зад 1 Привязанная тележка
Небольшую тележку \(B\) необходимо подтянуть слева направо по гладкой горизонтальной поверхности с помощью легкой нерастяжимой нити. При движении тележка не отрывается от горизонтальной поверхности. Три удальца решили сделать это по-разному… Рассмотрим кинематическую схему каждого из них.
Часть 1. «Высокий блок»
По плану первого удальца нить переброшена через неподвижный блок \(C\) (Рис. 1), расположенный на некоторой высоте от горизонтальной поверхности. Конец \(A\) нити тянут горизонтально с постоянной скоростью \(\vec{v}\) вправо (см. Рис. 1).
1.1 Получите выражение для мгновенной скорости \(u_1(\alpha)\) тележки в момент, когда часть \(BC\) нити составляет угол \(\alpha\) с горизонтом, считая скорость \(v\) конца \(A\) нити известной.
1.2 Используя полученное выражение для \(u_1(\alpha)\), найдите скорости тележки \(u_2\) на бесконечности \((\alpha = 0^\circ)\) и \(u_2\), когда тележка находится в положении при \(\alpha = 35^\circ\).
Часть 2. «Подвижный блок»
По плану второго удальца лёгкая нить \(ABC\) (Рис. 2) закреплена в некоторой точке \(A\) на потолке и перекинута через малый гладкий блок \(B\), закреплённый на самой тележке. Конец \(C\) нити тянут горизонтально с постоянной скоростью \(\vec{v}\) вправо (см. Рис. 2).
2.1 Получите выражение для мгновенной скорости \(u_4(\alpha)\) тележки в момент, когда часть \(AB\) нити составляет угол \(\alpha\) с горизонтом, считая скорость \(v\) конца \(C\) нити известной.
2.2 Используя полученное выражение для \(u_4(\alpha)\), найдите скорости тележки \(u_5\) на бесконечности \((\alpha = 0^\circ)\) и \(u_6\), когда тележка находится в положении при \(\alpha = 35^\circ\).
Часть 3. «Низкий блок».
По плану третьего удальца неподвижный блок \(C\) (Рис. 3) расположен так, что участок \(BC\) нити практически горизонтален. Конец \(A\) нити тянут под постоянным углом \(\alpha\) к горизонту (см. Рис. 3) с постоянной скоростью \(\vec{v}\).
3.1 Получите выражение для мгновенной скорости \(u_7(\alpha)\) тележки, считая скорость \(v\) конца \(A\) нити известной.
▶ПодсказкаСкрыть
Нить нерастяжима: скорость, с которой укорачивается участок нити, равна проекции скорости тележки на направление нити.
▶ОтветСкрыть
1.1) \(u_1=v/\cos\alpha\); 1.2) \(u_2=v\), \(u_3=v/\cos35^\circ\approx1{,}22\,v\); 2.1) \(u_4=\dfrac{v}{1+\cos\alpha}\); 2.2) \(u_5=v/2=0{,}75\) м/с, \(u_6=\dfrac{v}{1+\cos35^\circ}=0{,}82\) м/с; 3.1) \(u_7=v\).
▶РешениеСкрыть
Часть 1. «Высокий блок»
1.1 За малый промежуток времени \(\Delta t\) тележка сместится вправо по горизонтали на расстояние \(u_1 \Delta t\). При этом длина нити уменьшится на величину \(v \Delta t\). Из соответствующего прямоугольного треугольника получаем \[v \Delta t = u_1 \Delta t \cos \alpha.\tag{1}\] Из (1) находим искомую зависимость \[u_1(\alpha) = \frac{v}{\cos \alpha}.\tag{2}\]
1.2 Используя (2), найдём скорости тележки на бесконечности (\(\alpha = 0^\circ\)) и при \(\alpha = 35^\circ\): \[u_2 = v,\qquad u_3 = \frac{v}{\cos 35^\circ}\approx 1{,}22\,v.\]
Часть 2. «Подвижный блок»
2.1 Поскольку нить \(ABC\) нерастяжима, то длина ломаной \(ABC\) при движении тележки остаётся постоянной. Следовательно, уменьшение длины одного звена ломаной за некоторый промежуток времени должно равняться увеличению длины её второго звена.
