Белорусская, 2016/17, заключительный этап, 11 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Период колебаний маятника зависит от возвращающего момента: земное поле даёт постоянную добавку к жёсткости, притяжение магнитов — добавку, зависящую от расстояния; вычитайте \(1/T_0^2\) и стройте зависимость в двойном логарифмическом масштабе.

Ответ

\(T_0=(8{,}84\pm0{,}18)\) с; 2.2) \(f(x)=\dfrac{1}{1+l/x}\left(\dfrac1{T^2}-\dfrac1{T_0^2}\right)\); 2.4) \(F=\dfrac{A}{x^3}\) (наклон \(\approx-3{,}14\) на графике \(\ln f(\ln x)\)).

Решение

Часть 1. Влияние магнитного поля Земли.

1.1 Результаты трех измерений периода колебаний следующие

Из данных следует, что случайная погрешность заметно превышает приборную. Для оценки погрешности применима любая из формул а) самая правильная (\(t_{n,p}\) - коэффициент Стьюдента):

\[\Delta T = t_{n,p} \sqrt{\frac{\sum\limits_k (T_{0k} - \langle T_0 \rangle)^2}{n(n-1)}} = 0{,}4c\tag{1}\]

б)

\[\Delta T = 2 \sqrt{\frac{\sum\limits_k (T_{0k} - \langle T_0 \rangle)^2}{n(n-1)}} = 0{,}18c.\tag{2}\]

в)

\[\Delta T = \sqrt{\frac{\sum\limits_k (T_{0k} - \langle T_0 \rangle)^2}{n}} = 0{,}13c\tag{3}\]

г)

\[\Delta T = \frac{\sum\limits_k \vert T_{0i} - \langle T_0 \rangle\vert }{n} = 0{,}11c\tag{4}\]

В дальнейшем будем использовать оценку (2) Таким образом, измеренное значение периода колебаний, обусловленных магнитным полем Земли, равно

\[T_0 = (8{,}84 \pm 0{,}18)c\]

Часть 2. Взаимодействие магнитов.

2.1 Результаты измерений зависимости периода колебаний маятника от расстояния \(x\) между магнитами приведены в Таблице 1. Ниже приведен график полученной зависимости.

Таблица 1

2.2 Для расчета периода колебаний можно воспользоваться двумя подходами. Первый – «динамический». В его рамках следует получить уравнение вида

\[J\varepsilon = -K\varphi\, ,\tag{5}\]

где \(\varphi\) - малый угол поворота маятника, \(\varepsilon\) - его угловое ускорение, \(J\) - константа, определяющая инерционные свойства маятника (момент инерции), \(-K\varphi\) - возвращающий момент силы, действующий на маятник. В общем случае момент силы сложным образом зависит от угла поворота \(M = f(\varphi)\). Однако при малых колебаниях эту функцию можно приближенно заменить линейной \(M = f(\varphi) \approx K\varphi\) и подставить ее в уравнение (5). Уравнение (5) является уравнением гармонических колебаний с периодом

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{J}{K}}\, .\tag{6}\]

Второй способ расчета периода, «энергетический» подробно описан в решении теоретической задачи 11-1. Естественно он применим и в данном случае.

Рассмотрим сначала колебания маятника только под воздействием магнитного поля Земли. В этом случае на маятник действует вращательный момент силы, пропорциональный углу поворота маятника (так как магнитное поле можно считать однородным):

\[M_0 = -K_0\varphi\tag{7}\]

где \(K_0\) - постоянная величина, зависящая от индукции магнитного поля и магнитного момента маятника. На рисунке силы \(\vec{F}_0\) - показаны, как условные. Физический смысл имеет действующий момент сил. Период колебаний в этом случае определяется по формуле

\[T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{J}{K_0}}\tag{8}\]

