотрим эту область подробнее. Во-первых, одному малому интервалу \(\Delta X_1\) соответствует два малых интервала \(\Delta \tau_1\) и \(\Delta \tau_2\). Физический смысл этой двузначности следующий: в рассматриваемый момент времени в эту полосу \(\Delta X_1\) попадают частицы, испущенные в два интервала времени \(\Delta \tau_1\) и \(\Delta \tau_2\). Поэтому для расчета концентрации частиц внутри этой полосы необходимо просуммировать обе порции частиц. Легко видеть, что обе эти порции создают одинаковую концентрацию, поэтому в этом интервале концентрацию следует удвоить (при \(X < 0\) или \(2 < \tau < 3\)):

\[c = \frac{2}{3 - \tau} \quad .\tag{20}\]

Наконец, при \(X = -0{,}5\) (или при \(\tau = 3\)) концентрация формально стремится к бесконечности. Рисунок поясняет этот вывод: малому интервалу \(\Delta X_0\) соответствует гораздо больший интервал \(\Delta \tau_0\). Формально в этой точке \(\frac{\Delta X}{\Delta \tau} = 0\). Физический смысл этого парадоксального, на первый взгляд, результата понятен: в этот слой попадают частицы, испущенные в течение достаточно длительного промежутка времени. График зависимости концентрации от координаты показан на рисунке. Также показан этот же график вблизи \(X = 0\) в увеличенном масштабе.

Часть 3. На новой планете.

Эта часть является двумерным развитием одномерной задачи предыдущей части. Необходимо найти координаты частицы в момент времени \(t\), если она была испущена в момент времени \(\tau\).

Процедура такого построения аналогична той, которую мы использовали в предыдущей части. Так как ракета движется равномерно с постоянной скоростью \(2u\), то закон ее движения имеет вид

\[\begin{cases} x(t) = 2 \cos 45^\circ \cdot t = \sqrt{2}t \\ y(t) = 2 \cos 45^\circ \cdot t = \sqrt{2}t \end{cases}.\tag{21}\]

После того, как частицы испущены (со скоростью \(u\)) далее они движутся с постоянным ускорением равным \(\frac{a_0}{2}\), направленным вниз. В собственной системе единиц координаты частиц, испущенных в момент времени \(\tau\), в момент \(t\) будут равны:

\[\begin{cases} X(t, \tau) = \sqrt{2}\,\tau + \sqrt{2}\left(1 \pm \frac{1}{2}\right) \cdot (t - \tau) \\ Y(t, \tau) = \sqrt{2}\,\tau + \sqrt{2}\left(1 \pm \frac{1}{2}\right) \cdot (t - \tau) - \frac{(t - \tau)^2}{4} \end{cases}.\tag{21}\]

Знак «плюс» соответствуют частицам, испущенным по направлению движения ракеты, знак «минус», частицам, испущенным в противоположном направлении. В данном случае можно получить явное выражение для функции, описывающей шлейф дыма. Для этого в уравнениях (21) следует избавиться от \(\tau\). Заметим, что

\[Y = X - \frac{(t - \tau)^2}{2}.\tag{22}\]

Поэтому достаточно из первого уравнения получить выражение для \((t - \tau)\). Проделаем эту процедуру.

\[X(t, \tau) = \sqrt{2}\,\tau + \sqrt{2}\left(1 \pm \frac{1}{2}\right) \cdot (t - \tau) \quad \Rightarrow\]

\[\frac{X}{\sqrt{2}} = -(t - \tau) + t + \left(1 \pm \frac{1}{2}\right) \cdot (t - \tau) = t \pm \frac{1}{2}(t - \tau) \quad \Rightarrow\]

\[(t - \tau) = \mp \left( \frac{X}{\sqrt{2}} - t \right)\]

Полученное выражение подставляем в формулу (22) и сразу подставим требуемое значение \(t = 3\)

\[Y = X - \frac{1}{2} \left( \frac{X}{\sqrt{2}} - 3 \right)^2.\tag{23}\]

поразительно, но оба шлейфа описываются одной функцией! Но они отличаются диапазонами изменения аргумента. Далее найдем, в каких пределах изменяются координаты шлейфа При \(\tau = 0 \quad X_+ = \frac{9}{2}\sqrt{2}, \quad X_- = \frac{3}{2}\sqrt{2}\). При \(\tau = t \quad X_+ = X_- = 3\sqrt{2}\).

