зад 1 Терморезистор и ареометр
Данное задание состоит из 2 не связанных между собой задач.
Задача 1.1
В вашем распоряжении имеется переменный резистор (его сопротивление \(R_0\) можете задавать произвольным) регулируемый источник напряжения (его напряжение \(U_0\) можете задавать произвольным), идеальный вольтметр, терморезистор. Электрическое сопротивление терморезистора \(R\) зависит от температуры \(t\) (в градусах Цельсия) в диапазоне от \(20^\circ\text{C}\) до \(70^\circ\text{C}\) по закону
\[R = \frac{a - bt}{t},\tag{1}\]
где \(a = 5{,}2 \cdot 10^4\,\text{Ом} \cdot \text{град}\), \(b = 800\,\text{Ом}\) - постоянные величины.
Предложите электрическую схему, позволяющую измерять температуру так, чтобы показания вольтметра в милливольтах равнялись температуре терморезистора в градусах Цельсия. Укажите численные значения сопротивления переменного резистора \(R_0\) и напряжения источника \(U_0\), которые необходимо использовать в вашей схеме.
Задача 1.2
Для измерения плотности жидкости используется простой прибор, который называется ареометром.
В данной задаче рассматривается ареометр, состоящий из сферического баллона, объем которого равен \(V_0\). К нижней части баллона прикреплена тонкостенная металлическая трубка, внутренний диаметр которой равен \(D\), длина \(l\), с открытым нижним концом и закрытым верхним. К верхней части баллона прикреплен легкий стержень диаметра \(d\).
1.2.1 Ареометр аккуратно вертикально помещают в горячую воду. Ареометр приходит в состояние равновесия, при этом баллон оказывается полностью погруженным в воду, а над поверхностью воды стержень выступает на высоту \(h\). Вода начинает медленно остывать. Что будет происходить с ареометром (всплывать, или погружаться) при остывании воды? Найдите изменение высоты стержня над уровнем воды \(\frac{\Delta h}{\Delta t^\circ}\) при изменении температуры на малую величину \(\Delta t^\circ\).
1.2.2 Ареометр достают из воды, плотно закрывают нижний конец трубки и опять погружают в горячую воду. Что будет происходить с ареометром (всплывать, или погружаться) при остывании воды в этом случае? Найдите изменение высоты стержня над уровнем воды \(\frac{\Delta h}{\Delta t^\circ}\) при изменении температуры на малую величину \(\Delta t^\circ\) при закрытой трубке.
Подсказка. При изменении температуры изменение объемов тел подчиняется формуле
\[\Delta V = V_0 \alpha \Delta t^\circ.\tag{2}\]
Где \(V_0\) - начальный объем тела, \(\Delta V\) - изменение объема при изменении температуры на величину \(\Delta t^\circ\), \(\alpha\) - коэффициент теплового расширения вещества. Считайте, что коэффициенты теплового расширения воды \(\alpha_1\) и воздуха \(\alpha_2\) известны, причем \(\alpha_2 \gg \alpha_1\). Изменением объема всех частей ареометра можно пренебречь. Также считайте, что объем баллона значительно больше объемов трубки и стержня.
▶ПодсказкаСкрыть
1.1: в цепи с последовательным резистором напряжение на нём пропорционально температуре, если подобрать \(R_0\) так, чтобы знаменатель обратился в \(a/t\). 1.2: при открытой трубке плавучесть определяет объём воздуха под трубкой, при закрытой — плотность воды.
▶ОтветСкрыть
1.1) \(R_0=b=800\text{ Ом},\ U_0=a/b=65\text{ мВ}\); 1.2.1) ареометр опускается, \(\left|\dfrac{\Delta h}{\Delta t}\right|=l\dfrac{D^2}{d^2}\alpha_2\); 1.2.2) ареометр всплывает, \(\left|\dfrac{\Delta h}{\Delta t}\right|=\alpha_1\dfrac{4V_0}{\pi d^2}\).
