Белорусская, 2018/19, заключительный этап, 11 класс, экспериментальный тур

Приборы и оборудование: самодельный конденсатор, источник напряжения \(1{,}5\) В, два постоянных резистора сопротивлением примерно равным \(1\) кОм, мультиметр, соединительные провода, секундомер.

Обкладками конденсатора служат полоски графита с прикрепленными полосками ткани, изготовленной из углеродных нанотрубок\(^1\). Пространство между обкладками заполнено жидким силикатным клеем. Свойства этого конденсатора сильно отчаются от свойств обычного конденсатора. Так этот конденсатор обладает памятью (можно сказать, что он очень злопамятен) – его характеристики зависят от предыстории: как, когда и насколько он заряжался и разряжался. Поэтому при проведении измерений строго следуйте приведенным в условии задачи инструкциям! Если вы не проводите измерения закоротите обкладки конденсатора.

В ходе измерений напряжение на конденсаторе не должно превышать \(600\) мВ.

Наилучшей теоретической моделью конденсатора является бесконечная \(RC\) - цепочка. Однако, полный анализ такой модели является сложной задачей, особенного для экспериментального тура. Поэтому в данной задаче вам необходимо предложить некоторые более упрощенные модели, причем не страшно, если в разных заданиях вы будете пользоваться разными моделями.

При проведении измерений удобно пользоваться секундомером с памятью этапов.}

Если вы не умеете работать с секундомером в таком режиме – обратитесь за консультацией к организаторам олимпиады.}

Часть 1. Зарядка конденсатора.

В данной части вам необходимо изучить процесс зарядки конденсатора в цепи, показанной на рисунке. На схеме обозначены: \(C^*\) - исследуемый конденсатор, \(R\) - сопротивление цепи зарядки. Резисторы в цепи зарядки припаяны к источнику. Измерьте и приведите их значения. Для сборки цепи используйте соединительные провода с разъемами типа «крокодил» - при необходимости вы может их быстро подключать к нужным точкам.

Исследование процесса зарядки проводите следующим образом: подключите конденсатор к источнику через резистор, дождитесь, пока напряжение на нем не достигнет \(600\) мВ (это может занять несколько минут). После этого быстро переключите полярность подключения источника питания, когда напряжение станет равным нулю, и в этот момент запустите секундомер. После чего проводите временные измерения. Рекомендуем запоминать времена, когда напряжения достигают \(100\) мВ, а затем через каждые \(50\) мВ – таким образом, вам удастся измерить времена зарядки до напряжения \(550\) мВ. Понятно, что на знак напряжения обращать внимания не стоит, т.к. обкладки конденсатора одинаковы.

Рекомендуем также перед первым измерением \(2\)-\(3\) раза перезарядить конденсатор от \(+600\) мВ до \(-600\) мВ и обратно.

1.1 Проведите измерения зависимости напряжения на конденсаторе от времени в процессе зарядки от 0 до 550 мВ. Измерения проведите при двух значениях сопротивления цепи зарядки \(R\) (через один резистор и через два припаянных резистора)

В данном эксперименте процесс зарядки приближенно описывается уравнением

\[\frac{\Delta U}{\Delta t} = -\frac{1}{\tau}(U - \overline{U}),\tag{1}\]

где \(\tau\) - характерное время зарядки; \(\overline{U}\) - некоторое предельное значение напряжения (которое может отличаться от напряжения источника!). Решением уравнения (1) является функция

\[U = \overline{U}\left(1 - \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)\right).\tag{2}\]

Для проверки предложенной модели процесса, описываемого выражениями (1)-(2) необходимо: а) используя уравнение (1) определить значение предельного напряжения \(\overline{U}\); б) посредством линеаризации функции (2) определить значение времени зарядки \(\tau\).

Для численного расчета производной рекомендуем использовать симметричную схему. Пусть вам известны значения напряжений \(U_k\) в моменты времени \(t_k\). Тогда производная в момент времени \(t_k\) рассчитывается по формуле

\[\frac{\Delta U}{\Delta t} \approx \frac{U_{k+1} - U_{k-1}}{t_{k+1} - t_{k-1}},\tag{3}\]

1.2 Проведите описанную процедуру обработки полученных экспериментальных данных. Графически подтвердите применимость теоретической модели (1), определите численные значения параметров \(\overline{U}\) и \(\tau\) для цепей с двумя различными значениями сопротивлений \(R\). Оцените погрешности найденных значений величин \(\tau\).

