Белорусская, 2015/16, заключительный этап, 9 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Сравните графики \(x(t)\) и \(x(t^2)\) и среднюю скорость \(x/t\) от времени: прямая на каком графике подтверждает какую модель; учтите, как меняется масса висящей нити.

Ответ

1.2) движение близко к равноускоренному (\(x(t^2)\) почти линейна); 2.2) движение близко к равномерному (скорость лишь слегка растёт); 3.2) движение практически равномерное.

Решение

Предисловие.

Данная задача является чисто экспериментальной, потому, что дать строгое теоретическое описание крайне затруднительно. Это связано с наличием целого ряда трудно учитываемых факторов. 1. Масса нити в данной работе сравнима с массой подвешиваемых грузов. Следовательно, при ее движении изменяются соотношения масс нитей, висящих с разных сторон от блока. 2. Трение нити о блок играет существенную роль. Причем в данном случае результирующую силу трения нельзя считать постоянной, она может зависеть от скорости. Не говоря уже о том, что даже в простейшем случае изменение силы натяжения нити на блоке описывается формулой Эйлера, содержащей «страшную экспоненту» 3. Не известны свойства самой нити – ее упругость, растяжимость, шероховатость и т.д. Иными словами начало условия задачи можно сформулировать так: «Весомая, растяжимая, с изменяющимся коэффициентом трения нить переброшена через неподвижный блок. Трение и сопротивление воздуха учитывать...!»

Часть 1. Просто цепочка. В этой части работы к обоим концам нити прикрепляются скрепки, которые приводят нить в движение. Результаты измерений времен движения приведены в Таблице 1. Таблица 1.

На рисунке 1 приведен график полученного экспериментального закона движения.

Ромбами отмечены пределы статистической погрешности измерения времен движения (от участников олимпиады не требуется). По внешнему виду полученная зависимость похожа на квадратичную, описывающую закон равноускоренного движения:

\[x = \frac{at^2}{2}\tag{1}\]

Однако, внешний вид не является серьезным аргументом в физической дискуссии. Поэтому требуется дальнейший анализ полученной зависимости. основной способ проверки заключается в линеаризации этой зависимости, которая может быть проведена различными способами. Простейший из них – построить зависимость координаты от квадрата времени \(x(t^2)\) - рисунок 2.

Эта зависимость близка к линейной, что подтверждает (?) применимость формулы (1) к описанию полученного закона движения. Однако, проведенная линеаризация не применима если движение является равноускоренным. но с некоторой начальной скоростью

\[x = v_0 t + \frac{at^2}{2}\tag{2}\]

В этом случае можно исследовать следующую линеаризующую зависимость \(\frac{x}{t} = F(t)\) - зависимость средней скорости (с начала движения) от времени.

\[\frac{x}{t} = v_0 + \frac{at}{2}\tag{3}\]

Но и эта линеаризация «работает» не всегда. Если в начальный момент времени координата отлична от нуля, то следует ее исключить, посредством перехода к новым переменным

\[\frac{x - x_0}{t - t_0} = v_0 + \frac{a(t - t_0)}{2}.\tag{4}\]

Теоретически эта линеаризация при анализе равноускоренного движения является оптимальной. Но при анализе реальных экспериментальных данных (при наличии неизбежных погрешностей измерений) она может приводить к большим ошибкам, главным

образом из-за погрешностей измерения величины \(t_0\). Поэтому в дальнейшем мы ограничимся анализом с помощью формулы (3).

На рисунке 3 приведены результаты обработки по формулам (3 – отмечены кружками) и (4 – отмечены ромбами)

В целом можно сказать, что эти зависимости также подтверждают вывод о равноускоренном характере движения в данном случае.

Задание 2. Полузамкнутая цепочка.

В этой части задания длинный кусок нити лежит на полу и постепенно поднимается в процессе движения. Результаты измерений зависимостей времён движения от величины смещения приведены в таблице 2 и на графике рис. 4.

Таблица 2.

