зад 1 Бегающий зайчик
Приборы и оборудование: крутильный маятник, секундомер, лазер, плоское зеркало, угломерная шкала, линейка 40 см.
Крутильный маятник состоит из деревянной линейки (1), к концам которой с помощью скотча прикреплены два одинаковых груза (2). Линейка с помощью двух нитей (3) подвязана к лапке штатива (4). Длина нитей должна быть не менее 50 см, расстояние между нитями не более 1 см, нити должны быть параллельны. С помощью кусочка пластилина к середине линейки прикреплено плоское стеклышко, играющее роль зеркала.
В работе вам предстоит исследовать крутильные колебания этого маятника вокруг вертикальной оси.
Для этого соберите следующую установку. К торцу стола прикреплена полоска картона (1), играющая роль экрана со шкалой (разметить ее необходимо самостоятельно). Расположите штатив с маятником так, чтобы в положении равновесия линейка (2) располагалась параллельно экрану. Расстояние от зеркальца маятника до экрана должно быть равно \(L = 20\) см. Поместите лазер (4) между экраном и зеркальцем, так чтобы его луч падал на зеркальце нормально (т.е. перпендикулярно), кода маятник находится в положении равновесия. При повороте маятника отраженный от зеркальца луч («зайчик» 5) должен двигаться вдоль шкалы. При необходимости отрегулируйте ориентацию зеркальца так, чтобы отраженный луч не перекрывался лазером и был хорошо виден на экране. Координату «зайчика» на экране будем обозначать \(x\) Начало отчета совмещено с положением «зайчика» в положении равновесия. Угол поворота линейки обозначим \(\varphi\) и так же будем его отсчитывать от положения равновесия. Таким образом, при колебаниях маятника, как координата «зайчика» \(x\) (в сантиметрах), так и угол поворота \(\varphi\) (в градусах) должны изменяться в симметричных пределах \(\pm x_{0}\), \(\pm \varphi_{0}\), где \(x_{0}, \varphi_{0}\) - максимальные отклонения координаты и угла поворота, соответственно.
Помните! При оптических измерениях самой важное – точная настройка установки!}
Часть 1. Градуировка шкалы.
Данный крутильный маятник очень чувствителен, поэтому градуировать шкалу с его помощью очень сложно. Для облегчения выполнения этой важной части работы вам предоставлено плоское зеркало. Вместо маятника расположите зеркало в том же месте, где будет находиться зеркальце маятника. Поставьте зеркало на лист бумаги с угломерной шкалой, для измерения угла поворота зеркала. Радиальные линии проведены через \(5^{\circ}\).
1.1 Проградуируйте шкалу экрана для измерения координаты зайчика \(x\) в сантиметрах.
1.2 Измерьте зависимость координаты зайчика \(x\) от угла поворота зеркала \(\varphi\) (в градусах). Постройте график полученной зависимости.
1.3 Получите теоретическую формулу для зависимости \(x(\varphi)\), постройте ее график. Сравните экспериментальную и теоретическую зависимости. Укажите возможные причины их расхождения.
1.4 Постройте на экране вторую шкалу, для измерения угла поворота зеркала (эта шкала будет неравномерной). Построение шкал оценивается!}
Часть 2. Средняя скорость.
Поворот маятника и движения зайчика не являются равномерными, поэтому изменения этих величин можно характеризовать средней скоростью движения «зайчика» \(v_{x\text{ср.}}\) и средней угловой скоростью \(\omega_{\text{ср.}}\).
Линейную скорость следует измерять в \(\frac{\text{см}}{\text{с}}\), а угловую в \(\frac{\text{град}}{\text{с}}\).
2.1 Измерьте зависимость средней угловой скорости вращения маятника \(\omega_{\text{ср.}}\) от максимального угла поворота \(\varphi_0\) за половину периода колебаний при изменении угла поворота от \(-\varphi_0\) до \(+\varphi_0\). Постройте график полученной зависимости.
2.2 Покажите, что измеренная средняя угловая скорость \(\omega_{\text{ср.}}\) пропорциональна максимальному углу поворота \(\varphi_0\)
\[\omega_{\text{ср.}} = C\varphi_0,\tag{1}\]
Определите коэффициент \(C\), укажите его физический смысл.
