Белорусская, 2018/19, заключительный этап, 11 класс, теоретический тур

Подсказка

Вращение двух частиц вокруг общего центра масс эквивалентно движению одной частицы с приведённой массой. Из-за неё энергии уровней атома, а значит и длины волн, зависят от массы ядра.

Ответ

1.1) \(E=-\dfrac12\dfrac{m_1m_2}{m_1+m_2}r^2\omega^2\), при \(m_2\gg m_1\) — \(-\tfrac12m_1r^2\omega^2\); 1.2) \(\varepsilon\approx-\beta/2\approx-2{,}7\cdot10^{-4}\).

Решение

Задача 1.1.

Сила взаимодействия между частицами центральная, то есть зависит только от расстояния между частицами и направлена вдоль прямой, соединяющей центры этих частиц. Вращение частиц происходит вокруг их центра масс, который остается неподвижным, так как внешние силы отсутствуют. Полная энергия системы является суммой кинетической энергии частиц и потенциальной энергии их взаимодействия. Кинетическая энергия частиц описывается формулой

\[E_k = \frac{m_1 V_1^2}{2} + \frac{m_2 V_2^2}{2} = \frac{m_1 r_1^2 \omega^2}{2} + \frac{m_2 r_2^2 \omega^2}{2}.\tag{1}\]

Где \(r_1, r_2\) - радиусы орбит частиц, или расстояния от соответствующей частицы до центра масс. В формуле (1) кинетическая энергия выражена через угловую скорость, так как она одинакова для обеих частиц, кроме того, она задана в условии задачи. Фигурирующие в формуле (1) расстояния удовлетворяют уравнениям

\[r_1 + r_2 = r\]

\[m_1 r_1 = m_2 r_2\tag{2}\]

Второе уравнение следует из определения центра масс двух частиц. Из уравнений (2) следует, что

\[r_1 = \frac{m_2}{m_1 + m_2} r\]

\[r_2 = \frac{m_1}{m_1 + m_2} r\tag{3}\]

Подставляя эти выражения в формулу для кинетической энергии (1), получим

\[E_k = \frac{m_1 r_1^2 \omega^2}{2} + \frac{m_2 r_2^2 \omega^2}{2} = \frac{\omega^2}{2} \left( m_1 \left( \frac{m_2}{m_1 + m_2} r \right)^2 + m_2 \left( \frac{m_1}{m_1 + m_2} r \right)^2 \right) =\]

\[= \frac{1}{2} \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} r^2 \omega^2\tag{4}\]

В данной задаче силами взаимодействия могут быть сила кулоновского электростатического взаимодействия и сила гравитационного взаимодействия (в условии не оговорено, что ею следует пренебречь). Для этих взаимодействий выполняется простое соотношение между модулем силы \(F(r)\) и потенциальной энергией взаимодействия \(U(r)\):

\[U(r) = -r F(r).\tag{5}\]

Знак минус в этой формуле возникает из-за того, что результирующая сила взаимодействия есть сила притяжения (иначе бы описанное движение было невозможно!). Для расчета потенциальной энергии запишем уравнение второго закона Ньютона для одной из частиц

\[m_1 r_1 \omega^2 = F(r)\tag{6}\]

И умножим его на \(r\), в результате чего получим:

\[r F ( r ) = m _ { 1 } r _ { 1 } \omega ^ { 2 } r = m _ { 1 } \left( \frac { m _ { 2 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } r \right) \omega ^ { 2 } r = \frac { m _ { 1 } m _ { 2 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } r ^ { 2 } \omega ^ { 2 }\tag{7}\]

При выводе использована формула (3) для расстояния \(r _ { 1 }\).

Из полученного выражения следует (с учетом формул (4) и (5)), что потенциальная энергия взаимодействия отрицательна и по модулю в два раза больше энергии кинетической:

\[U = - 2 E _ { k }\tag{8}\]

Таким образом, полная энергия рассматриваемой системы оказывается равной:

\[E = U + E _ { k } = - E _ { k } = - \frac { 1 } { 2 } \frac { m _ { 1 } m _ { 2 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } r ^ { 2 } \omega ^ { 2 } .\tag{9}\]

Если масса одной из частиц значительно превышает массу второй (\(m _ { 2 } > > m _ { 1 }\)), то в формулу (9) можно записать в виде

\[E = - \frac { 1 } { 2 } \frac { m _ { 1 } m _ { 2 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } r ^ { 2 } \omega ^ { 2 } \approx - \frac { 1 } { 2 } m _ { 1 } r ^ { 2 } \omega ^ { 2 } .\tag{10}\]

В этом приближении можно считать, что более тяжелая частица покоится, а более легкая вращается вокруг нее.