Рассчитаем теперь момент сил, действующих на маятник, если на расстояниях \(x\) расположены притягивающие магниты. Сила взаимодействия между \(\vec{F}\) магнитами является центральной. Кроме того, можно учитывать только взаимодействия между ближайшими магнитами, т.к. длина маятника достаточно велика (\(2l = 15\)см, \(l\) - половина длины стержня). Из рисунка следует, что момент силы, действующий на магнит маятника, равен (все углу отклонения полагаем малыми)

\[M = -lF\sin\beta \approx -lF\beta\, .\tag{9}\]

Из геометрии следует, что \(\beta = \alpha + \varphi\) (внешний угол треугольника) и \(\varphi l = \alpha x\) (теорема синусов). Поэтому \(\beta = \varphi\left(1 + \frac{l}{x}\right)\), а момент силы выражается формулой

\[M = -lF\left(1 + \frac{l}{x}\right)\varphi\, .\tag{10}\]

В приближении малых углов модуль силы \(F\) можно считать постоянным и равным \(F(x)\). Таким образом, уравнение колебаний в этом случае будет иметь вид

\[J \varepsilon = - K _ { 0 } \varphi - 2 l \left( 1 + \frac { l } { x } \right) F ( x ) \cdot \varphi\tag{11}\]

Период колебаний маятника

\[T ( x ) = 2 \pi \sqrt { \frac { J } { K _ { 0 } + 2 l \left( 1 + \frac { l } { x } \right) F ( x ) } } \ .\tag{12}\]

Отметим, что основную в данном выводе формулу можно получить более простым, но формальным способом. Пусть энергия взаимодействия магнитов описывается некоторой функцией \(U ( r )\), где \(r\) - расстояние между магнитами. Из теоремы косинусов следует, что \(r = \sqrt { l ^ { 2 } + ( l + x ) ^ { 2 } - 2 l ( l + x ) \cos \varphi }\). Производная от потенциальной энергии по углу поворота равна моменту силы \(M = - \frac { d U } { d \varphi }\). По правилу вычисления производной от сложной функции получаем (с учетом формулы \(- \frac { d U } { d r } = F ( r )\)):

\[M = - \frac { d U } { d \varphi } = - \frac { d U } { d r } \frac { d r } { d \varphi } = F ( r ) \frac { l ( l + x ) \sin \varphi } { \sqrt { l ^ { 2 } + ( l + x ) ^ { 2 } - 2 l ( l + x ) \cos \varphi } } \ .\]

С точностью до малых величин первого порядка

\[M = F ( r ) \frac { l ( l + x ) \sin \varphi } { \sqrt { l ^ { 2 } + ( l + x ) ^ { 2 } - 2 l ( l + x ) \cos \varphi } } \approx F ( x ) \frac { l ( l + x ) } { \sqrt { l ^ { 2 } + ( l + x ) ^ { 2 } - 2 l ( l + x ) } } \varphi = \frac { l ( l + x ) } { x } F ( x )\]

Зависимость силы взаимодействия можно выразить из полученных формул (8) и (12):

\[\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { 1 } { T ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } J } \left( K _ { 0 } + 2 l \left( 1 + \frac { l } { x } \right) F ( x ) \right) } \\ { \displaystyle \frac { 1 } { T _ { 0 } ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } J } K _ { 0 } } \end{array} \right. \quad \Rightarrow \quad \frac { 1 } { T ^ { 2 } } - \frac { 1 } { T _ { 0 } ^ { 2 } } = \frac { l } { 2 \pi ^ { 2 } J } \left( 1 + \frac { l } { x } \right) F ( x ) \ .\]

Таким образом, с точностью до постоянного множителя сила взаимодействия может быть рассчитана по периодам колебаний с помощью формулы

\[f ( x ) = \frac { 1 } { \left( 1 + \displaystyle \frac { l } { x } \right) } \left( \frac { 1 } { T ^ { 2 } } - \frac { 1 } { T _ { 0 } ^ { 2 } } \right) .\tag{13}\]

2.3 – 2.4 В Таблице 2 показаны результаты расчетов зависимости силы взаимодействия магнитов от расстояния \(f(x)\), проведенные по формуле (13).

