Белорусская, 2019/20, заключительный этап, 11 класс, теоретический тур

Задание состоит из 3 не связанных между собой задач.

Задача 1.1 Вертикальный цилиндрический сосуд с газом закрыт массивным подвижным поршнем. Поршень может совершать малые гармонические колебания в вертикальном направлении. Если считать процесс сжатия-расширения газа изотермическим, то расчетное значение периода колебаний равно \(T_0\).

1.1.1 Найдите, чему будет равен период колебаний поршня, если считать процесс сжатия-расширения газа адиабатическим. Показатель адиабаты газа - \(\gamma\)

Подсказки. 1. Уравнение адиабатического процесса идеального газа имеет вид

\[PV^{\gamma} = const.\tag{1}\]

Где \(P\) - давление газа, \(V\) - его объем, \(\gamma\) - показатель адиабаты газа. 2. При \(x \ll 1\) и любых \(\beta\) справедлива приближенная формула

\[(1+x)^{\beta} \approx 1 + \beta x.\tag{2}\]

Задача 1.2

Проволочная рамка содержит \(N\) витков. Рамка имеет форму квадрата со стороной длины \(l\). Рамка подключена к резистору с сопротивлением \(R\). Электрическим сопротивлением и индуктивностью рамки можно пренебречь. Над рамкой пролетает с постоянной скоростью \(\vec{V}\) постоянный магнит, поперечное сечение которого имеет форму квадрата со стороной \(a = \frac{l}{2}\). Магнитное поле магнита существует только у торцов, причем его можно считать однородным, индукция этого поля равна \(B\) (см. рисунок).

1.2.1 Постройте график зависимости напряжения на резисторе от времени \(U(t)\) за время пролета магнита над рамкой. Укажите характерные точки этого графика.

Задача 1.3

В схеме, показанной на рисунке, диод является идеальным: при прямом подключении (когда направление тока совпадает со «стрелкой» диода на схеме) его сопротивление пренебрежимо мало, при обратном подключении диода сопротивление бесконечно велико. При указанной на схеме полярности подключения источника общее сопротивление цепи равно \(R_1 = 8{,}0\) Ом, при изменении полярности источника сопротивление цепи становится равным \(R_2 = 9{,}0\) Ом.

1.3.1 Найдите, чему равны сопротивления резисторов \(R\) и \(r\) на схеме.

▶РешениеСкрыть

Решение

Задача 1.1

Уравнение второго закона Ньютона для поршня имеет вид

\[ma = mg + \Delta PS\tag{1}\]

Здесь \(\Delta P\) разность давления воздуха под поршнем и атмосферным давлением. Если поршень смещается на малую величину \(x\), то давление также будет изменяться на малую величину. Для изотермического процесса справедливо уравнение

\[PV = const.\tag{2}\]

Из которого найдем изменение давления: \(P = \frac{P_0 h}{h + x}\) здесь \(P_0\) - давление газа в сосуде, когда поршень находится в равновесии на высоте \(h\). При малых \(x\) можно записать

\[P = \frac{P_0 h}{h + x} \approx P_0 \left(1 - \frac{x}{h}\right).\tag{3}\]

Подстановка этого выражения в уравнение (1) приводит к уравнению гармонических колебаний:

\[ma = -P_0 S \frac{x}{h}\tag{4}\]

Период этих колебаний

\[T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{P_0 S}{mh}}.\tag{5}\]

Для адиабатического процесса изменение давления определяется уравнением адиабаты:

\[P = P_0 \left(\frac{h}{h + x}\right)^\gamma \approx P_0 \left(1 - \gamma \frac{x}{h}\right)\tag{6}\]

Тогда уравнение второго закона Ньютона примет вид

\[ma = -\gamma P_0 S \frac{x}{h}.\tag{7}\]

Период этих колебаний

\[T_1 = 2\pi \sqrt{\gamma \frac{P_0 S}{mh}} = T_0 \sqrt{\gamma}.\tag{8}\]

Задача 1.2

Магнитный поток через рамку описывается функцией

\[\Phi = \begin{cases} B \frac{l}{2} Vt, & \text{при} \quad 0 < t < \frac{l}{2V} \\ B \frac{l}{2} (l - Vt) & \text{при} \quad \frac{l}{2V} < t < \frac{l}{V} \end{cases}\tag{1}\]

Тогда по закону Фарадея ЭДС индукции и напряжение на резисторе равно

\[U = -\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = \begin{cases} -B\frac{l}{2}V, & \text{при} \quad 0 < t < \frac{l}{2V} \\ B\frac{l}{2}V & \text{при} \quad \frac{l}{2V} < t < \frac{l}{V} \end{cases}\tag{2}\]

Графики этих функций показаны на рисунке.

