Белорусская, 2018/19, заключительный этап, 9 класс, теоретический тур

Подсказка

В круглой комнате радиус нормален к стене, поэтому точка отражения делит дугу между источником и бликом пополам. Среднее время между частицами находите через сумму интенсивностей потоков.

Ответ

1.1) Минск — 3 мин, Лондон — 2 мин; 1.2) \(h=m/(\rho S)\); 1.3) \(\tau=\tau_1\tau_2/(\tau_1+\tau_2)=6{,}0\) мс; 1.4) у задачи два решения: зеркала \(DC\) и \(D'C'\) с краями на серединах дуг \(SA\) и \(SB\).

Решение

Задача 1.1

Отличие Минска от Лондона заключается в нумерации этажей. В Беларуси она начинается с первого этажа, поэтому, когда бабушка поднялась на второй этаж, она преодолела подъем в один этаж. Для подъема на 4 этаж ей надо преодолеть 3 этажа, на что потребуется время – 3 минуты. В Англии нумерация начинается с нулевого этажа (нижний – ground floor). Поэтому, поднявшись на второй этаж, бабушка поднялась на два этажа за одну минуту, а для того, чтобы подняться на 4 этаж, ей надо подняться на 4 этажа, на что потребуется времени в два раза больше, т.е. 2 минуты.

Задача 1.2

Если масса вынутого грунта будет равна массе здания, то нижележащие слои не будут испытывать никакой дополнительной нагрузки при возведении здания. Из этого условия легко определить:

\[m = \rho S h \quad \Rightarrow \quad h = \frac{m}{\rho S}.\tag{1}\]

Задача 1.3

Легко сообразить, что величина обратная времени между регистрациями \(\frac{1}{\tau}\) имеет смысл среднего числа частиц, попадающих в счетчик за единицу времени (интенсивность потока). Понятно, что именно интенсивности потоков необходимо складывать: если первый источник посылает в единицу времени \(\frac{1}{\tau_1}\) частиц, а второй - \(\frac{1}{\tau_2}\) частиц, то вместе они посылают \(\frac{1}{\tau_1} + \frac{1}{\tau_2}\) частиц. Поэтому среднее время между частицами в этом случае будет определяться по формуле

\[\frac{1}{\tau} = \frac{1}{\tau_1} + \frac{1}{\tau_2} \quad \Rightarrow \quad \tau = \frac{\tau_1 \cdot \tau_2}{\tau_1 + \tau_2} = 6{,}0 \text{ мс}\tag{2}\]

Можно предложить еще одно наглядное решение этой задачи. Вместо частиц рассмотрим автобусы: автобусы одного маршрута следуют со средним интервалом 10 минут, второго с интервалом 15 минут. Чему равен средний интервал между автобусами двух маршрутов? Решение: за одну минуту приходит 1/10 автобуса первого маршрута и 1/15 автобуса второго. Всего за минуту приходит \(1/10 + 1/15 = 5/30 = 1/6\) часть автобуса. Следовательно, чтобы пришел «целый» автобус необходимо ждать 6 минут.

Задача 1.4

Сначала разберемся с ходом световых лучей при отражении от зеркала. Пусть луч от источника \(S\) попадает в точку \(C\) (в области зеркала), отражается от нее и попадает на стенку в точке \(A\). По закону отражения света угол падения равен углу отражения. Нормалью к точке падения является радиус, поэтому углы \(\angle SCO\) и \(\angle OCA\) равны. Следовательно, точка, в которой произошло отражение, делит дугу \(SA\) на две равные части. Заметим, что в точку \(A\) луч может попасть, отразившись и точке \(C'\) симметричной точке \(C\). Поэтому данная задача имеет два решения!

