Белорусская, 2016/17, заключительный этап, 9 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Зависимость \(R(t)\) линеаризуется в координатах \(R\) и \(1/t\); в схеме датчик включается последовательно с резистором, напряжение на котором мерят вольтметром, и выбирается такое \(R_0\), чтобы показания стали пропорциональны \(t\).

Ответ

1.5) \(R=(2{,}77\pm0{,}02)\) кОм (сопротивление постоянно); 2.3) \(a=(78{,}4\pm0{,}8)\text{ кОм}\cdot\text{К},\ b=-(0{,}72\pm0{,}02)\) кОм; 3.1) \(R_0=-b=0{,}72\) кОм, напряжение источника подбирается из условия \(U_1|b|/a=10\) мВ/\(^\circ\)C (в официальном решении — \(108\) мВ).

Решение

Часть 1. Сопротивление при комнатной температуре.

1.1 Электрическая схема, позволяющая измерить требуемую зависимость, является традиционной и показана на рисунке. Здесь \(R_{0} = 2{,}0\) кОм, \(R_{x}\) - исследуемое сопротивление (термодатчик). Сила тока через термодатчик рассчитывается по измеренному напряжению на резисторе \(R_{0}\) с помощью формулы

\[I = \frac{U_{0}}{R_{0}}.\tag{1}\]

1.2 Результаты измерений зависимости силы тока от приложенного напряжения приведены в Таблице 1.

Таблица 1.

1.3 График полученной зависимости показан на рисунке.

1.4 Полученная зависимость является прямо пропорциональной; это означает, что сопротивление датчика не зависит от приложенного напряжения.

1.5 Величина сопротивления точнее всего может быть найдена по наклону графика. Расчет\(^{1}\) по МНК дает следующее значение сопротивления

\[R = (2{,}77 \pm 0{,}02) \text{ кОм}.\]

Часть 2. Сопротивление при повышенной температуре.

2.1 – 2.2 Результаты измерений зависимости сопротивления датчика от температуры приведены в Таблице 2 и показаны на графике.

Таблица 2.

2.3 Указанную в условии задачи формулу можно записать в виде

\[R = \frac{a + bt^\circ}{t^\circ} = \frac{a}{t^\circ} + b \, ,\tag{1}\]

из которого следует, что зависимость сопротивление от величины, обратной температуре, должна быть линейной. График такой зависимости показан на следующем рисунке. Линейность полученного графика подтверждает, что приведенная формула правильно описывает полученную зависимость. Расчет параметров этой зависимости по МНК дает следующие значения

\[a = (78{,}4 \pm 0{,}8) \frac{\text{кОм}}{K}\]

\[b = -(0{,}72 \pm 0{,}02) \, \text{кОм}\]

Часть 3. Конструирование.

3.1 Схема для измерения температуры очевидна и показана на рисунке. Если выставить значение сопротивления

\[R_0 = -b = 0{,}72 \text{кОм},\]

То зависимость напряжения на этом резисторе от температуры будет иметь вид

\[U = \frac{U_1}{\frac{a}{t} + (R_0 - b)} R_0 = \frac{U_1 b}{a} t.\tag{2}\]

Теперь с помощью потенциометра \(R_1\) следует выставить такое напряжение, чтобы выполнялось условие

\[\frac{U_1 b}{a} = 10 \quad \Rightarrow \quad U_1 = \frac{78{,}4}{0{,}72} = 108 \text{мВ}.\tag{4}\]

В этом случае показания вольтметра будут в 10 раз больше температуры датчика.

3.2 Тестирование схему подтверждает проделанные расчеты.

\textsuperscript{1} Расчет графическим методом также допустим.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

При открытой трубке глубину погружения определяет сжимающийся с остыванием воздух в трубке, при закрытой — растущая плотность воды; в обоих случаях объём погружённой части поплавка сохраняет подъёмную силу.

Ответ

1.2) при остывании ареометр погружается, \(K_1=\alpha H_0\left(\dfrac{D}{d}\right)^2\); 2.2) при остывании ареометр всплывает, \(K_2=-\dfrac{V_0}{\rho_0 s}\dfrac{\Delta\rho}{\Delta t}\) (численные значения зависят от прибора).

Решение

Результаты измерений в данной задаче сильно зависят от параметров прибора, который используется в данной установке, поэтому кратко остановимся только на качественном описании наблюдаемых эффектов.

Часть 1. Открытая трубка.

При открытом нижнем конце трубки при ее опускании в горячую воду в трубке остается воздух. По мере остывание воды объем воздуха в трубке уменьшается – воды заходит в трубку снизу. При этом уменьшается сила Архимеда, действующая на поплавок. Поэтому поплавок начинает погружаться}! Пусть высота столбика воздуха в трубке уменьшилась на величину \(\Delta H\). При этом сила Архимеда также уменьшится на величину

\[\Delta F_A = \rho g \Delta V = \rho g S \Delta H,\tag{1}\]

Здесь \(S\) - площадь поперечного сечения трубки, \(\rho\) - плотность воды. Этому уменьшение выталкивающей силы должно компенсироваться увеличением силы Архимеда вследствие погружения стержня 4 (вместе с поплавком) на величину

\[\Delta F_A = \rho g s \Delta h\tag{2}\]

Здесь \(s\) - площадь поперечного сечения стержня. Приравнивая эти выражение, получим

\[\Delta h = \frac{S}{s} \Delta H = \left( \frac{D}{d} \right)^2 \Delta H,\tag{3}\]

Где \(D, d\) - диаметры трубки и стержня, соответственно. Проще эту формулу получить из условия того, что объем погруженной части поплавка в состоянии равновесия остается неизменным.

Величина \(\Delta H\) связана с изменением температуры соотношением

\[\Delta H = H_0 (1 + \alpha \Delta t).\tag{4}\]

Где \(\alpha\) - коэффициент теплового расширения воздуха. Следовательно, зависимость \(\Delta h\) глубины погружения от температуры линейная. Коэффициент наклона этой зависимости равен

\[K_1 = \frac{\Delta h}{\Delta t} = \alpha H_0 \left( \frac{D}{d} \right)^2.\tag{5}\]

По экспериментальному значению этого коэффициента наклона можно рассчитать коэффициент теплового расширения воздуха. Отметим, что при изменении температуры изменяется и плотность воды. Но так как коэффициент теплового расширения воздуха значительно больше коэффициента теплового расширения воды, то последним можно пренебречь.

Часть 2. Закрытая трубка.

Когда трубка закрыта, объем поплавка можно считать неизменным (тепловое расширение твердых тел еще меньше, чем тепловое расширение воды). Поэтому основным фактором, влияющим на положение поплавка, является изменение плотности воды. Так как при остывании плотность воды возрастает, то в этом эксперименте поплавок всплывает}! Учитывая постоянство силы Архимеда (численно равное весу поплавка), можно записать

\[(\rho_0 + \Delta \rho) g (V_0 + \Delta V) = \rho_0 g V_0\tag{6}\]

Откуда следует

\[\Delta \rho V_0 + \rho_0 s \Delta h = 0 \quad \Rightarrow \quad \Delta h = -\frac{V_0}{\rho_0 s} \Delta \rho\tag{7}\]

Здесь \(s \Delta h = \Delta V\) - изменение объема погруженной части поплавка. Таким образом, коэффициент наклона зависимости глубины погружения от температуры в данном случае равен

\[K_2 = \frac{\Delta h}{\Delta t} = -\frac{V_0}{\rho_0 s} \frac{\Delta \rho}{\Delta t}\tag{2}\]

И определяется изменением плотности воды при изменении температуры.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.