▶РешениеСкрыть
Задача 1.1
Подключим датчик температуры к источнику. Так как сопротивление датчика убывает с ростом температуры, то в цепи будет возрастать сила тока, поэтому надо измерять некоторое напряжение, которое пропорционально силе тока в цепи. Для этого подключим в цепь последовательно еще один резистор, напряжение на котором будем измерять. В этой цепи показания вольтметра легко рассчитываются
\[U = I R_0 = \frac{U_0}{R + R_0} R_0.\tag{1}\]
Если подставить зависимость сопротивления датчика от температуры, то получим зависимость измеряемого напряжения от температуры:
\[U = \frac{U_0}{R + R_0} R_0 = \frac{U_0}{\frac{a - bt}{t} + R_0} R_0 = \frac{U_0}{\frac{a}{t} + (R_0 - b)} R_0.\tag{2}\]
Легко заметить, что при \(R_0 = b = 800 \text{Ом}\), измеряемое напряжение будет прямо пропорционально температуре
\[U = \frac{U_0}{\frac{a}{t} + (R_0 - b)} R_0 = \frac{U_0 b}{a} t.\tag{3}\]
В этой формуле коэффициент пропорциональности должен быть равным 1, отсюда находим значение напряжения источника:
\[\frac{U_0 b}{a} = 1 \quad \Rightarrow \quad U_0 = \frac{a}{b} = 65 \text{мВ}.\tag{4}\]
Задача 1.2
1.2.1 В трубке останется воздух. При уменьшении температуры воздух начнет сжиматься, а вода частично заходить в трубку. При этом будет уменьшаться сила Архимеда, Следовательно, ареометр начнет опускаться. Изменение объема воздуха описывается формулой (2), на основании которой можно записать
\[\Delta V = \frac{\pi D^2}{4} l \alpha_2 \Delta t.\tag{1}\]
Чтобы сила Архимеда осталось прежней, ареометр должен погрузиться на такую глубину, чтобы объем его погруженной части остался неизменным. Из этого условия следует
\[\Delta V = \frac{\pi d^2}{4} \Delta h.\tag{2}\]
Приравнивая эти выражение, получим
\[\frac{\pi D^2}{4} l \alpha_2 \Delta t = \frac{\pi d^2}{4} \Delta h \quad \Rightarrow \quad \frac{\Delta h}{\Delta t} = l \frac{D^2}{d^2} \alpha_2\tag{3}\]
Отметим, что в этом случае можно пренебречь тепловым расширением воды.
1.2.2 При закрытой трубке основной причиной изменения глубины погружения будет изменение плотности воды. Так как при остывании ее плотность будет увеличиваться, то ареометр начнет всплывать. Изменение плотности воды можно выразить через коэффициент объемного расширения. Возьмем порцию воды некоторой постоянной массы. Так как масса при нагревании не изменяется, то можно записать
\[(\rho_0 + \Delta\rho)(V_0 + \Delta V) = \rho_0 V_0.\tag{4}\]
Здесь \(V_0\) - объем выбранной порции, \(\rho_0\) - ее плотность при некоторой начальной температуре, \(\Delta V, \Delta\rho\) - их изменение при изменении температуры. Раскрывая скобки и пренебрегая малой величиной \(\Delta\rho\Delta\rho\), получим
\[\rho_0\Delta V + \Delta\rho V_0 = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{\Delta\rho}{\rho_0} = -\frac{\Delta V}{V_0} = -\alpha_1\Delta t.\tag{5}\]
Знак минус указывает, что при увеличении объема плотность уменьшается и наоборот. Так как масса ареометра не изменяется, то остается неизменной сила Архимеда, следовательно,
\[(\rho_0 + \Delta\rho)(V_0 + \Delta V) = \rho_0 V_0.\tag{6}\]
Уравнение совпадает уравнением (4), но смысл его другой: \(V_0\) - объем погруженной части ареометра при начальной температуре, который можно считать равным объему баллона; \(\rho_0\) - плотность при этой температуре, \(\Delta\rho\) - изменение плотности воды;
\[\Delta V = -\frac{\pi d^2}{4}\Delta h\tag{7}\]
- изменение объема погруженной части (знак минус указывает, что при увеличении \(h\) объем погруженной части уменьшается). Из уравнения (6) следует