Таблица 2.

График этой зависимости удобно строить в логарифмическом масштабе, так сила быстро убывает с увеличением расстояния.

Полученная зависимость во всем диапазоне расстояний является практически линейной с коэффициентом наклона \(a = -3{,}14 \approx 3\). Поэтому можно считать, что сила взаимодействия магнитов убывает обратно пропорционально кубу расстояния:

\[F = \frac{A}{x^3}.\tag{14}\]

Примечания (не входящие в основное решение)

1. При выводе формулы (12) для периода колебаний учет изменения направления силы взаимодействия магнитов приводит к появлению множителя \(\left(1 + \frac{l}{x}\right)\). Пренебрежение этим фактором приводит к следующей формуле для расчета силы

\[f(x) = \left(\frac{1}{T^2} - \frac{1}{T_0^2}\right).\tag{13.\text{а}}\]

Учет взаимодействия с магнитным полем Земли приводит к появлению постоянного слагаемого \(K_0\) в формуле (12) и как следствие величины \(-\frac{1}{T_0^2}\) в формуле для периода. Без его учета формула для силы взаимодействия приобретает вид

\[f(x) = \frac{C}{T^2}.\tag{13.\text{б}}\]

Следующий рисунок показывает значимость обоих оговоренных факторов.

Здесь:

1- Зависимость, рассчитанная по формуле (13) (та, которая является, или считается правильной). 2- Зависимость, рассчитанная по формуле (13а) (без учета изменения направления силы). Эта зависимость также может считаться линейной, но ее коэффициент наклона близок к -4. 3- Зависимость, рассчитанная по формуле (13б) (без учета влияния земного магнитного поля). В этом случае зависимость нелинейная. Именно для нее в условии задачи рекомендовано предложить две формулы для малых и больших расстояний.

2. Полученная зависимость силы от расстояния \(F \propto r^{-3}\) имеет теоретическое обоснование. Индукция магнитного поля кольца\(^2\) убывает обратно пропорционально кубу расстояния. Однако в данном случае намагничивается весь стержень маятника. Поэтому система «стержень плюс два магнита» эквивалентна длинному соленоиду. В этом случае для вычисления индукции поля необходимо проинтегрировать индукции полей, создаваемых всеми витками. Так для полубесконечного \(z \in (0, \infty)\) соленоида на большом расстоянии от его торца получим

\[B \propto \int_{0}^{\infty} \frac{dz}{(r+z)^3} \propto \frac{1}{r^2}.\]

Интересно, что в этом случае можно говорить о «магнитных зарядах», расположенных на концах стержня - почти монополь Дирака. Отдельный магнит можно рассматривать как магнитный диполь. Сила, действующая на него пропорциональна производной от магнитной индукции, в данной системе

\[F \propto \frac{dB}{dr} \propto \frac{1}{r^3}.\]

\(^2\) См. Решение теоретической задачи 11.2

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Ось дифракционной картины перпендикулярна штрихам: измеряя угол отклонения оси и радиус светового кольца, получают наклон касательной к штрихам и их период.

Ответ

1.1) радиус дифракционного кольца \(r=\dfrac{L\lambda}{d}\); кольца на пластинке равноотстоящие, их радиусы растут прямо пропорционально номеру; 2.2) \(\dfrac{dy}{dx}=\operatorname{tg}\alpha(x)\), полосы — синусоиды.

Решение

Данная задача носит качественный характер, потому, что с помощью имеющегося оборудования провести точные измерения не возможно. Понятно, что для решения задачи необходимо направить луч лазера на пластинку и наблюдать в отраженном свете дифракционную картину. В обоих случаях дифракционная картина представляет собой два размытых пятна, центры которых расположены диаметрально противоположно на некоторой окружности. Размеры и ориентация этих пятен изменяются при изменении точки падения луча света на пластинки.