В этом случае график закона движения близок к прямой линии, что «намекает» на то, что движение является равномерным. Однако график зависимости средней скорости от времени, данные для которого рассчитаны по формуле (3), показывает, что и в этом случае скорость незначительно возрастает (рис. 5). Возможно, эти изменения лежат в пределах погрешности (но их рассчитывать запрещено), но тенденция к возрастанию скорости есть! Тем не менее, в данном случае модель равномерного движения вполне применима.

Качественно объяснить полученную зависимость можно следующим образом. При движении часть нити приподнимается (увеличивается потенциальная энергия) и разгоняется (увеличивается кинетическая энергия), на что затрачивается энергия опускающихся скрепок. Так как эти изменения зависят от скорости, то возможно установление постоянной скорости установившегося движения.

Задание 3. Замкнутая цепочка.

В данной части нить «зациклена», поэтому суммарная масса висящей нити остаётся постоянной, причём с разных сторон блока массы нитей остаются постоянными. Результаты измерений, аналогичных проведённым в предыдущих частях задания, приведены в таблице 3 и на графике рис. 6.

Таблица 3.

Полученная зависимость очень близка к линейной, что говорит о том, что и в данном случае движение близко к равномерному. Этот же вывод подтверждает и уже традиционная линеаризация (рис. 7): средняя скорость остаётся постоянной. Объяснение подобного неожиданного результата требует дальнейших исследований.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Мощность теплоотдачи пропорциональна разности температур системы и воздуха; наклон линеаризованного графика даёт отношение теплоёмкости к коэффициенту теплоотдачи, а коэффициент одинаков для обеих систем.

Ответ

5) \(C_1=724\text{ Дж/}^\circ\text{C}\); 6) \(\beta=0{,}318\text{ Дж/(с}\cdot{}^\circ\text{C)}\); 7) \(C_2=693\text{ Дж/}^\circ\text{C}\); 9) стержень из сплава алюминия.

Решение

1. и 2. Зависимость температуры системы 1 (мензурка, заполненная водой) и системы 2 (мензурка, с помещённым в неё металлическим стержнем, заполненная водой) от времени при охлаждении.

3. и 4. Приравнивая правые части (1) и (2) получим:

\[\frac{\Delta t_{12}}{\Delta \tau_{21}} = \frac{\beta}{C} \Delta t_{\text{сист}\ \text{ср}}\tag{3}\]

То есть \(\frac{\Delta t_{12}}{\Delta \tau_{21}}\) прямо пропорциональна \(\Delta t_{\text{сист}\ \text{ср}}\). Построив график зависимости \(\frac{\Delta t_{12}}{\Delta \tau_{21}} \left( \Delta t_{\text{сист}\ \text{ср}} \right)\), определим интервалы температур, в которых мощность теплоотдачи систем тел при охлаждении прямо пропорциональна разности температур систем тел и температуры окружающей среды. Разность температур систем тел и окружающей среды (воздуха) определим как

\[\Delta t_{\text{сист}\ \text{ср}} = \frac{t_2 + t_1}{2} - t_{\text{ср}}\tag{4}\]

Отношение \(\frac{\Delta t_{12}}{\Delta \tau_{21}}\) определим

\[\frac{\Delta t_{12}}{\Delta \tau_{21}} = \frac{t_1 - t_2}{\tau_2 - \tau_1}\tag{5}\]

Температура окружающего воздуха во время эксперимента \(t_{\text{ср}}\approx19\,^\circ\text{C}\) (значение в оригинале дано только на рисунке; здесь оно восстановлено по таблице).

Для удобства вычислений построим графики зависимости \(\Delta t_{\text{сист}\ \text{ср}} \left( \frac{\Delta t_{12}}{\Delta \tau_{21}} \right)\) для обеих систем.

График 1. Зависимость \(\frac{\Delta t_{\text{сист}}}{\text{ср}} \left( \frac{\Delta t_{12}}{\Delta \tau_{21}} \right)\) для системы 1.

