Белорусская, 2016/17, заключительный этап, 10 класс, теоретический тур

Подсказка

1.1: сила трения складывается из сил на двух поверхностях бруска, а нормальная сила от доски находится из моментов. 1.2: сопротивление трубы \(\propto 1/r^4\), при последовательном соединении складываются сопротивления; сила на поршне линейно убывает по мере выталкивания.

Ответ

1.1) \(F=\mu\left(Mg\dfrac{l}{x}+mg\right)\), \(A\approx1{,}5\mu Mgl+\mu mgl\) (точнее, \(\mu Mgl\ln4+\mu mgl\)); 1.2.1) \(q_1=16q_0\), для составной трубки \(q=\dfrac{16}{17}q_0\); 1.2.2) \(A=4\pi^3\eta v\,l^2\) (см. комментарий в решении).

Решение

Задача 1.1

Понятно, что для того чтобы вытянуть брусок, к нему следует прикладывать горизонтальную силу немного превышающую сумму сил трения, действующих на брусок

\[F = \mu(N_1 + N_0).\tag{1}\]

Все обозначения стандартные, вертикальные силы показаны на рисунке. Из условия равновесия доски следует уравнение моментов

\[N_1 x = Mg \frac{l}{2} \quad \Rightarrow \quad N_1 = \frac{Mg}{2} \frac{l}{x}\tag{2}\]

Так как брусок в вертикальном направлении не движется, то справедливо выражение

\[N_0 = mg + N_1\tag{3}\]

Таким образом, необходимая минимальная горизонтальная сила должна быть равна

\[F = \mu(N_1 + N_0) = \mu \left( Mg \frac{l}{x} + mg \right).\tag{4}\]

График этой функции показа на рисунке

Работа численно равна площади под графиком данной функции. Строгое вычисление этой площади сводится к интегралу и оказывается равным:

\[A = \mu Mgl \ln 4 + \mu mgl.\tag{5}\]

Здесь \(\ln 4 \approx 1{,}4\) Однако вычисление интегралов выходит за рамки школьной программы. Поэтому для оценки эту площадь можно подсчитать численно. Такой расчет по 4 точкам (с шагом \(0{,}25\)) дает выражение

\[A = 1{,}5 \mu Mgl + \mu mgl.\tag{6}\]

Задача 1.2

1.2.1 С помощью формулы Пуазейля находим

\[q_{1}=\frac{(2 r)^{4} \Delta P}{8 \pi \eta l}=16 \frac{r^{4} \Delta P}{8 \pi \eta l}=16 q_{0} .\tag{1}\]

При соединении двух трубок необходимо учесть, что давления на концах трубок перераспределяться так, чтобы расходы газов через них были одинаковы. Обозначим разности давлений концах трубок \(\Delta P_{0}, \Delta P_{1}\). Для расходов газов из уравнения Пуазейля можно записать

\[\begin{aligned} & q=g \Delta P_{0} \\ & q=16 g \Delta P_{1} . \\ & q_{0}=g \Delta P \end{aligned}\tag{2}\]

Где \(g\) - некоторая постоянная величина, \(q\) - искомый расход через составную трубку. Кроме того

\[\Delta P_{0}+\Delta P_{1}=\Delta P .\tag{3}\]

Из этих уравнений находим

\[\frac{q}{g}+\frac{q}{16 g}=\Delta P \quad \Rightarrow \quad q=\frac{16}{17} g \Delta P=\frac{16}{17} q_{0}\tag{4}\]

1.2.2 Так как труба тонкостенная и хорошо проводит тепло, а скорость движения поршня мала, то процесс можно считать изотермическим и равновесным. Т.е. при любом положении поршня распределение давления газа соответствует равновесному движению газа. В этом случае формула Пуазейля применима при любом положении поршня. Обозначим расстояние от конца трубы до поршня \(x\), а избыточное (над атмосферным) давление вблизи поршня \(p\).