Задача 1.3

При открытом диоде (см. рис.) Сопротивление схемы равно

\[R_1 = 2\frac{Rr}{R+r}.\tag{1}\]

При закрытом диоде –

\[R_2 = \frac{R+r}{2}.\tag{2}\]

Из этой системы уравнений следует, что возможные значения сопротивлений равны \(18{,}0\) Ом и \(6{,}0\) Ом, причем общее сопротивление равно \(9{,}0\) Ом при закрытом диоде. Следовательно, при полярности, указанной на рисунке в условии задачи, диод открыт. Поэтому сопротивления связаны соотношением \(R < r\). Отсюда окончательно следует, что

\[\begin{aligned} R &= 6{,}0\,\text{Ом} \\ r &= 18{,}0\,\text{Ом} \end{aligned}\tag{3}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Задание 11-2. «А все-таки она вертится!»

Доказать наличие вращения Земли вокруг своей оси можно, не сходя с ее поверхности. Существует целый ряд природных эффектов, которые наглядно подтверждают то, что Земля вращается. В данном задании рассматриваются два таких природных явления: преимущественное подмывание одного из берегов реки и западный перенос ветров в белорусских широтах. Эрудированные, но не очень понимающие физики «спецы» для объяснения этих эффектов ссылаются на таинственную силу Кориолиса, но естественно, не могут объяснить, что это такое.

На самом деле все гораздо проще: достаточно перейти из неинерциальной вращающейся системы отсчета в привычную неподвижную (следовательно, инерциальную) систему отсчета и все становится почти очевидным. Учитывать движение Земли вокруг Солнца не следует.

Часть 1. Введение в понимание.

Рассмотрим диск, который вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью \(\omega\). По поверхности диска движется материальная точка \(A\) (например, жук). Будем описывать движение этого жука в инерциальной (неподвижной) системе отсчета \(XYZ\), ось \(z\) которой совпадает с осью диска, а оси \(x\) и \(y\) лежат в плоскости диска.

Пусть жук движется относительно диска строго радиально (на диске нарисован радиус, и жук с него не сходит). Скорость жука относительно диска постоянна и равна \(\vec{v}\).

1.1 В некоторый момент времени \(t\) жук находится на расстоянии \(r\) от центра диска. Нарисуйте вектор полной скорости жука в неподвижной системе отсчета (в плоскости \(XY\)), разложите его на компоненты направленную вдоль радиуса и перпендикулярную ему. Укажите, чему равны модули этих компонент?

1.2 Нарисуйте вектор полной скорости жука скорости через малый промежуток времени \(\Delta t\).

1.3 Найдите ускорение жука в неподвижной системе отсчета. Укажите направление вектора ускорения в момент времени \(t\).

1.4 Какая сила может сообщить это ускорение жуку?

В дальнейших расчетах считайте Землю шаром радиуса \(R = 6400\) км, вращающимся вокруг собственной оси. Надеемся, что период вращения Земли вам известен. Действие происходит на территории Беларуси, поэтому считайте, что географическая широта местности \(\varphi = 50^\circ\). Напоминаем, географическая широта экватора равна нулю, а Солнце восходит на востоке.

Часть 2. Какой берег реки круче?

Будем считать. что река Днепр в Беларуси в Беларуси течет строго на юг, а река Неман строго на север. Русло каждой реки упрощенно будем считать прямоугольным желобом глубиной \(h = 5{,}0\) м и шириной \(l = 50\) м, скорость течения воды относительно поверхности Земли примем \(v = 2{,}0 \frac{\text{м}}{\text{с}}\). Плотность воды \(\rho = 1{,}0 \cdot 10^{3} \frac{\text{кг}}{\text{м}^{3}}\).

2.1 Нарисуйте в проекции на плоскость экватора (вид со стороны Северного полюса) вектор полной скорости некоторой порции воды в неподвижной системе отсчета (оси которой лежат в плоскости экватора). Проведите разложение этого вектора на составляющие: вдоль проекции меридиана и вдоль параллели.

