Белорусская, 2020/21, заключительный этап, 9 класс, экспериментальный тур

Приборы и оборудование: Две пружины; динамометр 10 Н; линейка измерительная 50 см, шпилька металлическая с резьбой и двумя гайками, штатив.

В данной работе Вам необходимо экспериментально проверить справедливость закона Гука, а также исследовать различные типы соединения пружин.

Закон Гука утверждает, что сила упругости пружины пропорциональна ее деформации:

\[F = kx.\tag{1}\]

Коэффициент пропорциональности \(k\) в этой формуле называется жесткостью пружин.

Задание 1.

1.1 Измерьте зависимости длины каждой пружины от приложенной к ней силы.

1.2 Постройте графики полученных зависимостей.

1.3 Укажите, выполняется ли закон Гука для выданных вам пружин.

1.4 Определите жесткости пружин, оцените погрешность найденных значений. Результаты приведите в системе СИ.

Далее расчет погрешностей не требуется!

Задание 2.

Соедините пружины последовательно, как показано на рисунке.

2.1 Измерьте зависимость длины первой \(l\) пружины от общей длины пружин \(L\). Постройте график полученной зависимости. Определите коэффициент наклона данной зависимости.

2.2 Используя результаты, полученные ранее, получите теоретическое значение коэффициента наклона этой зависимости и сравните с экспериментальным значением.

Задание 3.

Соедините пружины параллельно.

3.1 Экспериментально покажите, что закон Гука выполняется и для «двойной» пружины.

3.2 Измерьте жесткость «двойной» пружины, сравните его с теоретическим значением.

Задание 4.

Закрепите пружины на металлической шпильке с помощью гаек, так чтобы они образовали в недеформированном состоянии равнобедренный треугольник с основанием \(l \approx 18\) см.

4.1. Измерьте зависимость отклонения вершины треугольника \(x\) от приложенной силы \(F\) (см. рисунок).

4.2 Постройте график полученной зависимости \(x(F)\).

4.3 На этом же графике нанесите теоретические значения данной зависимости. Приведите формулы, по которым вы проводили расчеты теоретической зависимости.

Приборы и оборудование: собирающая линза, плоское зеркало, экран, лампочка на подставке с источником питания, соединительные провода, мерная лента, линейка (30 – 40см), круговой транспортир (распечатанный на листе бумаги), скотч тонкий (для крепления на столе оборудования при необходимости).

Подсказка: Для тонкой собирающей линзы в случае \(d > F\) справедливо соотношение

\[\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f},\tag{1}\]

где \(F\) – фокусное расстояние линзы, \(d\) – расстояние от предмета до линзы, \(f\) – расстояние от линзы до экрана при чётком изображении.

Часть 1. Линза

1.1. Определите фокусное расстояние линзы \(F\) однократным прямым измерением. Кратко опишите (3 - 4) предложения как Вы это сделали.

1.2. Постройте изображение точечного источника света, расположенного на расстоянии \(1{,}5F\) от линзы. На том же рисунке постройте изображение того же источника, если линзу повернуть относительно оптического центра на \(30^\circ\). Для обоих случаев, используя рисунок, определите расстояния от оптического центра линзы до изображений на экране \(a_1\) и \(a_2\).

Расположите вдоль главной оптической оси линзы зажженную лампочку, линзу и экран. Положите под линзу распечатанный на листе транспортир, так чтобы линза была в его центре. Расстояние между предметом и линзой установите \(d = 1{,}5F\).

1.3 Перемещая экран, получите чёткое изображение предмета на экране. Поверните линзу на угол \(30^\circ\) относительно оси, проходящей через оптический центр линзы и перпендикулярной поверхности стола. Перемещая экран, получите чёткое изображение предмета на экране в данном случае. Укажите в работе положение линз и экранов с четкими изображениями для двух проведенных вами экспериментов. Укажите геометрические характеристики расположения лампочки, линзы и экрана.

Укажите, в чём принципиальное отличие результатов, полученных в данном пункте и в п. 1.2. Дайте объяснение данным отличиям.

Расстояние между предметом и линзой установите \(d = 1{,}25F\).

1.4 Исследуйте экспериментально зависимость \(f(\alpha)\), где \(\alpha\) – угол поворота линзы, \(f\) – расстояние от линзы до экрана при чётком изображении.

1.5. По экспериментальным данным получите уравнение зависимости \(f(\sin\alpha)\). Постройте график этой зависимости.

Часть 2. Зеркало

Расположите вдоль главной оптической оси линзы зеркало, линзу и экран. Расстояние между зеркалом и линзой для первого наблюдения установите равное фокусному расстоянию \(F\). Лампочку расположите в главной плоскости линзы как можно ближе к линзе. Включите лампочку. Перемещая экран, получите чёткое изображение предмета на экране.

2.1 Постройте изображение предмета в оптической системе «линза - зеркало» для описанного в данном пункте случая.

2.2. Пусть \(l\) – расстояние от зеркала до линзы, \(f\) – расстояние от линзы до экрана при чётком изображении. Используя подсказку, получите уравнение зависимости \(f(l)\).