\[\frac{\Delta V}{V_0} = -\frac{\Delta\rho}{\rho_0}.\]
Подставляя выражения 95) и (7) получим
\[-\frac{\pi d^2}{4V_0}\Delta h = \alpha_1\Delta t \quad \Rightarrow \quad \frac{\Delta h}{\Delta t} = -\alpha_1\frac{4V_0}{\pi d^2}.\tag{8}\]
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 2 Векторная кинематика
Исследовательский космический аппарат сделал снимки выбросов вещества из гейзера некоторой планеты. Снимки делались с интервалом в одну секунду, однако из-за технического сбоя сохранилось только три снимка: в момент времени \(t_0 = 0{,}0\) с, в момент времени \(t_1 = 1{,}0\) с и в момент времени \(t_4 = 4{,}0\) с. Положения одного из точечных объектов в данные моменты времени показаны на рис.1. Кроме того, известно (из показаний других датчиков), что регистрируемый объект упал на поверхность планеты в момент времени \(t_5 = 5{,}0\) с. Также известно, что точка падения и точка вылета находятся на одной высоте. Отметим, что момент времени \(t_0 = 0{,}0\) с не совпадает с моментом вылета рассматриваемого объекта из жерла гейзера.
Поверхность планеты в кадр не попала. Атмосфера на планете отсутствует. Масштаб рисунка: длина стороны клеточки равна \(1{,}0\) м.
При решении данной задачи допускается использование промежуточных численных расчетов. Все построения выполняйте на выданных Вам бланках (они одинаковы). Выполнение пп. 1-2 проведите на первом бланке, пп. 3-6 на втором бланке\(^1\). Расчёты и комментарии выполняйте в тетради.
По данному снимка вам необходимо найти кинематические характеристики движения объекта и восстановить траекторию движения.
1. Найдите вектор ускорения свободного падения \(\vec{g}\) на данной планете: рассчитайте его модуль; постройте на бланке в соответствующем масштабе вектор \(\vec{S}_1 = \vec{g}t_1^2\). 2. Определите вектор скорости \(\vec{v}_0\) объекта в момент времени \(t_0 = 0{,}0\) с: рассчитайте его модуль; постройте на бланке вектор \(\vec{S}_2 = \vec{v}_0t_1\)
Подсказка. Далее рекомендуем все расчеты построения проводить, используя построенные векторы \(\vec{S}_1\) и \(\vec{S}_2\).
3. Найдите и укажите на бланке точку падения рассматриваемого объекта. 4. Постройте на бланке линию горизонта. 5. Постройте всю траекторию полета объекта (достаточно указать его положения с интервалом в 1 с). 6. Постройте (с точностью \(\pm 0{,}2\) м) на бланке положение гейзера (точку вылета объекта). 7. Постройте (с точностью \(\pm 0{,}5\) м) на бланке положение верхней точки траектории.
\(^1\) Бланки одинаковы, поэтому здесь приводится только один.
Бланк 1
▶ПодсказкаСкрыть
Положение при равноускоренном движении линейно по \(\vec v_0\) и по \(\vec g\): по двум известным смещениям (за 1 с и за 4 с) можно выразить оба вектора.
▶ОтветСкрыть
1) \(\vec g=(2;-4)\) м/с², \(g\approx4{,}5\) м/с²; 2) \(\vec v_0=(0;6)\) м/с, \(v_0=6{,}0\) м/с; 3) точка падения \((28;\,11)\) м (в клетках бланка); 4–7) положения через 1 с: \((3;31),(4;35),(7;35),(12;31),(19;23),(28;11)\); линия горизонта перпендикулярна \(\vec g\) и проходит через точку падения.
▶РешениеСкрыть
Задача допускает как графическое, так и алгебраическое решение (для его реализации бланк можно оцифровать). Мы будем использовать оба подхода. Для сокращения записей компоненты векторов (метрах, или «клеточках») будем записывать в скобках, например, положение тела в момент времени \(t_0 = 0\): \(\vec{r}_0 = (3, 31)\). Для всех векторов (перемещений, скоростей, ускорения) будем использовать систему единиц СИ.