Пусть за небольшой промежуток времени \(\Delta t\) тележка сместится вправо на расстояние \(u \Delta t\). При этом длина участка \(AB\) нити уменьшится на величину (Рис. 2) \[\Delta l_{AB} = u \Delta t \cos \alpha.\tag{5}\] С другой стороны, длина участка \(BC\) нити за этот же промежуток времени увеличится на \(\Delta l_{BC}\): \[\Delta l_{BC} = (v - u) \Delta t.\tag{6}\] Приравнивая (5) и (6) по условию нерастяжимости нити, получим \[\Delta l_{AB} = \Delta l_{BC} \quad \Rightarrow \quad u \Delta t \cos \alpha = (v - u) \Delta t.\tag{7}\] Из (7) находим искомую зависимость \(u_4(\alpha)\): \[u_4(\alpha) = \frac{v}{1 + \cos \alpha}.\tag{8}\]
2.2 Используя (8), найдём скорости тележки на бесконечности и при \(\alpha = 35^\circ\): \[u_5 = u_4(0^\circ) = \frac{v}{1 + \cos 0^\circ} = \frac{v}{2} = 0{,}75\ \frac{\text{м}}{\text{с}},\tag{9}\] \[u_6 = u_4(35^\circ) = \frac{v}{1 + \cos 35^\circ} = 0{,}82\ \frac{\text{м}}{\text{с}}.\tag{10}\] Заметим, что значение (9) можно было найти и без использования (8), поскольку \(u_5\) соответствует случаю подвижного блока, на котором «проигрывают» в скорости в два раза.
Часть 3. «Низкий блок»
3.1 Данная часть задачи самая простая: при такой схеме вытяжки тележки её скорость независимо от угла \(\alpha\) всегда равна по модулю скорости нити.
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 2 Картезианский водолаз
Картезианский водолаз – механическая игрушка, основанная на изменении силы Архимеда при увеличении внешнего давления. Первое описание водолаза было дано итальянским учёным Рафаэлло Маджотти в 1648 году. Его водолазы, а он называл их «флакончики», плавали в высоких цилиндрических сосудах, избыточное давление в которых создавалось закрывающей их ладонью или, если сосуд достаточно узок, большим пальцем.
В скором времени игрушка стала популярной. С начала XVIII века эта игрушка стала называться Декартов или Картезианский (по-латыни Декарт произносится как Картезий) водолаз, а также «Картезианский дьявол», «Поплавок Декарта».
Несмотря на почти четырехвековую историю, строгое описание поведения этого поплавка вызывает затруднение у современных «олимпиадников».
Рассмотрим тонкостенную трубку, закрытую с одного конца и открытую с другого (можно назвать ее пробирка), которая помещается в сосуд с водой открытым концом вниз. Будем считать, что центр тяжести трубки смещен к открытому краю, поэтому трубка в сосуде всегда располагается вертикально. Температура в системе остается постоянной.
Будем считать, что все параметры установки заданы: длина трубки \(L = 10\) см, площадь ее поперечного сечения \(s\), плотность воды \(\rho = 1{,}0 \cdot 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}\), ускорение свободного падения \(g = 9{,}8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}\), давление воздуха в сосуде \(P_0\) (оно может изменяться).
Обозначим: \(z\) - глубина погружения трубки по ее нижнему краю; \(x\) - высота столбика воды в трубке.
Давление воздуха будем измерять в единицах водяного столба, в этом случае гидростатическое давление воды просто равно разности высот (давление и длина измеряются в одних единицах)
Часть 1. Вынужденное погружение.
В данной части задачи будем считать, что давление воздуха в сосуде постоянно и равно \(P_0\). Пустую пробирку аккуратно опускают открытым концом в воду. При этом она свободно плавает на поверхности воды, погрузившись на глубину \(z_0 = \eta L\) (где \(\eta\) - известный безразмерный коэффициент). Затем пробирку удерживают рукой на некоторой глубине \(z\), которая может быть как меньше, так и больше глубины пробирки.