Приведите все, использованные вами расчетные формулы, а также укажите все величины, которые вам необходимо измерять.
Часть 3. Закон движения.
В этой части вам необходимо экспериментально исследовать закон изменения угла поворота маятника от времени.
3.1 Измерьте зависимость угла поворота маятника от времени \(\varphi(t)\) за половину периода колебаний, т.е. при изменении угла поворота от \(-\varphi_0\) до \(+\varphi_0\). Постройте график полученной зависимости.
3.2 Используя полученный график, определите максимальную мгновенную угловую скорость вращения маятника. Найдите ее отношение к средней скорости на всем интервале от \(-\varphi_0\) до \(+\varphi_0\).
3.3 Используя результаты проведенных измерений, постройте на одном бланке графики зависимостей \(\frac{\varphi}{\varphi_0}\) и \(\frac{x}{x_0}\) от времени. Объясните различие между полученными зависимостями.
Измерения проведите при максимальном угле поворота \(\varphi_0 = 30^\circ\) Используйте память этапов секундомера – прочитайте инструкцию по его использованию. Кратко опишите, как вы проводили измерения.
▶ПодсказкаСкрыть
Отражённый луч поворачивается на удвоенный угол, поэтому координата «зайчика» нелинейна по углу; средняя скорость за полупериод определяется периодом колебаний.
▶ОтветСкрыть
1.3) \(x = L\operatorname{tg}2\varphi\); 2.2) \(C \approx 0{,}11\ \text{с}^{-1}\) (величина, обратная четверти периода колебаний); 3.2) \(\omega_{\max}\approx 5{,}0\ \text{град/с}\), \(\omega_{\max}/\omega_{\text{ср}}\approx 1{,}6\) (теория для гармонических колебаний: \(\pi/2\approx 1{,}57\)).
▶РешениеСкрыть
1.1 Шкалу необходимо разметить с точностью до 1 см, естественно, получается линейная шкала.
1.2 Результаты измерений зависимости координаты зайчика от угла поворота зеркала приведены в Таблице 1. На рисунке показан график полученной зависимости.
Таблица 1. Координаты зайчика.
| \(\varphi^{\circ}\) | \(x, \text{см}\) | \(x_{\text{теор}}, \text{см}\) |
| -30 | -34,6 | |
| -25 | -34,3 | -23,8 |
| -20 | -23,0 | -16,8 |
| -15 | -16,8 | -11,5 |
| -10 | -10,2 | -7,3 |
| -5 | -4,6 | -3,5 |
| 0 | 0,0 | 0,0 |
| 5 | 4,0 | 3,5 |
| 10 | 9,0 | 7,3 |
| 15 | 16,0 | 11,5 |
| 20 | 23,0 | 16,8 |
| 25 | 33,4 | 23,8 |
| 30 | 34,6 |
1.3 Из рисунка хода лучей, построенного с учетом закона отражения света, следует, что при повороте зеркала на угол \(\varphi\), отраженный луч поворачивается на угол \(2\varphi\). Следовательно, координата зайчика на экране определяется формулой
\[x = L \operatorname{tg} 2\varphi.\tag{1}\]
Результаты расчетов \(x_{\text{теор}}\) по этой формуле также приведены в Таблице 1. На рисунке также показан график этой зависимости.
1.4 Вторую шкалу удобно построить непосредственно с помощью зайчика. Эта шкала неравномерная.
Часть 2. Средняя скорость.
Для измерения следует использовать нелинейную угловую шкалу. Необходимо задать максимальное отклонение \(\varphi_0\) и измерить времена \(t\) прохождения зайчика от одного до другого крайнего положения. Средняя угловая скорость рассчитывается по формуле
\[\omega_{\text{ср}} = \frac{2\varphi_0}{t}.\tag{2}\]
Результаты измерений и расчетов средних скоростей приведены в Таблице 2. График требуемой зависимости показан на рисунке.