Края освещенной части соответствую лучам, отраженным от краев зеркальной части. Это позволяет найти края зеркала: делим дуги \(SA\) пополам, находим точки \(C\) и \(C'\); делим дуги \(SB\) - находим точки \(D\) и \(D'\). Эти точки являются краями зеркал \(DC\) и \(D'C'\) - который являются двумя возможными решениями данной задачи. На левом рисунке показан ход лучей от верхнего зеркала, важно отметить, что все отраженные лучи пересекаются в одной точке.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

На подвижной полосе удобно перейти в систему отсчёта, связанную с лентой: там трение тормозит шайбу вдоль вектора относительной скорости. Вне ленты шайба движется прямолинейно и равномерно.

Ответ

1.1) \(v_{0\min}=\sqrt{2\mu gd}\approx4{,}4\) м/с; 1.3) при \(v_0=5{,}0\) м/с: \(t_1=0{,}40\) с, \(v_1=2{,}4\) м/с, \(t_2=1{,}0\) с; при \(v_0=3{,}0\) м/с: \(x_1=0{,}71\) м, \(t_1=0{,}47\) с; 2.1) \(v_{0\min}\approx4{,}0\) м/с.

Решение

Часть 1. Полоса неподвижна.

1.1 При движении шайбы по шероховатой полосе на нее действует сила трения, модуль которой равен

\[F = \mu mg \ ,\tag{1}\]

и направленная противоположно вектору скорости. В соответствии со вторым законом Ньютона

\[\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m}\tag{2}\]

Модуль ускорения шайбы постоянен и равен

\[a = \mu g \ .\tag{3}\]

Так сила трения направлена вдоль той же прямой, что вектор скорости движение шайбы будет прямолинейным, а так как ускорение постоянно, то движение будет равноускоренным. При минимальной начальной скорости, при которой шайба преодолеет полосу, шайба остановится на противоположном краю полосы. Для расчета значения этой скорости можно воспользоваться известной кинематической формулой

\[S = \frac{v_1^2 - v_0^2}{2a} \quad \Rightarrow \quad d = \frac{v_{0\min}^2}{2\mu g} \ .\tag{4}\]

Из которой находим

\[v_{0\min} = \sqrt{2\mu gd} = 4{,}4 \frac{\text{м}}{\text{с}} \ .\tag{5}\]

Этот же результат может быть получен из теоремы о кинетической энергии (изменение энергии равно работе внешних сил):

\[\frac{mv_0^2}{2} = \mu mgd\tag{4*}\]

1.2 Так как шайба движется прямолинейно и с постоянным ускорением, то при движении по полосе закон ее движения имеет вид

\[x = v_0 t - \frac{\mu g}{2} t^2 \ .\tag{6}\]

Если начальная скорость шайбы меньше найденной скорости \(v_{0\min}\), то в некоторый момент времени \(t_1\) шайба остановится. Этот момент времени легко найти с помощью выражения для скорости шайбы при равноускоренном движении

\[v = v_0 - \mu gt\tag{7}\]

Полагая \(v = 0\), находим

\[0 = v_0 - \mu gt_1 \quad \Rightarrow \quad t_1 = \frac{v_0}{\mu g}\tag{8}\]

Координату шайбы в момент остановки можно определить по формуле

\[x_1 = \frac{v_0^2}{2\mu g} \ .\tag{9}\]

Таким образом, в этом случае (\(v < v_{0\min}\)) закон движения шайбы имеет вид:

\[\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle x = v _ { 0 } t - \frac { \mu g } { 2 } t ^ { 2 } \, , } & { \displaystyle t < \frac { v _ { 0 } } { \mu g } } \\ { \displaystyle x = \frac { v _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \mu g } \, , } & { \displaystyle t > \frac { v _ { 0 } } { \mu g } } \end{array} \right. .\tag{10}\]

Если скорость шайбы превышает \(v_{0\min}\), то шайба преодолеет шероховатую полосу. На этой полосе закон движения шайбы также будет иметь вид (6). Но в этом случае после преодоления шероховатой полосы шайба будет иметь скорость, определяемую по формуле

\[S = \frac{v_1^2 - v_0^2}{2a} \quad \Rightarrow \quad d = \frac{v_0^2 - v_1^2}{2\mu g} \quad \Rightarrow \quad v_1 = \sqrt{v_0^2 - 2\mu g d}\tag{11}\]