1.1 Найдите зависимость высоты столбика воды в трубке \(x\) от глубины погружения \(z\). Постройте схематический график полученной зависимости.
1.2 Найдите зависимость силы Архимеда, действующей на трубку, от глубины погружения \(z\). Постройте схематический график полученной зависимости.
1.3 Найдите максимальное значение силы Архимеда, укажите, при каком значении \(z\) оно реализуется.
1.4 Выразите силу Архимеда, действующую на трубку, через давление воздуха в трубке \(P\) и глубину ее погружения \(z\).
1.5 Получите строгое уравнение, позволяющее получить значение глубины \(z_1\), на которую надо погрузить трубку, чтобы она утонула и больше самопроизвольно не всплывала. Рассчитайте численное значение этой глубины при нормальном атмосферном давлении \(P_0 = 1{,}0 \cdot 10^5 \, \text{Па}\) и \(\eta = 0{,}80\).
Часть 2. Трубка в закрытом сосуде.
Пробирку погрузили в воду, как описано в части 1. Она плавает, погрузившись в воду на глубину \(z_0 = 0{,}80L\) при давлении воздуха в сосуде \(P_0\). Сосуд закрывают и начинают плавно изменять давление воздуха в нем.
2.1 При каком давлении воздуха \(P\), пробирка начнет тонуть? Получите строгое уравнение, позволяющее найти эту величину. Рассчитайте численное значение этой величины при \(P_0 = 1{,}0 \cdot 10^5 \, \text{Па}\) и \(\eta = 0{,}80\).
Часть 3. Конструкторская.
3.1 Предложите простой вариант рассмотренной игрушки, в котором водолаза можно заставить погружаться легким нажатием пальца. (конечно, самого водолаза трогать нельзя). Укажите примерные численные характеристики вашей игрушки.
Рисунки скачаны из Интернета, поэтому на их нумерацию обращать внимание не следует.
▶ПодсказкаСкрыть
Воздух в трубке сжимается изотермически (закон Бойля — Мариотта), а его давление равно \(P_0\) плюс давление столба воды над уровнем воды внутри трубки. Сила Архимеда — вес вытесненной воды, то есть воздуха, оказавшегося ниже уровня воды в сосуде.
▶ОтветСкрыть
1.1) \(x(z)=\dfrac{P_0+z+L}{2}-\sqrt{\dfrac{(P_0+z+L)^2}{4}-zL}\) (монотонно растёт, стремясь к \(L\)); 1.2) \(F_A=\rho g s(z-x)\) при \(z<L\), \(F_A=\rho g s(L-x)\) при \(z>L\); 1.3) максимум при \(z=L\): \(F_{A\max}=\rho g s\left(\sqrt{\dfrac{P_0^2+4P_0L}{4}}-\dfrac{P_0}{2}\right)\); 1.4) \(F_A=\bigl(P-P_0-\rho g(z-L)\bigr)s\); 1.5) \(z_1=\dfrac{1-\eta}{\eta}P_0\approx2{,}5\) м.
▶РешениеСкрыть
Часть 1. Вынужденное погружение.
1.1 Так как температура воздуха в трубке и его масса не изменяются, то для этого воздуха справедлив закон Бойля — Мариотта: \[P_0 L = P (L - x).\tag{1}\] С другой стороны, давление воздуха в трубке можно выразить через гидростатическое давление воды (давление измеряется в метрах водяного столба): \[P = P_0 + z - x.\tag{2}\] В этих уравнениях две неизвестные величины: давление воздуха в трубке \(P\) и высота \(x\), поэтому система может быть решена: \[\begin{aligned} P_0 L &= (P_0 + z - x)(L - x) \;\Rightarrow\; x^2 - (P_0 + z)x - Lx + (P_0 + z)L - P_0 L = 0 \;\Rightarrow\\ &\Rightarrow\; x^2 - (P_0 + z + L)x + zL = 0 \;\Rightarrow\; x_{1,2} = \frac{P_0 + z + L}{2} \pm \sqrt{\frac{(P_0 + z + L)^2}{4} - zL}. \end{aligned}\tag{3}\] Из двух корней следует выбрать корень со знаком минус: при \(z = 0\) высота \(x\) также должна равняться нулю. Поэтому окончательно \[x(z) = \frac{P_0 + z + L}{2} - \sqrt{\frac{(P_0 + z + L)^2}{4} - zL}.\tag{4}\] Схематический график этой зависимости: при увеличении \(z\) величина \(x\) монотонно растёт, стремясь к \(L\).
