Белорусская, 2018/19, заключительный этап, 10 класс, теоретический тур

Подсказка

Постоянство \(g\) задаёт массу внутри шара радиуса \(r\) как \(m\propto r^2\), остаётся продифференцировать. Для проволоки складывайте сопротивления тонких слоёв, а для газа — скорости ионизации (концентрации складываются «по Пифагору»).

Ответ

1.1) \(\rho(r)=\dfrac{g_0}{2\pi Gr}\); 1.2) \(R\approx0{,}095\) Ом; 1.3) \(\rho=\dfrac{\rho_1\rho_2}{\sqrt{\rho_1^2+\rho_2^2}}\).

Решение

Задача 1.1

Ускорение свободного падения на расстоянии \(r\) от центра рассчитывается по формуле

\[g = G \frac{m(r)}{r^2},\tag{1}\]

где \(m(r)\) - масса части планеты, находящейся внутри шара радиуса \(r\). Чтобы ускорение свободного падения не зависело от \(r\), необходимо, что бы масса указанной части планеты удовлетворяла условию

\[m(r) = \frac{g_0}{G} r^2.\tag{2}\]

Запишем выражение для массы части планеты для радиуса \((r + \Delta r)\), где \(\Delta r \ll r\)

\[m(r + \Delta r) = m(r) + 4\pi r^2 \Delta r \rho.\tag{3}\]

Здесь \(4\pi r^2 \Delta r \rho\) - масса части планеты, находящейся внутри шарового слоя радиуса \(r\) и малой толщины \(\Delta r\). С другой стороны, из формулы (2) следует, что

\[m(r + \Delta r) = \frac{g_0}{G} (r + \Delta r)^2 \approx \frac{g_0}{G} r^2 + 2 \frac{g_0}{G} r \Delta r = m(r) + 2 \frac{g}{G} r \Delta r\tag{4}\]

Приравнивая выражения (3) и (4), получим ответ данной задачи

\[m(r) + 2 \frac{g_0}{G} r \Delta r = m(r) + 4\pi r^2 \Delta r \rho \quad \Rightarrow \quad \rho(r) = \frac{g_0}{2\pi G r}\tag{5}\]

Задача 1.2

Известна формула для сопротивления длинного проводника

\[R = \rho \frac{l}{S},\tag{1}\]

Но она применима к проводнику постоянного поперечного сечения. В данном случае площадь поперечного проволоки сечения переменна, поэтому для расчета ее сопротивления проволоку следует мысленно разбить на малые участки длиной \(\Delta x\) и просуммировать сопротивления этих участков (отметим, что они соединены последовательно). Итак, сопротивление всей проволоки можно представить в виде суммы

\[R = \sum_k \Delta R_k = \sum_k \rho \frac{\Delta x_k}{\pi r_k^2} = \frac{\rho}{\pi} \sum_k \frac{\Delta x_k}{r_k^2}\tag{2}\]

Для вычисления этой суммы можно построить график функции \(f(x) = \frac{1}{(r(x))^2}\), тогда площадь под эти графиком численно будет равна сумме, входящей в формулу (2). По заданному графику зависимости \(r(x)\) найдем значения радиуса в некоторых точках и построим график функции \(f(x)\). Снятые с графика значения \(r(x_k)\) и рассчитанные значения \(f(x_k)\) приведены в таблице, рядом построен график функции \(f(x)\).

Таблица.

Проведенные расчеты показывают, что полученная зависимость \(f(x)\) состоит из двух симметричных частей, причем каждая из них является линейной. Поэтому не представляет труда вычислить площадь под графиком построенной функции

\[s = 2\left(\frac{1+4}{2}\right) \cdot 10^{6} \, \text{м}^{-2} \cdot 0{,}50 \, \text{м} = 2{,}5 \cdot 10^{6} \, \text{м}^{-1}\tag{3}\]

Тогда сопротивление проволоки равно

\[R = \frac{\rho}{\pi} \sum_{k} \frac{\Delta x_{k}}{r_{k}^{2}} = \frac{\rho}{\pi} s = \frac{1{,}2 \cdot 10^{-7} \, \text{Ом} \cdot \text{м}}{\pi} 2{,}5 \cdot 10^{6} \, \text{м}^{-1} = 0{,}095 \, \text{Ом}.\tag{4}\]