Расход газа при движении поршня со скоростью \(v\) равен

\[q=v S .\tag{5}\]

Где \(S\) - площадь поперечного сечения трубы Из формулы Пуазейля можно найти, какое избыточное давление может обеспечить такой расход и какую силу следует прикладывать к поршню:

\[q=v S=\frac{r^{4} p}{8 \pi \eta(l-x)} \quad \Rightarrow \quad p=\frac{8 \pi \eta S v}{r^{4}}(l-x) \quad \Rightarrow \quad F=p S=\frac{8 \pi \eta S^{2} v}{r^{4}}(l-x)=\frac{8 \pi^{3} \eta v}{r^{4}}(l-x)\]

Так как сила изменяется по линейному закону от максимального до нулевого значения, то при вычислении работы можно взять ее среднее значение \(\langle F\rangle=\frac{1}{2} F_{\max }\). Тогда работа по выталкиванию воздуха из трубы будет равна

\[A=\langle F\rangle l=\frac{4 \pi^{3} \eta v}{r^{4}} l^{2} .\tag{6}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Сила между пластинами — это заряд одной пластины на поле другой (половина поля конденсатора); при подключённом источнике считайте работу источника отдельной статьёй энергобаланса, а силу на диэлектрик найдите из изменения полной энергии при малом смещении.

Ответ

0) \(C_0=\dfrac{\varepsilon_0a^2}{h}\); 1.1) \(F=\dfrac{\varepsilon_0a^2U_0^2}{2h^2}\), от расстояния не зависит; 1.2) \(A=\dfrac{C_0U_0^2}{2}\); 1.3) \(\Delta W=\dfrac{C_0U_0^2}{2}\); 2.1) \(F=\dfrac{\varepsilon_0a^2U_0^2}{2x^2}\); 2.2) \(A=\dfrac{C_0U_0^2}{4}\); 2.3) \(\Delta W=-\dfrac{C_0U_0^2}{4}\) (разность уходит в источник: \(\Delta W_{\text{ист}}=\dfrac{C_0U_0^2}{2}\)); 3.1) \(F=\dfrac{\varepsilon_0a(\varepsilon-1)U_0^2}{2h}\), от смещения не зависит.

Решение

0. Емкость конденсатора определяется по известной формуле

\[C_0 = \frac{\varepsilon_0 a^2}{h}.\tag{1}\]

Часть 1.

1.1 Напряженность электрического поля внутри конденсатора выражается через разность потенциалов на его обкладках

\[E = \frac{U_0}{h}.\tag{2}\]

И остается постоянной при смещении пластин, так заряды на пластинах остаются неизменными. Эту же напряженность можно выразить через поверхностную плотность зарядов \(\sigma\) на пластинах

\[E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}.\tag{3}\]

Из этих выражений следует, что

\[\sigma = \varepsilon_0 E = \varepsilon_0 \frac{U_0}{h}.\tag{4}\]

Следовательно, сила притяжения пластин (и равная ей сила, с которой надо раздвигать пластины) равна

\[F = \sigma S E' = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 a^2 = \frac{1}{2} \varepsilon_0 \left( \frac{U_0}{h} \right)^2 a^2\tag{5}\]

Здесь учтено, что поле между пластинами создается зарядами на обеих пластинах, а при вычислении силы, действующей на одну из них, следует учитывать поле, создаваемое зарядами на другой. Напряженность этого поля \(E'\), очевидно в два раза меньше, чем \(E\). Эту формулу можно записать сразу, если знать, что давление электрического поля на проводник равно плотности энергии электрического поля. Эта сила не зависит от расстояния между пластинами.