Шайба выедет с полосы в момент времени \(t_1\), который легко найти из закона изменения скорости шайбы (7):

\[v_1 = v_0 - \mu g t_1 \quad \Rightarrow \quad t_1 = \frac{v_0 - v_1}{\mu g} = \frac{v_0 - \sqrt{v_0^2 - 2\mu g d}}{\mu g}\tag{12}\]

Эту же формулу можно получить как решение квадратного уравнения, следующего из закона движения шайбы (6), только при таком подходе необходимо правильно выбрать меньший корень.

Далее шайба будет двигаться равномерно со скоростью \(v_1\).

Полностью закон движения шайбы описывается выражениями

\[\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle x = v _ { 0 } t - \frac { \mu g } { 2 } t ^ { 2 } \, , } & { t < t _ { 1 } } \\ { \displaystyle x = v _ { 1 } ( t - t _ { 1 } ) \, , } & { t > t _ { 1 } } \end{array} \right. .\tag{13}\]

Где значения величин \(t_1\) и \(v_1\) определяются формулами (11) и (12).

Шайба достигнет края гладкой полосы в момент времени

\[t_2 = t_1 + \frac{d}{v_1}.\tag{14}\]

1.3 При начальной скорости \(v_0 = 5{,}0\,\frac{\text{м}}{\text{с}}\) шайба достигнет края шероховатой полосы, поэтому закон движения шайбы описывается формулами (13).

Численный расчет параметров этой зависимости дает следующие значения: - шайба достигнет края шероховатой полосы в момент времени \(t_1 = 0{,}40\,\text{с}\); - скорость шайбы в этот момент времени \(v_1 = 2{,}4\,\frac{\text{м}}{\text{с}}\); - достигнет края гладкой полосы в момент времени \(t_2 = 1{,}0\text{с}\).

График этой зависимости показан на рисунке.

При начальной скорости \(v_0 = 3{,}0 \frac{\text{м}}{\text{с}}\) - шайба остановится на шероховатой полосе в точке с координатой \(x_1 = 0{,}71 \text{м}\); — это произойдет в момент времени \(t_1 = 0{,}47 \text{с}\), - далее шайба будет покоиться. График этой зависимости также показан на рисунке.

Часть 2. Движущаяся полоса.

2.1 Сила трения направлена в сторону противоположную скорости относительно движущейся полосы. Эта относительная скорость равна

\[\vec{V} = \vec{v}_0 - \vec{u}.\tag{15}\]

Этот вектор направлен под углом \(\alpha\) к оси \(x\). Угол \(\alpha\) легко находится из очевидного соотношения

\[\operatorname{tg} \alpha = \frac{v_0}{u}.\tag{16}\]

Вектор ускорения направлен противоположно вектору \(\vec{V}\), его модуль, как и ранее, равен \(a = \mu g\). Проще всего описать движение шайбы в системе отсчета, связанной с лентой. В этой системе отсчета шайба движется по прямой, направленной вдоль вектора \(\vec{V}\). Чтобы шайба преодолела шероховатую полосу, для начальной скорости должно выполняться условие

\[\frac{d}{\cos \alpha} = \frac{V^2}{2 \mu g}\tag{17}\]

Из этого соотношения следует уравнение для определения минимальной начальной скорости шайбы:

\[\frac{d \sqrt{v_0^2 + u^2}}{v_0} = \frac{v_0^2 + u^2}{2 \mu g}\tag{18}\]