Задача 1.3

Проводимость газа пропорциональна концентрации \(n\) свободных носителей тока (ионов и электронов), т.е.

\[\frac{1}{\rho} = A n,\tag{1}\]

где \(A\) - некоторая константа. Ионы в газе появляются вследствие ионизации. т.е. число ионов, появляющихся в единицу времени, пропорционально интенсивности внешнего воздействия (плотности потока ионизирующих частиц)

\[\Delta n_{+} = \alpha I \Delta t.\tag{2}\]

Исчезают же ионы вследствие рекомбинации (т.е. встрече двух ионов\(^{1}\) противоположного знака). Т.к. как концентрации ионов противоположного знака одинаковы, то скорость рекомбинации пропорциональна квадрату концентрации ионов

\[\Delta n_{-} = \beta n^{2} \Delta t.\tag{3}\]

В установившемся режиме скорость ионизации равна скорости рекомбинации. Из этого условия устанавливается связь между интенсивностью потока ионизирующих частиц и концентрацией ионов в газе

\[\alpha I = \beta n^{2}.\tag{4}\]

При воздействии каждого из источников устанавливаются концентрации, удовлетворяющие условиям

\[\begin{aligned} & \alpha I_{1} = \beta n_{1}^{2} \\ & \alpha I_{2} = \beta n_{2}^{2} \end{aligned}\tag{5}\]

При воздействии двух источников условие стационарности концентраций имеет вид

\[\alpha(I_{1} + I_{2}) = \beta n_{s}^{2}.\tag{6}\]

Из этих соотношений следует, что концентрация ионов при воздействии двух источников определяется по «теореме Пифагора»

\[n_{s} = \sqrt{n_{1}^{2} + n_{2}^{2}}.\tag{7}\]

Наконец, используя соотношение (1), получим формулу, связывающую удельные сопротивления

\[\frac{1}{\rho_{s}} = \sqrt{\frac{1}{\rho_{1}^{2}} + \frac{1}{\rho_{2}^{2}}}.\tag{8}\]

Из которой следует окончательный результат

\[\rho_{s} = \frac{\rho_{1}\rho_{2}}{\sqrt{\rho_{1}^{2} + \rho_{2}^{2}}}.\tag{9}\]

\textsuperscript{1} Свободный электрон также будем назвать «ионом».

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Смещением за время толчка пренебрегать можно лишь в первом порядке малости по \(\tau\). Поправки к скорости и к координате выписывайте с одинаковой точностью, и противоречия теорем не останется.

Ответ

1.1) \(v_0=qE\tau/m\); 2.3) \(\varepsilon_v=-\dfrac{k\tau^2}{6m}\); 2.6) верна формула \(v_0=\dfrac{qE}{m}\tau\left(1-\dfrac{k\tau^2}{6m}\right)\); 2.7) \(\tilde X=\dfrac{qE\tau^2}{2m}\); 2.8) \(-\dfrac{k\tau^2}{12m}\); 3.1) \(E_0=\dfrac{U_0r_2}{r_1(r_2-r_1)}\); 3.2) \(E=E_0r_1^2/r^2\); 3.4) \(n=1\).

Решение

Часть 1. Постоянная сила.

1.1 Сил, действующая на частицу, во время включения поля, равна

\[F = qE\tag{1}\]

Так как начальная скорость частицы равна нулю, поэтому уравнение теоремы об изменении импульса имеет вид

\[mv_0 = qE\tau .\tag{2}\]

Из этого уравнения находим скорость частицы

\[v_0 = \frac{qE}{m}\tau .\tag{3}\]

График этой зависимости показан на рисунке.

1.2 Уравнение теоремы о кинетической энергии имеет вид

\[\frac{mv_0^2}{2} = qEx .\tag{4}\]

Так как движение тела является равноускоренным, то смещение тела за время действия поля \(\tau\) равно

\[x_0 = \frac{qE}{2m}\tau^2 .\tag{5}\]

Подставляя это выражение в формулу (4), получаем значение скорости

\[v_0 = \sqrt{2\frac{qE}{m}\left(\frac{qE}{2m}\tau^2\right)} = \frac{qE}{m}\tau\tag{6}\]

График зависимости скорости от координаты показан на рисунке.

1.3 Полученные формулы полностью совпадают.

Примечание. Формулы совпадают, так обе получены безо всяких приближений.

