Белорусская, 2014/15, заключительный этап, 10 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Показания термометра устанавливаются не мгновенно; охлаждение в воздухе описывается законом, где скорость изменения температуры пропорциональна её разности с воздухом, пока это справедливо.

Ответ

1.3) прямая пропорциональность мощности теплоотдачи разности температур наблюдается при \(\Delta t_{\text{т/ср}}=0\div8\,^\circ\)C;  2.1) при погружении глубже 4 см электронный термометр показывает на \(1\div2\,^\circ\)C больше спиртового;  3.1) погружать не менее чем на 4 см и ждать около 50 с.

Решение

1.1. Зависимость показаний электронного термометра от времени при нагреве. Глубина погружения термометра в воду \(h=11\text{см}\).

График зависимости показания электронного термометра от времени при измерении температуры тёплой воды \(t_{\text{э}}(\tau)\).

1.2. Зависимость показаний электронного термометра от времени при охлаждении термометра в воздухе до околокомнатной температуры \(t_{\text{э}}(\tau)\).

График зависимости показаний электронного термометра от времени при охлаждении термометра в воздухе до околокомнатной температуры \(t_{\text{э}}(\tau)\).

1.3. Мощность теплоотдачи термометра с одной стороны можно определить

\[P = -\frac{Q_{21}}{\Delta\tau_{21}} = -\frac{C\Delta t_{21}}{\Delta\tau_{21}}\tag{1}\]

Где \(Q_{21}\) – количество теплоты, отдаваемое электронным термометром за промежуток времени между двумя «соседними» показаниями, \(C\) – теплоёмкость термометра, \(\Delta t_{21}\) – разность двух «соседних» показаний термометра,

\(\Delta \tau_{21} = \tau_2 - \tau_1\) – промежуток времени между двумя «соседними» показаниями термометра.

С другой стороны при охлаждении тела мощность теплоотдачи прямо пропорциональна разности температур тела и окружающей среды \(\Delta t_{\text{т/ср}}\)

\[P = -\beta \Delta t_{\text{т/ср}} .\tag{2}\]

Где \(\beta\) – коэффициент теплоотдачи.

Приравнивая правые части (1) и (2) получим:

\[\frac{\Delta t_{21}}{\Delta \tau_{21}} = \frac{\beta}{C} \Delta t_{\text{т/ср}} .\tag{3}\]

То есть \(\frac{\Delta t_{21}}{\Delta \tau_{21}}\) прямо пропорциональна \(\Delta t_{\text{т/ср}}\).

Построив график зависимости \(\frac{\Delta t_{21}}{\Delta \tau_{21}} (\Delta t_{\text{т/ср}})\), определим интервалы температур, в которых мощность теплоотдачи электронного термометра при охлаждении пропорциональна разности показаний электронного термометра и температуры окружающей среды.

Разность температур термометра и окружающего воздуха определим как

\[\Delta t_{\text{т/ср}} = \frac{t_2 + t_1}{2} - t_{\text{ср}} .\tag{4}\]

Отношение \(\frac{\Delta t_{21}}{\Delta \tau_{21}}\) определим

\[\frac{\Delta t_{21}}{\Delta \tau_{21}} = \frac{t_1 - t_2}{\tau_2 - \tau_1} .\tag{5}\]

Перед экспериментом термометр был погружен в теплую воду на \(h=7{,}5\) см и на нём установились показания \(41{,}6^\circ\)С. Температура окружающего воздуха во время эксперимента \(t_{\text{ср}}=23{,}0^\circ\)С.

Данный график имеет излом в области разности показаний термометра и температуры окружающего воздуха \(6-8\) \(^\circ\)С. Это свидетельствует о том, что коэффициент теплоотдачи термометра не остаётся постоянным в процессе его охлаждения. Прямая

пропорциональность мощности теплоотдачи электронного термометра разности его показаний и температуры окружающей среды наблюдается лишь при \(\Delta t_{\text{т/ср}} = 0 \div 8{,}^\circ\text{C}\).

2.1. Исследование зависимости разности окончательных показаний электронного и спиртового термометров при измерении температуры тёплой воды от глубины погружения электронного термометра.

При погружении термометров жидкость на глубину более 4 см электронный термометр показывает значения температуры на \(1 - 2{,}^\circ\text{С}\) больше чем спиртовой термометр. При погружении «носика» термометра в верхний слой жидкости и электронный и спиртовой термометры показывают значения температуры меньше чем в центре жидкости, однако у электронного термометра эти различия гораздо существеннее и наблюдаются в значительно большей толщине верхнего слоя.