Также отметим, что формула (9) обычно интерпретируется следующим образом: «задача двух тел», всегда может быть сведена к задаче движения одного тела с приведенной массой

\[\mu = \frac { m _ { 1 } m _ { 2 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } }\tag{11}\]

вокруг неподвижного центра.

Задача 1.2

Приведенная в учебнике формула получена в приближении, что электрон в атоме водорода вращается вокруг неподвижного ядра (как водорода, так и дейтерия). Однако взаимодействующие частицы движутся вокруг общего центра масс.

В предыдущей задаче было показано, что учет этого обстоятельства приводит к тому, что в формуле для энергии вместо массы легкой частицы (в этой задаче – электрона) следует подставлять значение приведенной массы. Именно учет этой поправки приводит к тому, что энергии уровней, а, следовательно, и спектры этих изотопов различаются.

Рассчитаем приведенные массы для водорода и дейтерия (учитывая малость отношения массы электрона к массе протона)

Для водорода:

\[\mu _ { H } = \frac { m _ { p } m _ { e } } { m _ { p } + m _ { e } } = \frac { m _ { e } } { 1 + \displaystyle \frac { m _ { e } } { m _ { p } } } \approx m _ { e } \left( 1 - \frac { m _ { e } } { m _ { p } } \right) = m _ { e } ( 1 - \beta ) ;\tag{1}\]

для дейтерия

\[\mu _ { D } = \frac { 2 m _ { p } m _ { e } } { 2 m _ { p } + m _ { e } } = \frac { m _ { e } } { 1 + \displaystyle \frac { m _ { e } } { 2 m _ { p } } } \approx m _ { e } \left( 1 - \frac { m _ { e } } { 2 m _ { p } } \right) = m _ { e } \left( 1 - \frac { \beta } { 2 } \right) .\tag{2}\]

Не сложно получить формулу для длины волны перехода, однако для расчета относительного сдвига это не требуется. Достаточно заметить, что рассматриваемая длина волны обратно пропорциональна приведенной массе. Действительно, энергия излучаемого фотона равна разности энергий уровней (которая пропорциональна приведенной массе).

Следовательно, частота излучения также пропорциональна приведенной массе, поэтому длина волны обратно пропорциональна ей. Итак,

\[\lambda = \frac { C } { \mu } .\tag { 3 }\]

Так как различие в приведенных массах мало, то и различие меду длинами волн также мало, поэтому можно записать приближенное выражение

\[\Delta \lambda = - \frac { C } { \mu ^ { 2 } } \Delta \mu \, .\tag { 4 }\]

А для относительных величин

\[\frac { \Delta \lambda } { \lambda } = - \frac { \Delta \mu } { \mu } \, .\tag { 5 }\]

Подставляя найденные значения приведенных масс, получим требуемый результат:

\[\varepsilon = \frac { \lambda _ { D } - \lambda _ { H } } { \lambda _ { H } } = - \frac { \mu _ { D } - \mu _ { H } } { \mu _ { H } } = - \frac { m _ { e } \left( 1 - \displaystyle \frac { \beta } { 2 } \right) - m _ { e } ( 1 - \beta ) } { m _ { e } ( 1 - \beta ) } \approx - \frac { \beta } { 2 } = - 2 { , } 7 \cdot 1 0 ^ { - 4 }\tag { 6 }\]

То есть все длины волн в спектре дейтерия оказываются примерно на три сотых процента меньше длин волн в спектре обычного водорода: и этот изотопический сдвиг точно измерен!

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Число электронов на аноде получается как коэффициент вторичной эмиссии в степени числа динодов, поэтому оптимально напряжение, при котором он максимален. Длительность импульса задаётся разбросом начальных энергий вторичных электронов, а питание — делителем напряжения.

Ответ

1.1) \(\Delta U\approx76\) В (около \(80\) В); 1.2) \(\overline N\approx4{,}8\cdot10^5\); 1.3) \(\overline T\approx1{,}09\cdot10^{-7}\) с; 1.4) \(\tau\approx1{,}9\cdot10^{-8}\) с; 1.5) \(\overline I\approx4{,}1\cdot10^{-6}\) А; 1.6) \(I_{\text{пор}}\approx2\cdot10^{-6}\) А; 1.7) \(I\approx1{,}9\cdot10^{-9}\) Вт/м\(^2\); 2.4) \(R_A=40\) кОм, \(R_1=\dots=R_{10}=160\) кОм, \(R_{\text{доп}}=360\) кОм.

Решение

1. Развитие электронной лавины.

1.1 Число электронов, попадающих на анод, будет максимально, если на каждом диоде коэффициент размножения будет максимальным. Из графика зависимости коэффициента вторичной эмиссии от энергии падающих электронов следует, что его максимальное значение достигается при энергии падающих электронов равной \(80\) эВ. Большая часть вторичных электронов имеют энергию \(4\) эВ, поэтому оптимальным значением напряжения между соседними диодами является

\[\Delta U = 76 \text{В}\tag{1}\]

Если пренебречь начальной энергией вторичных электронов, то оптимальным значением напряжения следует считать \(\Delta U = 80 \text{В}\). Отметим, что разность между этими значениями меньше \(10\%\).

