Белорусская, 2013/14, заключительный этап, 10 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Конденсатор заряжается через эффективное сопротивление цепи — постоянная времени находится по наклону \(\ln|U-U_\infty|\) от времени; сопротивления мультиметра и утечки конденсатора находят по его разрядке.

Ответ

1.2) характерное время установления тока \(\tau\approx57\) с, эффективное сопротивление зарядки \(R^*=\tau/C\approx0{,}57\) МОм (вдвое меньше \(R\)); 2.2) сопротивление мультиметра \(R_V\approx10\) МОм; 2.3) сопротивление утечки конденсатора \(\approx40\) МОм; 2.4) сопротивление резистора \(R\approx1{,}2\) МОм.

Решение

Задача 10-1 Резисторы и конденсаторы.

Часть 1. Время установления тока.

Теория процессов протекающих в данной цепи подробно рассмотрено в задача 10-3 теоретического тура. Поэтому здесь приводятся только экспериментальные данные и результаты их обработки.

В таблице 1 приведены результаты измерений напряжений на резисторах в процессе зарядки конденсатора.

Таблица 1.

На графике проведены касательные к графикам в начальные момент времени, позволяющие получить значения характерного времени зарядки. В данном случае оно составляет примерно 60 с.

Из графиков следует, что предельные значения напряжений примерно равны, следовательно, сопротивления резисторов равны.

Более точные значения характерных времен можно получить, если построить графики зависимостей в полулогарифмическом масштабе, то есть зависимости логарифма отклонения от стационарного значения \(\ln\vert U - \overline{U}\vert\) от времени. Ниже показаны эти графики.

Как видно, график для обоих напряжений практически совпадают, что полностью подтверждает вывод о том, что характерные времена установления равновесия совпадают. Из этого графика следует, что характерное время установления для данных зависимостей равно \(\tau_{0} = 56{,}7 \text{с}\).

Следовательно, эффективное сопротивление, через которое идет зарядка конденсатора, равно \(R^{*} = \frac{\tau}{C} = 5{,}67 \cdot 10^{5} \text{Ом} = 0{,}57 \text{МОм}\)

Еще одним способом расчетов является изучение зависимостей скоростей изменения напряжений \(\frac{\Delta U}{\Delta t}\) от самого напряжения. При таком подходе коэффициенты наклона обратны характерным временам установления равновесия. Следующий график иллюстрирует этот подход. Как видно, и этот способ дает правильное значение характерных времен. Однако, операция численного дифференцирования приводит к достаточно большому разбросу точек графиков. Поэтому в дальнейшем мы будем использовать полулогарифмический масштаб

Часть 2. Параметры элементов цепей. Результаты измерений зависимости напряжения на конденсаторе от времени при разрядке через мультиметр приведены в таблице 2. Таблица 2.

Графики полученной зависимости в обычном и полулогарифмическом масштабе показаны на следующем рисунке.

На графике в полулогарифмическом масштабе видно, что коэффициенты наклона на участках больших и малых напряжений отличаются — что показывает наличие утечки тока через сам конденсатор.. Так при малых напряжения коэффициент наклона графика равен \(9{,}98 \cdot 10^{-4} \, c^{-1}\). Следовательно, на этом участке характерное время разрядки равно \(R_V C = 1{,}00 \cdot 10^3 \, c\). Так как \(C = 100 \, \text{мкф} = 1{,}0 \cdot 10^{-4} \, \Phi\), то сопротивление мультиметра

\[R_V = 1{,}00 \cdot 10^7 \, \text{Ом} = 10 \, \text{МОм}.\]

На участке больших напряжений время разрядки оказывается меньше Здесь \(RC \approx 800 \, c\). Следовательно, общее сопротивление вольтметра и конденсатора равно \(R = 8{,}0 \, \text{МОм}\). Поэтим данным можно оценить сопротивление резистора

\[R_C = \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R_V} \right)^{-1} \approx 40 \, \text{МОм}\]

Зависимость напряжения на конденсаторе от времени при разрядке через резистор представлена в таблице 3 и на следующем график в полулогарифмическом масштабе.

Таблица 3.

