Белорусская, 2013/14, заключительный этап, 11 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Длина стоячей волны при неизменной частоте вибратора пропорциональна скорости волны; зависимости от силы и сечения находят по наклону графика в логарифмическом масштабе, а связь с плотностью — из размерности или из второго закона Ньютона для малого участка нити.

Ответ

1) \(v\propto\sqrt F\); 2) \(v\propto1/\sqrt S\); 3) \(v=\sqrt{F/(\rho S)}\), т. е. \(v\propto1/\sqrt\rho\); 5) частота вращения моторчика уменьшилась на \(\approx15\,\%\) (\(1-\lambda_1/\lambda_2=1-77/91\)).

Решение

1. В натянутой нити, закрепленной с обоих концов, стоячая волна возможна только при определенных частотах. Это связано с тем, что на закрепленных концах нити амплитуда колебаний должна быть равна нулю, то есть концы нити должны быть узлами стоячей волны. Отсюда следует, что на длине нити L должно укладываться целое число n полуволн. \(L = n \frac{\lambda}{2}\)

Перемещая вибратор вдоль нити, при разных нагрузках можно получить стоячую волну на расстоянии \(\lambda\) или \(\lambda/2\) от точки подвеса нити.

\[v = \nu \lambda = A (N F_0)^\alpha, \text{ т. к. частота вибратора } \nu \text{ постоянна, } v \propto \lambda \propto N^\alpha, \text{ где } N - \text{ количество гаек весом } F_0,\]

растягивающих нить.

\[\frac{\lambda}{2} = A' N^\alpha, \quad \ell n \frac{\lambda}{2} = \ell n A' + \alpha \cdot \ell n N\]

Коэффициент наклона графика в логарифмическом масштабе равен \(0{,}5\) – следовательно \(v \propto \sqrt{F}\)

2. Нагрузим нить силой \(6F_0\) и будем получать стоячие волны, изменяя сечение от \(S_0\) до \(8S_0\). Перемещая вибратор вдоль нити, при разных сечениях нити можно получить стоячую волну на расстоянии \(\lambda\) или \(\lambda/2\) от точки подвеса нити. \(v = \nu\lambda = B(NS_0)^\beta\), т. к. частота вибратора \(\nu\) постоянна, \(v \propto \lambda \propto N^\beta\), где N – количество нитей сечением \(S_0\) соединенных параллельно в жгут. \(\frac{\lambda}{2} = B'N^\beta\), \(\ell n\frac{\lambda}{2} = \ell nB' + \beta \cdot \ell nN\)

Коэффициент наклона графика в логарифмическом масштабе равен -0,5, следовательно, \(v \propto \frac{1}{\sqrt{S}}\).

Часть 3.

3. Способ №1. Использование метода размерностей дает зависимость \(v \propto \frac{1}{\sqrt{\rho}}\).

3. Способ №2.

Предположим, что деформации натянутой нити (резинового шнура), связанные с поперечными колебаниями, малы. Следовательно, при малых колебаниях можно пренебречь изменениями величины силы натяжения нити (резинового шнура). Выделим маленький участок нити площадью сечения S в ее амплитудной части массой \(\Delta m\) и длины дуги окружности \(\Delta l = R\Delta\alpha\) радиуса R, распространяющейся со скоростью \(v\) вдоль нити с центростремительным ускорением \(v^2/R\). Тогда для малых деформаций нити можно записать:

\[2 F \frac { \Delta \alpha } { 2 } = \Delta m \frac { v ^ { 2 } } { R } = \rho S R \Delta \alpha \frac { v ^ { 2 } } { R } , \quad v = \sqrt { \frac { F } { \rho S } } \, , \quad v \propto \frac { 1 } { \sqrt { \rho } }\]

4. Учитывая полученные результаты при выполнении пунктов №1, 2, 3, можно записать:

\[v \propto \sqrt { \frac { F } { \rho S } } = \sqrt { \frac { N F _ { 0 } } { \displaystyle { \frac { m } { L S } } S } } = \sqrt { \frac { N F _ { 0 } L } { m } } \propto \sqrt { N L }\]

где \(N\) — количество грузиков весом \(F_0\), деформирующих шнур, \(L\), \(S\), \(m\) — длина, площадь сечения и масса шнура.

При увеличении нагрузки на резиновый шнур меняется его плотность и при этом должна выполняться зависимость: \(v \propto \lambda \propto \sqrt { N L }\)

\[\lambda = D ( N L ) ^ { \varphi } \quad \ell n \lambda = \ell n D + \varphi \cdot \ell n ( N L )\]

Из графика следует, что \(v \propto \frac { 1 } { \sqrt { \rho } }\).

5. Нагрузим нить сечением \(2 S _ { 0 }\) грузом весом \(4 F _ { 0 }\). При этих параметрах шнура образуется стоячая волна \(\lambda _ { 1 } = 77\) см. При тех же параметрах нити, но при уменьшенной с помощью резистора силе тока через электродвигатель, длина стоячей волны равна \(\lambda _ { 2 } = 91\) см.

Так как скорость распространения поперечных колебаний по шнуру не зависит от частоты вибратора (частоты вращения моторчика), то можно записать:

\[\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{\frac{\upsilon }{\nu_1}}{\frac{\upsilon }{\nu_2}} = \frac{\nu_2}{\nu_1}, \quad \frac{\nu_1 - \nu_2}{\nu_1} = 1 - \frac{\nu_2}{\nu_1} = 1 - \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = 1 - \frac{77}{91} = 0{,}15, \quad \frac{\Delta \nu}{\nu} \approx 15\,\%\]

Итак, с помощью имеющегося у вас оборудования можно определять изменение частоты оборотов двигателя.

Назовем такое устройство ТАХО-МАНОМЕТР!

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Изображение через малое отверстие даёт камера-обскура: увеличение равно отношению расстояний «отверстие — экран» и «предмет — отверстие», а разрешающая способность ограничена дифракцией и размером отверстия.