Часть 2. Сила упругости.

2.1 Пренебрежение смещением частицы за время действия поля равносильно пренебрежением силы упругости. Поэтому в этом приближении скорость частицы описывается тоже формулой, что и в Части 1:

\[\tilde{v}_0 = \frac{qE}{m}\tau .\tag{7}\]

2.2 В начальный момент времени ускорение частицы определяется только электрическим полем, поэтому в используемом приближении закон движения частицы описывается формулой

\[x = \frac{qE}{2m}t^2\tag{8}\]

Тогда уравнение (1) в указанном приближении сводится к виду

\[m \frac { \Delta v } { \Delta t } = q E - k x \quad \Rightarrow \quad \frac { \Delta v } { \Delta t } = \frac { q E } { m } - \frac { k } { m } \cdot \left( \frac { q E } { 2 m } \tau ^ { 2 } \right) .\tag{9}\]

Используя математическую подсказку, легко получить выражение для скорости частицы сразу после выключения поля:

\[v _ { 0 } = \frac { q E } { m } \tau - \frac { k q E } { 6 m ^ { 2 } } \tau ^ { 3 } = \frac { q E } { m } \tau \left( 1 - \frac { 1 } { 6 } \frac { k } { m } \tau ^ { 2 } \right)\tag{10}\]

2.3 Относительная погрешность значения скорости, найденного в первом приближении, равна

\[\varepsilon _ { v } = \frac { v _ { 0 } - \widetilde { v } _ { 0 } } { \widetilde { v } _ { 0 } } = - \frac { 1 } { 6 } \frac { k } { m } \tau ^ { 2 } .\tag{11}\]

2.4 Запишем уравнение, следующее из теоремы о кинетической энергии, выразим из него значение искомой скорости

\[{ \frac { m v _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } } = q E x - { \frac { k x ^ { 2 } } { 2 } } \quad \Rightarrow \quad v _ { 0 } = { \sqrt { 2 { \frac { q E } { m } } x - { \frac { k } { m } } x ^ { 2 } } }\tag{12}\]

Подставляя значение координаты в момент выключения поля (8), получим

\[v _ { 0 } = { \sqrt { 2 { \frac { q E } { m } } x - { \frac { k } { m } } x ^ { 2 } } } = { \sqrt { 2 { \frac { q E } { m } } \left( { \frac { q E } { 2 m } } \tau ^ { 2 } \right) - { \frac { k } { m } } \left( { \frac { q E } { 2 m } } \tau ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } = { \frac { q E } { m } } \tau { \sqrt { 1 - { \frac { 1 } { 4 } } { \frac { k } { m } } \tau ^ { 2 } } } \ .\tag{13}\]

2.5 Наконец, используем приближенную формулу (для корня \(\gamma = \frac { 1 } { 2 }\) ):

\[v _ { 0 } = { \frac { q E } { m } } \tau { \sqrt { 1 - { \frac { 1 } { 4 } } { \frac { k } { m } } \tau ^ { 2 } } } \approx { \frac { q E } { m } } \tau \left( 1 - { \frac { 1 } { 8 } } { \frac { k } { m } } \tau ^ { 2 } \right) .\tag{14}\]

2.6 Полученные формулы (10) и (14) имеют одинаковую структуру, но отличаются коэффициентом относительной погрешности. Можно показать, что правильной формулой является формула (10). Для этого достаточно проанализировать порядок малых поправок. Поправка к скорости, учитывающая смещение тела, равна 3 (т.е. пропорциональна \(\tau ^ { 3 }\) ), поэтому поправка к смещению должна быть пропорциональна \(\tau ^ { 4 }\). Следовательно, в формуле (13) величина \(x\) должна быть рассчитана с точностью до 4 порядка.

Примечания для скептиков.