1.2 Максимально значение коэффициента вторичной эмиссии равно \(\sigma_{\text{max}} = 3{,}7\) (и может считаться постоянным при изменении энергии первичных электронов на величину порядка \(\pm 10 \text{эВ}\)). Следовательно, среднее число электронов после прохождения \(10\) этапов размножения равно

\[N = \sigma^{10} \approx 4{,}8 \cdot 10^{5}.\tag{2}\]

1.3 В условии задачи оговорено, что движение электронов между соседними электродами можно считать равноускоренным. В этом приближении средняя скорость движения равна среднеарифметическому значению скоростей на границах рассматриваемого интервала времени, т.е.

\[\langle v \rangle = \frac{v_0 + v_k}{2},\tag{3}\]

Где \(v_0\), \(v_k\) - начальные и конечные скорости электронов при их движении между соседними электродами ФЭУ. Эти скорости выражаются через энергии электронов \(E\) (в электрон-вольтах) следующей формулой

\[\frac{mv^2}{2} = eE \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{\frac{2eE}{m}}\tag{4}\]

Рассчитаем времена пролета между соседними электродами, используя эту формулу.

Энергия фотона, попадающего на фотокатод, равна \(E_{\phi} = \frac{hc}{\lambda} \approx 2{,}8 \text{эВ}\). Поэтому, с учетом работы выхода электрона при фотоэффекте, скорость электронов на выходе из фотокатода можно считать равной нулю. Поэтому время пролета от катода до первого диода примерно равно

\[t_{k-d} = \frac{2l}{\sqrt{\frac{2eE}{m}}} = 1{,}13 \cdot 10^{-8} \text{с}\tag{5}\]

Время пролета между соседними динодами будет равно (\(E_0 \approx 4\)эВ, \(E \approx 80\)эВ)

\[t_{d-d} = \frac{2l}{\sqrt{\frac{2eE_0}{m}} + \sqrt{\frac{2eE}{m}}} = 9{,}25 \cdot 10^{-9} \text{ с}.\tag{6}\]

Наконец, время пролета от последнего динода до анода (\(E_0 \approx 4\)эВ, \(E_A = 24\)эВ)

\[t_{d-a} = \frac{2l}{\sqrt{\frac{2eE_0}{m}} + \sqrt{\frac{2eE_A}{m}}} = 1{,}47 \cdot 10^{-8} \text{ с}\tag{7}\]

Итого, среднее время пролета равно

\[\overline{T} = t_{k-d} + 9t_{d-d} + t_{d-a} \approx 1{,}09 \cdot 10^{-7} \text{ с}.\tag{8}\]

1.4 Длительность импульса определяется разностью времен прохождения через весь ФЭУ самых «медленных» и самых «быстрых» электронов. В свою очередь разброс в скоростях электронов определяется разбросом начальных энергий вторичных электронов (возникших в результате вторичной электронной эмиссии). Из приведенного графика распределения энергии вторичных электронов следует, что их энергии (по полувысоте функции распределения) лежат в диапазоне от \(E_{\text{min}} \approx 1{,}5\)эВ до \(E_{\text{max}} \approx 7{,}5\)эВ. Проведем расчеты времен пролета различных участков ФЭУ для этих значений энергии. Время пролета от катода до первого динода одинаково для всех электронов, поэтому при расчете длительности импульса (разности времен пролета) не учитывается. Будем считать, что напряжение между динодами установлено в оптимальном режиме \(\Delta U = 76\)В. Средняя скорость при движении между динодами для самых «медленных» электронов

\[\overline{v}_{\text{min}} = \frac{1}{2} \left( \sqrt{\frac{2eE_{\text{min}}}{m}} + \sqrt{\frac{2e(E_{\text{min}} + \Delta U)}{m}} \right) \approx 2{,}97 \cdot 10^6 \frac{\text{м}}{\text{с}}.\tag{9}\]

Средняя скорость при движении между динодами для самых «быстрых» электронов

\[\overline{v}_{\text{max}} = \frac{1}{2} \left( \sqrt{\frac{2eE_{\text{max}}}{m}} + \sqrt{\frac{2e(E_{\text{max}} + \Delta U)}{m}} \right) \approx 3{,}52 \cdot 10^6 \frac{\text{м}}{\text{с}}.\tag{10}\]

Разность времен пролета

\[\Delta t_{d-d} = \frac{l}{\overline{v}_{\text{min}}} - \frac{l}{\overline{v}_{\text{max}}} \approx 1{,}57 \cdot 10^{-9} \text{ с}\tag{11}\]