1 Так как движение является равноускоренным, то векторы перемещений тела из положения в момент времени \(t_0 = 0\) за время \(t\) описываются формулой:
\[\Delta\vec{r} = \vec{v}_0 t + \frac{1}{2} \vec{g} t^2\tag{1}\]
Для моментов времени \(t_1 = 1{,}0\text{c}\) и \(t_4 = 4{,}0\text{c}\) можно записать:
\[\begin{cases} \Delta\vec{r}_{01} = \vec{v}_0 t_1 + \frac{1}{2} \vec{g} t_1^2 \\ \Delta\vec{r}_{04} = \vec{v}_0 t_4 + \frac{1}{2} \vec{g} t_4^2 \end{cases}\tag{2}\]
Это система уравнений относительно неизвестных векторов ускорения и начальной скорости имеет решение
\[\begin{cases} \Delta\vec{r}_{01} = \vec{v}_0 t_1 + \frac{1}{2} \vec{g} t_1^2 \\ \Delta\vec{r}_{04} = \vec{v}_0 t_4 + \frac{1}{2} \vec{g} t_4^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{\Delta\vec{r}_{01}}{t_1} = \vec{v}_0 + \frac{1}{2} \vec{g} t_1 \\ \frac{\Delta\vec{r}_{04}}{t_4} = \vec{v}_0 + \frac{1}{2} \vec{g} t_4 \end{cases} \Rightarrow \frac{1}{2} \vec{g} (t_4 - t_1) = \frac{\Delta\vec{r}_{04}}{t_4} - \frac{\Delta\vec{r}_{01}}{t_1} \Rightarrow\]
\[\vec{g} = \frac{2}{t_4(t_4 - t_1)} \Delta\vec{r}_{04} - \frac{2}{t_1(t_4 - t_1)} \Delta\vec{r}_{01}\tag{3}\]
Подстановка численных значений времен дает следующие значения искомых векторов
\[\vec{g} = \frac{2}{t_4(t_4 - t_1)} \Delta\vec{r}_{04} - \frac{2}{t_1(t_4 - t_1)} \Delta\vec{r}_{01} = \frac{1}{6} \Delta\vec{r}_{04} - \frac{2}{3} \Delta\vec{r}_{01} = \frac{\Delta\vec{r}_{04} - 4\Delta\vec{r}_{01}}{6}.\tag{4}\]
Эти векторы можно построить на бланке (см. рис.). Там же указан вектор \(\vec{S}_1\) Можно также найти численные значения их компонент (в изображенной системе координат):
\[\begin{cases} \vec{r}_0 = (3, 31) \\ \vec{r}_1 = (4, 35) \\ \vec{r}_4 = (19, 23) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \Delta\vec{r}_{01} = \vec{r}_1 - \vec{r}_0 = (1, 4) \\ \Delta\vec{r}_{04} = \vec{r}_4 - \vec{r}_0 = (16, -8) \end{cases} \Rightarrow \vec{g} = \frac{\Delta\vec{r}_{04} - 4\Delta\vec{r}_{01}}{6} = (2, -4)\tag{5}\]
Модуль вектора ускорения равен
\[g = \sqrt{2^2 + 4^2} = 4{,}5 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}.\tag{6}\]
2. Вектор скорости \(\vec{v}_0\) можно выразить из первого уравнения системы (2):
\[\Delta\vec{r}_{01} = \vec{v}_0 t_1 + \frac{1}{2} \vec{g} t_1^2 \quad \Rightarrow \quad \vec{v}_0 = \frac{\Delta\vec{r}_{01}}{t_1} - \frac{1}{2} \vec{g} t_1.\tag{7}\]
Тогда требуемый вектор
\[\vec{S}_2 = \vec{v}_0 t_1 = \Delta\vec{r}_{01} - \frac{1}{2} \vec{g} t_1^2 = \Delta\vec{r}_{01} - \frac{1}{2} \vec{S}_1\tag{8}\]
Построение этого вектора также показано на рисунке.