1. Докажем последнее утверждение. Если зависимость скорости от времени имеет вид (10):

\[v _ { 0 } = \frac { q E } { m } \tau - \frac { k q E } { 6 m ^ { 2 } } \tau ^ { 3 } \, ;\]

то смещение, рассчитанное в рамках того же приближения, равно

\[x = \frac { q E } { 2 m } \tau ^ { 2 } - \frac { k q E } { 2 4 m ^ { 2 } } \tau ^ { 4 } \ .\]

Подставим это выражение в формулу (13) и проведем разложение (оставляя все слагаемые 4 порядка), в результате чего получим

\[v _ { 0 } = { \sqrt { 2 { \frac { q E } { m } } x - { \frac { k } { m } } x ^ { 2 } } } = { \sqrt { 2 { \frac { q E } { m } } \left( { \frac { q E } { 2 m } } \tau ^ { 2 } - { \frac { k q E } { 2 4 m ^ { 2 } } } \tau ^ { 4 } \right) - { \frac { k } { m } } \left( { \frac { q E } { 2 m } } \tau ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } \ =\]

\[= { \sqrt { \left( { \frac { q E } { m } } \tau \right) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 1 2 } } \left( { \frac { q E } { m } } \tau \right) ^ { 2 } \left( { \frac { k } { m } } \tau ^ { 2 } \right) - { \frac { 1 } { 4 } } \left( { \frac { q E } { m } } \tau \right) ^ { 2 } \left( { \frac { k } { m } } \tau ^ { 2 } \right) } } \ =\]

\[= { \frac { q E } { m } } \tau { \sqrt { 1 - { \frac { 1 } { 3 } } \left( { \frac { k } { m } } \tau ^ { 2 } \right) } } \approx { \frac { q E } { m } } \tau \left( 1 - { \frac { 1 } { 6 } } \left( { \frac { k } { m } } \tau ^ { 2 } \right) \right)\]

А эта формула полностью совпадает с выражением (10).

2. Уравнение (10) имеет точное решение (так является уравнением гармонических колебаний). С учетом начальных условий это решение задается функцией

\[ma = qE - kx \quad \Rightarrow \quad x(t) = \frac{qE}{k}(1 - \cos \omega t),\]

Где обозначено \(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\) - круговая частота гармонических колебаний частицы на пружине. Используя разложение косинуса \(\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots\), эта функция представляется в виде

\[x(t) = \frac{qE}{k}(1 - \cos \omega t) \approx \frac{qE}{k}\left(\frac{1}{2}(\omega t)^2 - \frac{1}{24}(\omega t)^4\right)\]

Что полностью совпадает с решением, полученным приближенным методом. Из уравнения (10) следует, что зависимость скорости от времени во втором приближении имеет вид

\[v = \frac{qE}{m}t - \frac{kqE}{6m^2}t^3\tag{10*}\]

Тогда в соответствии с математической подсказкой зависимость координаты от времени будет описываться функцией

\[x = \frac{qE}{m}\frac{t^2}{2} - \frac{kqE}{6m^2} \cdot \frac{t^4}{4} = \frac{qE}{2m}t^2\left(1 - \frac{1}{12}\frac{k}{m}t^2\right)\tag{11*}\]

2.7 Отсюда следует, что смещение в первом приближении равно

\[\widetilde{x} = \frac{qE}{2m}\tau^2\tag{12*}\]

2.8 Относительная поправка во втором приближении задается формулой

\[\varepsilon = -\frac{1}{12}\frac{k}{m}\tau^2.\tag{13*}\]

Часть 3. Кулоновская сила.

3.1 Напряженность поля необходимо выразить через заданное значение напряжения (разности потенциалов) \(U_0\). Электрическое поле между обкладками сферического конденсатора эквивалентно полю точечного заряда, помещенного в центр сфер. Поэтому разность потенциалов и напряженность поля описываются формулами

\[U_0 = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{r_2 - r_1}{r_2 \cdot r_1}\]

\[E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\tag{15}\]

Из которых не сложно получить зависимость напряженности поля от расстояния \(r\)

\[E(r) = U\frac{r_2 \cdot r_1}{r_2 - r_1}\frac{1}{r^2}.\tag{16}\]

Напряженность поля у поверхности внутренней сферы равна

\[E_0 = E(r = r_1) = U\frac{r_2 \cdot r_1}{r_2 - r_1}\frac{1}{r_1^2} = \frac{U}{r_1}\frac{r_2}{r_2 - r_1}.\tag{17}\]

3.2 Наконец выражение для напряженности поля в произвольной точке имеет вид

\[E(r) = E_0\frac{r_1^2}{r^2}.\tag{18}\]