Таким образом, форма шлейфа имеет вид параболы, описываемой уравнением (23), при изменений аргумента \(X\) в пределах \(X_+ = \frac{9}{2}\sqrt{2}\), \(X_- = \frac{3}{2}\sqrt{2}\).

Гораздо быстрее эту задачу можно решить, если связать систему отсчета с кораблем. Эта система отсчета инерциальная. В этой системе отсчета форма шлейфа совпадает с траекторией частиц. Закон движения частиц имеет вид

\[\begin{cases} X = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \tau \\ Y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \tau - \frac{\tau^2}{4} \end{cases}\tag{24}\]

Исключая из системы \(\tau\), получим уравнение траектории в явном виде

\[\tau = \sqrt{2}X \quad \Rightarrow \quad Y = X - \frac{X^2}{2}.\tag{25}\]

При изменении \(X\) в пределах \(\pm \frac{3}{2}\sqrt{2}\).

График этой функции в указанных пределах показан на рисунке. Прямая линия на рисунке есть траектория движения корабля.

Дополнение (необязательное).

Заметим, что траектории движения всех частиц одинаковы, только начинаются из разных точек. Поэтому можно построить эти траектории. На каждой из них отметить точки, в которых находится частица в равноотстоящие моменты времени. На каждой траектории необходимо выбрать точки соответствующие времени движения от момента испускания до момента, когда наблюдается след \((t - \tau)\). Множество этих точек и будет представлять форму шлейфа. На рисунке показано такое построение. Разными значками отмечены точки шлейфа в разные моменты времени.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Установившаяся температура термистора определяется балансом \(I^2R(T)=A(T-T_0)\) — отсюда строится ВАХ с максимумом; режимы цепи находятся пересечением ВАХ с нагрузочной прямой, устойчивы не все из них.

Ответ

1.1) \(T=\frac{T_0+\sqrt{T_0^2+4BI^2\xi/A}}{2\xi}\), \(\xi=1+CI^2/A\); 1.3) \(U_{\max}=17{,}3\) В при \(I=20\) мА; 2.1) три решения, устойчивы первое и третье; 2.2) \(I=17\) мА, \(U=17\) В; 3.1) \(R=U_{\max}/(I_0-I_{U\max})=577\) Ом; 3.2) напряжение — от 15,7 до 17,3 В, ток — от 27 до 30 мА.

Решение

Часть 1. Термистор.

1.1 Условие теплового равновесия:

\[I^2 R(T) = A(T - T_0)\tag{1}\]

Подставляя выражение для сопротивления \(R(T) = B/T - C \cdot T\), получим:

\[I^2 (B/T - C \cdot T) = A(T - T_0)\tag{2}\]

Преобразуя равенство (2), получим квадратное уравнение:

\[\left(1 + C \frac{I^2}{A}\right) T^2 - T_0 T - B \frac{I^2}{A} = 0\tag{3}\]

Решение уравнения (3):

\[T = \frac{T_0 + \sqrt{T_0^2 + 4B \frac{I^2}{A} \xi}}{2\xi},\tag{4}\]

где \(\xi = 1 + C \frac{I^2}{A}\). Для упрощения расчетов можно рассчитать численные значения коэффициентов, входящих в расчетные формулы, кроме того, силу тока удобнее рассчитывать в миллиамперах. Тогда

\[\xi = 1 + C \frac{I^2}{A} = 1 + \frac{5{,}0}{5{,}0 \cdot 10^{-3}} \cdot 10^{-6} I^2 = 1 + 1{,}0 \cdot 10^{-3} I^2.\]

Формулу (4) для удобства расчетов можно представить в виде

\[T = \frac{T_0 + \sqrt{T_0^2 + 4B \frac{I^2}{A} \xi}}{2\xi} = T_0 \frac{1 + \sqrt{1 + \frac{4B}{A T_0^2} I^2 \xi}}{2\xi} = 300 \frac{1 + \sqrt{1 + \frac{I^2 \xi}{112{,}5}}}{2\xi}.\tag{4'}\]

После расчета температуры, следует рассчитать сопротивление по формуле

\[R(T) = B/T - C \cdot T = \frac{1{,}0 \cdot 10^6}{T} - 5{,}0 T,\tag{4''}\]

Наконец, по закону Ома можно найти напряжение на термисторе

\[U = IR.\tag{4'''}\]

1.2 Значения температуры, сопротивления термистора и напряжения на нем при различных значениях силы тока приведены в Таблице 1. На рис.1 показан график зависимости сопротивления термистора от силы тока (в установившемся режиме).