3.1. При использовании электронного термометра необходимо принимать во внимание следующее:

при измерении температуры жидкости термометр должен погружаться на глубину не менее 4 см;

время ожидания для установления показаний термометра должно составлять порядка 50 с.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Скорость каждой капли находите из равенства силы Стокса и разности силы тяжести и архимедовой силы, а отношение объёмов — из отношения времён отрыва капель.

Ответ

1.2) \(V_1/V_2\approx1{,}2\);  1.3) \(\eta_1/\eta_2\approx1{,}6\);  2.1) граница движется равномерно, \(v\approx0{,}17\) см/с.

Решение

1.1 Результаты измерений времен отрыва последовательно образующихся капель \(t_1(k)\) растворителя в воде и \(t_2(k)\) - воды в растворителе приведены в Таблице 1. Рядом приведены графики полученных зависимостей.

Таблица 1.

1.2 Из полученных зависимостей следует, что среднее время образования капли растворителя (поднимающегося вверх) равно \(\tau_1 = 0{,}50\)с, а среднее время образования капли воды (опускающейся вниз) равно \(\tau_2 = 0{,}42\)с. Так как объемы перетекающих жидкостей в единицу времени одинаковы, то отношение объемов капель равно отношению времен их образования

\[\frac{V_1}{V_2} = \frac{\tau_1}{\tau_2} \approx 1{,}2\tag{1}\]

1.3 Отношение вязкостей жидкости можно найти по отношению скоростей их движения. Для каждой капли при ее равномерном движении справедливо уравнение

\[6\pi\eta R v = \vert mg - F_A\vert = \frac{4}{3}\pi R^3 (\rho_1 - \rho_2)g\tag{2}\]

Из этого выражения следует, что отношение вязкостей может быть рассчитано по формуле

\[\frac{\eta_1}{\eta_2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2 \frac{v_2}{v_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\frac{2}{3}} \frac{v_2}{v_1}\tag{3}\]

Таким образом, для определения отношения вязкостей необходимо измерить скорости движения капель. В результате измерений получены значения \(v_1 \approx 13{,}6 \frac{\text{см}}{c}\), \(v_2 \approx 9{,}8 \frac{\text{см}}{c}\). Следовательно, отношение вязкостей жидкостей (растворителя к воде) равно

\[\frac{\eta_1}{\eta_2} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\frac{2}{3}} \frac{v_2}{v_1} = (1{,}2)^{\frac{2}{3}} \frac{13{,}6}{9{,}8} \approx 1{,}6\tag{4}\]

Часть 2. Движение границы.

2.1 Результаты измерения зависимости координаты границы \(x\) от времени \(t\) приведены в таблице 2. Рядом приведен график закона движения границы \(x(t)\)

Таблица 2.

Полученные данные однозначно свидетельствуют, что граница движется равномерно, со скоростью примерно равной \(v = 0{,}17 \frac{\text{см}}{\text{с}}\).

2.2 Полученные данные, на первый взгляд противоречат формуле Пуазейля, из которой следует, что скорость перетекания жидкости должна зависеть от разности давлений на концах трубки. Однако при движении жидкости формула для гидростатического давления оказывается не применимой, так как устанавливается новое распределение давлений, обеспечивающих равенство перетекающих потоков жидкости. На рисунке приведены значения на разных уровнях внутри пробирки. Учтено, что разность давлений на концах трубок определяется формулой Пуазейля.

\[q = \frac{\pi r^4}{8 \eta l} \Delta P \quad \Rightarrow \quad \Delta P = C \eta q\tag{5}\]

Где \(C\) - постоянная величина, зависящая только от геометрических размеров трубок.

Приравнивая два выражения для давления на нижнем срезе нижней трубки, получим \(P_0 + \rho_1 g l - C \eta_1 q = P_0 + C \eta_2 q + \rho_2 g l\), Откуда следует формула для расхода жидкостей

\[q = \frac{\rho_1 - \rho_2}{c(\eta_1 - \eta_2)} g l .\tag{6}\]

Таким образом, показано, что расход жидкости и, следовательно, скорость движения границы постоянны и не зависят от давления в верхней части верхней пробирки.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.