1.3 Предложите электрическую схему упрощенной модели конденсатора, объясняющую (хотя бы качественно) полученные экспериментальные данные. Определите параметры вашей модели, одним из которых является емкость конденсатора (обязательно).

Часть 2. Процесс разрядки конденсатора.

Опять рекомендуем перед первым измерением 2-3 раза перезарядить конденсатор от +600 мВ до -600 мВ и обратно. Зарядите конденсатор до напряжения 600 мВ и быстро отключите источник питания. Поставив конденсатор на разрядку через резистор. При этом напряжение на конденсаторе резко упадет – измерения проводите после этого этапа. Не закорачивайте источник – вы его быстро «посадите», а новый не получите!}

2.1 Измерьте зависимость напряжения на конденсаторе от времени в процессе разрядки.

2.2 Проверьте, является ли процесс разрядки экспоненциальным.

2.3 Предложите простую схему, качественно объясняющую полученную зависимость. Оцените параметры этой схемы, расчет их погрешностей не требуется.

В данной части измерения проведите только при одном резисторе в цепи.

Часть 3. Зарядка после разрядки.

В процессе разрядки, исследованном в части 2, на короткое время закоротите обкладки конденсатора, так, чтобы напряжение на нем упало до нуля, после чего уберите замыкание обкладок и пронаблюдайте зависимость напряжения, показываемого мультиметром от времени.

3.1 Точных измерений проводить не надо! Постройте схематический график зависимости напряжения от времени, укажите только значения параметров этой зависимости в некоторых характерных точках

3.2 Качественно объясните полученную зависимость. Расчет параметров не требуется.

\textsuperscript{1} Такой материал используется в аккумуляторах большой емкости для электромобилей.

▶РешениеСкрыть

Решение

Сразу подчеркнем, что результаты измерений в данной задаче существенно зависят от времени, прошедшего после изготовления конденсатора, точнее от времени заливки электролита – силикатного клея. Результаты могут отличаться в несколько раз!

Часть 1. Зарядка конденсатора.

В таблице 1 приведены результаты измерений для конденсатора после трехдневной выдержки. В таблице приведены средние значения времен зарядки через резистор сопротивлением \(R = 1{,}0\) кОм до указанного напряжения, усреднение проводилось по 3 измерениям.

Таблица 1. Зарядка «старого» конденсатора.

\(U\), мВ	\(t\), с	\(\frac{\Delta U}{\Delta t}\), мВ/с	\(\ln(\overline{U} - U)\)
0	0		6,15
75	26	2,632	5,98
100	38	2,174	5,92
125	49	2,174	5,85
150	61	1,923	5,77
175	75	1,786	5,69
200	89	1,613	5,60
225	106	1,515	5,50
250	122	1,429	5,40
275	141	1,220	5,28
300	163	1,087	5,14
325	187	0,926	4,98
350	217	0,714	4,79
375	257	0,543	4,56
400	309		4,26

На рисунке показан график полученной зависимости. Построение этого графика не обязательно.

Далее проведем обработку в соответствии с указаниями. Рассчитаем значения скорости изменения напряжения \(U' = \frac{\Delta U}{\Delta t}\) и построим график зависимости этой величины от напряжения (см. рис.)

Полученная зависимость очень близка к линейной, что подтверждает применимость уравнения

\[\frac{\Delta U}{\Delta t} = -\frac{1}{\tau}(U - \overline{U}),\tag{1}\]

в данном случае. Параметры этой линейной зависимости \(U' = aU + b\), рассчитанное по МНК, равны

\[a = -6{,}2 \cdot 10^{-3} \, c^{-1}\]

\[b = 2{,}89 \, \text{мВ}/\text{с}\tag{2}\]

Используя эти значения, определим параметры зависимости (1)

\[\tau = -\frac{1}{a} = 160 \, c, \quad \overline{U} = -\frac{b}{a} = 460 \, \text{мВ}\tag{3}\]

численный расчет производной по экспериментальным данным приводит к большим погрешностям. Поэтому имеет смысл линеаризовать зависимость

\[U = \overline{U}\left(1 - \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)\right).\tag{4}\]

С использованием найденного значения \(\overline{U} = 460 \, \text{мВ}\), т.е. представить ее в виде

\[\ln(\overline{U} - U) = \ln \overline{U} - \frac{t}{\tau}.\tag{5}\]

График этой линеаризованной зависимости показан на следующем рисунке. Здесь экспериментальные данные хорошо ложатся на прямую, что доказывает применимость используемой теоретической модели.

