зад 1 Крутильные весы Кулона
Приборы и оборудование: Штатив с лапкой и кольцевой подставкой, катушка ниток, кусок пластилина, секундомер с памятью этапов, линейка, деревянная палочка с двумя алюминиевыми шариками, 2 пластиковые полоски, кусок сухой ткани, 2 деревянные палочки.
Основу установки составляют крутильные весы: длинный стержень с двумя одинаковыми шариками на концах (коромысло), симметрично подвешенный на двух параллельных длинных нитях к еще одной деревянной палочке сверху. Подобную установку использовал О. Кулон при проведении своих экспериментов, поэтому она должна быть вам знакома. На рисунке обозначено: \(l\) - длины нитей; \(2r\) - расстояние между нитями; \(2R\) - расстояние между центрами шариков.
Отметим, что закручивание нитей может проводиться как снизу (при закручивании коромысла с шариками), так и при повороте палочке сверху. Оба этих угла поворота можно измерять с помощью угломерных шкал. В качестве «источника» электростатического поля используйте пластиковую полоску, потертую о кусок ткани. Прикасаться ею к шарикам не следует.
Вам необходимо измерить (конечно, на таком примитивном приборе скорее оценить) силу взаимодействия между наэлектризованной пластиковой полоской и незаряженным металлическим шариком в зависимости от расстояния между ними.
Часть 1. Градуировка крутильных весов
В этой части вам необходимо установить зависимость угла закручивания коромысла \(\varphi\) от момента силы, приложенной к шарикам коромысла. Обозначим массу коромысла \(m\) (она будет указана Вам в лаборатории во время выполнения задания). Обозначения геометрических параметров крутильных весов указаны на рисунке, Вы их можете измерить и при необходимости устанавливать самостоятельно.
1.1 Рассчитайте момент силы, действующий на коромысло со стороны нитей подвеса, при повороте коромысла на малый угол \(\varphi\).
1.2 К шарикам прикладывают одинаковые по модулю и противоположно направленные силы \(F_0\), направленные перпендикулярно коромыслу. Покажите, что угол закручивания коромысла \(\varphi\) при малых углах поворота и силы \(F_0\) пропорциональны друг другу
\[F_0 = K\varphi\tag{1}\]
1.3 Выразите значение коэффициента \(K\) через массу шарика, ускорение свободного падения \(g\) и геометрические параметры крутильных весов.
Прежде чем переходить к систематическим измерениям, проведите пробный качественный эксперимент. Длины нитей должны быть примерно равны 40 см, их изменять не следует.
Потерев одну из пластиковых полосок тканью (сообщив ей некоторый электрический заряд), поднесите полоску к шарику и убедитесь, что шарик притягивается к полоске. Подберите такое расстояние между нитями \(2r\), чтобы Ваши весы «чувствовали» притяжение полоски на расстоянии 3-4см (от шарика до полоски).
1.4 Укажите найденное значение расстояния между нитями, обозначим соответствующий параметр \(r_0\).
Если сила \(F_0\) хорошо описывается формулой (1), то крутильные колебания будут происходить с периодом, который определяется по формуле
\[T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}.\tag{2}\]
Где \(m\) - масса одного шарика.
1.5 Измерьте зависимость периода крутильных колебаний от расстояния между нитями подвеса, в диапазоне, включающем значение \(r_0\).
1.6 Сравните вид полученной зависимости с Вашими теоретическими изысканиями.
Если формула (1) применима, то период крутильных колебаний не зависит от их амплитуды. Установите расстояние между нитями равным \(2r_0\) и больше его не изменяйте.
1.7 Измерьте зависимость периода крутильных колебаний от их амплитуды (максимального угла закручивания). Постройте график полученной зависимости. Укажите интервал углов закручивания, в котором формула (1) применима.
Часть 2. Электростатические взаимодействия.
Предложите методику измерения силы притяжения шарика к полоске с помощью имеющегося прибора. Приведите схему установки, кратко опишите последовательность Ваших действий.
2.1 Измерьте зависимость силы притяжения (в Ньютонах) шарика к наэлектризованной полоске от расстояния между ними. Постройте график этой зависимости.