3.3 Так как поле включают на малый промежуток времени \(\tau\), то и смещение частицы за этот промежуток времени будет мало. Поэтому представим \(r = r_1 + x\), причем \(x \ll r_1\). Тогда вблизи поверхности внутренней сферы напряженность поля может быть описана приближенной формулой

\[E(r) = E_0 \frac{r_1^2}{(r_1 + x)^2} = E_0 \left(1 + \frac{x}{r_1}\right)^{-2} \approx E_0 \left(1 - 2\frac{x}{r_1}\right).\tag{19}\]

Тогда уравнение движения тела в течение промежутка времени \(\tau\) имеет вид

\[ma = qE = qE_0 - \frac{2qE_0}{r_1}x.\tag{20}\]

Это уравнение полностью совпадает с рассмотренным уравнением (9), в котором следует положить \(k = \frac{2qE_0}{r_1}\). Скорость, которую приобретает тело за время включения поля, описывается формулой (10)

\[v_0 = \frac{qE_0}{m}\tau\left(1 - \frac{1}{6}\frac{k}{m}\tau^2\right) = \frac{qE_0}{m}\tau\left(1 - \frac{1}{3}\frac{qE_0}{mr_1}\tau^2\right)\tag{20'}\]

В первом приближении время движения частицы между обкладками описывается формулой

\[\widetilde{T} = \frac{r_2 - r_1}{\widetilde{v}_0} = \frac{m(r_2 - r_1)}{qE_0\tau}.\tag{21}\]

Для определения порядка погрешности обозначим \(\frac{qE_0}{m} = a\) — ускорение, с которым разгонялась частица. Тогда время движения во втором приближении можно записать в виде:

\[T = \tau + \frac{(r_2 - r_1) - \frac{a}{2}\tau^2}{a\tau\left(1 - \frac{1}{3}\frac{a}{r_1}\tau^2\right)}.\tag{22}\]

Упростим эту формулу, учитывая малость времени \(\tau\):

\[T = \tau + \frac{(r_2 - r_1) - \frac{a}{2}\tau^2}{a\tau\left(1 - \frac{1}{3}\frac{a}{r_1}\tau^2\right)} = \frac{(r_2 - r_1)}{a\tau} \frac{1 - \frac{a}{2(r_2 - r_1)}\tau^2}{1 - \frac{1}{3}\frac{a}{r_1}\tau^2} + \tau \approx\tag{23}\]

\[\approx \frac{(r_2 - r_1)}{a\tau}\left(1 - \frac{a}{2(r_2 - r_1)}\tau^2 + \frac{1}{3}\frac{a}{r_1}\tau^2\right) + \tau = \widetilde{T} + \beta\tau\]

Из этого выражения видно, что порядок поправки — первый, т.е. \(n = 1\).

Этот же результат можно получить из простых рассуждений. Во втором приближении все относительные поправки имеют второй порядок, поэтому и относительная погрешность формулы для расчета времени движения также имеет второй порядок. Так как время движения обратно пропорционально \(\tau\), то абсолютная погрешность должна имеет первый порядок:

\[\frac{\Delta T}{\widetilde{T}} \propto \tau^2 \quad \Rightarrow \quad \Delta T \propto \widetilde{T}\tau^2 = \frac{\Delta r}{a\tau}\tau^2 \propto \tau.\tag{24}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Разберите цикл насоса по участкам: при закрытых клапанах газ в камере изотермически сжимается или расширяется, а при открытом клапане объединяется с газом сосуда. Давление после каждого цикла связано с предыдущим линейной рекуррентной формулой.

Ответ

1.4) \(\gamma=\dfrac{V}{V+v_1}\), \(a=\dfrac{P_0v_0}{V+v_1}\); 1.5) \(\overline P=P_0v_0/v_1=5{,}0\) атм; 1.8) \(k\approx280\); 2.3) \(P_{50}\approx0{,}27\) атм; 2.4) \(P_{\min}=P_0v_1/v_0=0{,}20\) атм.

Решение

Часть 1. Накачивание воздуха.

1.1 В начальном состоянии положении (точка 1) поршень находится в крайнем правом положении, объем газа - \(v_0\), давление \(P_0\).