Численные значения его компонент:
\[\vec{S}_{2} = \frac{\Delta \vec{r}_{01}}{t_{1}} - \frac{1}{2} \vec{g} t_{1} = (0, 6).\tag{9}\]
Модуль вектора скорости, очевидно, равен \(v_{0} = 6{,}0 \frac{\text{м}}{\text{с}}\).
3. Используя закон равноускоренного движения (1), положение объекта в произвольный момент времени можно описать формулой
\[\vec{r} = \vec{r}_{0} + \vec{v}_{0} t + \frac{1}{2} \vec{g} t^{2} = \vec{r}_{0} + \vec{S}_{2} \frac{t}{t_{1}} + \frac{1}{2} \left( \frac{t}{t_{1}} \right)^{2} \vec{S}_{1}.\tag{10}\]
Так в момент падения \(t = 5{,}0\)с радиус-вектор объекта равен
\[\vec{r}_{5} = \vec{r}_{0} + 5 \vec{S}_{2} + \frac{25}{2} \vec{S}_{1} = (28, 11)\tag{11}\]
4. Линия горизонта перпендикулярна вектору ускорения \(\vec{g}\) (или \(\vec{S}_{1}\)) и проходит через точку падения. На рисунке – жирная двойная линия.
5. Расчет координат остальных точек выполняется аналогично, как графически, так и алгебраически. Отметим, что приведенная формула (10) справедлива как для положительных, так и для отрицательных времен. Построения этих точек показаны на рисунке. В таблице приведены рассчитанные значения координат.
| T,с | X, м | Y, м |
| 0 | 3 | 31 |
| 1 | 4 | 35 |
| 2 | 7 | 35 |
| 3 | 12 | 31 |
| 4 | 19 | 23 |
| 5 | 28 | 11 |
| -1 | 4 | 23 |
| -2 | 7 | 11 |
| -3 | 12 | -5 |
6. Определение точки вылета может быть проведено различными способами. Простейший из них – формально отметить точку траектории, соответствующую моменту времени \(t = -3{,}0\)с, заметить, что она лежит ниже линии горизонта. На интервале времени \([-3, -2]\) участок траектории приближенно можно считать отрезком прямой линии. Поэтому точка вылета есть точка пересечения указанного отрезка траектории с линией горизонта – точка \(E\) на рисунке.
Более точным является следующий способ. Траектория движения симметрична относительно вертикали на всех уровнях. Поэтому проведем через первую точку \(O\) прямую \(OA\), параллельную линии горизонта и через ее середину проведем перпендикуляр \(BC\). Эта прямая является осью симметрии параболы (траектории). Поэтому расстояние от точки вылета \(E\) до основания перпендикуляра \(C\), на таком же расстоянии, что и точка падения \(D\).
7. Положения вершины параболы с требуемой точностью можно указать и «на глаз» - точка \(F\)!
Бланк 1.
Бланк 2
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 3 Опыты Джоуля
Долгое время (более 200 лет с начала ее изучения) природа теплоты была не известна. Основной теорий теплоты являлась теория теплорода. Согласно этой теории теплота есть некая невесомая жидкость, заполняющая все нагретые тела; передача теплоты есть простое перетекание теплорода из одного тела к другому и т.д.
Только в середине XIX века утвердилась «механическая теория теплоты» согласно этой теории теплота (точнее, тепловая или внутренняя энергия) есть кинетическая энергия движения молекул и потенциальная энергия их взаимодействия.
Важнейшую роль в развитии механической теории теплоты сыграли тщательные эксперименты, выполненные английским физиком Дж. П. Джоулем, результаты которых были опубликованы в 1847 году. Основная цель этих экспериментов – измерение, так называемого, механического эквивалента теплоты.
Еще когда природа теплоты была неизвестна, для ее измерения была введена специальная единица измерения – калория, количество теплоты которое требуется для нагревания 1 грамма воды на 1 градус Цельсия. Следовательно, теплоемкость воды равна \(c_0 = 1 \frac{\text{кал}}{\text{г} \cdot \text{град}}\) (точно, по определению). Но так, как теплота есть мера энергии, то она должна измеряться в единицах измерения энергии и работы (в системе СИ – это Джоуль). Таким образом, основной задачей Дж. П. Джоуля являлось установление количественного соотношения между единицей теплоты калорией и единицей механической энергии Джоулем\(^2\).