2.3. Исследуйте зависимость \(f(l)\) экспериментально. Постройте график полученной зависимости.

2.4. Используя экспериментальные данные, полученные в п.2.3. определите интервал значений \(l\), на котором будет выполняться зависимость, составленная Вами в п.2.2. Дайте объяснение полученным результатам.

При проведении измерений вольтамперных характеристик (ВАХ – зависимость силы тока через исследуемый элемент от напряжения на нем) используют различные электрические цепи. Одной из самых популярных схем является схема, показанная на рис. 1.

При расчетах таких цепей часто используют различные приближения (считают, что сопротивление амперметра равно нулю, сопротивление вольтметра бесконечно большим и т.д.).

Такие приближения вносят систематические погрешности в проводимые расчеты и анализ полученных экспериментальных результатов.

В данной задаче вам необходимо построить разумные оценки погрешностей, вносимых тем обстоятельством, что приборы являются не идеальными.

При расчетах рекомендуем использовать приближенную формулу, справедливую при малых \(x\):

\[\frac{1}{1+x} \approx 1-x \ .\tag{1}\]

Часть 1. Погрешность делителя напряжения.

На рис. 2а показана схема делителя напряжения на двух резисторах, сопротивления которых равны \(R_1, R_2\). Изменяя сопротивления этих резисторов, можно изменять напряжение \(U_1\) на резисторе \(R_1\). При подключении к этому резистору исследуемой схемы с общим сопротивлением \(r\) (Рис. 2б), напряжение на резисторе \(R_1\) изменяется и принимает некоторое значение \(\widetilde{U}_1\). Однако, в некоторых случаях различием между \(U_1\) и \(\widetilde{U}_1\) пренебрегают.

1.1 Рассчитайте значения напряжений \(U_1\) и \(\widetilde{U}_1\).

1.2 Рассчитайте, при каком значении сопротивления исследуемой цепи \(r\) относительное изменение напряжения \(\varepsilon_V = \left\vert \frac{U_1 - \widetilde{U}_1}{U_1} \right\vert\) не превышает 1%. Получите формулу в общем виде и проведите численный расчет при \(R_1 = R_2 = 10\) Ом.

Часть 2. Погрешность, вносимая амперметром В цепи, показанной на рис. 3а, обозначим силу тока в цепи \(I\). При подключении амперметра сила тока в цепи изменяется и становится равной \(\tilde{I}\).

2.1 Рассчитайте, при каком значении сопротивления амперметра \(R_{\text{А}}\) относительное изменение силы тока в цепи \(\varepsilon_{\text{А}} = \left\vert \frac{I - \tilde{I}}{I} \right\vert\) не превышает 1%. Получите формулу в общем виде и проведите численный расчет при \(r = 10\) Ом.

Часть 3. Погрешность, вносимая вольтметром.

Для измерения напряжения используется схема, показанная на рис. 4б. При отсутствии вольтметра напряжение на резисторе \(R_1\) равно \(U_1\), при подключении вольтметра с сопротивлением \(R_{\text{V}}\), напряжение на этом резисторе становится равным \(\tilde{U}_1\).

3.1 Рассчитайте, при каком значении сопротивления исследуемой цепи \(r\) относительное изменение напряжения \(\varepsilon_{\text{V}} = \left\vert \frac{U_1 - \tilde{U}_1}{U_1} \right\vert\) не превышает 1%. Получите формулу в общем виде и проведите численный расчет при \(R_1 = R_2 = 10\) Ом.

Часть 4. Корректировка измеренной ВАХ С помощью схемы, приведенной на рис. 1, проведено измерение зависимости силы тока, которое показывает амперметр \(\tilde{I}\), от показаний вольтметра \(\tilde{U}\) для некоторого нелинейного элемента \(r\) (его сопротивление не постоянно, а изменяется при изменении напряжения). Сопротивление вольтметра \(R_{\text{V}} = 2{,}0\) кОм, сопротивление амперметра \(R_{\text{А}} = 2{,}0\) Ом. На отдельном бланке (на следующей странице) приведен график измеренной зависимости. Для вашего удобства в Таблице 1 приведены численные значения этих величин, по которым построен график.

4.1 На этом же бланке постройте скорректированный график ВАХ исследуемого элемента (зависимость силы тока через этот элемент \(I\) от напряжения на этом элементе \(U\)).

На этом же листе приведите расчетные формулы, по которым Вы провели корректировку графика, необходимые расчеты можете провести в свободных графах Таблицы 1. Не забудьте сдать этот Бланк!}

Бланк к задаче 3 (Часть 4)

Таблица 1.

Расчетные формулы:

▶РешениеСкрыть

Решение

Часть 1. Погрешность делителя напряжения.