Поршень начинает двигаться влево, сжимая газ в камере. Пока давление газа в камере насоса не достигнет давления газа в сосуде, оба клапана будут закрыты, поэтому процесс сжатия будет описываться уравнением

\[P_0 v_0 = P v \quad \Rightarrow \quad P = \frac{P_0 v_0}{v}.\tag{1}\]

Давление газа в камере достигнет значения давления в сосуде \(P_k\), года объем уменьшится до значения \(v'\) (точка 2), которое определяется выражением

\[P_k = \frac{P_0 v_0}{v'} \quad \Rightarrow \quad v' = \frac{P_0 v_0}{P_k}.\tag{2}\]

После этого откроется клапан 1 и газ начнет поступать в сосуд.

На этом участке происходит сжатие газа в объеме сосуда и камеры насоса, поэтому описывается уравнением

\[P_k (V + v') = P (V + v) \quad \Rightarrow \quad P = P_k \frac{V + v'}{V + v}.\tag{3}\]

Такое сжатие будет продолжаться до тех пор, пока поршень не достигнет крайнего левого положения (точка 3), в котором объем газа в камере насоса равен \(v_1\), давление достигнет значения

\[P_{k+1} = P_k \frac{V + v'}{V + v_1} = P_k \frac{V}{V + v_1} + \frac{P_k v'}{V + v_1} = P_k \frac{V}{V + v_1} + P_0 \frac{v_0}{V + v_1}.\tag{4}\]

Это же давление будет и в сосуде, на остальных участках цикла оно изменяться не будет.

На следующем этапе поршень начинает обратное движение (вправо), при этом оба клапана опять оказываются закрытыми, пока давление в камере насоса не опустится до атмосферного давления. На этом участке уравнение процесса имеет вид

\[P_{k+1} v_1 = P v \quad \Rightarrow \quad P = \frac{P_{k+1} v_1}{v}\tag{5}\]

Давление в камере насоса станет равным атмосферному, когда объем газа увеличится до значения \(v''\), которое определяется формулой

\[P_0 = \frac{P_{k+1} v_1}{v''} \quad \Rightarrow \quad v'' = \frac{P_{k+1} v_1}{P_0}.\tag{6}\]

При дальнейшем смещении поршня откроется клапан 2 и атмосферный воздух будет поступать в камеру насоса, при этом давление воздуха в камере насоса будет оставаться равным атмосферному \(P = P_0\).

Для наглядности все характеристики цикла сведены в таблицу и показаны на графике.

Цикл накачки.

1.2 – 1.3 Расчеты параметров требуемых циклов, проведенные по формулам таблицы 1 приведены в соответствующих таблицах и на графиках.

Циклы 1, 2

Таблица состояний.

Цикл \((k + 1)\)

Таблица состояний.

1.4 Фактически требуемая формула получена в пункте 1.1 – формула (4):

\[P_{k+1} = P_k \frac{V}{V + v_1} + P_0 \frac{v_0}{V + v_1}.\tag{4'}\]

Из сравнения с формулой, приведенной в условии (\(P_k = \gamma P_{k-1} + a\)), следует, что ее параметры задаются формулами

\[\gamma = \frac{V}{V + v_1}\tag{7}\]

\[a = P_0 \frac{v_0}{V + v_1}\tag{8}\]

1.5 Предельное давление может быть найдено как путем чисто физических рассуждений, так и формально математически. Физические рассуждения. Максимально возможное сжатие воздуха в камере насоса достигается, когда поршень приходит в крайнее левое положение, а при этом клапан сосуда еще не открывается В этом случае из выражения (1) следует формула для максимального давления

\[\overline{P} = P_0 \frac{v_0}{v_1}.\tag{9}\]

Формально математически этот же результат можно получить из рекуррентной формулы, полагая в ней, что давление перестало изменяться, т.е. \(P_{k+1} = P_k = \overline{P}\). В этом случае получаем

\[\overline{P} = \gamma \overline{P} + a \quad \Rightarrow \quad \overline{P} = \frac{a}{1 - \gamma} = P_0 \frac{v_0}{v_1}.\tag{9'}\]

1.6 Из обозначения \(\delta_k = \overline{P} - P_k\) выразим значение давления \(P_k = \overline{P} - \delta_k\) и подставим в рекуррентную формулу

\[\overline{P} - \delta_k = \gamma (\overline{P} - \delta_{k-1}) + a.\tag{10}\]

С учетом выражения (9'), получаем, что

\[\delta_k = \gamma \delta_{k-1}\tag{11}\]

1.7 Формула (11), указывает, что величины \(\delta_k\) образуют геометрическую прогрессию, поэтому

\[\delta_k = \delta_0 \gamma^k\tag{12}\]

С помощью обратной подстановки \(P_k = \overline{P} - \delta_k\) получим

\[P_k = \overline{P} - \delta_0 \gamma^k = P_0 \frac{v_0}{v_1} - \left( P_0 \frac{v_0}{v_1} - P_0 \right) \left( \frac{V}{V + v_1} \right)^k.\tag{13}\]

График этой зависимости имеет вид кривой, монотонно стремящейся к предельному значению.

