Белорусская, 2012/13, заключительный этап, 9 класс, теоретический тур

Подсказка

Сила Архимеда — это равнодействующая сил давления жидкости (газа) на тело; для плавающего тела она уравновешивает силу тяжести, а давление на дно сосуда определяется весом содержимого.

Ответ

1.1) \(F_1=2F_0\); 1.2) в 8 раз; 1.3) \(h_1=1{,}5\,h_0\); 1.4) \(P_1/P_0=5/3\); 1.5) \(\rho_2/\rho_1=1/3\).

Решение

1.1 Так как масса системы увеличилась в два раза, то во столько же раз увеличилась сила тяжести и уравновешивающая ее сила Архимеда. Поэтому \(F_1 = 2F_0\).

1.2 Сумма сил (очевидно, векторная) давлений жидкости или газа на поверхность погруженного тела есть сила Архимеда. Так как объем шара увеличится в 8 раз, то и сила Архимеда, следовательно, и сила давления воздуха на шар увеличится в 8 раз.

1.3 Масса содержимого в сосуде увеличилась в \(1{,}5\) раза, во столько же раз возросла и сила тяжести. Сила тяжести уравновешивается силой давления на дно, которая пропорциональна высоте уровня жидкости в сосуде. Следовательно, уровень воды в сосуде возрастет в \(1{,}5\) раза: \(h_1 = 1{,}5h_0\).

1.4 Давление жидкости на дно равно сумме давлений жидкости на верхнюю крышку \(P'_0\) и гидростатического давления \(p = \rho g h\). Так как давление на крышку в 3 раза меньше давления на дно, то справедливо соотношение

\[P_0 = P'_0 + p = \frac{1}{3}P_0 + p,\tag{1}\]

из которого следует, что

\[P_0 = \frac{3}{2}p.\tag{2}\]

Такое же давление воздуха внутри пузырька. Так сжимаемостью жидкости можно пренебречь, то при всплытии пузырька ее объем, а, следовательно, и объем пузырька не изменятся. Воздух хорошо сжимаем, поэтому, если не изменился его объем, то не изменилось и давление внутри него. Поэтому после всплытия пузырька давление на крышку сосуда стало равным

\[P'_1 = P_0 = \frac{3}{2}p.\tag{3}\]

А давление на дно больше на гидростатическое давление, поэтому

\[P_1 = \frac{3}{2}p + p = \frac{5}{2}p.\tag{4}\]

Следовательно, отношение давлений

\[\frac{P_1}{P_0} = \frac{5}{3}.\tag{5}\]

1.5 В любом случае, когда стержень плавает, сила Архимеда уравновешивает силу тяжести. Так как сила тяжести не изменилась, то осталась неизменной и сила Архимеда. Это позволяет записать уравнение

\[\frac{2}{3}\rho_1 g V = \frac{1}{2}\rho_1 g V + \frac{1}{2}\rho_2 g V,\tag{6}\]

из которого следует, что

\[\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{1}{3},\tag{7}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Число ионов меди в единице объёма находится из плотности и массы атома; скорость дрейфа — из \(I=enSu\), а тормозящую силу найдём, приравняв работу силы сопротивления на длине \(l\) работе электрического поля.

Ответ

1) \(r=\sqrt[3]{m/\gamma}\approx 2{,}3\cdot10^{-10}\) м; 2) \(n=\gamma/m\approx 8{,}1\cdot10^{28}\ \text{м}^{-3}\); 3) \(u=I/(enS)\approx 7{,}7\cdot10^{-5}\) м/с; 4) \(F_0=eI\rho/S\approx 2{,}7\cdot10^{-21}\) Н; 5) \(F=nleI\rho\approx 2{,}2\) Н, \(a\approx 2{,}5\cdot10^{4}\ \text{м/с}^2\).

Решение

1. Для определения среднего расстояния \(r\) между центрами соседних ионов меди в решетке найдем их количество \(N\) в куске меди единичного объема

\[N = \frac{\gamma}{m_0}.\tag{1}\]

Тогда можно считать, что на один ион в среднем будет приходиться кубик объемом

\[V_0 = \frac{1}{N} = \frac{m_0}{\gamma}\tag{2}\]

Длина ребра такого кубика даст искомое расстояние между центрами соседних ионов меди в решетке

\[r = \sqrt[3]{V_0} = \sqrt[3]{\frac{m_0}{\gamma}} = \sqrt[3]{\frac{1{,}1 \cdot 10^{-25}}{8{,}96 \cdot 10^3}} (\text{м}) = 2{,}3 \cdot 10^{-10} \text{ м} = 2{,}3 \text{ \AA}\tag{3}\]

Для сравнения заметим, что размер (диаметр) атома водорода по порядку величины равен одному ангстрему \(\approx 1 \text{ \AA}\). 2. Так каждый атом отдает один электрон, то концентрация электронов равна концентрации атомов, поэтому

\[n = \frac{\gamma}{m_0} = \frac{8{,}96 \cdot 10^3}{1{,}1 \cdot 10^{-25}} \text{ м}^{-3} = 8{,}1 \cdot 10^{28} \text{ м}^{-3} = 8{,}1 \cdot 10^{22} \text{ см}^{-3}\tag{4}\]