Аналогично рассчитаем разность времен между последним динодом и анодом (здесь \(\Delta U = 20\)В)

\[\Delta t_{d-a} \approx 4{,}59 \cdot 10^{-9} \text{ с}.\tag{12}\]

Общая разность времен пролета (т.е. длительность импульса) оказывается равной

\[\tau = 9\Delta t_{d-d} + \Delta t_{d-a} \approx 1{,}87 \cdot 10^{-8} \text{ с}.\tag{13}\]

Если считать, что напряжение между динодами установлено равным 80 В (без учета начальной энергии вторичных электронов), то значения времен пролета оказываются равными \(t_{d-d} = 9{,}07 \cdot 10^{-9}\) с; разброс времени движения \(\Delta t_{d-d} \approx 1{,}50 \cdot 10^{-9}\) с. Тогда время пролета и длительность

\[\overline{T} = t_{k-d} + 9t_{d-d} + t_{d-a} \approx 1{,}08 \cdot 10^{-7} \text{ с}\]

\[\tau = 9\Delta t_{d-d} + \Delta t_{d-a} \approx 1{,}8 \cdot 10^{-8} \text{ с}\]

Различия между результатами оказываются меньше допустимых 10%.

1.5 Среднее значение силы тока в импульсе рассчитывается «по определению»

\[\bar { I } = \frac { e \overline { { N } } } { \tau } \approx 4 { , } 1 \cdot 1 0 ^ { - 6 } \, A \, .\tag{14}\]

1.6 Темновые импульсы с максимальной амплитудой будут инициированы электронами, испущенными с первого динода. Но и для них средний коэффициент размножения будет в \(\sigma\) раз меньше (т.е. примерно в 3 раза). Поэтому разумно установить пороговое значение в 2 раза меньшее среднего значения импульсов, которые появляются благодаря регистрации фотона

\[I _ { \text {пор.} } \approx 2 \cdot 1 0 ^ { - 6 } \, A \, .\tag{15}\]

1.7 В режиме счета фотонов импульсы тока, поступающие на вход счетного устройства, не должны перекрываться. Максимальная интенсивность падающего потока определяется именно этим условием. Итак, среднее время между появлениями электронов из фотокатода должно быть меньше длительности импульса:

\[\Delta t _ { \phi \text{фэ} } \approx \tau\tag{16}\]

Тогда среднее время между попаданиями фотонов на катод должно быть меньше, чем

\[\Delta t _ { \phi \text{от} } \approx \frac { \Delta t _ { \phi \text{фэ} } } { \eta } = \frac { \tau } { \eta } \, .\tag{17}\]

Число фотонов, попадающих на катод в этом в единицу времени при выполнении условия (24), будет равно

\[\frac { \Delta N _ { \phi } } { \Delta t } = \frac { 1 } { \Delta t _ { \phi \text{от} } } = \frac { \eta } { \tau } \, .\tag{18}\]

Интенсивность света при этом будет равна (здесь \(S = \frac { \pi d ^ { 2 } } { 4 }\) - площадь катода):

\[I = \frac { h \nu } { S } \frac { \Delta N _ { \phi } } { \Delta t } = \frac { h c \eta } { \lambda S \tau } \, .\tag{19}\]

Численное значение этой величины

\[I = \frac { h c \eta } { \lambda S \tau } \approx 1 { , } 9 \cdot 1 0 ^ { - 9 } \, \frac { \text{Вт} } { \text{м} ^ { 2 } }\tag{20}\]

2. Схема питания ФЭУ в режиме счета фотонов.

Напряжение имеющегося источника \(U_0\) необходимо «разделить» между имеющимися электродами. Для этого проще всего использовать делитель напряжения, состоящий из последовательно соединенных резисторов (см. рис.). В такой схеме напряжение между соседними электродами будет пропорционально сопротивлению резистора. ФЭУ содержит катод, 10 динодов и анод. Для оптимального режима работы ФЭУ напряжения должны быть следующими:

- напряжение динод-анод – 20 В; - напряжения между соседними динодами можно положить равными 80 В (точнее 76 в – но это различие лежит в пределах допустимой погрешности); - напряжение катод- динод 80 В.

Итого, для питания ФЭУ требуется общее напряжение \(U = 10 U_{d-d} + U_{d-a} \approx 820 \, B\). Поэтому излишние \(1000 - 820 = 180\) В необходимо «посадить» на дополнительном резисторе. Таким образом, получаем, что сопротивления резисторов в цепочке делителя должны быть равными:

\[\begin{aligned} & R_{A} = 20r_{0} \\ & R_{1} = R_{2} = \dots R_{10} = 80r_{0} \\ & R_{\text{доп}} = 180r_{0} \end{aligned}\tag{21}\]

Где \(r_{0}\) - сопротивление, которое следует определить из дополнительных условий.