Таблица 2. Измерение средних скоростей.
| \(\varphi^\circ\) | \(t, \text{с}\) | \(\omega_{\text{ср.}} \frac{\text{град}}{\text{с}}\) |
| 5 | 18,5 | 0,54 |
| 10 | 18,7 | 1,07 |
| 15 | 18,7 | 1,60 |
| 20 | 18,8 | 2,13 |
| 25 | 18,9 | 2,65 |
| 30 | 18,9 | 3,18 |
Результаты измерений показывают, что период колебаний не зависит от максимального отклонения, поэтому полученная зависимость линейна. Коэффициент пропорциональности в формуле \(\omega_{\text{ср.}} = C\varphi_0\) имеет смысл величины, обратной четверти периода колебаний. Он может быть найден либо по наклону графика, либо как \(C = \frac{2}{t_{\text{ср}}}\), где \(t_{\text{ср}}\) - среднее значение измеренных времен. Численное значение этого коэффициента в данном случае равно
\[C = 0{,}11 \, \text{с}^{-1}.\tag{3}\]
Часть 3. Закон движения.
Удобно проводить измерения следующим образом: вывести маятник из положения равновесия, дождаться, когда его максимальное отклонение \(\varphi_0\) и в этот момент запустить секундомер. Далее фиксировать времена прохождения отметок угловой шкалы с помощью памяти секундомера. При необходимости провести измерения в «два захода»: во втором из них запустить секундомер, когда зайчик проходит через нулевую отметку.
Результаты измерения закона движения \(\varphi(t)\) при максимальном отклонении \(\varphi_0 = 30^\circ\) приведены в Таблице 3. Там же приведены рассчитанные значения линейной координаты \(x\), а также необходимые для дальнейших построений относительные величины \(\frac{\varphi}{\varphi_0}\) и \(\frac{x}{x_0}\).
Таблица 3. Закон движения маятника.
| \(\varphi^{\circ}\) | \(x, \text{см}\) | \(t, \text{с}\) | \(\frac{\varphi}{\varphi_{0}}\) | \(\frac{x}{x_{0}}\) |
| -30 | -34,6 | 0,00 | -1,00 | -1,00 |
| -25 | -23,8 | 3,60 | -0,83 | -0,69 |
| -20 | -16,8 | 5,13 | -0,67 | -0,48 |
| -15 | -11,5 | 6,32 | -0,50 | -0,33 |
| -10 | -7,3 | 7,41 | -0,33 | -0,21 |
| -5 | -3,5 | 8,48 | -0,17 | -0,10 |
| 0 | 0,0 | 9,37 | 0,00 | 0,00 |
| 5 | 3,5 | 10,33 | 0,17 | 0,10 |
| 10 | 7,3 | 11,41 | 0,33 | 0,21 |
| 15 | 11,5 | 12,55 | 0,50 | 0,33 |
| 20 | 16,8 | 13,81 | 0,67 | 0,48 |
| 25 | 23,8 | 15,45 | 0,83 | 0,69 |
| 30 | 34,6 | 18,80 | 1,00 | 1,00 |
Рядом приведен график закона движения маятника \(\varphi(t)\). Очевидно, что максимальная скорость достигается в начале координат. Для определения мгновенной скорости следует построить касательную к графику закона движения (она показана на рисунке) и рассчитать ее коэффициент наклона. Для приведенного закона движения она оказывается равной
\[\omega_{\text{max}} \approx 5{,}0 \frac{\text{град}}{\text{с}}.\]
Средняя скорость рассчитывается по формуле
\[\omega_{\text{ср.}} = 2 \frac{\varphi_{0}}{t_{\text{max}}} = \frac{2 \cdot 30}{18{,}8} \approx 3{,}2 \frac{\text{град}}{\text{с}}.\]
Таким образом, их отношение равно \(\frac{\omega_{\text{max}}}{\omega_{\text{ср.}}} \approx 1{,}6\).
Отметим, что при гармонических колебаниях теоретическое значение этого отношения есть \(\frac{\pi}{2} \approx 1{,}57\). Поэтому данный метод можно использовать для экспериментального определения числа \(\pi\).
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 2 Изучение термопары
Приборы и материалы: мультиметр с термопарой, переменный резистор сопротивлением \(100\) Ом, соединительные провода, алюминиевый стакан, спиртовка, вода, лед.
Для измерения температуры в современных мультиметрах используется термопара. Термопара устроена очень просто: последовательно спаяны три куска проволоки, причем крайние проволоки изготовлены из одного материала, центральная из другого. Если места спаев поддерживать при разных температурах, то на концах термопары возникает постоянное напряжение (точнее, ЭДС), пропорциональное разности температур спаев. В предоставленном оборудовании один из спаев находится внутри прибора.