Схема установки Джоуля показана на рисунке. В медном баке с водой находилась система латунных лопастей, которые приводились во вращение с помощью системы опускающихся грузов, нитей и блоков.
Высота, с которой опускались грузы, их масса легко измеряемы. Также тщательно измерялось изменение температуры воды из-за вязкого трения лопастей. По этим экспериментальным данным можно рассчитать искомую величину механического эквивалента теплоты.
0. Пусть грузы общей массы \(m\) опустились на высоту \(h\), при этом вода массы \(m_0\) нагрелась на \(\Delta t\) градусов Цельсия. Пренебрегая всеми потерями теплоты и механической энергии, получите формулу для удельной теплоемкости воды \(c_0\), выраженной в единицах механической энергии.
Однако такой подход приводит к слишком большим систематическим ошибкам. Дж. П. Джоуль был великолепным экспериментатором, поэтому в своей работе он учел многочисленные поправки, рассчитать которые по данным Дж. П. Джоуля предстоит и вам. Вопросы задачи выделены рамками. В ответе на каждый вопрос приведите расчетную формулу и численный результат с необходимым числом значащих цифр.
1. Теплоемкость системы.
Масса медного бака \(m_1 = 1655{,}0\) г. Лопасти состоят из латуни (сплава меди и цинка) и содержат \(m_2 = 969{,}90\) г меди и \(m_3 = 254{,}85\) г цинка. Масса воды в баке \(m_0 = 6041{,}11\) г. Отношение удельной теплоемкости меди к удельной теплоемкости воды равно \(\frac{c_{\text{Cu}}}{c_w} = 0{,}09512\), а отношение удельной теплоемкости цинка к удельной теплоемкости воды \(\frac{c_{\text{Zn}}}{c_w} = 0{,}09555\).
1. Найдите эффективную массу воды \(M_0\), то есть массу воды, которая имеет такую же теплоемкость, как теплоемкость бака с водой и лопастями.
2. Нагрев воды и теплообмен с окружающей средой.
Процитируем работу Дж. П. Джоуля. Метод проведения опытов состоял в следующем. Определялась температура прибора трения\(^3\), грузы удерживались в подвешенном состоянии, ... определялось точное положение грузов над землей, вал освобождался и ему давали возможность вращаться до тех пор, пока грузы не достигали вымощенного плитами пола лаборатории, опускаясь примерно на 63 дюйма. ... После того, как эта процедура повторялась 20 раз, эксперимент завершался новым наблюдением температуры прибора. Средняя температура лаборатории определялась в начале, середине и при завершении каждого эксперимента. Непосредственно перед каждым опытом или сразу после него я проводил проверку воздействия передачи теплоты телу из атмосферы, или в обратном направлении... При этих проверках положение аппарата, количество содержащейся в нем воды, время проверки, метод наблюдения термометров, положение экспериментатора – короче говоря, все условия, за исключением того, что аппарат покоился, были такими же, как и в экспериментах, в которых наблюдался эффект трения.
Результаты одной из серий экспериментов приведены в Таблице 1. Все температуры приведены в градусах Цельсия
| Эксперимент | Общая высота опускания грузов (м) | Средняя температура воздуха | Температура прибора в начале опыта | Температура прибора в конце опыта |
| С вращением | 31,927 | 14,277 | 12,843 | 13,208 |
| Без вращения | 0 | 14,371 | 13,208 | 13,268 |
2.1 Рассчитайте по этим данным, на сколько градусов нагрелась бы вода, если бы не было теплообмена с окружающей средой.
3. Ускорение свободного падения и потери механической энергии.
По утверждению Дж. П. Джоуля кинетическая энергия тела, движущегося со скоростью \(v = 2{,}420 \frac{\text{дюйм}}{c}\), равна потенциальной энергии того же тела, поднятого на высоту \(h = 0{,}00760 \text{дюйм}\).