2.2 Общее сопротивление цепи питания равно \(1000\,r_{0}\), поэтому сила тока в этой цепи равна

\[I_{\text{num.}} = \frac{U_{0}}{1000r_{0}}.\tag{22}\]

Согласно первому условию, это значение должно быть больше, чем \(10\bar{I}\), т.е.

\[\frac{U_{0}}{1000r_{0}} > 10\bar{I} \quad \Rightarrow \quad r_{0} < \frac{U_{0}}{10^{4}\bar{I}} = \frac{1{,}0 \cdot 10^{3}\,\text{В}}{10^{4} \cdot 4 \cdot 10^{-6}\,\text{А}} \approx 25\,\text{кОм}.\tag{23}\]

2.3 Емкость конденсатора можно оценить по формуле для емкости плоского конденсатора

\[C \approx \frac{\varepsilon_{0}S}{l} \approx 6 \cdot 10^{-14}\,\Phi.\tag{24}\]

2.4 Характерное время зарядки можно оценить по формуле

\[\tau_{C} \approx RC.\tag{25}\]

В этой формуле \(R = 80r_{0}\) - сопротивление между динодами. Выполнение второго условия описывается неравенством \(\tau_{C} < \dfrac{\tau}{2}\), или

\[80r_{0}C < \frac{\tau}{2} \quad \Rightarrow \quad r_{0} < \frac{\tau}{160C} \approx 2\,\text{кОм}.\tag{26}\]

2.5 Чтобы удовлетворить обоим условиям необходимо выбрать меньшее из значений (23) и (26), т.е. выбрать значение \(r_{0} \approx 2\,\text{кОм}\). В этом случае значения сопротивлений резисторов в цепи питания должны быть равными

\[\begin{aligned} & R_{A} = 40\,\text{кОм} \\ & R_{1} = R_{2} = \dots R_{10} = 160\,\text{кОм}. \\ & R_{\text{доп}} = 360\,\text{кОм} \end{aligned}\tag{27}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Скорость звука находится методом размерностей и зависит от температуры как \(\sqrt T\). Луч в неоднородной среде подчиняется закону преломления с «звуковым» показателем, а для ветра рассматривайте поворот фронта из-за разной скорости его верхней и нижней частей.

Ответ

1.1) \(\alpha=\tfrac12\), \(\beta=-\tfrac12\); 1.3) \(c=c_0\sqrt{1+\Delta T/T_0}\); 2.2) \(c=c_0\sqrt{1+\beta z}\), \(\beta=-3{,}4\cdot10^{-5}\) м\(^{-1}\); 2.5) \(z=-\tfrac{\beta}{4}x^2+\alpha_0x\); 2.6) примерно \(0{,}49\) км.

Решение

Часть 1. Скорость звука в воздухе.

1.1 Подставим размерности величин, входящих в формулу для скорости звука

\[c = A P^{\alpha} \rho^{\beta}\tag{1}\]

И запишем условия совпадения размерностей:

\[\left[\text{м}\cdot\text{с}^{-1}\right] = \left[\frac{\text{кг}}{\text{м}\cdot\text{с}^{2}}\right]^{\alpha} \left[\frac{\text{кг}}{\text{м}^{3}}\right]^{\beta} = \left[\text{кг}\right]^{\alpha + \beta} \left[\text{м}\right]^{-\alpha - 3\beta} \left[\text{с}\right]^{-2\alpha}\tag{2}\]

\[\begin{aligned} \alpha + \beta &= 0 \\ -\alpha - 3\beta &= 1 \\ -2\alpha &= -1 \end{aligned}\tag{3}\]

Решение этой системы имеет вид

\[\alpha = \frac{1}{2}; \quad \beta = -\alpha = -\frac{1}{2}.\tag{4}\]

Следовательно, формула для скорости звука следующая:

\[c = A \sqrt{\frac{P}{\rho}}.\tag{5}\]

1.2 Из уравнения состояния идеального газа

\[PV = \frac{m}{M} RT\tag{6}\]

следует, что

\[\frac{P}{\rho} = \frac{R}{M} T.\tag{7}\]

Поэтому зависимость скорости звука от температуры описывается формулой

\[c = A \sqrt{\frac{P}{\rho}} = A \sqrt{\frac{R}{M} T}.\tag{8}\]

1.3 Подставим указанное выражение для температуры и преобразуем его

\[c = A \sqrt{\frac{R}{M} T} = A \sqrt{\frac{R}{M} (T_{0} + \Delta T)} = A \sqrt{\frac{R}{M} T_{0}} \sqrt{1 + \frac{\Delta T}{T_{0}}} = c_{0} \sqrt{1 + \frac{\Delta T}{T_{0}}}.\tag{9}\]

Здесь \(c_{0} = A \sqrt{\frac{R}{M} T_{0}}\) - скорость звука при температуре \(T_{0}\).