Вам предстоит с помощью мультиметра измерять температуру, напряжение и электрическое сопротивление – внимательно ознакомьтесь с инструкцией по пользованию мультиметра.
Часть 1. Ознакомление с работой мультиметра.
Измерьте с помощью мультиметра: температуру, электрическое сопротивление термопары, напряжение на концах термопары при температуре тающего льда, комнатной температуре и температуре кипящей воды.
Результаты измерений занесите в таблицу. Не забудьте указать единицы измерения.
| Условия | Истинная температура | Температура (измеренная) | Сопротивление | Напряжение |
| Тающий лед | ||||
| Комнатная температура | ||||
| Кипящая вода |
Часть 2. Термопара, как источник электроэнергии.
Соедините последовательно термопару, переменный резистор и выключатель. Термопару поместите в сосуд с кипящей водой. Мультиметр подключите к цепи, таким образом, чтобы можно было измерять сопротивление переменного резистора и напряжение на нем.
С выводами переменного резистора разберитесь самостоятельно: из трех клемм вам необходимо выбрать две, таким образом, чтобы сопротивление между ними изменялось при повороте ручки резистора.
2.1 На рисунке укажите к каким клеммам вы подключали переменный резистор.
2.2 Приведите электрическую схему, использованную вами для измерений сопротивления и напряжения. Кратко опишите, как вы проводили измерения.
Опустите термопару в кипящую воду. Спиртовку поджигайте только во время проведения измерений. Все измерения проводите при кипящей воде.
2.3 Проведите измерения зависимости напряжения на резисторе от его сопротивления.
2.4 Для каждого значения сопротивления резистора рассчитайте значения силы тока и мощности, выделяющейся на резисторе.
Не забудьте привести формулы, по которым вы проводили расчеты.
2.5 Постройте график зависимости напряжения на резисторе от силы тока через него.
Качественно объясните полученную зависимость. Выделите диапазон, в котором данная зависимость может быть приближена линейной зависимостью. Используя этот участок, определите сопротивление термопары.
2.6 Постройте график зависимости мощности, выделяющейся на резисторе от его сопротивления. Качественно объясните полученную зависимость.
Укажите, при каком сопротивлении резистора, эта мощность максимальна. Чему равна эта мощность? Чему равна стоимость электроэнергии (в белорусских рублях), полученной с помощью такого прибора в течение года?
Считайте, что 1 киловатт-час стоит 200 рублей.
▶ПодсказкаСкрыть
Термопара ведёт себя как источник с ЭДС \(U_0\) и внутренним сопротивлением \(r\): напряжение на резисторе линейно убывает с током, а мощность на нём максимальна при равенстве сопротивлений.
▶ОтветСкрыть
2.5) \(r\approx 16\ \text{Ом}\) из наклона графика \(U(I)\), \(U=U_0-Ir\); 2.6) \(P\) максимальна при \(R\approx 15\ \text{Ом}\approx r\), \(P_{\max}\approx 170\ \text{нВт}\).
▶РешениеСкрыть
Часть 1. Ознакомление с работой мультиметра.
Результаты измерений приведены в таблице 1.
Таблица 1. Результаты измерений.
| Условия | Истинная температура | Температура (измеренная) | Сопротивление | Напряжение |
| Тающий лед | \(0^{\circ}C\) | \(-3^{\circ}\) | \(12{,}1\) Ом | \(-60\) мВ |
| Комнатная температура | \(15^{\circ}C\) | \(11^{\circ}C\) | \(14{,}1\) Ом | \(0{,}0\) |
| Кипящая вода | \(100^{\circ}C\) | \(97^{\circ}C\) | \(25{,}3\) Ом | \(3{,}3\) мВ |
Часть 2. Термопара, как источник электроэнергии.
2.1 Подключать резистор следует к центральной и одной из крайних клемм.
2.2 Электрическая схема для проведения измерений показана на рисунке (здесь обозначено \(Tn\) – термопара). При измерении сопротивления ключ следует отключить.