1.2 Силу Архимеда можно выразить как вес вытесненной воды. Необходимо рассмотреть два случая.
А) Глубина погружения меньше длины пробирки, \(z < L\): \[F_A = \rho g s (z - x).\tag{5}\] Так как \(x\) растёт медленнее, чем \(z\), то в этом случае сила Архимеда возрастает при увеличении \(z\).
Б) Глубина погружения больше длины пробирки, \(z > L\): \[F_A = \rho g s (L - x).\tag{6}\] В этом случае сила Архимеда с ростом \(z\) убывает. График: сначала рост почти линейный до \(z = L\), затем плавное убывание.
1.3 Сила Архимеда принимает максимальное значение при \(z = L\). Как следует из (4), при этом \[x = \frac{P_0 + 2L}{2} - \sqrt{\frac{P_0^2 + 4P_0 L}{4}},\] а максимальное значение силы Архимеда \[F_{A\max} = \rho g s (L - x) = \rho g s \left(\sqrt{\frac{P_0^2 + 4P_0 L}{4}} - \frac{P_0}{2}\right).\tag{7}\] Заметим, что при \(P_0 \gg L\) это максимальное значение стремится к \(\rho g s L\): изменением давления воздуха в трубке при погружении можно пренебречь, и воздух занимает всю трубку.
1.4 Силу Архимеда можно выразить как разность сил давлений на закрытый верхний торец трубки: \[F_A = \bigl(P - (P_0 + \rho g (z - L))\bigr)s,\tag{8}\] что, конечно, равносильно использованному ранее подходу.
1.5 На графике зависимости \(F_A(z)\) отметим уровень силы тяжести \(mg\). Вертикальная линия \(z = \eta L\) пересекает график в точке, где сила Архимеда равна силе тяжести; горизонтальная линия на этом уровне пересекает вторую ветвь графика в точке, абсцисса которой и есть искомая глубина \(z_1\). Положение равновесия в точке \(z_1\) неустойчиво: если глубина погружения станет чуть больше, трубка утонет. Следовательно, надо решить уравнение \[F_A(\eta L) = F_A(z_1).\tag{9}\] Используя формулы для силы Архимеда, получаем \[(z - x)_0 = L - x(z_1) \;\Rightarrow\; h_0 = L - \frac{P_0 + z + L}{2} + \sqrt{\frac{(P_0 + z + L)^2}{4} - zL},\tag{10}\] где \(h_0\) — высота столбика воздуха в трубке, когда она плавает на поверхности: \[h_0 = (z - x)_0 = \eta L - \frac{P_0 + \eta L + L}{2} - \sqrt{\frac{(P_0 + \eta L + L)^2}{4} - \eta L^2}.\tag{11}\] Это уравнение очень громоздко. Однако при заданных значениях \(L \ll P_0\) (\(P_0 = 10\) м, \(L = 0{,}10\) м) можно пренебречь изменением давления на высоте трубки; тогда \(h_0 \approx L\) и сила тяжести трубки \(mg = \rho g s \eta L\). При погружении на глубину \(z\) давление в трубке становится равным \(P_0 + z\), и высота столба воздуха \[P_0 L = (P_0 + z)h \;\Rightarrow\; h = \frac{P_0 L}{P_0 + z}.\tag{12}\] Сила Архимеда должна стать равной силе тяжести: \[\rho g s h = \rho g s \eta L \;\Rightarrow\; \frac{P_0 L}{P_0 + z} = \eta L.\tag{13}\] Отсюда \[z_1 = \frac{1 - \eta}{\eta}P_0 = 2{,}5\ \text{м}.\tag{14}\]
Часть 2. Решается аналогично, только в записанных уравнениях следует рассматривать зависимость параметров не от \(z\), а от давления воздуха в сосуде \(P_1\).