Значение характерного времени зарядки, рассчитанное по этой зависимости равно \(\tau = 162\,c\). Как известно, это время рассчитывается по формуле

\[\tau = RC\tag{6}\]

Следовательно, емкость конденсатора примерно равна \(C = 0{,}16\,\Phi\) (160000 мкФ). Как следует из проведенного анализа предельное напряжение, до которого должен заряжаться конденсатор меньше напряжения источника (равное \(U_0 = 1{,}5\,B\))

Для объяснения данного результаты можно предложить следующую эквивалентную схему.

Отметим, что незаряженный конденсатор имеет «нулевое сопротивление» - поэтому на малых временах можно считать, что все конденсаторы бесконечной цепочки не успевают зарядиться. В этой схеме предельное напряжение, до которого заряжается конденсатор равно

\[\overline{U} = U_0 \frac{R^*}{R^* + R}.\tag{7}\]

Из этой формуле следует, что конденсатору можно «приписать» сопротивление

\[R^* = R \frac{\overline{U}}{U_0 - \overline{U}} \approx 440\,\text{Ом}.\tag{8}\]

Часть 2. Процесс разрядки конденсатора.

В таблице 2 приведена зависимость напряжение на конденсаторе от времени в процессе его разрядки чрез резистор \(R = 1{,}0\) кОм

Таблица 2 Разрядка конденсатора.

\(U\), мВ	\(t\), с	\(\ln(U)\)	\(\frac{\Delta U}{\Delta t}\) мВ/с
250	0	5,52
225	17	5,42	1,16
200	43	5,30	0,70
175	88	5,16	0,45
150	155	5,01	0,32
125	246	4,83	0,25
110	317	4,70

Ниже показан график данной зависимости в логарифмическом масштабе.

Нелинейность этого графика свидетельствует о том, что процесс разрядки не является экспоненциальным. Причем скорость разрядки со временем уменьшается. Для большей убедительности приведем график зависимости скорости изменения напряжения от напряжения на конденсаторе. Эта зависимость также не линейна.

Качественно данную зависимость можно объяснить на основании следующей эквивалентной схемы. Основная идея: с течением времени «подключаются» к разрядке все более «далекие» конденсаторы, при этом возрастает как эффективная емкость цепи, так и ее сопротивление.

Часть 3. Зарядка после разрядки.

Схематическая зависимость напряжения на резисторе после того, как конденсатор был закорочен, показана на рисунке. Достаточно быстро (за время порядка 60 с) напряжение на конденсаторе возрастает, после чего очень медленно продолжает спадать.

Качественно такое поведение также объяснимо в рамках эквивалентной схемы. Рассмотренной в предыдущей части: при замыкании разряжается первый конденсатор (относительно небольшой емкости); после того, как замыкание убрано, этот конденсатор заряжается от второго конденсатора большей емкости.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Ускорение свободного падения считать равным} \(g = 9{,}8\ \text{м/с}^2\).

Приборы и оборудование: оборотный маятник, штатив, линейка, секундомер.

Оборотный маятник (маятник Бесселя) представляет собой тонкий стержень, на котором закреплены две оси \(O_1\) и \(O_2\) и два подвижных груза (металлические шайбы), которые можно перемещать по стержню. Маятник можно подвешивать в лапке штатива, так чтобы он свободно колебался на оси повеса в прямом (1) и перевернутом (2) положениях.