Это уравнение приводится к биквадратному уравнению:

\[v_0 \sqrt{v_0^2 + u^2} = 2 \mu g d \quad \Rightarrow \quad v_0^4 + v_0^2 u^2 - (2 \mu g d)^2 = 0 \quad \Rightarrow\]

\[v_0^2 = \frac{-u^2 + \sqrt{u^4 + 4(2 \mu g d)^2}}{2} \quad \Rightarrow \quad v_{0 \min} = \sqrt{\frac{\sqrt{u^4 + 4(2 \mu g d)^2} - u^2}{2}} = 4{,}0 \frac{\text{м}}{\text{с}}\tag{19}\]

2.2 В неподвижной системе отсчета движение шайбы является равноускоренным, закон движения шайбы имеет вид

\[\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle x = v _ { 0 } t - \frac { \mu g \cos \alpha } { 2 } t ^ { 2 } } \\ { \displaystyle y = \frac { \mu g \sin \alpha } { 2 } t ^ { 2 } } \end{array} \right.\]

При начальной скорости \(v _ { 0 } = 5 { , } 0 \text{ м/с}\) шайба преодолеет шероховатую полосу.

При этом значении начальной скорости угол \(\alpha \approx 2 7 ^ { \circ }\) . \(\sin \alpha = 0 { , } 4 5 \quad \cos \alpha = 0 { , } 8 9\)

Шайба достигнет края полосы в момент времени \(t _ { 1 }\) , который можно найти из уравнения

\[\begin{array} { c } { d = v _ { 0 } t _ { 1 } - \displaystyle \frac { \mu g \cos \alpha } { 2 } t _ { 1 } ^ { 2 } \quad \Rightarrow \quad \displaystyle \frac { \mu g \cos \alpha } { 2 } t _ { 1 } ^ { 2 } - v _ { 0 } t _ { 1 } + d = 0 } \\ { t _ { 1 } = \displaystyle \frac { v _ { 0 } - \sqrt { v _ { 0 } ^ { 2 } - 2 d \mu g \cos \alpha } } { \mu g \cos \alpha } = 0 { , } 3 8 c } \end{array}\]

Далее шайба будет двигаться прямолинейно.

В этот момент времени координаты шайбы будет равны

\[\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle x _ { 1 } = d = 1 { , } 5 \text{ м} } \\ { \displaystyle y _ { 1 } = \frac { \mu g \sin \alpha } { 2 } t _ { 1 } ^ { 2 } = 0 { , } 2 1 \text{ м} } \end{array} \right.\]

Проекции скорости шайбы на оси координат в момент пересечения полосы будут равны (эти формулы следуют из закона движения (20)):

\[\left\{ \begin{array} { l l } { v _ { x } = v _ { 0 } - \mu g \cos \alpha \cdot t _ { 1 } = 2 { , } 8 \text{ м/с} } \\ { v _ { y } = \mu g \sin \alpha \cdot t _ { 1 } = 1 { , } 1 \text{ м/с} } \end{array} \right.\]

Далее шайба будет двигаться прямолинейно, закон ее движения будет описываться формулами

\[\left\{ \begin{array} { l l } { x = x _ { 1 } + v _ { x } \left( t - t _ { 1 } \right) } \\ { y = y _ { 1 } + v _ { y } \left( t - t _ { 1 } \right) } \end{array} \right.\]

Траектория шайбы в этом случае показана на рисунке.

При начальной скорости \(v _ { 0 } = 3 { , } 0 \text{ м/с}\) шайба не пересечет шероховатую полосу.

В этом случае \(\alpha \approx 40^\circ\). \(\sin \alpha = 0{,}64\) \(\cos \alpha = 0{,}77\) При движении полосе ее закон движения также описывается функциями (20). Шайба прекратит скольжение по полосе, когда ее компонента скорости \(v_x\) обратится в нуль. Это произойдет в момент времени

\[v_x = v_0 - \mu g \cos \alpha \cdot t_1 = 0 \quad \Rightarrow \quad t_1 = \frac{v_0}{\mu g \cos \alpha} = 0{,}61 \text{с}.\]

В этот момент координаты шайбы будут равны

\[\begin{cases} x_1 = v_0 t_1 - \frac{\mu g \cos \alpha}{2} t_1^2 = 0{,}92 \text{м} \\ y_1 = \frac{\mu g \sin \alpha}{2} t_1^2 = 0{,}77 \text{м} \end{cases}\]

Далее шайба будет двигаться вдоль оси \(y\) со скоростью ленты.