Часть 3. Конструкторская. Часть предоставляет богатые возможности для творчества. Основные идеи: поместить трубку в закрытый сосуд и предварительно наполнить её водой так, чтобы она плавала «на грани» — при незначительном изменении объёма сосуда (а следовательно, и объёма воздуха в трубке) трубка начинала тонуть.
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 3 Амперметр, вольтметр, омметр и пр.
В настоящее время большинство электроизмерительных приборов – электронные. Принципы их работы таинственны и не всегда понятны (тем более что их производители часто держат эти принципы в тайне).
«Старые добрые» электромеханические измерительные приборы могут использоваться до настоящего времени, их работа основана на простых физических принципах. Кроме того, некоторые из них до настоящего времени имеют существенные преимущества перед электронными. С одним из таких приборов вам предстоит познакомиться в данной задаче.
Часть 1. Приборы магнитоэлектрической системы.
Принцип действия такого прибора основан на вращении рамки с током в постоянном магнитном поле. Ось рамки соединена с пружиной и стрелкой по отклонению стрелки можно судить о силе протекающего через рамку тока.
На рамку с током в однородном магнитном поле действует момент силы равный
\[M = IBS \sin \varphi,\]
где \(I\) - сила тока в рамке. \(S\) - ее площадь, \(B\) - индукция магнитного поля, \(\varphi\) - угол между вектором индукции поля и нормалью к рамке.
1.1 При какой ориентации рамки, задаваемой углом \(\varphi_0\), в положении равновесия при отсутствии тока, прибор будет работать в режиме близком к линейному, т.е угол отклонения стрелки от положения равновесия будет пропорционален силе протекающего тока?
Основными характеристиками этого прибора (далее будем называть его гальванометр) являются: электрическое сопротивление рамки \(r\), максимальная допустимая сила тока через рамку \(I_{\text{max}}\), соответствующая отклонению стрелки на всю шкалу, минимальное регистрируемое значение силы тока \(I_{\text{min}}\). Считайте эти величины известными.
Далее вам предстоит сконструировать ряд приборов на основе описанного гальванометра. В вашем распоряжении имеются резисторы, конденсаторы, источники тока любых номиналов. Также следует стремиться к тому, чтобы сконструированный вами прибор работал в режиме, близком к линейному, т.е. чтобы сила тока через гальванометр была пропорциональная измеряемой величине.
1.2 Предложите схему вольтметра на основе гальванометра и схему его подключения к измеряемой цепи. Укажите характеристики использованных вами дополнительных элементов. Приведите формулы, по которым можно рассчитать измеряемое напряжение по измеренной силе тока через гальванометр. Укажите диапазон измерения напряжений.
1.3 Предложите схему омметра на основе гальванометра. Укажите характеристики использованных вами дополнительных элементов. Приведите формулы, по которым можно рассчитать измеряемое сопротивление по измеренной силе тока через гальванометр. Укажите диапазон измерения сопротивлений.
Часть 2. Электростатический вольтметр.
Принцип действия электростатического вольтметра основан втягивании подвижного электрода в зазор между пластинами неподвижного электрода, когда электроды подключаются к источнику измеряемого напряжения.
Конструкции таких приборов могут существенно различаться. Поэтому для описания их работы рассмотрим упрощенную модель. Неподвижный электрод представляет собой две соединенные между собой параллельные прямоугольные проводящие пластины со стороной длины \(l\), находящиеся на малом расстоянии \(d\) друг от друга. Подвижный электрод представляет такую же пластину, способную вдвигаться в зазор между пластинами неподвижного электрода, оставаясь параллельным им. Эта пластина соединена с неподвижным упором с помощью пружины жесткости \(k\). Измеряемое напряжение \(U_0\) подается на электроды. При этом измеряется смещение подвижной пластины.
2.1 На электроды подано постоянное напряжение \(U_0\). Найдите силу, которая действует подвижную пластину со стороны электрического поля в зазоре между электродами.
При расчете пренебрегайте краевыми эффектами, т.е. считайте электрическое поле однородным и существующим только в области перекрытия электродов.