1.2 Работа по перемещению пластины на расстояние \(h\) в этом случае равна

\[A = Fh = \frac{1}{2} \varepsilon_0 \left( \frac{U_0}{h} \right)^2 a^2 h = \frac{\varepsilon_0 a^2 U_0^2}{2h} = \frac{C_0 U_0^2}{2}.\tag{6}\]

1.3 Так как в данном случае постоянным остается заряд на пластинах, то изменение энергии конденсатора можно рассчитать по формуле

\[\Delta W = \frac{q^2}{2C} - \frac{q^2}{2C_0}\tag{7}\]

где \(C = \frac{C_0}{2}\) - емкость конденсатора после увеличения расстояния между пластинами в 2 раза. Следовательно,

\[\Delta W = \frac{q^2}{2C} - \frac{q^2}{2C_0} = \frac{q^2}{2C_0} = \frac{C_0 U_0^2}{2}\tag{8}\]

1.4 Таким образом, закон сохранения энергии в данном случае строго выполняется: работа внешних сил равна увеличению энергии конденсатора.

Часть 2.

При подключенном источнике заряды на пластинах изменяются, так как остается постоянной разность потенциалов, а напряженность поля изменяется!

2.1 Сила взаимодействия между пластинами зависит только от напряженности поля между ними, поэтому можно воспользоваться формулой (5)

\[F = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 a^2.\]

Только в данном случае следует учесть, что напряженность поля при изменении расстояния между пластинами изменяется. Обозначим расстояние между пластинами \(x\). Тогда напряженность поля будет равна

\[E = \frac{U_0}{x}.\tag{9}\]

Следовательно, сила их притяжения описывается формулой

\[F = \frac{1}{2} \varepsilon_0 \left( \frac{U_0}{x} \right)^2 a^2\tag{10}\]

Таким образом, необходимая сила обратно пропорциональна квадрату расстояния между пластинами.

2.2 Для вычисления работы можно воспользоваться аналогией: напряженность поля точечного заряда также обратно пропорциональна квадрату расстояния, а потенциал этого поля обратно пропорционален расстоянию. Поэтому для работы по раздвиганию пластин можно записать

\[A = \frac{1}{2} \varepsilon_0 U_0^2 a^2 \left( \frac{1}{h} - \frac{1}{2h} \right) = \frac{1}{4} \frac{\varepsilon_0 U_0^2 a^2}{h} = \frac{1}{4} C_0 U_0^2\tag{11}\]

2.3 Изменение энергии конденсатора в данном случае равно (с учетом того, что емкость конденсатора уменьшилась в 2 раза \(C = \frac{C_0}{2}\))

\[\Delta W = \frac{C U_0^2}{2} - \frac{C_0 U_0^2}{2} = -\frac{C_0 U_0^2}{4}.\tag{12}\]

2.4 Внешние силы совершили положительную работу, а энергия конденсатора уменьшилась!?

Таким образом, данная проблема требует более тщательного анализа.

Сомнений в выполнимости закона сохранения энергии быть не должно, только надо его применять правильно! Энергия сохраняется в замкнутой системе, а конденсатор таковой не является - он же подключен к источнику ЭДС. При увеличении расстояния между пластинами емкость конденсатора уменьшается, поэтому уменьшается заряд на пластинах, которому некуда деться, кроме как вернуться назад, в источник. Их возвращению препятствуют сторонние силы (вспомните – сторонние силы источника стремятся «вытолкнуть заряды из источника), поэтому при возвращении зарядов энергия источника повышается. Таким образом, при раздвигании пластин конденсатора происходит подзарядка источника, а энергия, переданная посредством совершенной работы, переходит в энергию источника. Кроме того, энергия поля в конденсаторе также уменьшается, поэтому эта «потеря» энергии также переходит в источник. Иными словами, при перемещении пластины внешняя сила не только совершает работу по подзарядке источника, но и «заставляет» электрическое поле вернуть часть своей энергии.

При уменьшении емкости заряд конденсатора уменьшился на величину

\[\Delta q = C_0 U_0 - C U_0 = \frac{1}{2} C_0 U_0.\tag{13}\]

Следовательно, увеличение энергии источника равно:

\[\Delta W_{\text{ист}} = U_0 \Delta q = \frac{1}{2} C_0 U_0^2.\tag{14}\]

Таким образом «баланс энергии» сходится: работа внешних си плюс уменьшение энергии конденсатора равно увеличению энергии источника.

Часть 3.