Схематически типичная дифракционная картина показана на рисунке. Здесь \(S\) - набор полос, на которых происходит дифракция света (масштаб сильно увеличен). \(1\), \(1'\) – дифракционные пятна (при некоторых положениях точки падения луча света эти пятна образуют почти полную окружность). В соответствии с общими законами дифракции ось дифракционной картины перпендикулярна линиям, на которых происходит дифракция. Угол дифракции \(\delta\), который определяет, в данном случае, радиус дифракционного кольца \(r\) зависит от расстояния между линиями \(d\), задается формулой

\[d\delta = \lambda,\tag{1}\]

Угол \(\alpha\) можно считать малым, \(\lambda\) - длина волны света. Тогда радиус кольца оказывается равным

\[r = L\delta = \frac{L\lambda}{d}.\tag{2}\]

Угловой размер дифракционных пятен \(\theta\) определяется изгибом полос и равен углу дуги колец в пределах светового кольца. Таким образом, имеется три характеристики дифракционной картины (угол отклонения оси, радиус кольца, угловой размер пятна), которые поддаются приближенному измерению.

Для проведения измерений необходимо луч лазера \(L\) направить на пластинку \(\text{П}\) перпендикулярно ей и наблюдать дифракционную картину на экране \(\text{Э}\) (см. рис.), в центре которого проделано отверстие для луча света. На экране также имеется радиально-круговая шкала для измерения угла отклонения оси \(\alpha\) и радиуса дифракционного кольца \(r\). Смещая пластинку, можно изменять положение точки падения луча.

Для пластинки 1 угол отклонения \(\alpha\) может незначительно изменяться. Это связано с тем, что линия сканирования (на пластинке) не всегда проходит через центр колец на пластинке. Отклонение дифракционных пятен \(r\) практически не зависит от положения точки падения луча. Это дает возможность утверждать, что кольца на пластинке являются равноотстоящими. То есть радиус кольца возрастает прямо пропорционально его номеру}. По измеренному радиусу \(r\) можно оценить расстояние между кольцами, которое составляет величину порядка 10-30 мкм.

Пластинка 2 заклеена полосами плотной бумаги, между которыми оставлена только тонкая щель. На рисунке показана действительная форма вытесненных полос, имеющих форму синусоид (участники олимпиады видеть ее не могли). При смещении пластинки изменялось положение луча, который все время должен попадать в открытую щель. При этом на экране наблюдается описанная дифракционная картина. При смещении пластинки периодически изменяется угол отклонения оси дифракционной картины \(\alpha\). Также значительно изменяется и угловые размеры пятен \(\theta\). Для восстановления структуры полос достаточно измерить зависимость угла \(\alpha\) от координаты точки падения \(x\). Следующий рисунок иллюстрирует основную идею решения поставленной задачи.

Как уже было отмечено, направление оси дифракционной картины перпендикулярно направлениям рисок пластинки. Точнее, касательных к этим линиям. Следовательно, угол отклонения оси от вертикали \(\alpha\) равен углу наклона касательных к горизонтали, т.е. к оси \(x\) (в наших обозначениях). А тангенс угла наклона касательной равен производной от искомой функции \(y(x)\), описывающей форму линий. Заметим, что значение производной в данном случае зависит только от координаты \(x\), так как вертикальное смещение линий не изменяет эту производную. Иными словами, хотя дифракция происходит на разных линиях, но все они имеют одинаковый наклон при заданном значении \(x\). Таким образом, измеряя зависимость угла наклона \(\alpha(x)\) от координаты, \(x\) мы можем получить зависимость производной искомой функции от координаты

\[\frac{dy(x)}{dx} = \operatorname{tg} \alpha(x).\tag{3}\]

Измерения показывают, что зависимость \(\alpha(x)\) является периодической, следовательно, и сами линии являются периодическими. Можно приближенно считать, что они являются синусоидами}.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.