Напоминаем, что для расчета силы можно применить формулу «из механики»:
\[F = -\frac{\Delta W}{\Delta x},\]
где \(\Delta W\) - изменение энергии системы при смещении пластины на расстояние \(\Delta x\). Обращаем ваше внимание: для того, чтобы пластина втягивалась внутрь зазора, необходимо чтобы при этом энергия системы уменьшалась!
2.2 Найдите зависимость смещения подвижной пластины относительно положения равновесия в зависимости от приложенного напряжения.
2.3 Если полученная зависимость нелинейная, предложите способ ее линеаризовать, т.е. добиться того, чтобы смещение пластины было приблизительно пропорционально предложенному напряжению.
Часть 3. «Фарадометр»
Электростатический конденсатор можно использовать для измерения емкости конденсатора.
Рассмотрите мостовую схему, приведенную на рисунке. Считайте, что значения сопротивлений и емкостей, напряжение источника известны.
3.1 Что покажет вольтметр магнитоэлектрической системы, если его включить в эту цепь?
3.2 Рассчитайте показания электростатического вольтметра, включенного в эту цепь.
Эта схема позволяет реализовать «нулевой» метод балансировки: изменяя сопротивления резисторов \(R_1\), \(R_2\), можно добиться того, что напряжение на вольтметре станет равным нулю.
3.3 При каком соотношении между сопротивлениями резисторов и емкостями конденсаторов напряжение на электростатическом вольтметре будет равно нулю?
Рисунки скачаны из Интернета, поэтому на их нумерацию обращать внимание не следует.
▶ПодсказкаСкрыть
Электростатический вольтметр: найди силу как производную энергии системы вместе с источником по смещению, \(F=U^2/2\cdot dC/dx\). Омметр: сделай ток через измеряемый резистор почти постоянным (большое последовательное сопротивление) и измеряй напряжение на нём.
▶ОтветСкрыть
1.1) \(\varphi_0=90^\circ\) (линии поля лежат в плоскости рамки); 1.2) последовательный резистор \(R\gg r\), \(I=U/R\), диапазон \([RI_{\min},RI_{\max}]\); 1.3) источник \(U_0\) с \(R_0\), \(R_0\gg R_V\gg R_x\), \(I_G=\dfrac{U_0}{R_0R_V}R_x\); 2.1) \(F=\dfrac{\varepsilon_0 l}{2d}U^2\); 2.2) \(x=\dfrac{\varepsilon_0 l}{2dk}U^2\); 2.3) пластина с \(\dfrac{dS}{dx}=\gamma\sqrt{x}\); 3.1) нуль; 3.2) \(U_V=U_0\left(\dfrac{R_2}{R_1+R_2}-\dfrac{C_x}{C_1+C_x}\right)\); 3.3) \(\dfrac{R_2}{R_1}=\dfrac{C_x}{C_1}\).
▶РешениеСкрыть
Часть 1. Приборы магнитоэлектрической системы.
1.1 При пропускании тока через рамку на неё действуют моменты сил со стороны магнитного поля и со стороны пружины, и рамка переходит в новое положение равновесия: \[IBS\sin(\varphi_0 + \delta) = k\delta,\tag{1}\] где \(\delta\) — угол отклонения стрелки от «нулевого» положения. Для линейности прибора нужно, чтобы момент со стороны магнитного поля слабо зависел от поворота рамки. Это выполняется при \(\varphi_0 = 90^\circ\): тогда \(\sin(\varphi_0 + \delta) = \cos\delta \approx 1\). Иными словами, в положении равновесия нормаль к рамке должна быть перпендикулярна линиям магнитного поля (линии поля лежат в плоскости рамки). При такой ориентации момент силы максимален, что повышает чувствительность гальванометра.
1.2 Чтобы превратить гальванометр в вольтметр, к нему последовательно подключают дополнительный резистор большого сопротивления \(R\) (значительно превышающего сопротивление элемента, на котором измеряется напряжение). Сила тока через гальванометр \[I = \frac{U}{R}.\tag{2}\] Диапазон измеряемых напряжений лежит в интервале \([R I_{\min}, R I_{\max}]\). Схема работает строго в линейном режиме.