2.3 Результаты измерений зависимости напряжения на резисторе \(U\) от его сопротивления \(R\) приведены в Таблице 2. Также представлены результаты расчетов силы тока (по формуле \(I = \frac{U}{R}\)) и мощности (по формуле \(P = IU\)) Таблица 2.
| \(R\), Ом | \(U\), мВ | \(I\), мкА | \(P\), нВт |
| \(99{,}6\) | \(2{,}8\) | \(28{,}1\) | \(78{,}7\) |
| \(90{,}6\) | \(2{,}8\) | \(30{,}9\) | \(86{,}5\) |
| \(80{,}4\) | \(2{,}7\) | \(33{,}6\) | \(90{,}7\) |
| \(70{,}1\) | \(2{,}6\) | \(37{,}1\) | \(96{,}4\) |
| \(60{,}6\) | \(2{,}6\) | \(42{,}9\) | \(111{,}6\) |
| \(50{,}9\) | \(2{,}5\) | \(49{,}1\) | \(122{,}8\) |
| \(45{,}0\) | \(2{,}4\) | \(53{,}3\) | \(128{,}0\) |
| \(40{,}4\) | \(2{,}3\) | \(56{,}9\) | \(130{,}9\) |
| \(35{,}2\) | \(2{,}2\) | \(62{,}5\) | \(137{,}5\) |
| \(30{,}4\) | \(2{,}1\) | \(69{,}1\) | \(145{,}1\) |
| \(25{,}6\) | \(2{,}0\) | \(78{,}1\) | \(156{,}3\) |
| \(20{,}2\) | \(1{,}8\) | \(89{,}1\) | \(160{,}4\) |
| \(15{,}3\) | \(1{,}6\) | \(104{,}6\) | \(167{,}3\) |
| \(10{,}5\) | \(1{,}3\) | \(123{,}8\) | \(161{,}0\) |
| \(8{,}7\) | \(1{,}1\) | \(126{,}4\) | \(139{,}1\) |
| \(6{,}3\) | \(0{,}9\) | \(142{,}9\) | \(128{,}6\) |
| \(5{,}7\) | \(0{,}8\) | \(140{,}4\) | \(112{,}3\) |
| \(4{,}5\) | \(0{,}6\) | \(133{,}3\) | \(80{,}0\) |
| \(3{,}3\) | \(0{,}5\) | \(151{,}5\) | \(75{,}8\) |
| \(2{,}1\) | \(0{,}3\) | \(142{,}9\) | \(42{,}9\) |
| \(1{,}5\) | \(0{,}2\) | \(133{,}3\) | \(26{,}7\) |
Рядом с таблицей показаны графики зависимости напряжения на резисторе от силы тока и зависимости мощности на резисторе от его сопротивления.
Зависимость \(U(I)\) линейна. При малых напряжениях полученный разброс объясняется малой точностью измерений. Эта зависимость может быть объяснена следующим образом. Пусть термопара создает напряжение \(U_0\), которое сумме напряжений на резисторе \(U\) и напряжения на термопаре (из-за ее сопротивления \(r\)) \(Ir\). Следовательно, напряжение на резисторе
\[U = U_0 - Ir.\tag{1}\]
Таким образом, коэффициент наклона графика \(U(I)\), взятый с противоположным знаком, равен сопротивлению термопары. По графику можно найти это значение
\[r \approx 16\,\text{Ом}.\tag{2}\]
График зависимости мощности от сопротивления \(P(R)\) имеет четко выраженный максимум. Он объясняется следующим образом: ростом сопротивления спадает сила тока в цепи, но возрастает доля напряжения на резисторе. По графику можно определить, что максимальная мощность выделяется при сопротивлении резистора примерно равном \(R \approx 15\,\text{Ом}\), что примерно совпадает с сопротивлением термопары. Эта максимальная мощность примерно равна \(P_{\text{max}} \approx 170\,\text{нВт} = 0{,}17 \cdot 10^{-6}\,\text{Вт}\)
Для расчета стоимости электроэнергии следует перевести эту энергию в киловатт-часы и умножить на стоимость одного киловатт-часа:
\[C = cPt = 200\,\frac{\text{руб}}{\text{кВт}\cdot\text{час}} \cdot 0{,}17 \cdot 10^{-3}\,\text{кВт} \cdot 365 \cdot 24\,\text{час} \approx 300\,\text{руб}.\]
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Источник: Республиканская физическая олимпиада Беларуси, 2012/13, заключительный этап, 9 класс, экспериментальный тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.