Траектория шайбы в этом случае показана на рисунке.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Во всех трёх частях действует одна аналогия: поток через стык одинаков, а разность потенциала делится пропорционально «сопротивлению» участка. Для идеальной жидкости давление скачет только на стыке труб.

Ответ

1.1) \(U=U_0(1-x/L)\); 1.2) \(U_x=U_0/4\) в середине; 2.2) \(t_x=\tfrac34t_0\); 3.1) \(q=S_0\sqrt{\dfrac{2(P_0-P_1)}{3\rho}}\).

Решение

Часть 1. Электрическое напряжение.

1.1 Так как сила тока в любом поперечном сечении стержня постоянна, то напряжение будет изменяться по линейному закону. Причем при \(x = 0\) напряжение равно напряжению источника \(U_0\), при \(x = L\) напряжение становится равным нулю. Этим условиям удовлетворяет линейная функция

\[U = U_0 \left(1 - \frac{x}{L}\right).\tag{1}\]

1.2 В пределах каждого стержня напряжение меняется по линейному закону. Поэтому для построения графика необходимо найти напряжение на втором стержне, которое мы обозначим \(U_x\). Тогда напряжение на первом стержне будет равно \((U_0 - U_x)\). Значения сил токов в обоих стержнях одинаково, что выражается уравнением

\[\frac{U_0 - U_x}{\rho_1 \frac{L}{2} S} = \frac{U_x}{\rho_2 \frac{L}{2} S}.\tag{2}\]

Принимая во внимание отношение между удельными сопротивлениями стержней, из уравнения (2) получаем

\[U_0 - U_x = \frac{\rho_1}{\rho_2} U_x = 3 U_x \quad \Rightarrow \quad U_x = \frac{U_0}{4}.\tag{2}\]

Таким образом, на участке \(x \in \left[0, \frac{L}{2}\right]\) напряжение линейно уменьшается от \(U_0\) до \(\frac{U_0}{4}\), а на участке \(x \in \left[\frac{L}{2}, L\right]\) падает до нуля. График этой функции показан на рисунке.

Часть 2. «Температурное» напряжение.

Решение этой части задачи полностью аналогично решению части 1.

2.1 В установившемся режиме поток теплоты через любое поперечное сечение стержня постоянен, поэтому зависимость температуры стержня от координаты линейна и описывается функцией

\[t = t_0 \left(1 - \frac{x}{L}\right).\tag{3}\]

2.2 В пределах каждого цилиндра температура изменяется по линейному закону. Для определения температуры на стыке цилиндров запишем условие равенства потоков в обоих цилиндрах

\[\gamma_1 \frac{t_0 - t_x}{L/2} S = \gamma_2 \frac{t_x}{L/2} S.\tag{4}\]

Из этого уравнения находим

\[t_0 - t_x = \frac{\gamma_2}{\gamma_1} t_x = \frac{1}{3} t_x \quad \Rightarrow \quad t_x = \frac{3}{4} t_0.\tag{5}\]

График зависимости температуры от координаты показан на рисунке.

Часть 3. «Жидкое» напряжение.

3.1 При движении идеальной жидкости отсутствуют силы вязкого трения, поэтому при ее движении по трубе постоянного сечения нет необходимости прикладывать к жидкости внешнюю силу. Следовательно, в этом случае давление жидкости в трубе является постоянным. Однако, при перетекании жидкости из трубы одного сечения в трубу другого сечения изменяется скорость течения жидкости. Таким образом, на участке переменного сечения должна действовать сила давления, которая сообщает жидкости ускорение и изменяет ее скорость. Эта сила создается скачком давления на стыке труб. Из этих рассуждений следует, что в левой части трубы давление равно \(P_0\), а во второй - \(P_1\). График такой зависимости показан на рисунке.