В данном случае точки почти идеально легли на прямую, следовательно в данном случае сопротивление разрядки постоянно. Время разрядки, найденное по наклону графика оказывается равным \(1{,}1 \cdot 10^2\) с, следовательно, сопротивление параллельно соединенных резистора и вольтметра равно \(R_t = 1{,}1\) МОм. Сопротивление резистора можно рассчитать по формуле

\[R_R = \left( \frac{1}{R_T} - \frac{1}{R_V} \right)^{-1} \approx 1{,}2 \text{ МОм}\]

Согласно, теоретическим расчетам эффективное сопротивление зарядки в два раза меньше чем сопротивление каждого из резисторов, что хорошо подтвердилось экспериментально.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Избыточное давление по манометру — лишь часть полного давления газа; чтобы проверить закон, исключите объём: зависимость \(\ln P_1\) от \(\ln P_2\) (адиабатное против изотермического давления при одном объёме) имеет наклон \(\gamma\).

Ответ

1.2) большее (максимальное) давление соответствует адиабатному сжатию, установившееся меньшее — изотермическому; в измерениях \(P_0\approx680\) Торр, наклон \(\ln P_1\) от \(\ln P_2\) равен \(\gamma\).

Решение

Часть 1. Адиабатное и изотермическое сжатие

Проще и точнее можно исследовать процесс изотермического сжатия. При измерениях необходимо проявлять терпение каждый раз при изменении объема необходимо дождаться установления теплового равновесия. В таблице 1 приведены результаты измерения показаний манометра \(\Delta p\) от объема газа в шприце \(V'\). Для вычисления всего объема, занимаемого газом, к показаниям по шкале шприца следует добавить объем соединительной трубки, который составляет \(v_0 = 2{,}5 \text{ см}^3\).

Таблица 1.

График полученной зависимости приведен на рисунке. Определить визуально, является ли данная зависимость гиперболической невозможно. Для проверки указанного закона можно использовать несколько методов. Главной проблемой анализа зависимости является то, что нам неизвестно значение давления газа, ведь мы фактически измеряем только его изменение. Конечно, в первом приближении можно воспользоваться известным атмосферным давлением, но вполне возможно, что есть некоторый постоянный сдвиг показаний. Поэтому представим

давление газа в виде некоторого постоянного значения \(P_0\) и измеренного избыточного давления \(\Delta p\). В этом случае уравнение закона Бойля записывается в виде

\[(P_0 + \Delta p)V = A,\tag{1}\]

Где \(A\) - некоторая постоянная. Из этого уравнения выразим измеренное избыточное давление

\[\Delta p = \frac{A}{V} - P_0\tag{2}\]

График зависимости \(\Delta p\) от \(1/V\) показан на рисунке. Во-первых, зависимость линейная; во-вторых по этому графику можно найти, что \(P_0 = 680 \text{Торр}\), что отличается от атмосферного давления. Поэтому это значение будем использовать в дальнейшем.

Вторая возможность проверить выполнение закона Бойля — построить зависимость давления (с учетом найденного значения \(P_0\)) от объема в логарифмическом масштабе (см. рис) Полученная зависимость очень близка к линейной, причем коэффициент наклона практически равен 1. Можно также проверить выполнение условия постоянства произведения \(PV\). Для приведенных данных отклонение этого произведения от среднего значения не превышает \(0{,}5\%\).

«Адиабатный» процесс изучать гораздо сложнее, при быстром нажатии поршня следует внимательно фиксировать значение максимального давление, которое достаточно резко падает. Кроме того, при такой методике измерений, когда необходимо следить за давлением, а только потом измерять объем, начинает сказываться существенная

погрешность шкалы объема. В таблице 2. приведены измеренные значения максимального «адиабатного» давления \(P_1\), установившегося «изотермического» давления \(P_2\) и объема газа.

Таблица 2.

Наиболее очевидный способ проверки уравнений процессов – построение зависимостей \(P(V)\) в логарифмическом масштабе и нахождение коэффициентов наклона графиков (показателей степеней). Однако при таком подходе сказывается указанная неточность измерения объема. Но ведь у нас есть возможность вообще обойтись без измеренных значений объема! Действительно, запишем уравнения процессов:

\[\begin{cases} P_1 V^{\gamma} = const \\ P_2 V = const \end{cases} \Rightarrow P_1 = B P_2^{\gamma}.\tag{3}\]

Откуда следует, что коэффициент наклона графика зависимости \(\ln P_1\) от \(\ln P_2\) также равен показателю степени \(\gamma\). На рисунке показаны графики предложенных зависимостей

Как видно, действительно вторая зависимость имеет заметно меньший разброс точек. Однако найденной значение показателя степени не совпадает с показателем адиабаты. По-видимому, это связано с тем, что процесс не является адиабатным - теплообмен со стенками шприца играет заметную роль.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.