1.8 для расчета числа циклов удобно воспользоваться формулой (12). Проведем численный расчет ее параметров: - знаменатель прогрессии \(\gamma = \frac{V}{V + v_1} = \frac{20{,}00}{20{,}20} = 0{,}990\); - максимальное давление \(\overline{P} = P_0 \frac{v_0}{v_1} = 5{,}00 P_0\); - начальное отклонение \(\delta_0 = \overline{P} - P_0 = 4{,}00 P_0\);

- конечное отклонение \(\delta_k = \overline{P} - 0{,}95\overline{P} = 0{,}25P_0\).

Теперь из формулы (12) найдем

\[\delta_k = \delta_0 \gamma^k \quad \Rightarrow \quad k = \frac{\ln \frac{\delta_k}{\delta_0}}{\ln \gamma} = 276 \approx 280.\tag{14}\]

Часть 2. Откачка.

2.1 Решение этой части полностью аналогично решению первой части задачи, поэтому приведем его кратко.

Цикл откачки также состоит из четырех этапов. В соответствии с условием начнем с состояния, когда поршень находится в крайнем левом положении (давление в этом состоянии равно атмосферному) и начинает двигаться вправо. При этом оба клапана закрыты: газ в камере насоса расширяется, давление падает. Когда давление в камере становится равным давлению в сосуде, открывается клапан 1 и газ частично начинает выходить из сосуда. Поршень смещается в крайнее правое положение и начинает возвращаться обратно, при этом клапан 1 закрывается. Давление в камере растет и когда достигает атмосферного открывается клапан 2 и газ частично выбрасывается в атмосферу. Эти стадии показаны на рисунке, начальные, конечные значения параметров газа в камере насоса и уравнения процессов приведены в Таблице 2. Схематическая диаграмма цикла показана на рисунке.

Таблица 2. Цикл откачки.

Диаграмма цикла откачки.

2.2 Уменьшение давления в сосуде происходит на 3 этапе цикла откачки, уравнение процесса на этом этапе позволяет получить рекуррентное соотношение, связывающее давления до и после очередного цикла

\[P_{k+1} = P_k \frac{V + v'}{V + v_0}.\tag{15}\]

Подставляя значения для объема \(v'\) (при котором начинается выход газа из сосуда), получим

\[P_{k+1} = P_k \frac{V + v'}{V + v_0} = P_k \frac{V + \frac{P_0 v_1}{P_k}}{V + v_0} = P_k \frac{V}{V + v_0} + P_0 \frac{v_1}{V + v_0}.\tag{16}\]

Это соотношение полностью аналогично соотношению (4'), проанализированному в первой части задачи. Поэтому можно переписать полученные ранее решения, только при этом надо поменять местами значения объемов \(v_0\) и \(v_1\). Тогда зависимость давления в камере от числа проведенных циклов опишется формулой, аналогичной формуле (13):

\[P_k = P_0 \frac{v_1}{v_0} - P_0 \left( \frac{v_1}{v_0} - 1 \right) \left( \frac{V}{V + v_0} \right)^k\tag{17}\]

2.3 Подстановка численных значений параметров в эту формулу и последующий расчет дает значение давления в камере после 50 циклов откачки:

\[P_{50} = P_0 \left( \frac{v_1}{v_0} - \left( \frac{v_1}{v_0} - 1 \right) \left( \frac{V}{V + v_0} \right)^k \right) = P_0 \left( 0{,}20 + 0{,}80 \cdot \left( \frac{20}{21} \right)^{50} \right) = 0{,}27 \, \text{атм}.\tag{18}\]

2.4 Предельное минимальное значение давления воздуха в сосуде равно.

\[P_k = P_0 \frac{v_1}{v_0} = 0{,}20 \, \text{атм}.\tag{19}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.