Для того, чтобы найти расход жидкости необходимо связать скачок давления со скоростями жидкости. Для установления этой связи проще всего рассмотреть изменение энергии жидкости при ее перетекании из одной трубы в другую.

Мысленно выделим два сечения в обеих частях трубы. Пусть в левой части трубы это сечение сместилось на расстояние \(\Delta x_1\), а в правой части - \(\Delta x_2\). Так как жидкость не сжимаема, то эти смещения связаны очевидным соотношением (условие постоянства объема):

\[S_1 \Delta x_1 = S_2 \Delta x_2.\tag{6}\]

Если разделить данное соотношение на интервал времени, в течение которого произошло рассматриваемое смещение, получим аналогичное соотношение для скоростей жидкости в обеих частях трубы

\[S_1 v_1 = S_2 v_2.\tag{7}\]

При смещении жидкости силы давления совершили работу

\[A_P = P_0 S_1 \Delta x_1 - P_1 S_2 \Delta x_2 = (P_0 - P_1) S_1 \Delta x_1\tag{8}\]

При этом масса жидкости, равная \(\Delta m = \rho S_1 \Delta x_1\), изменила свою скорость от \(v_1\) до \(v_2\). Изменение кинетической энергии этой жидкости равно работе сил давления, поэтому

\[\frac{\rho S_1 \Delta x_1}{2} (v_2^2 - v_1^2) = (P_0 - P_1) S_1 \Delta x_1 \quad \Rightarrow \quad \frac{\rho}{2} (v_2^2 - v_1^2) = (P_0 - P_1)\tag{9}\]

Отметим, что полученное соотношение называется уравнением Бернулли.

Из соотношения (7) следует, что \(v_2 = \frac{S_1}{S_2} v_1 = 2v_1\). Теперь не сложно определить скорость жидкости в левой части трубы:

\[\frac{\rho}{2} (4v_1^2 - v_1^2) = (P_0 - P_1) \quad \Rightarrow \quad v_1 = \sqrt{\frac{2}{3} \frac{P_0 - P_1}{\rho}}.\tag{10}\]

Тогда расход жидкости через трубу оказывается равным

\[q = S_1 v_1 = S_0 \sqrt{\frac{2}{3} \frac{P_0 - P_1}{\rho}}.\tag{11}\]

3.2 Для того, чтобы вязкая жидкость протекала по трубе постоянного сечения, к концам трубы необходимо прикладывать разность давлений, чтобы преодолеть силы вязкого трения. Поэтому при стационарном течении в трубе должно установиться следующее распределение давлений (см. рис.). В пределах левой части трубы давление падает по линейному закону от \(P_0\) до некоторого значения \(P'_0\). Разность этих давлений обусловлена необходимостью преодоления сил вязкого трения в этой части трубы. В области стыка должна существовать разность давлений \((P'_0 - P'_1)\), обеспечивающая увеличение скорости течения жидкости. Наконец, на правом участке давление линейно уменьшается от \(P'_1\) до значения \(P_1\). Из формулы Пуазейля следует, что расход жидкости пропорционален разности давлений и квадрату (!) площади поперечного сечения. Так как расход жидкости в любом сечении постоянен, а площадь правой части в 2 раза меньше площади левой части, то разность давлений на правой части трубы должна быть в 4 раза больше, чем на левой части трубы.

\[(P'_1 - P_1) = 4(P_0 - P'_0).\tag{12}\]

Расчет скачка давлений может быть произведен аналогично тому. Как это было сделано для идеальной жидкости. Однако, этот расчет требует учета того, что при течении вязкой жидкости скорость ее течения не постоянна по поперечному сечению. Схематический вид зависимости давления в жидкости от координаты показан на рисунке. Существенно, что коэффициент наклона графика на втором участке в 4 раза больше, чем на первом.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.