Оси должны быть расположены симметрично относительно центра стержня, расстояние между ними должно быть \(b = 16\) см. Положения грузов задаются координатами \(x_1, x_2\), которые отсчитываются от центра стержня. Если пренебречь массами стержня и осей, а грузы считать материальными точками, то периоды колебаний маятника в прямом и перевернутом положении рассчитываются по формулам (их вывод не требуется)

\[T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{1}{g} \frac{\left(\frac{b}{2} - x_1\right)^2 + \left(\frac{b}{2} - x_2\right)^2}{\left(\frac{b}{2} - x_1\right) + \left(\frac{b}{2} - x_2\right)}} ; \quad T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{1}{g} \frac{\left(\frac{b}{2} + x_1\right)^2 + \left(\frac{b}{2} + x_2\right)^2}{\left(\frac{b}{2} + x_1\right) + \left(\frac{b}{2} + x_2\right)}} :\tag{1}\]

Приведенной длиной физического маятника \(l\) называется длина математического маятника, имеющего такой же период колебаний.

Часть 1. Теоретическая.

1.1 Получите уравнение для множества точек \((x_1, x_2)\), для которых приведена длина маятника в прямом положении постоянна и равна \(l_1\). На диаграмме \((x_1, x_2)\) постройте это множество точек.

1.2 Получите уравнение для множества точек \((x_1, x_2)\), для которых приведена длина маятника в перевернутом положении постоянна и равна \(l_2\). На той же диаграмме \((x_1, x_2)\) постройте это множество точек.

1.3 Постройте на диаграмме множество точек \((x_1, x_2)\), для которых приведенные длины маятника в прямом и перевернутом положениях постоянны одинаковы и равны \(l_0\). Укажите чему равна приведенная длина \(l_0\) в этом случае.

Построения данной части выполняйте в тетради и схематически.}

Часть 2. Экспериментальная.

2.1 Установите первый груз на середине стержня \(\left(x_{1}=0\right)\). Измерьте зависимости периодов колебаний маятника в прямом \(T_{1}\left(x_{2}\right)\) и перевернутом положениях \(T_{2}\left(x_{2}\right)\) в зависимости от координаты второго груза \(\left(x_{2}>\frac{b}{2}\right)\). Постройте графики полученных зависимостей.

2.2 Используя полученные данные, определите значение координаты второго груза \(x_{2}^{*}\), при которой периода колебаний в прямом и перевернутом положении одинаковы. Определите период колебаний маятника \(T_{0}\) в этом случае.

2.3 Рассчитайте значение приведенной длины маятника \(l_{0}\), когда периоды колебаний маятника в прямом и перевернутом положениях совпадают. Оцените погрешность найденного значения.

Часть 3. Сравнение.

3.1 Изменяя положение второго груза \(x_{2}\), экспериментально определите значения координаты первого груза \(x_{1}\) при которых период колебаний маятника в прямом положении равен \(T_{0}\) (найденному в п.2.2). При найденных значениях \(\left(x_{1}, x_{2}\right)\) измерьте значения периода колебаний маятника в перевернутом положении.

3.2 Постройте диаграмму найденных экспериментально точек \(\left(x_{1}, x_{2}\right)\). Нанесите на нее рассчитанную в п. 1.3 теоретическую диаграмму.

3.3 Укажите возможные причины наблюдаемых различий.

▶РешениеСкрыть

Решение

Часть 1. Теоретическая

1.1 Из приведенной в условии формулы для периода колебаний, следует, что приведенная длина будет постоянной при выполнении условия

\[\frac{\left(\frac{b}{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(\frac{b}{2}-x_{2}\right)^{2}}{\left(\frac{b}{2}-x_{1}\right)+\left(\frac{b}{2}-x_{2}\right)}=l_{1}\tag{1}\]

Данное выражение можно преобразовать к более простому и наглядному виду

\[\begin{aligned} & \left(\frac{b}{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(\frac{b}{2}-x_{2}\right)^{2}-l_{1}\left(\frac{b}{2}-x_{1}\right)-l_{1}\left(\frac{b}{2}-x_{2}\right)=0 \quad \Rightarrow \\ & \left(\frac{b}{2}-x_{1}\right)^{2}-l_{1}\left(\frac{b}{2}-x_{1}\right)=\left(\frac{b}{2}-x_{1}\right)^{2}-2 \frac{l_{1}}{2}\left(\frac{b}{2}-x_{1}\right)+\frac{l_{1}^{2}}{4}-\frac{l_{1}^{2}}{4}=\left(\frac{b}{2}-\frac{l_{1}}{2}-x_{1}\right)^{2}-\frac{l_{1}^{2}}{4} \quad \Rightarrow \\ & \left(\frac{b}{2}-\frac{l_{1}}{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(\frac{b}{2}-\frac{l_{1}}{2}-x_{2}\right)^{2}=\frac{l_{1}^{2}}{2} \end{aligned}\tag{2}\]