3.1 Механизм возникновения силы, действующей на пластинку со стороны электрического поля, проиллюстрирован на рисунке. При ее смещении изначально однородное распределение зарядов на обкладках конденсатора и поляризационных зарядов на пластинке искажается. Как следствие этого перераспределения зарядов искажается и электрическое поле, поэтому возникаю силы, стремящиеся втянуть пластинку внутрь конденсатора. Если конденсатор заряжен, то для извлечения пластинки необходимо приложить к ней внешнюю силу и совершить положительную работу. Прямой расчет силы, действующей на пластинку сложен, однако для ее определения можно воспользоваться энергетическим подходом: изменение энергии системы равно работе внешних сил:

\[F \Delta x = \Delta W\tag{15}\]

В данном случае емкость конденсатора также уменьшается при постоянном напряжении на нем. Поэтому можно воспользоваться идеями, полученными во второй части задачи. При малом изменении емкости: энергия конденсатора изменяется на величину

\[\Delta W_C = \frac{1}{2} U_0^2 \Delta C;\tag{16}\]

Энергия источника изменяется на величину (\(\Delta q = U_0 \Delta C\) - изменение заряда конденсатора, изменение заряда источника имеет противоположный знак)

\[\Delta W_U = -U_0 \Delta q = -U_0^2 \Delta C;\tag{17}\]

Изменение полной энергии системы

\[\Delta W = -\frac{1}{2} U_0^2 \Delta C;\tag{18}\]

Если пластина сместилась на расстояние \(x\) вдоль пластин то емкость конденсатора окажется равной (как емкость двух параллельно соединенных конденсаторов

\[C = \frac{\varepsilon_0 a x}{h} + \frac{\varepsilon_0 \varepsilon a (a - x)}{h} = \frac{\varepsilon_0 a}{h} (x + \varepsilon (a - x))\tag{19}\]

Изменение ескости при малом смещении пластины равно

\[\Delta C = \frac{\varepsilon_0 a x}{h} + \frac{\varepsilon_0 \varepsilon a (a - x)}{h} = -\frac{\varepsilon_0 a}{h} (\varepsilon - 1) \Delta x.\tag{20}\]

Наконец, с помощью формул (15) и (18) находим

\[F = \frac{\varepsilon_0 a}{2h} (\varepsilon - 1) U_0^2.\tag{21}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Теплота кипения даёт \(\Delta U=L m-p\Delta V\), пар — идеальный газ с \(c_V=\frac92R\); адиабата заканчивается там, где её кривая \(p(T)\) пересечёт кривую насыщения. Внутренняя энергия — функция состояния: на замкнутом цикле её изменение равно нулю.

Ответ

А4) \(p\approx62{,}3\) кПа; А5) \(T_{\text{конд}}\approx87\,^\circ\text{C}=360\) К; В2) \(L_{T_{\text{конд}}}=2{,}28\) МДж/кг, \(\Delta L=21{,}6\) кДж/кг; В3) \(\eta\approx3{,}54\,\%\), у цикла Карно \(8{,}40\,\%\) (в 2,4 раза больше).

Решение

Часть А. Пройдемся по циклу

А1. Количество теплоты, необходимое для испарения воды массы \(m\), находящейся при температуре кипения, определяется известным выражением:

А2. Согласно первому началу термодинамики \(Q_{1-2} = A_{1-2} + \Delta U_{1-2}\). Так как кипение воды происходит при постоянном атмосферном давлении, то работу \(A_{1-2}\) можно рассчитать следующим образом:

Объем воды \(V_1\) в жидком состоянии можно найти, зная ее плотность. Объем водяного пара \(V_2\) можно выразить из уравнения Менделеева-Клапейрона, где химическое количество выразим через массу и молярную массу:

Тогда изменение внутренней энергии порции воды:

А3. В этом пункте нам необходимо будет использовать выражение для внутренней энергии водяного пара. Для этого рассмотрим мысленный изохорный процесс с идеальным газом. По условию задачи нам известна молярная теплоемкость такого процесса, значит