3.1 Рассчитайте по этим данным ускорение свободного падения в лаборатории. (\(1 \text{ дюйм} = 2{,}540 \text{см}\)).
Общая масса опускающихся грузов равна \(M_1 = 26317{,}9 \text{ г}\). Для учета сил трения в осях блоков и оси вала были проведены дополнительные измерения. Если отсоединить лопасти, то для того, чтобы грузы пришли в движение на один из них необходимо положить дополнительный перегрузок массы \(\Delta m = 183{,}8 \text{ г}\).
3.2 Найдите механическую энергию (в Джоулях) опускающихся грузов, пошедшую на нагревания бака с водой.
4. Механический эквивалент теплоты.
4. Используя все приведенные и полученные вами данные, рассчитайте, чему равна 1 калория в Джоулях.
\textsuperscript{2} Конечно, сам Дж. П. Джоуль использовал английскую систему мер. Так механическую работу он измерял в футо-фунтах – энергия которая требуется, чтобы поднять 1 фунт на высоту в 1 фут, температура измерялась в градусах Фаренгейта, масса измерялась в гранах и т.д. Для упрощения вашей работы все численные данные, приведенные в условии данной задачи (взятые непосредственно из работы Дж. П. Джоуля) переведены в привычные для вас единицы измерения.
\textsuperscript{3} Имеется в виду бака с водой.
▶ПодсказкаСкрыть
Тепловой баланс с учётом теплоёмкости бака и лопастей (эффективная масса воды), поправка на теплообмен с воздухом — по контрольному опыту без вращения, потери на трение — по перегрузку, трогающему грузы.
▶ОтветСкрыть
1) \(M_0=6315{,}14\) г; 2.1) \(\Delta t^*=0{,}298\,^\circ\text{C}\); 3.1) \(g=9{,}786\text{ м/с}^2\); 3.2) \(E=8165{,}5\) Дж; 4) \(c_0=4{,}336\text{ Дж/(г}\cdot{}^\circ\text{C)}\), т.е. 1 кал \(\approx4{,}336\) Дж.
▶РешениеСкрыть
0. Уравнение закона сохранения энергии в данном случае имеет вид
\[c_0 m_0 \Delta t = mgh.\tag{1}\]
Из этого уравнения следует, что
\[c_0 = \frac{mgh}{m_0 \Delta t}.\tag{2}\]
1. Теплоемкость системы является аддитивной величиной, поэтому общую теплоемкость можно представить следующим образом
\[c_{Cu} (m_1 + m_2) + c_{Zn} m_3 + c_w m_0 = c_w M_0.\tag{3}\]
Тогда эффективная масса воды оказывается равной
\[M_0 = \frac{c_{Cu}}{c_w} (m_1 + m_2) + \frac{c_{Zn}}{c_w} m_3 + m_0 =\]
\[= 0{,}09512 \cdot (1655{,}0 + 969{,}9) + 0{,}09555 \cdot 254{,}85 + 6041{,}11 = 6315{,}14 \, \text{г}.\tag{4}\]
2.1 Обратим внимание, что в данной серии экспериментов температура окружающего воздуха была выше, чем температура воды в баке, поэтому вода дополнительно получала теплоту от воздуха. При наличии теплообмена с воздухом уравнение теплового баланса имеет вид
\[C \Delta t_w = Q_0 + Q_1,\tag{5}\]
где \(C\) - общая теплоемкость бака с водой, \(\Delta t_w^{(1)}\) - изменение температуры воды в опыте с вращением лопастей (первая строка в таблице), \(Q_0\) - количество теплоты, выделившейся из-за вращения лопастей, \(Q_1\) - количество теплоты, полученной посредством теплообмена с воздухом. При отсутствии теплообмена воды бы нагрелась на величину \(\Delta t^*\), которая определяется выражением
\[C \Delta t_w^* = Q_0 = C \Delta t_w^{(1)} - Q_1,\tag{6}\]