2.2 Проведите аналогичное построение вектора скорости через малый промежуток времени \(\Delta t\).

2.3 Укажите, на какой берег (восточный, или западный; правый, или левый) вода действует с большей силой.

2.4 Рассчитайте разность давлений воды, действующих на разные берега реки.

Решение данной части задачи проведите отдельно для Днепра и для Немана. Обязательно укажите на рисунке восток и запад, и направление вращения Земли.

Часть 3. Почему в Беларуси преобладает западный перенос воздушных масс

Известный факт: в Беларуси преобладает западный перенос воздушных масс. На вопрос: «В чем причина этого явления?» чаще всего можно получить ответ: «Причина — вращение Земли!» В целом ответ, конечно, верный, но последующие вопросы ставят испытуемого в тупик. «Как Вы себе это представляете? Воздух остается на месте, а поверхность Земли вращается?» Если на этот вопрос Вы отвечаете: «Да, примерно так». то ответьте на следующие вопросы этого задания. Итак, принимаем гипотезу: поверхность Земли воздух не увлекает: воздух остается на месте (относительно инерциальной неподвижной системы отсчета), а поверхность Земли вращается.

3.1 Оцените скорость ветра в Беларуси при справедливости высказанной гипотезы.

3.2 Укажите в каком направлении будет дуть этот ветер?

А теперь правильное объяснение. У поверхности Земли воздух разогревается сильнее всего вблизи экватора. Этот нагретый и влажный воздух поднимается в верхние слои атмосферы и растекается к полюсам. Достигнув наших средних широт, он, охладившись, начинает опускаться к поверхности Земли.

3.3 Укажите в каком направлении будет дуть этот ветер?

3.4 Какова была скорость ветра, если бы вязкость ветра отсутствовала?

▶РешениеСкрыть

Решение

Часть 1. Введение в понимание.

На рисунке показаны необходимые построения векторов скорости жука и их разложения на составляющие. Из рисунка следует, что возросла компонента скорости, перпендикулярная радиальному направлению. Причем это возрастание обусловлено двум причинами:

Первое: увеличилось расстояния от оси вращения диска, поэтому скорость возросла на величину

\[\Delta v = \omega \Delta r\tag{1}\]

Второе: повернулся вектор относительной скорости, поэтому изменение скорости равно:

\[\Delta v = v \Delta \varphi\tag{2}\]

Следовательно, ускорение жука направлено перпендикулярно радиусу, а его модуль равен

\[a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \omega \frac{\Delta r}{\Delta t} + v \frac{\Delta \varphi}{\Delta t} = 2 \omega v\tag{3}\]

Такое ускорение жуку может сообщить, например, сила трения.

Часть 2. Какой берег реки круче?

Днепр течет на юг, поэтому днепровская вода удаляется от оси вращения. Следовательно, вода получает ускорение, направленное по вращению Земли, то есть на восток. Это ускорение может сообщить только сила, действующая со стороны правого (или западного берега).

Величина ускорения определяется формулой (3), в которой в качестве скорости следует взять проекцию скорости течения на плоскость экватора, так именно эта компонента определяет изменение расстояния до оси вращения. Поэтому модуль ускорения равен

\[a = 2 \omega v \sin \varphi\tag{4}\]

Это ускорение сообщает сила, действующая на воду со стороны правого берега. Тогда разность давлений со стороны берегов реки оказывается равной:

\[\Delta P = 2 \rho h \omega v \sin \varphi \approx 11 \text{Па}\tag{5}\]

Аналогичный результат получается и для Немана, только эта сила направлена на запад, поэтому более крутой берег у Немана тоже правый.