С другой стороны, при изохорном процессе пар не совершает работы,

значит \(Q_V = \Delta U\). Получаем, что изменение внутренней энергии равно \(\Delta U = \frac{9}{2} \nu R \Delta T\). Зная, что при 0 К внутренняя энергия обращается в нуль, получаем выражение для внутренней энергии водяного пара:

Процесс нагревания пара в задаче – изобарный, поэтому, воспользовавшись первым началом термодинамики и уравнением Менделеева-Клапейрона, можем получить:

Полученный множитель \(c_p = \frac{11}{2} R\) является молярной теплоемкостью водяного пара при постоянном давлении. Её можно было также получить, воспользовавшись формулой Майера: \(c_p - c_V = R\). Используя молярную массу воды, получаем ответ на вопрос данного пункта:

А4. Как сказано в условии задачи, процесс раскручивания турбины будет происходить адиабатически. При этом будет изменяться и давление, и температура, и объем порции газа. Считая процесс квазистационарным, из условия знаем, что он подчиняется уравнению

Показатель адиабаты \(\gamma\) мы можем рассчитать, используя выражения для теплоемкостей из предыдущего пункта задачи:

То есть адиабатический процесс будет происходить в соответствии с уравнением

\(pT^{-\frac{11}{2}} = const\). Зная давление (\(p_{\text{атм}}\)) и температуру (\(T_{\text{max}}\)) в начале процесса, можем получить зависимость давления от температуры в явном виде:

\[pT^{-\frac{11}{2}} = p_{\text{атм}} T_{max}^{-\frac{11}{2}} \quad \Rightarrow \quad p = p_{\text{атм}} \left( \frac{T}{T_{max}} \right)^{\frac{11}{2}}\]

Процесс будет происходить до тех пор, пока пар не начнет конденсироваться. Пар начинает конденсироваться, если его давление «попытается» превысить давление насыщенного водяного пара при текущей температуре. Тогда для нахождения конечного давления изобразим кривую зависимости \(p(T)\) адиабатического процесса на графике зависимости давления насыщенных паров воды от температуры на бланке к условию задачи. Для этого рассчитаем давление в нескольких точках, не забывая, конечно, перевести температуру в абсолютную шкалу (Кельвины). Результаты расчетов представим в виде таблицы.

Последние два столбца были рассчитаны для уточнения координат точки пересечения графиков.

Зависимость давления насыщенного пара воды от температуры

Рисунок 1 - Пересечение графиков зависимости давления от температуры

Из полученного пересечения графиков делаем вывод, что конечное давление после этапа 3-4, при котором пар начнет конденсироваться, приблизительно равно:

\[p_{\text{конд}} = 62{,}3 \text{ кПа}\]

А5. Также из графика мы получаем и температуру, при которой пар начнет и будет дальше изотермически конденсироваться:

\[T_{\text{конд}} = 87 \text{ °C} = 360 \text{ K}\]

Кроме того отметим, что поскольку, согласно условию задачи, конденсация происходит изотермически, то она происходит и изобарно в силу однозначной связи между температурой и давлением насыщенных водяных паров.

А6. В условии отмечено, что насос перекачивает воду адиабатически, то есть без передачи тепла. Кроме того, поскольку плотность воды по условию задачи постоянна, то ее объем в

процессе перекачки не изменяется, что приводит к отсутствию совершаемой работы. По первому началу термодинамики из этого следует, что и внутренняя энергия воды не изменяется в процессе 5-6, то есть ее температура остается постоянной и равной \(T_{\text{конд}}\). Теплоту вода получает в процессе нагревания 6-1. Количество этой теплоты можно легко рассчитать с помощью известного выражения:

\[Q_{6-1} = c_{\text{в}} m \Delta T = c_{\text{в}} m (T_{\text{кип}} - T_{\text{конд}})\]

Часть В. Исследуем цикл

В1. Схематические диаграммы в координатах \(p\)-\(V\) и \(p\)-\(T\) приведены на рисунках.