Таблица 1. Расчет ВАХ термистора.

1.3 Вольтамперная характеристика терморезистора представлена на рис. 2. Напряжение достигает максимального значения \(U_{\text{max}} = 17{,}3\text{В}\) при силе тока \(I_{U_{\text{max}}} = 20\text{мА}\).

Рис. 2.

Часть 2. Термистор последовательно с резистором.

2.1 При последовательном соединении терморезистора и сопротивления сумма напряжений на каждом элементе равна общему напряжению в цепи:

\[U_0 = IR + U_T(I)\tag{5}\]

Решения уравнения (5) – это точки пересечения вольтамперной характеристики с прямой:

\[U = U_0 - IR = 19 - 120 \cdot I\tag{6}\]

Рис. 3.

К следует из графика изображенного на рис. 3 у уравнения (5) есть целых три решения:

Однако, только два решения могут реализовываться на практике. Это первое и третье решение. Второе решение – неустойчивое. Случайное увеличение (или уменьшение) тока приведет к переходу к правому (или левому) устойчивому решению.

Допустим, что напряжение на термисторе случайно возросло на малую величину. Это приведет к уменьшению напряжения на резисторе, что приведет к уменьшению силы тока в цепи. А уменьшение силы тока через термистор (в соответствии с его ВАХ) еще больше увеличит напряжение на нем. В этом случае система перейдет к устойчивому состоянию 1. Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что случайное падение напряжения на термисторе переведет систему в устойчивое состояние 3.

2.2 Сопротивление термистора при включении в цепь достаточно большое, поэтому ток в начальный момент времени будет небольшим, и будет постепенно увеличиваться.

Следовательно, в этом случае система «придет» к первому решению уравнения (5), т.е. \(I = 17 \text{мА}\), \(U = 17 \text{В}\).

2.3 Реализовать другое устойчивое решение можно двумя способами.

Можно поднять напряжение на источнике до значения, при котором будет только одно решение на «хвосте» вольтамперной характеристики. При этом термистор разогреется до достаточно высокой температуры. А затем уменьшить напряжение до \(U_0 = 19 \text{В}\).

А можно просто предварительно разогреть термистор до относительно высокой температуры, чтобы при включении в цепь ток сразу достиг достаточно большого значения.

Часть 3. Термистор параллельно с резистором.

3.1 При подключении термистора, соединенного параллельно с резистором, к источнику постоянного тока, ток источника разделится на две части – ток через термистор и ток через резистор.

\[I_0 = U / R + I_T(U)\tag{7}\]

Для того чтобы термистор стабилизировал напряжение, решение уравнения (7) должно «попадать» на вершину вольтамперной характеристики: \(I_{U_{\text{max}}} = 20 \text{мА}\), \(U_{\text{max}} = 17{,}3 \text{В}\).

Подставляя в (7) получим:

\[R = \frac{U_{\text{max}}}{I_0 - I_{U_{\text{max}}}} = 577 \text{Ом}\tag{8}\]

3.2 Чтобы найти решения уравнения (7) необходимо найти точки пересечения вольтамперной характеристики с графиком прямой:

\[I(U) = I_0 - U / R\tag{9}\]

Проще, конечно, из (8) получить обратную зависимость \(U(I)\):

\[U(I) = I_0 R - IR\tag{10}\]

При токе \(I_{01} = 45 \text{мА}\):

\[U(I) = 23{,}0 - 577 I\tag{11}\]

При токе \(I_{02} = 55 \text{мА}\):

\[U(I) = 34{,}6 - 577 I\tag{12}\]

На рис. 4. Представлены графики линейных зависимостей (11) и (12) вместе с вольтамперной характеристикой.

Рис. 4.

Напряжение в точках пересечения графиков практически одинаково и равно: \(U_{\text{min}} = 15{,}7\) В. При этом сила тока в резисторе равна \(I_{\text{min}} = 27\) мА.

Таким образом, напряжение на резисторе будет изменяться в пределах от \(U_{\text{min}} = 15{,}7\) В до \(U_{\text{max}} = 17{,}3\) В, а сила тока от \(I_{\text{min}} = 27\) мА до \(I_{\text{max}} = 30\) мА.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.