1.3 Так как гальванометр измеряет силу тока, омметр должен содержать источник тока. Напряжение на измеряемом резисторе пропорционально его сопротивлению, поэтому желательно, чтобы сила тока в цепи этого резистора не зависела от его сопротивления: нужен источник с большим внутренним сопротивлением (резистор \(R_0\) с большим сопротивлением в цепи источника \(U_0\)). Далее измеряют напряжение на измеряемом резисторе по схеме вольтметра (\(R_V\) — сопротивление в цепи вольтметра). Между сопротивлениями должно выполняться \(R_0 \gg R_V \gg R_x\). При этом сила тока через гальванометр \[I_G = \left(\frac{U_0}{R_0}R_x\right)\frac{1}{R_V} = \left(\frac{U_0}{R_0 R_V}\right) R_x\tag{3}\] и пропорциональна измеряемому сопротивлению.
Часть 2. Электростатический вольтметр.
2.1 Пластины электродов в области перекрытия можно рассматривать как конденсатор, ёмкость которого зависит от смещения подвижной пластины: \[C = \frac{\varepsilon_0 l (x + x_0)}{d}.\tag{4}\] При измерении конденсатор подключён к источнику постоянного напряжения \(U\), поэтому энергия конденсатора \[W_C = \frac{CU^2}{2}.\tag{5}\] При втягивании подвижного электрода ёмкость растёт, и энергия конденсатора тоже растёт — кажущийся парадокс: пластина должна выталкиваться. Но конденсатор не замкнут, он подключён к источнику: при увеличении ёмкости увеличивается заряд, источник совершает работу по зарядке конденсатора, и его энергия уменьшается: \[W_U = -A = -qU = -CU^2.\tag{6}\] Полная энергия системы \[W = W_C + W_U = -\frac{CU^2}{2}.\tag{7}\] При втягивании подвижной пластины суммарная энергия уменьшается, поэтому на пластину действует сила, направленная к неподвижному электроду: \[F = -\frac{\Delta W}{\Delta x} = \frac{U^2}{2}\frac{\Delta C}{\Delta x} = \frac{\varepsilon_0 l}{2d}U^2.\tag{8}\]
2.2 В положении равновесия эта сила компенсируется силой упругости пружины: \[\frac{\varepsilon_0 l}{2d}U^2 = kx,\tag{9}\] откуда смещение пластины \[x = \frac{\varepsilon_0 l}{2dk}U^2.\tag{10}\]
2.3 Зависимость смещения от напряжения нелинейная. Для линеаризации можно заменить прямоугольные пластины пластиной более «хитрой» формы: нужно добиться выполнения условия \(\dfrac{dS}{dx} = \gamma\sqrt{x}\). Такая геометрическая задача может быть решена.
Часть 3. «Фарадометр»
3.1 Если в цепи подключён вольтметр магнитоэлектрической системы, его показания равны нулю: после зарядки конденсаторов ток через вольтметр прекращается.
3.2 Так как ток через электростатический вольтметр не течёт, верхнюю (с резисторами) и нижнюю (с конденсаторами) ветви моста можно рассматривать независимо. Примем потенциал точки \(D\) равным нулю. Тогда потенциал точки \(A\) \[\varphi_A = IR_2 = U_0\frac{R_2}{R_1 + R_2}.\tag{11}\] Потенциал точки \(B\) равен напряжению на конденсаторе \(C_1\). Его находим, рассматривая два последовательно соединённых конденсатора: \[\begin{cases} C_1 U_1 = C_x U_x,\\ U_1 + U_x = U_0\end{cases}\Rightarrow\; U_1 = U_0\frac{C_x}{C_1 + C_x}.\tag{12}\] Показания вольтметра: \[U_V = U_0\left(\frac{R_2}{R_1 + R_2} - \frac{C_x}{C_1 + C_x}\right).\tag{13}\]
3.3 Мост сбалансирован при «симметричном» условии: \[\frac{R_2}{R_1} = \frac{C_x}{C_1}.\tag{14}\]
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Источник: Республиканская физическая олимпиада Беларуси, 2020/21, заключительный этап, 10 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.