3. При протекании электрического тока через поперечное сечение проводника площадью \(S\) за промежуток времени \(\Delta t\) при средней скорости направленного движения свободных электронов \(u\) пройдет заряд

\[q = eN = enV = enSu\Delta t.\tag{5}\]

Согласно определению силы тока имеем

\[I = \frac{q}{\Delta t} = enSu \quad \Rightarrow \quad u = \frac{I}{enS} = \frac{1{,}0}{1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 8{,}1 \cdot 10^{28} \cdot 1{,}0 \cdot 10^{-6}} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 7{,}7 \cdot 10^{-5} \frac{\text{м}}{\text{с}}\tag{6}\]

Как видим, скорость направленного движения свободных электронов при протекании тока весьма мала, что вполне понятно с учетом большого значения их концентрации.

4. Рисунок иллюстрирует общую схему расчета сил:

- не знаем, как рассчитать силу сопротивления, но знаем характеристику электрической силы (напряжение); - так как средняя скорость электронов равна нулю, то средняя силы сопротивления равна по модулю силе электрической (2 закон Ньютона); - по 3 закону Ньютона, сила, с которой решетка действует электроны, по модулю равна силе, с которой электроны действуют на решетку.

Для оценки средней силы \(F_0\), действующей на электрон со стороны электрического поля, воспользуемся определением напряжения и запишем выражение для работы электрических сил на участке проводника длиной \(l\)

\[A = eU = eIR = eI\rho \frac{l}{S}.\tag{7}\]

Такую же работу (но с противоположным знаком) совершает силы сопротивления

\[A = F_0 l\tag{8}\]

Сравнивая полученные выражения, найдем

\[F_0 = \frac{eI\rho}{S} = \frac{1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 1{,}0 \cdot 0{,}017 \cdot 10^{-6}}{1{,}0 \cdot 10^{-6}} = 2{,}7 \cdot 10^{-21} \, \text{Н}\tag{9}\]

5. По третьему закону Ньютона сила, с которой решетка действует на электрон, по модулю равна силе, с которой электрон действует на решетку. Поэтому суммарная сила, действующая на кусок провода длиной со стороны электронов \(l\) равна произведению силы, действующей на один электрон, на число электронов в данном куске провода:

\[F = NF_0 = nVF_0 = nleI\rho = 8{,}1 \cdot 10^{28} \cdot 1{,}0 \cdot 10^{-2} \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 1{,}0 \cdot 0{,}017 \cdot 10^{-6} = 2{,}2 \, \text{Н}\tag{10}\]

Под действием такой силы участок провода приобрел бы ускорение

\[a = \frac{F}{m} = \frac{F}{\gamma Sl} = \frac{2{,}2}{8{,}96 \cdot 10^3 \cdot 1 \cdot 10^{-2} \cdot 1 \cdot 10^{-6}} = 2{,}5 \cdot 10^4 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2}\tag{11}\]

Но эта сила никак не проявляется, потому, что стороны электрического поля такая же по модулю сила, но направленная в противоположную сторону, действует со стороны электрического поля на ионы кристаллической решетки.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Суммарную силу на обе ноги делите на массу — получите ускорение; изменение скорости равно площади под графиком ускорения, а начальную скорость определяйте из условия, что средняя скорость за цикл известна.

Ответ

1.3) \(v_x(0)\approx 1{,}16\) м/с; 2.3) \(v_y(0)\approx -0{,}08\) м/с; 3.2) кинетическая энергия меняется примерно от 24 до 57 Дж; 3.4) потенциальная — от 0 до 29 Дж.

Решение

Часть 1. Продольная составляющая силы реакции.

1.1 Так как человек делает два шага в секунду, то касание второй ногой происходит ровно через \(0{,}5\) секунды. Значит, на участках от \(0{,}1\) до \(0{,}2\) секунд и от \(0{,}5\) до \(0{,}6\) человек касается поверхности обеими ногами. Для расчета горизонтального ускорения необходимо просуммировать силы, действующие на обе ноги. Для наглядности такое суммирование проведено в таблице 1 и на графиках.

Таблица 1. Суммарная горизонтальная сила.

На каждом временном промежутке в \(0{,}1\) с суммарная сила постоянна, поэтому ускорение центра масс человека также постоянно. Оно рассчитывается по 2 закону Ньютона:

\[a = \frac{F_\Sigma}{m} .\tag{1}\]

График зависимости горизонтального ускорения от времени показан на рис. 2.

Рис. 2 Зависимость горизонтальной составляющей ускорения центра масс человека от времени.

