Белорусская, 2018/19, заключительный этап, 10 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Во втулке сила трения почти постоянна, и показание динамометра сдвигается относительно веса груза на её величину. На цилиндре отношение натяжений постоянно, и показание пропорционально весу груза.

Ответ

1.4) \(F_{\text{тр}}=(1{,}8\pm0{,}1)\) Н при нагрузке, \((1{,}0\pm0{,}1)\) Н при разгрузке; 2.3) \(k=0{,}70\pm0{,}03\).

Решение

Часть 1. Нить в бумажной втулке.

1.1 – 1.2 Результаты измерений зависимости показаний динамометра \(F\) от веса подвешенных грузов \(P\) при нагрузке и разгрузке приведены в таблице 1 и на графике.

Таблица 1. Нить в бумажной втулке

1.3 Если считать силу трения нити о бумажную втулку постоянной, то данные зависимости должны описывать формулами

\[F = P \pm F_{\text{тр}}.\tag{1}\]

Знак минус соответствует нагрузке, плюс – разгрузке.

1.4 Из графика 1 видно, что строго говоря эти зависимости строго не выполняются. Это может быть обусловлено тем, что на данном участке нить плотнее стала прижиматься к стенкам втулки. Это в свою очередь может быть обусловлено изменением толщины нити, перекручиванием нити, возможно подклинивание штанги динамометра из-за отклонения корпуса динамометра от вертикали и пр.

Однако при небольших массах подвешенных грузов (где проведены линейный аппроксимирующие прямые), формулы (1) достаточно хорошо описывают полученные зависимости: коэффициенты наклона близки к единице (0,96 и 1,07); надежно наблюдается сдвиг прямых. Величины этого сдвига равны силе трения. Простая графическая обработка дает следующие значения для сил трения: При нагрузке \(F = (1{,}8 \pm 0{,}1)H\); При разгрузке \(F = (1{,}0 \pm 0{,}1)H\).

Часть 2. Нить на цилиндре.

2.1 Результаты измерений зависимости показаний динамометра \(F\) от веса подвешенных грузов \(P\) при нагрузке и разгрузке приведены в таблице 2 и на графике.

Таблица 2. Нить на цилиндре

2.3 Чтобы отношение

\[\frac{T_1}{T_2} = k.\tag{2}\]

было меньше 1 направление движение нити по цилиндру должно быть таким, как показано на рисунке. Следовательно, при нагрузке показания динамометра меньше, чем вес грузов, при разгрузке наоборот – показания динамометра больше веса грузов.

Полученные зависимости подтверждают теоретическую формулу, приведенную в условии задачи: между показаниями динамометра и весом грузов реализуется прямо пропорциональная зависимость. Коэффициенты наклона в данном случае имеет смысл рассчитывать по методу наименьших квадратов. Такой расчет дает следующие значения: При нагрузке \(a_1 = 0{,}70 \pm 0{,}02\); При разгрузке \(a_2 = 1{,}42 \pm 0{,}05\) Значение коэффициента в формуле (1) равно коэффициенту \(a_1\). Также этот коэффициент обратен величине \(a_2\). Т.е.

\[k = \frac{1}{a_2} = 0{,}70 \pm 0{,}03.\tag{3}\]

Как видно получено прекрасное соответствие между найденными значениями. Отметим, что произведение рассчитанных по МНК коэффициентов \(a_1 \cdot a_2\) отличаются от теоретического значения (единицы) в четвертом знаке после запятой.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Ток через диод равен току через резистор. Пересечение ВАХ диода с нагрузочной прямой даёт ток в цепи, а при большом сопротивлении таких точек может быть три, отсюда гистерезис.

Ответ

\(U_u\approx170\) мВ, \(I_u\approx9\) мкА; \(U_d\approx600\) мВ, \(I_d\approx0{,}5\) мкА; при \(R=100{,}7\) Ом наклоны ветвей \(112{,}2\) и \(157{,}8\) Ом.

Решение

1. Для проведения измерений используется традиционная схема с делителем напряжения, позволяющая измерять напряжения на резисторе \(U_{R}\) и диоде \(U_{D}\).

2.1. Требуемые величины рассчитываются по очевидным формулам

\[U_{0} = U_{R} + U_{D}\]

\[I = \frac{U_{R}}{R}\tag{1}\]

2.2 – 2.3 В этой серии использовался резистор с сопротивлением \(R = 100{,}7\) Ом График зависимости силы тока в цепи \(I\) от общего напряжения \(U_{0}\) показан на рисунке. Таблица результатов измерений приведена на следующей странице.

При возрастании напряжения сила тока изменяется по «траектории» \(ABCD\), при уменьшении - \(DEFA\). Главной особенностью полученной зависимости является наличие области бистабильности (ветви \(FB\) и \(EC\)) – в этой области при одном и том же напряжении сила тока может принимать разные значения.

Таблица 1. Измерения при \(R = 100{,}7\) Ом.

2.4 Выделенные линейные

участки отдельно показаны на следующем рисунке. Для упрощения построена «перевернутая зависимость» напряжение – сила тока. Коэффициенты наклона на этих графиках равны сопротивлениям цепи (дифференциальным). Расчет этих значений дает следующие значения: На ветви АВ: \(R = 112{,}2\) Ом На ветви CD: \(R = 157{,}8\) Ом

2.5 Качественное объяснение полученной зависимости может быть дано на основании ВАХ диода (см рис) На этом же графике построены зависимости силы тока через резистор (которая, естественно, равна силе тока через диод) от напряжения на диоде

\[I = \frac{U_0 - U_D}{R}.\tag{2}\]

Точки пересечения этих графиков дают значения силы тока в цепи. Видно, что в диапазоне напряжений от \(U_1^*\) до \(U_2^*\) таких точек 3. Легко показать, что средняя ветвь в данном случае является неустойчивой, поэтому в эксперименте не проявляется. При возрастании напряжения сила тока изменяется по левой ветви, при убывании по правой ветви ВАХ диода.

3. Вторая серия измерений проведена с резистором с сопротивлением \(R = 30{,}0\) Ом. Результаты измерений приведены в Таблице 2 и показаны на графике.

Таблица 2. Измерения при \(R = 30{,}0\) Ом.

В этом случае области бистабильности нет – значения сил токов при возрастании и при убывании напряжения повторяются.

Качественное объяснение этой зависимости дает следующий график (аналогичный тому, который был рассмотрен при объяснении бистабильности). Из этого рисунка видно, что при малых сопротивлениях ВАХ диода и ВАХ резистора имеют одну точку пересечения при любых значениях общего напряжения. Поэтому в данном случае зависимость получается однозначной.

4. На следующем рисунке на график нанесены все точки значений сил токов в зависимости от напряжения на диоде – эти точки и дают ВАХ диода.

По непонятным причинам правые ветви ВАХ, измеренные при разных сопротивлениях, слегка расходятся.

5. Значения сил токов и напряжений в критических точках оказываются равными: в пике \(U_{u} \approx 170\,\text{мВ},\ I_{u} \approx 9\,\text{мкА}\); в провале \(U_{d} \approx 600\,\text{мВ},\ I_{d} \approx 0{,}5\,\text{мкА}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.