Часть 2. Распространение звука в неоднородно нагретой атмосфере.

2.1 Если температура воздуха изменяется с высотой, то соответственно изменяется и скорость звука, причем эта зависимость описывается формулой

\[T = T_{0} + \gamma z \quad \Rightarrow \quad c = c_{0} \sqrt{1 + \frac{\gamma}{T_{0}} z}\tag{10}\]

Известный закон преломления света является следствием его волновых свойств, поэтому его можно обобщить на любые волновые процессы. Это можно доказать, например, используя принцип Гюйгенса. Изменение скорости распространения волны в оптике принято описывать, вводя показатель преломления среды. По аналогии со светом можно ввести «звуковой» показатель преломления.

При температуре \(T_{0}\) показатель преломления будем считать равным 1, тогда зависимость показателя преломления от высоты имеет вид

\[n = \frac { c _ { 0 } } { c } = \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \displaystyle \frac { \gamma } { T _ { 0 } } z } }\tag{11}\]

При заданном определении показателя преломления, закон преломления звука будет иметь вид

\[n \cos \alpha = \cos \alpha _ { 0 } .\tag{12}\]

Здесь \(\alpha\) - угол между звуковым лучом и горизонтом.

Используя этот закон и выражение (11) для зависимости показателя преломления от высоты, можно указать качественное поведение звуковых лучей. Если температура воздуха возрастает с высотой \((\gamma > 0)\), то показатель преломления убывает – в этом случае звуковые лучи, преломляясь, изгибаются вниз. Некоторые из них даже могут достичь поверхности земли (см. рис). В противном случае \((\gamma < 0)\) – лучи изгибаются вверх. Отметим, что именно эта ситуация чаще встречается в атмосфере.

2.2 При заданных условиях зависимость скорости звука от высоты имеет вид

\[c = c _ { 0 } \sqrt { 1 + \frac { \gamma } { T _ { 0 } } z } = c _ { 0 } \sqrt { 1 + \beta z }\tag{12}\]

Численные значения параметров в этой формуле равны

\[c _ { 0 } = 3 4 0 \frac { \text{ м} } { c } .\tag{13}\]

\[\gamma = \frac { \Delta T } { \Delta z } = \frac { - 1 { , } 0 K } { 1 0 0 \text{ м} } = - 1 { , } 0 \cdot 1 0 ^ { - 2 } \frac { K } { \text{ м} } , \text{следовательно.}\]

\[\beta = \frac { \gamma } { T _ { 0 } } = - 1 { , } 0 \cdot 1 0 ^ { - 2 } \frac { K } { \text{ м} } \frac { 1 } { 2 9 3 K } = - 3 { , } 4 \cdot 1 0 ^ { - 5 } \text{ м} ^ { - 1 } .\tag{14}\]

2.3 Уравнение параболы, проходящей через начало координат, в общем виде задается функцией

\[z = a x ^ { 2 } + b x .\tag{15}\]

2.4 Производная от функции (15) равна

\[z ^ { \prime } = 2 a x + b\tag{16}\]

В это выражение следует подставить значение \(x\), выраженное через \(z\). Для зависимости \(z(x)\) надо решить уравнение

\[a x ^ { 2 } + b x - z = 0 .\tag{17}\]

Из которого следует, что

\[x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } + 4 a z } } { 2 a }\tag{18}\]

Подставляя это выражение в формулу (16), получим

\[z ^ { \prime } = \pm \sqrt { b ^ { 2 } + 4 a z } \ .\tag{19}\]

Два значения производной соответствуют двум ветвям параболы, т.е. при \(x > 0\) следует брать положительный корень, при \(x < 0\) - отрицательный. Таким образом, если производная от функции описывается уравнением (19), то его решение при нулевых начальных условиях есть функция (15)

2.5 Для расчета траектории луча \(z(x)\) воспользуемся законом преломления

\[n \cos \alpha = \cos \alpha _ { 0 }\tag{20}\]

В котором зависимость показателя преломления от высоты задается функцией

\[n = \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \beta \, z } }\tag{21}\]

Согласно определению угла \(\alpha\), его тангенс равен производной от искомой функции \(z(x)\). Значение тангенса угла найдем с помощью тригонометрических формул

\[\operatorname { t g } \alpha = { \sqrt { { \frac { 1 } { \cos ^ { 2 } \alpha } } - 1 } } = { \sqrt { { \frac { n ^ { 2 } } { \cos ^ { 2 } \alpha _ { 0 } } } - 1 } } = { \sqrt { \frac { n ^ { 2 } - 1 + \left( 1 - \cos ^ { 2 } \alpha _ { 0 } \right) } { \cos ^ { 2 } \alpha _ { 0 } } } } = { \sqrt { \operatorname { t g } ^ { 2 } \alpha _ { 0 } + { \frac { n ^ { 2 } - 1 } { \cos ^ { 2 } \alpha _ { 0 } } } } } \ .\tag{22}\]