2.2 Подчиняется ли полученная вами зависимость закону Кулона? Назовите основные причины возможных отклонений от закона Кулона.
Последние советы.
1. Старайтесь каждый раз электризовать полоски одинаково.
2. Используйте «симметричную» схему: у вас два шарика, две полоски, две нити...
3. Результаты будут более точными, если вы будете закручивать нити сверху, как это делал О. Кулон
4. Рекомендуем использовать метод отрыва ... думайте!!!
▶ПодсказкаСкрыть
Нити подвеса при повороте коромысла отклоняются на малый угол, и горизонтальные проекции сил натяжения создают возвращающий момент, пропорциональный углу; сравни его с моментом силы притяжения, а по периоду колебаний проверь, что весы линейны.
▶ОтветСкрыть
1.1) \(M=\dfrac{mgr^2}{l}\varphi\); 1.3) \(K=\dfrac{mgr^2}{2lR}\); 1.4) \(r_0\approx1\) см (расстояние между нитями \(\approx2\) см); 1.6) \(T=\dfrac{C}{r}\); 1.7) период растёт примерно на 10% при увеличении угла до \(90^\circ\); 2.2) закон Кулона не выполняется, \(F=C/r^n\) при \(n>2\) (шарик не заряжен, заряды индуцированы).
▶РешениеСкрыть
Часть 1. Градуировка крутильных весов
1.1 При повороте коромысла весов на малый угол \(\varphi\) нити подвеса отклоняются от вертикали на угол \(\alpha\), который определяется геометрическим соотношением
\[l\alpha = r\varphi \quad \Rightarrow \quad \alpha = \frac{r}{l}\varphi.\tag{1}\]
При малом угле отклонения нитей от вертикали сумма сил натяжения нити равна силе тяжести коромысла с шариками (учитывая, что косинус малого угла равен 1):
\[2N = mg\tag{2}\]
Следовательно, проекция этих сил на горизонтальную плоскость равна \(2N\alpha = mg\alpha\). Наконец, момент этих сил равен
\[M = 2Nr\alpha = \frac{mgr^2}{l}\varphi.\tag{3}\]
1.2 В состоянии равновесия момент сил притяжения уравновешивается моментом сил натяжения нитей. Из формулы (3) следует, что последний пропорционален углу закручивания, поэтому и угол закручивания пропорционален действующим силам притяжения.
1.3 Момент сил притяжения равен
\[M_1 = 2F_0R.\tag{4}\]
Приравнивая найденные моменты сил, получим
\[\frac{mgr^2}{l}\varphi = 2F_0R \quad \Rightarrow \quad F_0 = \frac{mgr^2}{2lR}\varphi.\tag{5}\]
Следовательно, коэффициент в формуле (1) условия описывается формулой
\[K = \frac{mgr^2}{2lR}.\tag{6}\]
1.4 Пробный эксперимент показывает, что расстояние между нитями должно быть примерно равно 2 см, или
\[r \approx 1\text{см}.\tag{7}\]
1.5 Измерения зависимости периода колебаний от расстояния между нитями требуют терпения и занимают достаточно много времени, так как период колебаний составляет несколько секунд (и зависит от длины нитей). Методика проведения таких экспериментов традиционная: измеряется время нескольких (не менее 5) колебаний, после чего рассчитывается период этих колебаний. Для получения зависимости \(T(r)\) необходимо провести измерения не менее, чем для 5 значений расстояния между нитями.
1.6 Эксперимент подтверждает теоретические построения, из которых следует, что период малых колебаний обратно пропорционален расстоянию между нитями
\[T = \frac{C}{r}.\tag{8}\]
1.7 Измерение периодов колебаний при больших углах закручивания показывают, что период этих колебаний незначительно (примерно на 10%) возрастает при возрастании угла закручивания до \(90^\circ\).
Часть 2. Электростатические взаимодействия.
2.1 Измерения показывают, что сила притяжения при расстоянии между шариками и пластиками порядка 1 см составляет десятые доли ньютона и быстро убывает при увеличении расстояния.