Эта формула задает окружность с центром \(C\) с координатами \(x_{1}=\frac{b}{2}-\frac{l_{1}}{2} ; x_{2}=\frac{b}{2}-\frac{l_{1}}{2}\), радиус этой окружности \(R_{1}=\frac{l_{1}}{\sqrt{2}}\). Легко заметить, что при любых значениях приведенной длины \(l_{1}\) окружность проходит через точку \(A_{1}\) с координатами \(x_{1}=\frac{b}{2} ; x_{2}=\frac{b}{2}\). Эта точка есть вершина квадрата со стороной равной расстоянию между осями \(b\), центр этого квадрата находится в начале координат.

1.2 Для перевернутого положения преобразования выполняются аналогично (можно просто изменить знаки перед параметрами \(x_{1}\) и \(x_{2}\)). Уравнение геометрического места точек в данном случае имеет вид

\[\left(\frac{b}{2}-\frac{l_{2}}{2}+x_{1}\right)^{2}+\left(\frac{b}{2}-\frac{l_{2}}{2}+x_{2}\right)^{2}=\frac{l_{2}^{2}}{2}\tag{3}\]

Это есть окружность, проходящая через противоположную вершину квадрата \(A_{2}\).

1.3 Для того, чтобы периоды колебаний были одинаковы при обоих положениях маятника необходимо, чтобы построенные окружности совпадали. Т.е. окружность должна быть описана вокруг построенного квадрата. Уравнение этой окружности

\[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\frac{b^{2}}{2}.\tag{4}\]

Соответствующая ей приведенная длина оказывается равной расстоянию между осями \(l_{0}=b\).

Часть 2. Экспериментальная.

2.1 Результаты измерений зависимости периодов колебаний в прямом (\(T_1\)) и перевернутом положениях (\(T_2\)) от координаты \(x_2\) приведены в Таблице 1, по данным которой построен график исследованной зависимости

Таблица 1. Времена \(t_1\) и \(t_2\) — десяти колебаний в прямом и перевёрнутом положениях (по два измерения).

\(x_2\), мм	\(t_1\), с	\(t_1\), с	\(t_2\), с	\(t_2\), с	\(T_1\), с	\(T_2\), с
90	7,02	6,90	7,50	7,37	0,696	0,744
95	7,35	7,28	7,71	7,64	0,750	0,768
100	7,94	7,85	7,78	7,88	0,790	0,783
105	8,38	8,35	7,86	7,89	0,837	0,788
110	9,06	8,96	7,98	7,91	0,901	0,795
115	9,65	9,74	8,00	8,08	0,970	0,804
120	10,63	10,69	8,21	8,20	1,066	0,821
125	12,17	12,09	8,34	8,31	1,213	0,833
130	13,59	13,54	8,36	8,39	1,357	0,838

Зависимость периода колебаний от координаты

2.2 Для более точного определения значений координаты, когда периоды совпадают и значения этого периода можно провести линейную интерполяцию зависимостей в области пересечения. Из этого рисунка следует, что \(x_{2}^{*} = 99\,\text{мм}\); \(T_{0} = 0{,}779\,\text{с}\)

2.3 Приведенная длина маятника в этом случае оказывается равной

\[l = \frac{T_{0}^{2} g}{4\pi^{2}} = 152\,\text{мм},\]

Что примерно равно расстоянию между осями маятника. Этот результат есть первое подтверждение построенной теории.

Часть 3. Сравнение.

Для выполнения этой части задачи удобнее построить график теоретический, а затем с его помощью искать нужные положения грузов. Важно отметить, что для каждого значения координаты \(x_{2}\) существует два симметричных относительно центра маятника положения \(\pm x_{1}\), при которых периоды колебаний равны \(T_{0}\). Измерения показывают, что экспериментальные точки лежат достаточно близко к построенной окружности.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Источник: Республиканская физическая олимпиада Беларуси, 2018/19, заключительный этап, 11 класс, экспериментальный тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.