Часть 3. Почему в Беларуси преобладает западный перенос воздушных масс

Скорость ветра в рамках сформулированной гипотезы равна скорости движения поверхности Земли, которая в белорусских широтах равна

\[v = \omega R \cos \varphi \approx 300\ \frac{\text{м}}{\text{с}}\tag{6}\]

Что соответствует урагану неслыханной силы. И самое важное: этот ветер должен дуть на запад! Таким образом, высказанная банальная гипотеза полностью отвергается. Правильное объяснение, связанное с глобальной циркуляцией атмосферы указывает правильное направление ветра с запада на восток, но величина скорости этого ветра также дает явно завышенное значение

\[v = \omega R(1 - \cos \varphi) \approx 160\ \frac{\text{м}}{\text{с}}.\tag{7}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Задание 11-3. Фазированная антенная решетка – глаза радиолокационной системы

Небольшая справка: Отдельный радиотехнический узел «Ганцевичи (Барановичи)», находящийся в 48 км юго-восточнее города Барановичи. Узел является войсковой частью Воздушно-космических сил России и оснащен стационарной цифровой радиолокационной станцией дециметрового диапазона типа «Волга». «Волга» обеспечивает слежение за ракетными пусками вероятного противника на дальности до 4800 км и наблюдение за космическими объектами миллиметровых размеров на любой из орбит. С помощью «Волги» осуществляются обнаружение баллистических ракет и космических объектов и контроль над районами патрулирования подлодок стран НАТО в Европе, Северной Атлантике и Норвежском море. Объект входит в систему раннего предупреждения о ракетном нападении и замыкается, в конечном счете, на так называемый «ядерный чемоданчик» президента России.

На фотографии показана эта радиолокационная станция (восхититесь ее размерами). Самое поразительное в ее работе то, что сама антенна неподвижна, а посылаемый ею луч может направляться в различных направлениях. Цель данного задания разобраться в принципе работы такого устройства. Подробное описание станции засекречено, поэтому используемая в данной работе модель может отличаться от реальной.

Общее описание и теоретическое введение.

1. Антенна станции представляет собой плоскую квадратную решетку. Длину стороны каждой квадратной ячейки обозначим \(d\). В центре каждой ячейки расположен дипольный излучатель радиоволн. Все источники являются монохроматическими и когерентными. Длина волны излучения равна \(\lambda = 40\) см. Введем систему координат в плоскости антенны \(XY\) (см. рис.). Будем считать, что оси дипольных излучателей ориентированы вдоль оси \(Y\). С помощью электроники и соответствующего программного обеспечения можно регулировать фазу колебаний каждого излучателя.

2. Для одиночного излучателя зависимость интенсивности излучения от угла \(\theta\) между нормалью к оси излучателя и направлением излучения (такая зависимость называется индикатрисой излучения) описывается функцией

\[I = I_0 \cos^2 \theta\tag{1}\]

График этой функции в полярных координатах показан на рисунке. Далее величину \(I_0\) считайте известной.

3. При выполнении данного задания вам необходимо суммировать волны, излучаемые всеми излучателями (рассчитывать результат интерференции волн). Следует считать, что расстояние до точки в которой происходит суммирование колебаний значительно больше размеров антенны.

4. Докажите формулу, которая во многом является основой дальнейших расчетов. Пусть расстояние между двумя источниками \(S_1\) и \(S_2\) равно \(d\). Точка \(A\), в которой происходит сложение волн, испущенных источником, равно \(L\), и эта точка находится в направлении, задаваемом углом \(\theta\) (см. рис.). Покажите, что разность расстояний от источников до рассматриваемой точки при \(L \gg d\) определяется по формуле

\[\Delta r = r_1 - r_2 = d \sin \theta.\tag{2}\]

В дальнейшем используйте эту формулу.

Часть 1. Два излучателя.

Рассмотрим два соседних излучателя решетки расположенных вдоль оси \(X\) решетки. Требуется рассчитать излучение в плоскости перпендикулярной осям излучателей в зависимости от угла \(\theta\) между нормалью к

плоскости излучателей и направлением, в котором рассчитывается интенсивность излучения. Понятно, что рассматриваемый диапазон углов \(\theta\): от \(-\frac{\pi}{2}\) до \(+\frac{\pi}{2}\). Так антенна излучает только в одну сторону. На следующем рисунке показан этот угол (вид сверху). Здесь изображено несколько (\(N\)) излучателей, чтобы этот же рисунок был пригоден для следующей части задачи, в этой части \(N = 2\).

1.1 Найдите зависимость \(I(\theta)\) интенсивности излучения двух излучателей от угла \(\theta\), если разность фаз колебаний на источниках равна \(\Delta \varphi = 0\).

1.2 Найдите значения углов \(\theta\), для которых интенсивность излучения будет максимальна.