Рисунок 2 - \(p\)-\(V\) диаграмма цикла

Рисунок 3 - \(p\)-\(T\) диаграмма цикла

Значения объемов на \(p\)-\(V\) диаграмме следующие:

\[V_1 = \frac{m}{\rho_{\text{в}}}; \quad V_2 = \frac{m R T_{\text{кип}}}{M p_{\text{атм}}}; \quad V_3 = \frac{m R T_{\text{max}}}{M p_{\text{атм}}}; \quad V_4 = \frac{m R T_{\text{конд}}}{M p_{\text{конд}}}\]

Необходимо отметить, что объем \(V_1\) значительно меньше остальных характерных объемов, так как плотность воды в жидком состоянии гораздо больше плотности пара.

На \(p\)-\(V\) диаграмме точки 1 и 6 совпадают, так как при нагревании воды в резервуаре ее давление и объем остаются постоянными. Отметим, что мы здесь пренебрегаем разницей давлений, обусловленной высотой столба жидкости. На \(p\)-\(T\) диаграмме совпадают точки 1 и 2, а также точки 4 и 5, так как при испарении и конденсации температура и давление остаются постоянными.

Участок 3-4 на обеих диаграммах относится к адиабатическому процессу и отличен от прямой в обоих случаях.

В2. Удельная теплота конденсации связана с теплотой, которую выделяет некоторая порция пара в этом процессе: \(Q_{4-5} = L_{T_{\text{конд}}} m\). С другой стороны, эту теплоту можно найти, используя первое начало термодинамики:

\[-Q_{4-5} = A_{4-5} + \Delta U_{4-5}\]

Знак «минус» здесь учитывает то, что теплота отводится от пара, а не передается ему. Работу газа на участке 4-5 можно легко найти, так как давление при конденсации не изменялось:

\[A_{4-5} = p_{\text{конд}}(V_1 - V_4) = -p_{\text{конд}} \left( \frac{m R T_{\text{конд}}}{M p_{\text{конд}}} - \frac{m}{\rho_{\text{в}}} \right) = -m \left( \frac{R T_{\text{конд}}}{M} - \frac{p_{\text{конд}}}{\rho_{\text{в}}} \right)\]

Работа отрицательна, так как пар уменьшает свой объем при конденсации. Изменение внутренней энергии найдем из условия того, что она является функцией состояния, и полное изменение внутренней энергии за весь цикл равно нулю:

\[\Delta U_{1-2} + \Delta U_{2-3} + \Delta U_{3-4} + \Delta U_{4-5} + \Delta U_{5-6} + \Delta U_{6-1} = 0\]

В предыдущих частях задачи у нас имеются выражения для всех слагаемых, кроме \(\Delta U_{3-4}\) и искомого \(\Delta U_{4-5}\) (напомним, в части А6 было указано, что \(\Delta U_{5-6} = 0\), а \(\Delta U_{6-1}\) совпадает с \(Q_{6-1}\), так как вода в жидком состоянии работу не совершает). Для адиабатического процесса 3-4 с водяным паром:

\[\Delta U_{3-4} = \frac{9}{2} \nu R \Delta T_{3-4} = \frac{9}{2} \frac{m}{M} R (T_{\text{конд}} - T_{max})\]

Тогда искомое изменение внутренней энергии равно:

\[\Delta U_{4-5} = -\Delta U_{1-2} - \Delta U_{2-3} - \Delta U_{3-4} - \Delta U_{6-1} =\]

\[= -m \left( L_{100\,^\circ\text{C}} + \frac{p_{\text{атм}}}{\rho_{\text{в}}} - \frac{R T_{\text{кип}}}{M} \right) - \frac{9}{2} \frac{m}{M} R (T_{max} - T_{\text{кип}}) - \frac{9}{2} \frac{m}{M} R (T_{\text{конд}} - T_{max}) -\]

\[- c_{\text{в}} m (T_{\text{кип}} - T_{\text{конд}}) = m \left( -L_{100\,^\circ\text{C}} - \frac{p_{\text{атм}}}{\rho_{\text{в}}} + \frac{R T_{\text{кип}}}{M} - (T_{\text{кип}} - T_{\text{конд}}) \left( c_{\text{в}} - \frac{9}{2} \frac{R}{M} \right) \right)\]