Нам требуется найти приближенное уравнение траектории (в квадратичном приближении). Для этого достаточно подкоренное упростить с помощью приближенных формул, считая \(z\) (точнее \(\beta z\)) и \(\alpha\) малыми величинами и, оставляя в них только первый порядок. В этом приближении

\[{ \frac { n ^ { 2 } - 1 } { \cos ^ { 2 } \alpha _ { 0 } } } \approx { \frac { 1 } { 1 + \beta \, z } } - 1 \approx ( 1 - \beta \, z ) - 1 = - \beta \, z \ .\tag{23}\]

Тогда уравнение для траектории луча приобретает вид

\[z ^ { \prime } = \sqrt { \alpha _ { 0 } ^ { 2 } - \beta z } \ ,\tag{24}\]

который совпадает с уравнением (19). Поэтому решение этого уравнения задается функцией

\[z = - \frac { \beta } { 4 } x ^ { 2 } + \alpha _ { 0 } x\tag{25}\]

Так как параметр \(\beta < 0\), то ветви параболы оказываются направленными вверх — звук «уходит» ввысь!

2.6 Звуковые лучи, выходящие из источника под разными углами \(\alpha _ { 0 }\) являются параболами с одним коэффициентом при \(x^2\), поэтому самая «нижняя» парабола есть луч вышедший горизонтально (\(\alpha _ { 0 } = 0\)). Поэтому для определения расстояния, на котором луч проходит на высоте \(h\) необходимо решить уравнение

\[h = - \frac { \beta } { 4 } x ^ { 2 } \ ,\tag{26}\]

из которого находим

\[x = { \sqrt { - { \frac { 4 h } { \beta } } } } = { \sqrt { \frac { 4 \cdot 2 { , } 0 \, \text{ м} } { 3 { , } 4 \cdot 1 0 ^ { - 5 } \, \text{ м} ^ { - 1 } } } } = 0 { , } 4 9 \cdot 1 0 ^ { 3 } \, \text{ м} \ .\tag{27}\]

Заметим, что на больших расстояниях не будет слышен звук даже от мощного источника (например, взрыва), потому что звуковые волны уходят вверх. Дифракцией звуковых волн в данной задаче пренебрегаем.

Часть 3. Не кричите против ветра!

3.1 При наличии ветра скорость распространения звука зависит от направления (можно сказать, что среда является анизотропной). Поэтому закон преломления в форме (12) применять нельзя. В таком случае оказывается удобным рассматривать изменение волновых поверхностей (фронтов) – поверхностей, которые звуковые лучи пересекаю нормально. Рассмотрим участок волнового фронта \(AB\), распространяющегося приблизительно по направлению ветра. Так как скорость ветра возрастает с высотой, то верхняя часть фронта будет смещаться быстрее нижней, поэтому лучи нормальные к этому фронту будут отклоняться вниз. При распространении звука против ветра ситуация обратная – верхняя часть фронта движется медленнее, поэтому в этом случае лучи отклоняются вверх. Аналогичная ситуация будет реализовываться и для других лучей: при движении по ветру они отклоняются вниз (прижимаются к земле), при распространении против ветра лучи отклоняются вверх.

3.2 Опишем «поворот» волнового фронта более подробно.

Рассмотрим луч, распространяющийся на высоте \(z\) под углом \(\alpha\) к горизонту. Изобразим участок волнового фронта \(AB\) шириной \(2h\). Согласно подсказке, сделанной в

условии задачи скорость фронта равна сумме скоростей звука в неподвижном воздухе и нормальной составляющей скорости ветра, поэтому скорость смещения точек фронта равна

\[c^{\prime}=c+v \cos \alpha .\tag{28}\]

Только необходимо учесть, что разные точки фронта находятся на разной высоте, поэтому они движутся с разной скоростью. Потому, что скорость ветра зависит от высоты - \(v(z)=v_{0}+\beta z\) . Крайние точки выбранного участка фронта смещены относительно его середины на величину \(\Delta z=h \cos \alpha\). Поэтому скорости ветра в этих точках равны

\[v_{\pm}=v_{0} \pm \beta h \cos \alpha,\tag{29}\]

где \(v_{0}\) - скорость ветра на высоте \(z\). За малый промежуток времени \(\Delta t\) смещения крайних точек задаются выражениями

\[\Delta S_{\pm}=\left(c+v_{\pm} \cos \alpha\right) \Delta t .\tag{30}\]

