Белорусская, 2014/15, заключительный этап, 9 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Массу нити заменяют точечными грузами: для каждого положения равновесия узлы нити образуют треугольники, где работает теорема Пифагора, а условия равновесия гаек записываются как равенство проекций сил.

Ответ

1.3) \(z_2=\sqrt{\left(\dfrac L3\right)^2-\dfrac14\left(l-\dfrac L3\right)^2}\);  2.2) условие равновесия: \(\dfrac{z_1}{x_1}-\dfrac{z_2}{x_2}=2\,\dfrac{z_2-z_1}{l-x_1-x_2}\).

Решение

Часть 1. Прогиб.

1.1-1.3 Результаты измерений указанных величин прогиба \(z_0\), \(z_1\), \(z_2\) в зависимости от расстояния между точками подвеса \(l\) приведены в Таблице 1. Полная длина нити в этих измерениях равнялась \(L = 300\)мм

Таблица 1.

Графики полученных зависимостей показаны на рисунке.

Как ни странно на первый взгляд зависимость прогиба с одной гайкой лежит ближе к зависимости прогиба нити без грузов. Хотя при малых прогибах более точное приближение дает модель с двумя грузами.

Теоретическая зависимость \(z_2(l)\) находится с помощью теоремы Пифагора

\[z_2 = \sqrt{\left(\frac{L}{3}\right)^2 - \frac{1}{4}\left(l - \frac{L}{3}\right)^2}\tag{1}\]

Результаты расчетов по этой формуле приведены в последнем столбце Таблицы 1.

На следующем рисунке показано сравнение теоретической (сплошная линия) и экспериментальных (ромбики) зависимостей (от учеников не требуется!). Видно хорошее соответствие между этими зависимостями. Таким образом, теорема Пифагора доказана экспериментально!

Часть 2. Положение равновесия.

Результаты измерений параметров нити приведены в таблице 2.

Таблица 2.

Графики эти зависимостей показаны на рисунке.

Проверку выполнения условий равновесия можно проводить различными способами. Условия равновесия гаек имеют вид

\[\begin{aligned} T_1 \cos \alpha_1 - T_2 \cos \alpha_2 &= mg \\ T_3 \cos \alpha_3 + T_2 \cos \alpha_2 &= mg \\ T_1 \sin \alpha_1 &= T_2 \sin \alpha_2 \\ T_3 \sin \alpha_3 &= T_2 \sin \alpha_2 \end{aligned}\tag{2}\]

Из двух последних равенств выразим

\[T_1 = T_2 \frac{\sin \alpha_2}{\sin \alpha_1}, \quad T_3 = T_2 \frac{\sin \alpha_2}{\sin \alpha_3}\]

И подставим в выражение (которое следует из первых двух уравнений системы(2))

\[T_1 \cos \alpha_1 - T_2 \cos \alpha_2 = T_3 \cos \alpha_3 + T_2 \cos \alpha_2\]

В результате получим формулу

\[\frac{\cos \alpha_1}{\sin \alpha_1} - \frac{\cos \alpha_3}{\sin \alpha_3} = 2 \frac{\cos \alpha_2}{\sin \alpha_2},\tag{3}\]

Которая допускает простую экспериментальную проверку, если ее представить в виде

\[\frac{z_1}{x_1} - \frac{z_2}{x_2} = 2 \frac{z_2 - z_1}{l - x_1 - x_2}.\tag{4}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Резьба винта подобна наклонной плоскости, свёрнутой в спираль: без трения выигрыш в силе равен отношению длины окружности, на которую наматывается нить, к шагу резьбы.

Ответ

1.1) \(K=\dfrac{\pi D}{h}\approx20\);  2.4) \(\mu\approx0{,}25\);  2.5) \(\eta\approx0{,}20\).

Решение

Часть 1. Почти теоретическая.

За один оборот винта нить размотается на величину \(L = \pi D\) (где \(D = 5{,}0\,\text{мм}\)), при этом груз поднимется на высоту, равную шагу винта \(h = 0{,}8\,\text{мм}\). Используя «золотое правило механики», запишем

\[F \cdot \pi D = mg \cdot h\tag{1}\]

Из этого выражение следует, что максимально возможный выигрыш в силе равен

\[K = \frac{mg}{F} = \frac{\pi D}{h} \approx 20\tag{2}\]

Часть 2. Почти экспериментальная.

Результаты измерений зависимости сил (\(F_1\) - при подъеме, \(F_2\) - при опускании) от массы подвешенного груза приведены в таблице 1.

Таблица 1.

Графики полученных зависимостей показаны на рисунке.

Полученные зависимости являются практически линейными, но мало отличающимися друг от друга, что свидетельствует о существенной роли силы трения между болтом и гайкой.

Для расчета коэффициента трения необходимо провести теоретическое описание процесса подъема и опускания. Движение резьбы болта по резьбе гайки подобно движению груза по наклонной плоскости. Из рисунка следует, что действующие на болт (при его подъеме) силы равны \(N = mg \cos \alpha + F \sin \alpha\) \(F_{\text{тр}} = \mu (mg \cos \alpha + F \sin \alpha)\) При равномерном движении должно выполняться равенство сил, которое в проекции на горизонтальную ось имеет вид

\[F = F_{\text{тр}} \cos \alpha + N \sin \alpha = \mu (mg \cos \alpha + F \sin \alpha) \cos \alpha + (mg \cos \alpha + F \sin \alpha) \sin \alpha.\tag{3}\]

Учитывая, что угол \(\alpha \approx \frac{h}{\pi D} \approx 0{,}05\) мал, решение уравнения (3) можно записать в приближенном виде

\[F_1 = \mu (mg + mg \sin \alpha)\tag{4}\]

Аналогичное рассмотрение сил при опускании груза приводит к формуле

\[F_2 = \mu (mg - mg \sin \alpha)\tag{5}\]

Для определения коэффициента трения можно построить зависимость полусуммы сил от массы подвешенного груза

\[\frac{F_1 + F_2}{2} = \mu mg\tag{6}\]

График этой зависимости показан на рисунке. Коэффициент наклона графика равен \(a \approx 2{,}5 \cdot 10^{-3} \frac{H}{\text{г}} = 2{,}5 \frac{H}{\text{кг}}\). Из формулы (6) следует, что его теоретическое значение равно \(\mu g\), поэтому значение коэффициента трения оказывается равным

\[\mu g = a \quad \Rightarrow \quad \mu = \frac{a}{g} \approx 0{,}25\]

КПД данного устройства разумно определить, как отношение работу по подъему груза за один оборот винта \(A_{\text{пол}} = mgh\) к совершенной работе \(A_0 = \pi D F_1\)

\[\eta = \frac{A_{\text{пол}}}{A_0} = \frac{mgh}{\pi D F_1}.\tag{7}\]

Нами построен график зависимости \(F_1(m)\). Его коэффициент наклона равен \(a_1 \approx 2{,}6 \cdot 10^{-3} \frac{H}{\text{г}} = 2{,}6 \frac{H}{\text{кг}}\). Следовательно, среднее значение КПД подъемного механизма равно

\[\eta = \frac{A_{\text{пол}}}{A_0} = \frac{gh}{\pi D} \frac{1}{a_1} \approx 0{,}20\tag{8}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.