Разумно предположить, что величина \(Q_1\) пропорциональная разности между средней температурой воздуха и средней температурой воды в ходе опыта
\[Q_1 = \gamma \left( t_{\text{возд}}^{(1)} - \bar{t}_{\text{воды}}^{(1)} \right).\tag{7}\]
Для определения коэффициента пропорциональности в этом выражении следует воспользоваться результатами опыта без вращения лопастей. В этом опыте уравнение теплового баланса имеет вид
\[C \Delta t_w^{(2)} = Q_1^{(2)} = \gamma \left( t_{\text{возд}}^{(2)} - \bar{t}_{\text{воды}}^{(2)} \right).\tag{8}\]
Следовательно, коэффициент теплопередачи равен
\[\gamma = \frac{C \Delta t_w^{(2)}}{\left( t_{\text{возд}}^{(2)} - \bar{t}_{\text{воды}}^{(2)} \right)}.\tag{9}\]
Подставляя выражения (7) и (9) в формулу (6), получим
\[C \Delta t _ { w } ^ { * } = Q _ { 0 } = C \Delta t _ { w } ^ { ( 1 ) } - Q _ { 1 } = C \Delta t _ { w } ^ { ( 1 ) } - \gamma \left( t _ { \text{возд} } ^ { ( 1 ) } - \bar { t } _ { \text{воды} } ^ { ( 1 ) } \right) = C \Delta t _ { w } ^ { ( 1 ) } - \frac { C \Delta t _ { w } ^ { ( 2 ) } } { \left( t _ { \text{возд} } ^ { ( 2 ) } - \bar { t } _ { \text{воды} } ^ { ( 2 ) } \right) } \left( t _ { \text{возд} } ^ { ( 1 ) } - \bar { t } _ { \text{воды} } ^ { ( 1 ) } \right) .\tag{10}\]
Таким образом, при отсутствии теплообмена вода бы нагрелась на
\[\Delta t _ { w } ^ { * } = \Delta t _ { w } ^ { ( 1 ) } - \Delta t _ { w } ^ { ( 2 ) } \frac { \left( t _ { \text{возд} } ^ { ( 1 ) } - \bar { t } _ { \text{воды} } ^ { ( 1 ) } \right) } { \left( t _ { \text{возд} } ^ { ( 2 ) } - \bar { t } _ { \text{воды} } ^ { ( 2 ) } \right) } =\]
\[= ( 13{,}208 - 12{,}843 ) - ( 13{,}268 - 13{,}208 ) \frac { 14{,}277 - \frac { 13{,}208 + 12{,}843 } { 2 } } { 14{,}371 - \frac { 13{,}268 + 13{,}208 } { 2 } } = 0{,}298^{\circ}C\tag{11}\]
3.1 Приравнивая выражения для кинетической и потенциальной энергии, получим
\[mgh = \frac{mv^2}{2} \quad \Rightarrow \quad g = \frac{v^2}{2h} = \frac{(2{,}420 \cdot 2{,}540)^2}{2 \cdot 0{,}00760 \cdot 2{,}540} \cdot 0{,}01 = 9{,}786 \frac{\text{м}}{c^2}.\tag{12}\]
3.2 Наличие трения приводит к уменьшению эффективной массы грузов на величину \(\Delta m\). Поэтому энергия, пошедшая на нагревание бака равна
\[E = (M_1 - \Delta m)gh = \frac{(26317{,}9 - 183{,}8)}{1000} \cdot 9{,}786 \cdot 31{,}927 = 8165{,}50 \text{Дж}.\tag{13}\]
4. Подставляя все найденные величины в формулу для теплоемкости воды, получим
\[c_0 = \frac{E}{M_0 \Delta t^*} = \frac{8165{,}50 \text{Дж}}{6315{,}14 \text{г} \cdot 0{,}298^{\circ}C} = 4{,}336 \frac{\text{Дж}}{\text{г} \cdot ^{\circ}C}.\tag{14}\]
Это и есть численное значение энергии в 1 калорию, выраженную в джоулях.
Для интереса, отметим, что без учета всех поправок прямой расчет по формуле 1 приводит к значению \(c_0 = 3{,}58 \frac{\text{Дж}}{\text{г} \cdot ^{\circ}C}\).
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Источник: Республиканская физическая олимпиада Беларуси, 2016/17, заключительный этап, 9 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.