График 2. Зависимость \(\frac{\Delta t_{\text{сист}}}{\text{ср}} \left( \frac{\Delta t_{12}}{\Delta \tau_{21}} \right)\) для системы 2.

Графики подтверждают, что зависимость \(\frac{\Delta t_{\text{сист}}}{\text{ср}} \left( \frac{\Delta t_{12}}{\Delta \tau_{21}} \right)\) для обеих систем прямо пропорциональная, следовательно, для обеих систем выполняется уравнение (2).

5. Для определения теплоёмкости системы 1. необходимо определить массу воды в мензурке и массу мензурки. Массу мензурки определяем взвешиванием на весах:

Массу воды определим через произведение объёма на плотность. Объём воды определим с помощью большей мензурки:

\(V_{\text{В1}} = (160 \pm 1) \text{см}^3\). \(m_{\text{В1}} = V_{\text{В1}} \cdot \rho_{\text{В}} = 160 \text{см}^3 \cdot 0{,}992 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 159 \text{г}\).

Теплоёмкость системы 1 найдём как сумму теплоёмкости мензурки и содержащейся в ней воды:

\[C_1 = 840 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 0{,}0722 \text{кг} + 4170 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 0{,}159 \text{кг} = 724 \frac{\text{Дж}}{\text{°C}}.\]

6. Приведём уравнение (3) к виду:

\[\Delta t_{\text{сист}} = \frac{C}{\beta} \left( \frac{\Delta t_{12}}{\Delta \tau_{21}} \right) .\tag{7}\]

Тогда \(\frac{C_1}{\beta} = k_1\) – тангенс угла наклона графика 1 к горизонтальной оси. Из графика находим, что \(k_1 = 2280 \text{с}\). Единица измерения коэффициента \(\frac{C}{\beta}\) – секунда. Данный коэффициент равен характерному времени, за которое система охлаждается до температуры окружающей среды.

\[\beta = \frac{C_1}{k_1} = \frac{724 \frac{\text{Дж}}{\text{°C}}}{2280 \text{с}} = 0{,}318 \frac{\text{Дж}}{\text{с} \cdot \text{°C}} .\tag{8}\]

7. Для определения теплоёмкости системы 2 определим тангенс угла наклона графика 2 к горизонтальной оси (\(k_2\)). \(k_2 = 2180 \text{с}\). Теплоёмкость системы 2 определим как

\[C_2 = \beta \cdot k_2 = 0{,}318 \frac{\text{Дж}}{\text{с} \cdot \text{°C}} \cdot 2180 \text{с} = 693 \frac{\text{Дж}}{\text{°C}} .\tag{9}\]

8. Найдём теплоёмкость воды, находившейся в системе 2. Объём воды в системе 2 будет меньше чем в системе 1 на объём металлического стержня. Объём стержня находим с помощью большей мензурки: Тогда

\[m_{\text{в2}} = V_{\text{в2}} \cdot \rho_{\text{в}} = 144 \text{см}^3 \cdot 0{,}992 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 143 \text{г} .\tag{11}\]

Теплоёмкость стержня найдём как: Удельную теплоёмкость определим как: Массу стержня определим взвешиванием Удельная теплоёмкость металлического стержня: 9. Сравнивая полученное значение удельной теплоёмкости металлического стержня со справочными данными можно утверждать, что стержень изготовлен из сплава алюминия. То, что стержень изготовлен из сплавов алюминия, можно дополнительно убедиться, определив его плотность. Несоответствие результата интервалу справочных значений можно объяснить следующими факторами: – погрешностью измерений, которые, к радости для участников олимпиады, здесь не вычислялись. – пренебрежением теплоёмкостью термометра, и то, что при вычислениях не учитывалась масса вытесняемой им воды. – не учитывалось то, что температура стеклянного стакана мензурки, при охлаждении систем, не будет равна температуре воды, которую показывает термометр. – возможно в справочных материалах, из которых авторы задачи брали информацию об удельных теплоёмкостях металлов, не было значения удельной теплоёмкости того сплава, из которого сделан стержень, предоставленный участникам олимпиады.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.