Белорусская, 2013/14, заключительный этап, 9 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Удлинение удобнее строить от числа грузов и находить жёсткость по наклону; при параллельном соединении жёсткости складываются, а при «перпендикулярном» зависимость смещения от нагрузки нелинейна.

Ответ

1.2) закон Гука выполняется, \(k=500/a\) Н/м, где \(a\) — наклон зависимости длины от числа грузов (мм на груз); 2.3) \(k_{1,2}=k_1+k_2\) в пределах погрешности; 3.2) \(z=(k_0-\beta x)x\) (квадратичная зависимость с отрицательным коэффициентом при квадрате).

Решение

Часть 1. Закон Гука.

Результаты измерений зависимости длины первой (\(l_1\)), второй (\(l_2\)) и сдвоенной (\(l_{1{,}2}\)) от числа подвешенных грузов (\(N\)) приведены в таблице. Измерены значения при нагрузке и разгрузке, что показать отсутствие остаточных деформаций. Таблица 1.

Предпочтительнее строить зависимость удлинения от числа подвешенных грузов, потому, что именно в этом случае строго выполняются условия применимости метода наименьших квадратов. Эта линейная зависимость описывается формулой

\[l = an + l_0.\tag{1}\]

По коэффициенту наклона этой зависимости следует найти коэффициент упругости в законе Гука

\[F = k\Delta l\tag{2}\]

Учитывая, что приложенной силой является сила тяжести\(^1\) \(F = mgn = 0{,}5n\) (Н), коэффициент жесткости в системе СИ следует рассчитывать по формуле

\[k = \frac{\Delta F}{\Delta l} = 0{,}5 \frac{\Delta n}{10^{-3} \Delta l} = \frac{500}{a} \left(\frac{H}{\text{м}}\right).\tag{3}\]

\(^1\) Масса одного груза 50 г, поэтому сила тяжести одного груза 0,5 Н.

Результаты расчетов этих коэффициентов приведены в последних строках таблицы 1. Ниже приведены графики полученных зависимостей.

Выводы: 1. Так как полученные зависимости линейны, то закон Гука выполняется. 2. В пределах погрешности выполняется соотношение \(k_{1{,}2} = k_1 + k_2\), что соответствует теоретическим выводам.

Часть 3. «Перпендикулярное соединение» Результаты измерений вертикального смещения \(z\), мм от числа подвешенных грузов приведены в таблице 2.

Таблица 2.

Выводы.

1. Полученная зависимость нелинейная, причем при увеличении числа грузов изменение смещения уменьшается (жесткость возрастает).

2. Можно предложить различные варианты формул, описывающих полученные данные, например квадратичную, с отрицательным коэффициентом при квадрате: Так кривая проходит через начало координат, то квадратичную зависимость можно записать в виде:

\[z = (k_0 - \beta x)x.\]

На рисунке (отмечены ромбами) проведена такая зависимость.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

В момент отрыва магнит находится в равновесии под действием силы тяжести, силы натяжения подвеса и силы притяжения шайбы — из условия моментов выразите \(F/mg\) через \(x_0\), \(x_1\), \(h\); период маятника с магнитом даёт \(F/mg\) независимо.

Ответ

1.2) \(\dfrac{F}{mg}=\dfrac{x_0\,r}{L\,h}\), \(r=\sqrt{h^2+(x_1-x_0)^2}\), сила убывает примерно как \(r^{-6}\); 2.2) \(\dfrac{F}{mg}=\dfrac{T_0^2}{T^2}-1\), зависимость близка к \(r^{-5}\).

Решение

Часть 1. Точка отрыва.

Рассмотрим условия равновесия подвешенного магнита. Так сумма моментов сил, действующих на магнит, равна нулю, то должно выполняться условие:

\[mg \sin \alpha = F \sin(\beta - \alpha).\tag{1}\]

Так как длина подвеса \(L\) значительно больше высоты \(h\), то угол отклонения маятника \(\alpha\) мал. Поэтому

\[\sin \alpha \approx \frac{x_0}{L}, \quad \sin(\beta - \alpha) \approx \sin \beta = \frac{h}{r},\]

Где \(r = \sqrt{h^2 + (x_1 - x_0)^2}\) - расстояние между центрами магнита и кольца. С учетом этих приближений, из формулы (1) выразим

\[\frac{F}{mg} = \frac{x_0 r}{Lh}.\tag{2}\]

В таблице 1 приведены результаты измерений и необходимых расчетов. Таблица 1.

На рисунке представлен график полученной зависимости.

Ниже показан график зависимости силы притяжения магнита и кольца от расстояния между ними.

Интересно отметить, что эта зависимость хорошо описывается степенной зависимостью, причем сила обратно пропорциональная шестой степени расстояния.

Часть 2. Колебания.

Формулу для периода колебаний математического маятника с учетом постоянной силы магнитного притяжения можно преобразовать к виду

\[T = 2\pi \sqrt{\frac{ml}{mg + F}}.\tag{3}\]

Из этой формулы выразим силу взаимодействия

\[mg + F = \frac{4\pi^{2}ml}{T^{2}}.\tag{4}\]

Запишем аналогичное выражение для колебаний без магнитного взаимодействия

\[mg = \frac{4\pi^{2}ml}{T_{0}^{2}}.\tag{5}\]

Из этих формул легко получить формулу для расчета силы взаимодействия по измеренным значениям периода колебаний.

\[\frac{F}{mg} = \frac{T_{0}^{2}}{T^{2}} - 1.\tag{6}\]

В таблице 2. приведены результаты измерений периодов колебаний при различных расстояниях между магнитом и плитой. Рядом показан график полученной зависимости.

Таблица 2.

Также в таблице приведены результаты расчетов силы взаимодействия по формуле (6). Ниже показан график зависимости силы притяжения от расстояния. В данном случае зависимость близка к \(r^{-5}\)

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.