1.1 Расчет напряжений проводится с использованием закона Ома и законов последовательного и параллельного соединения проводников. Так

\[U_1 = U_0 \frac{R_1}{R_1 + R_2}.\tag{1}\]

Для расчета напряжения при подключении исследуемой цепи \(r\) в формуле (1) сопротивление \(R_1\) заменить сопротивлением \(\widetilde{R}_1\) параллельно соединенных резистора \(R_1\) и исследуемой цепи сопротивлением \(r\). При этом

\[\frac{1}{\widetilde{R}_1} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{r}.\tag{2}\]

Тогда

\[\widetilde{U}_1 = U_0 \frac{\widetilde{R}_1}{\widetilde{R}_1 + R_2} = U_0 \frac{1}{1 + \frac{R_2}{\widetilde{R}_1}} = U_0 \frac{1}{1 + R_2 \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{r} \right)} = U_0 \frac{1}{1 + \frac{R_2}{R_1} + \frac{R_2}{r}} = \frac{U_0}{1 + \frac{R_2}{R_1}} \left( 1 + \frac{R_1 R_2}{r(R_1 + R_2)} \right)^{-1} \approx \frac{U_0 R_1}{R_1 + R_2} \left( 1 - \frac{R_1 R_2}{r(R_1 + R_2)} \right) = U_1 \left( 1 - \frac{R_1 R_2}{r(R_1 + R_2)} \right).\tag{3}\]

При выводе учтено, что для малого изменения напряжения должно выполняться условие \(r \gg R_1, R_2\). На сколько это меньше, показывает формула (3), из которой следует, что относительное изменение напряжения равно

\[\varepsilon_V = \left\vert \frac{U_1 - \widetilde{U}_1}{U_1} \right\vert = \frac{R_1 R_2}{r(R_1 + R_2)}.\tag{4}\]

Указанное изменение напряжение не превысит указанную величину при выполнении условия

\[\frac{R_1 R_2}{r(R_1 + R_2)} < \varepsilon_V \quad \Rightarrow \quad r > \frac{R_1 R_2}{\varepsilon_V (R_1 + R_2)}.\tag{5}\]

При \(R_1 = R_2 = 10\) Ом и \(\varepsilon_V = 0{,}01\)

\[r > 500 \text{ Ом}.\tag{6}\]

Часть 2. Погрешность, вносимая амперметром

2.1 Силы тока в приведенных цепях рассчитываются элементарно:

\[I = \frac{U_0}{r}\]

\[\tilde{I} = \frac{U_0}{r + R_A} \approx \frac{U_0}{r} \left( 1 - \frac{R_A}{r} \right).\tag{6}\]

Таким образом, относительное изменение силы тока при подключении амперметра равно

\[\varepsilon_A = \left\vert \frac{I - \tilde{I}}{I} \right\vert = \frac{R_A}{r}.\tag{7}\]

Указанное требование будет выполнено, при

\[\frac{R_A}{r} < \varepsilon_A \quad R_A < \varepsilon_A r = 0{,}10 \, \text{Ом}.\tag{8}\]

Часть 3. Погрешность, вносимая вольтметром.

3.1 Для решения этой части задачи достаточно заметить, что рассматриваемые здесь схемы полностью эквивалентны схемам, рассмотренным в Части 1. Поэтому можно воспользоваться результатами, полученными в этой части, если сопротивление \(r\) заменить на сопротивление вольтметра \(R_V\). Тогда относительное изменение напряжения не превысит 1% при выполнении условия

\[\frac{R_1 R_2}{R_V (R_1 + R_2)} < \varepsilon_V \quad \Rightarrow \quad R_V > \frac{R_1 R_2}{\varepsilon_V (R_1 + R_2)} = 500 \, \text{Ом}.\tag{9}\]

Часть 4. Корректировка измеренной ВАХ

4.1 В использованной схеме показания вольтметра равны напряжению на исследуемом элементе

\[U = \tilde{U}.\tag{10}\]

Амперметр показывает сумму сил токов через исследуемый элемент и вольтметр:

\[\tilde{I} = I + I_A.\tag{11}\]

Таким образом, для корректировки полученной зависимости необходимо из показаний амперметра вычесть силу тока через амперметр, которая рассчитывается по закону Ома:

\[I = \tilde{I} - \frac{\tilde{U}}{R_V}.\tag{12}\]

Необходимые расчеты и скорректированный график приведены в таблице и на бланке. На этом графике: верхняя кривая – исходный график; нижняя прямая – зависимость силы тока через вольтметр от напряжения, средняя кривая – «истинный» график вольтамперной характеристики исследуемого элемента.

Бланк к задаче 3 (Часть 4)

Таблица 1.

\(\tilde{U}\), В	\(\tilde{I}\), мА	\(I_{V}\), мА	\(I_{r}\), мА
0,00	0,00	0,00	0,00
0,50	2,46	0,25	2,21
1,00	4,00	0,50	3,50
1,50	5,31	0,75	4,56
2,00	6,50	1,00	5,50
2,50	7,60	1,25	6,35
3,00	8,63	1,50	7,13
3,50	9,61	1,75	7,86
4,00	10,56	2,00	8,56
4,50	11,46	2,25	9,21
5,00	12,34	2,50	9,84

Расчетные формулы

Сила тока через вольтметр: \(I_{V} = \frac{\tilde{U}}{R_{V}}\).

Сила тока через исследуемый элемент \(I_{r} = \tilde{I} - I_{V}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Источник: Республиканская физическая олимпиада Беларуси, 2020/21, заключительный этап, 9 класс, экспериментальный тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.