Для расчета зависимости скорости от времени необходимо знать начальную скорость. Но нам известна только средняя скорость \(v_{\text{ср}}\) за один шаг. График зависимости ускорения от времени позволяет легко рассчитать зависимость изменения скорости \(\Delta v = v_i - v_0\), где \(v_i\) - скорость в конце \(i\)-го интервала времени. Суммарное смещение центра масс за один шаг можно по формуле

\[S = \sum_i \left( v_0 + (\Delta v_i)_{\text{ср}} \Delta t \right) = v_0 T + \sum_i (\Delta v_i)_{\text{ср}} \Delta t,\tag{2}\]

где \((\Delta v_i)_{\text{ср}}\) - средняя скорость на \(i\)-том интервале. Теперь среднюю скорость за полный шаг можно выразить как

\[v_{\text{ср.}} = \frac{S}{T} = v_0 + \frac{1}{T} \sum_i (\Delta v_i)_{\text{ср}} \Delta t.\tag{3}\]

Это соотношение позволяет найти начальную скорость \(v_0\). Результаты расчетов приведены в Таблице 2. На рисунке 3 построен график зависимости величины \(\Delta v\) от времени.

Таблица 2. Расчет зависимости горизонтальной скорости от времени.

Очевидно, что сумма в выражении (2) численно равна площади под графиком зависимости \(\Delta v(t)\). Эта площадь подсчитывается элементарно:

\[\sum_i (\Delta v_i)_{\text{ср}} \Delta t = -2 \cdot \frac{1}{2} 0{,}4 \cdot 0{,}4 = -0{,}16 \text{м}.\]

Теперь из соотношения (3) определяем начальную скорость

\[v_0 = v_{\text{ср.}} - \frac{1}{T} \sum_i (\Delta v_i)_{\text{ср}} \Delta t = 1{,}16 \frac{\text{м}}{\text{с}}\tag{4}\]

Эту скорость следует прибавить к значениям величин \(\Delta v(t)\), в результате чего, получим искомую зависимость \(v(t)\). График этой зависимости показан на рис. 4.

Рис. 4 Зависимость горизонтальной составляющей скорости центра масс человека от времени.

Часть 2. Нормальная составляющая силы реакции.

Расчет зависимости вертикальной скорости центра масс от времени проводится полностью аналогично.

В Таблице 3 и на рисунках показана зависимость вертикальной составляющей силы от времени (с учетом суммирования в тех интервалах, где обе ноги находятся на земле).

Таблица 3. Суммарная вертикальная сила.

Вертикальное ускорение центра масс рассчитывается по формуле

\[a = \left( \frac{F_\Sigma}{mg} - 1 \right) g\tag{5}\]

В Таблице 4 показаны результаты расчета изменения вертикальной скорости от времени, а на рис. 7 зависимость величины \(\Delta v\) от времени.

Таблица 4. Расчет зависимости горизонтальной скорости от времени.

Расчет площади под графиком зависимости \(\Delta v(t)\) приводит к результату

\[\sum_{i} (\Delta v_i)_{\text{ср}} \Delta t = 2 \left( \frac{1}{2} 0{,}4 \cdot 0{,}3 - \frac{1}{2} 0{,}2 \cdot 0{,}2 \right) = 0{,}08 \, \text{м}.\]

Теперь из соотношения (3) определяем начальную скорость (с учетом, того, что средняя вертикальная скорость равна нулю):

\[v_0 = -\frac{1}{T} \sum_{i} (\Delta v_i)_{\text{ср}} \Delta t = -0{,}08 \frac{M}{c}\tag{4}\]

Эту скорость следует прибавить к значениям величин \(\Delta v(t)\), в результате чего, получим искомую зависимость \(v(t)\). График этой зависимости показан на рис. 8.

Часть 3. Превращение энергии.

Кинетическая энергия тела равна

\[E_k = \frac{m}{2} \left( v_x^2 + v_y^2 \right).\tag{5}\]

Используя данные расчетов скоростей, можно рассчитать кинетическую энергию тела в «узловых точках». Результаты этих расчетов приведены в Таблице 5. График полученной зависимости показан на рис. 9.

Таблица 5. Расчет зависимости кинетической энергии от времени.

Для расчета потенциальной энергии (\(U = mgh\)) необходимо построить график зависимости вертикальной координаты от времени. Так как на всех временных интервалах ускорение постоянно, то соответствующей зависимости будет состоять из отрезков парабол. Значения вертикальной координаты в «узловых точках» рассчитывается традиционным образом, как площадь под графиком зависимости \(v(t)\). Результаты расчетов представлены в Таблице 6, график показан на рисунке 10.

Таблица 6. Расчет зависимости потенциальной энергии от времени.

Рис. 9 Зависимость кинетической энергии от времени

Рис. 10 Зависимость потенциальной энергии от времени

Кинетическая энергия изменяется в пределах примерно от 24 Дж до 57 Дж, то есть, на 33 Дж. Потенциальная энергия изменяет от 0 до 29 Дж. Диапазоны изменения кинетической и потенциальной энергии примерно совпадают.

Дополнение (в решении не требуется). Интересно оценить, какую мощность развивает человек при ходьбе. Для этого построим график зависимости полной энергии человека от времени. Человек совершает работу на тех интервалах, когда полная энергия растет. При убыли полной энергии эта энергия человеку не возвращается. На рисунке отмечен такой участок.

Простой расчет показывает, что средняя мощность, развиваемая человеком при ходьбе, примерно равна 30 Вт.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.