Наконец, подставляя полученные результаты для работы и изменения внутренней энергии в первое начало термодинамики, получаем:

\[-L_{T_{\text{конд}}} m =\]

\[= -m \left( \frac{R T_{\text{конд}}}{M} - \frac{p_{\text{конд}}}{\rho_{\text{в}}} \right) + m \left( -L_{100\,^\circ\text{C}} - \frac{p_{\text{атм}}}{\rho_{\text{в}}} + \frac{R T_{\text{кип}}}{M} - (T_{\text{кип}} - T_{\text{конд}}) \left( c_{\text{в}} - \frac{9}{2} \frac{R}{M} \right) \right)\]

Сокращая массу и приводя подобные слагаемые, получаем выражение для искомой удельной теплоты конденсации:

\[L_{T_{\text{конд}}} = L_{100\,^\circ\text{C}} + \frac{p_{\text{атм}} - p_{\text{конд}}}{\rho_{\text{в}}} + (T_{\text{кип}} - T_{\text{конд}}) \left( c_{\text{в}} - \frac{11}{2} \frac{R}{M} \right) = 2{,}28\,\text{МДж/кг}\]

Разница между значениями удельной теплоты парообразования (конденсации) при разных температурах:

\[\Delta L = L_{T_{\text{конд}}} - L_{100\,^\circ\text{C}} = \frac{p_{\text{атм}} - p_{\text{конд}}}{\rho_{\text{в}}} + (T_{\text{кип}} - T_{\text{конд}}) \left( c_{\text{в}} - \frac{11}{2} \frac{R}{M} \right) = 21{,}6\,\text{кДж/кг}\]

Интересно отметить, что если в сумме пренебречь первым слагаемым, содержащим давления (а оно на самом деле малое), то разница \(\Delta L\) оказывается прямо пропорциональна разности температур \(T_{\text{кип}} - T_{\text{конд}}\), а коэффициентом пропорциональности оказывается разность удельных теплоемкостей воды и пара при изобарном процессе.

В3. Для определения КПД цикла воспользуемся выражением:

\[\eta = \frac{A}{Q_{\text{пол}}} = \frac{Q_{\text{пол}} - Q_{\text{отд}}}{Q_{\text{пол}}} = 1 - \frac{Q_{\text{отд}}}{Q_{\text{пол}}}\]

Теплота поступает в систему на этапе 6-1-2-3. Ее несложно рассчитать, используя уже записанные выше выражения:

\[Q_{\text{пол}} = Q_{6-1} + Q_{1-2} + Q_{2-3} = c_{\text{в}} m \left( T_{\text{кип}} - T_{\text{конд}} \right) + L_{100\,^\circ\text{C}} m + \frac{11}{2} \frac{m}{M} R \left( T_{max} - T_{\text{кип}} \right)\]

Отдает теплоту система во время конденсации водяного пара. Отдаваемую теплоту несложно определить, используя результаты предыдущего пункта:

\[Q_{\text{отд}} = L_{T_{\text{конд}}} m\]

Тогда КПД цикла равен:

\[\eta = 1 - \frac{Q_{\text{отд}}}{Q_{\text{пол}}} = 1 - \frac{L_{T_{\text{конд}}}}{c_{\text{в}} \left( T_{\text{кип}} - T_{\text{конд}} \right) + L_{100\,^\circ\text{C}} + \frac{11}{2} \frac{R}{M} \left( T_{max} - T_{\text{кип}} \right)} = 3{,}54\,\%\]

Тепловая машина Карно с такой же максимальной и минимальной температурой работала бы с КПД:

\[\eta_{\text{Карно}} = 1 - \frac{T_{\text{конд}}}{T_{max}} = 8{,}40\,\%\]

Предложенный тепловой двигатель, как видим, обладает небольшим КПД, однако он всего в 2,4 раза меньше наилучшего возможного КПД при тех же температурах.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.