1.3 Укажите, при каком максимальном значении расстояния между излучателями \(d\),

зависимость \(I(\theta)\) будет иметь только один максимум.

1.4 Ответьте на вопросы 1.1-1.3 для двух излучателей расположенных вдоль оси \(Y\).

Часть 2. Цепочка излучателей.

. Рассмотрим одномерную цепочку из \(N\) излучателей, расположенных вдоль оси \(X\). Расстояние между соседними излучателями равно \(d = 0{,}80\lambda\). Сначала будем считать, что все излучатели колеблются в одной фазе.

2.1 Укажите направление (или направления) в которых интенсивность излучения цепочки максимальна. Чему равна эта максимальная интенсивность?

2.2 Найдите угловую ширину \(\Delta\theta\) луча локатора, в пределах которого излучается основная доля энергии.

Подсказка. В качестве предельного значения угла следует брать направление, в котором интенсивность становится равной нулю.

Теперь будем считать, что между колебаниями соседних излучателей создается одинаковая разность фаз \(\Delta\varphi\).

2.3 Найдите значения углов \(\theta\) в направлении, которых интенсивность излучения будет максимальна.

2.4 Рассчитайте чему равна угловая ширина луча радара, если его максимальная интенсивность направлена под углом \(\theta_0\).

2.5 Определите, по какому временному закону \(\Delta\varphi(t)\) должна изменять разность фаз между колебаниями соседних излучателей, чтобы луч радара поворачивался с постоянной угловой скоростью \(\omega\).

2.6 Квадратная антенна содержит \(N \times N\) излучателей, каждый из которых создает интенсивность \(I_0\). Чему равна максимальная интенсивность излучения всей антенны?

▶РешениеСкрыть

Решение

Часть 1. Два излучателя.

Решение данной части задачи практически полностью совпадает с описанием традиционной интерференционной схемы Юнга. Для двух источников распределение интенсивности в зависимости от разности фаз имеет вид

\[I = 2I_0(1 + \cos \Delta \varphi)\tag{1}\]

Формула для разности фаз приведена в условии, поэтому зависимость интенсивности от направления описывается функцией

\[I = 2I_0\left(1 + \cos\left(\frac{2\pi}{\lambda}d \sin \theta\right)\right)\tag{2}\]

Условия максимума интерференции (разность хода равна целому числу длин волн) в данном случае приводит к формуле

\[d \sin \theta = m \lambda.\tag{3}\]

Излучение двух дипольных излучателей будет иметь только один (нулевой) максимум, если расстояние между источниками будет меньше длины волны излучения

\[d < \lambda.\tag{4}\]

1.4 Для двух излучателей, ориентированных вдоль оси диполя распределение интенсивности будет иметь практически тот же вид, что и (2), только его необходимо умножить на функцию описывающую индикатрису излучения отдельного диполя:

\[I = 2I_0\left(1 + \cos\left(\frac{2\pi}{\lambda}d \sin \theta\right)\right) \cos^2 \theta.\tag{5}\]

Часть 2. Цепочка излучателей.

2.1 При указанном значении расстоянии между излучателями формируется только один луч, соответствующий нулевому максимуму. Поэтому основная энергия излучения будет направлена перпендикулярно цепочке.

2.2 Угловая ширина определяется условием: разность фаз между крайними излучателями должна стать равной \(2\pi\), откуда следует:

\[(N - 1)\Delta \varphi = 2\pi \quad \Rightarrow \quad (N - 1)d \sin \delta \theta = 2\pi \quad \Rightarrow \quad \delta \theta = \frac{2\pi}{(N - 1)d}.\tag{6}\]

2.3 При наличии разности фаз направление излучения меняется и задается уравнением

\[\frac{2\pi}{\lambda} d \sin \theta - \Delta \varphi = 0\tag{7}\]

2.5 Из уравнения (7) следует закон, по которому должна изменяться разность фаз колебаний

\[\Delta \varphi = \frac{2\pi}{\lambda} d \sin \theta = \frac{2\pi}{\lambda} d \sin \omega t.\tag{8}\]

2.6 Интенсивность излучения возрастает пропорционально квадрату числа когерентных источников, поэтому суммарная интенсивность излучения квадратной антенны будет равна

\[I = N^4 I_0.\tag{9}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Источник: Республиканская физическая олимпиада Беларуси, 2019/20, заключительный этап, 11 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.