Из рисунка следует, что различие скоростей движения этих точек приведет к повороту фронта на угол

\[\begin{aligned} \Delta \alpha & =-\frac{\left(c+v_{+} \cos \alpha\right) \Delta t-\left(c+v_{-} \cos \alpha\right) \Delta t}{2 h}=-\frac{\left(v_{+}-v_{-}\right) \cos \alpha \Delta t}{2 h}= \\ & =-\frac{2 \beta h \cos ^{2} \alpha \cdot \Delta t}{2 h}=-\beta \cos ^{2} \alpha \cdot \Delta t \end{aligned}\tag{31}\]

За тот же промежуток времени центр выбранного участка сместится по высоте на величину

\[\Delta z=\left(c+v_{0} \cos \alpha\right) \sin \alpha \cdot \Delta t \approx c \sin \alpha \cdot \Delta t\tag{32}\]

Здесь учтено, что \(v \ll c\)

Следовательно, уравнение, описывающее изменение угла \(\alpha\) имеет вид

\[\frac{\Delta \alpha}{\Delta z}=-\frac{\beta \cos ^{2} \alpha}{c \sin \alpha} .\tag{33}\]

3.3 В рамках использованного приближения уравнение (33) преобразуется к виду

\[\frac{\Delta \alpha}{\Delta z}=-\frac{\beta \cos ^{2} \alpha}{c \sin \alpha} \approx-\frac{\beta}{c \cdot \alpha} .\tag{34}\]

Из которого не сложно найти зависимость \(\alpha(z)\) с учетом начальных условий:

\[\alpha \Delta \alpha=-\frac{\beta}{c} \Delta z \quad \Rightarrow \quad \Delta\left(\frac{\alpha^{2}}{2}\right)=-\frac{\beta}{c} \Delta z \quad \Rightarrow \quad \frac{\alpha^{2}}{2}-\frac{\alpha_{0}^{2}}{2}=-\frac{\beta}{c} z\tag{35}\]

Окончательно получаем

\[\alpha=\sqrt{\alpha_{0}^{2}-2 \frac{\beta}{c} z} .\tag{35}\]

Для скептиков, сомневающихся в мощи приближенных методов. Уравнение (33) может быть решено точно

\[\frac{d \alpha}{d z}=-\frac{\beta \cos ^{2} \alpha}{c \sin \alpha} \quad \Rightarrow \quad \frac{\sin \alpha}{\cos ^{2} \alpha} d \alpha=-\frac{\beta}{c} d z \quad \Rightarrow \quad \int_{\alpha_{0}}^{\alpha} \frac{\sin \alpha}{\cos ^{2} \alpha} d \alpha=-\frac{\beta}{c} z\]

Этот интеграл выражается через элементарные функции

\[\int_{\alpha_{0}}^{\alpha} \frac{\sin \alpha}{\cos ^{2} \alpha} d \alpha=-\int_{\alpha_{0}}^{\alpha} \frac{d(\cos \alpha)}{\cos ^{2} \alpha}=\left.\frac{1}{\cos \alpha}\right\vert _{\alpha_{0}} ^{\alpha}=\frac{1}{\cos \alpha}-\frac{1}{\cos \alpha_{0}}\]

Далее необходимо выразить в явном виде \(\cos\alpha\), провести тригонометрические преобразования типа (22) и ... получить уравнение (35)!

Как обычно – не понимаешь физики – сиди и интегрируй!

Вернемся, однако, к уравнению (35). Так как при малых углах \(\alpha\), угол равен производной \(z'(x)\), то это уравнение совпадает с уравнением (24), поэтому его решением является функция

\[z = -\frac{\beta}{2c} x^2 + \alpha_0 x\tag{36}\]

Таким образом, при распространении звука по ветру лучи представляют собой параболы, ветви которых направлены к земле.

При распространении звука против ветра необходимо поменять знак в уравнении (33), соответственно поменяется знак и решении, т.е. в этом случае лучи будут описываться функциями

\[z = +\frac{\beta}{2c} x^2 + \alpha_0 x\tag{37}\]

Отметим, что в этом случае \(x < 0\), но и \(\alpha_0 < 0\).

Полученные результаты корректно описывают ход лучей, построенных в результате качественного анализа.

3.4 Итак, причиной того, что звук лучше распространяется по ветру является преломление звуковых лучей, в этом случае они «прижимаются» к земле и являются слышимыми. В противоположном направлении лучи уходят вверх и минуют уши слушателей. Также существенно, что, как правило, скорость ветра возрастает с высотой (вблизи поверхности скорость ветра меньше из-за влияния вязкого трения о поверхность земли).

Изменение скорости распространения звука по и против ветра никакой роли не играет: во-первых, скорость ветра мала по сравнению со скоростью звука; во-вторых, не принципиально услышите ли вы раньше или позже на несколько миллисекунд!

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.