2.2 Обработка результатов измерений показывает, что закон Кулона (закон обратных квадратов) не выполняется даже приблизительно. Это связано с тем, что в данном эксперименте измеряется сила взаимодействия заряженной пластинки с незаряженным шариком, на котором пластинка индуцирует электрические заряды, поэтому сила взаимодействия убывает в степенной зависимости
\[F = \frac{C}{r^n}.\tag{9}\]
где \(n > 2\). Сделать более точные выводы данная установка не позволяет.
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 2 Очень медленное движение
Приборы и оборудование: Штатив с лапкой, пробирка с пробкой, шприцы одноразовые с иголкой, линейка, секундомер электронный с памятью этапов, стакан одноразовый 200 мл, салфетки бумажные (для вытирания стола), скотч, гель (жидкое мыло), масло.
В данной работе Вам необходимо исследовать вертикальное движение пузырьков масла и воздуха в вязкой жидкости.
Сначала аккуратно соберите установку: с помощью скотча прикрепите пробирку к линейке, заполните пробирку жидким мылом, примерно 2 см по высоте пробирки оставьте место для воздуха, плотно закройте пробирку пробкой, проткните пробку иголкой для шприца, так, чтобы с помощью шприца внутрь пробирки можно было впускать небольшие порции масла, или воздуха. Закрепите линейку с пробиркой в штативе вертикально, пробкой вниз.
Теперь, запуская с помощью шприца внутрь пробирки небольшую порцию масла, Вы можете наблюдать подъем пузырька и измерять характеристики его движения.
При движении пузырька масла (или воздуха) на него действует сила сопротивления, которая пропорциональна скорости движения пузырька \(v\). Эта сила также имеет степенную зависимость от радиуса пузырька \(r\):
\[F = C r^{\gamma} v.\tag{1}\]
Часть 1. Масляный пузырек.
1.1 Покажите экспериментально, что при всплытии пузырек движется равномерно. Проведите необходимые измерения, постройте график закона движения. рассчитайте скорость этого движения, оцените погрешность измерения скорости. (Эти измерения можно провести для одного пузырька, укажите его радиус).
1.2. Исследуйте зависимость скорости пузырька от его радиуса. Постройте график полученной зависимости. На основании полученных данных определите показатель степени \(\gamma\) в формуле (1).
Часть 2. Воздушный пузырек.
2.1 – 2.2 Проведите измерения п.1.1 - 1.2 для пузырьков воздуха.
Часть 3. Сравнение.
3.1 Используя полученные экспериментальные данные, найдите отношение плотности масла к плотности жидкого мыла.
▶ПодсказкаСкрыть
При равномерном всплытии сила Архимеда за вычетом силы тяжести уравновешивается вязким сопротивлением \(Cr^\gamma v\): получи \(v\propto r^{3-\gamma}\) и найди \(\gamma\) из эксперимента. Отношение скоростей масляного и воздушного пузырька одного радиуса даёт отношение плотностей.
▶ОтветСкрыть
1.1) движение равномерное, скорость — наклон \(x(t)\); 1.2) \(v=\dfrac{4\pi(\rho_0-\rho)g}{3C}\,r^{3-\gamma}\), \(v\propto r^2\), \(\gamma=1\); 2.1–2.2) то же для воздуха, времена всплытия примерно в 5 раз меньше; 3.1) \(\dfrac{\rho}{\rho_0}=1-\dfrac{v}{v_1}\).
▶РешениеСкрыть
Часть 1. Масляный пузырек.
1.1 Времена всплытия масляных пузырьков составляют несколько минут. Для доказательства равномерности движения необходимо экспериментально измерить закон движения пузырька: зависимость координаты от времени. Для этого следует использовать секундомер с памятью этапов: заранее отметить 10 точек на линейке и засечь времена прохождения пузырька через эти отметки.
График экспериментальной зависимости весьма близок к прямой, что и доказывает равномерность движения пузырька.
Наиболее точным методом расчета скорости является метод наименьших квадратов, коэффициент наклона зависимости \(x(t)\) равен средней скорости движения.
1.2 Для получения зависимости скорости пузырька от его радиуса измерения необходимо провести не менее, чем для 10 различных пузырьков. График зависимости скорости пузырька от его радиуса является параболой, что можно доказать и линеаризацией \(v(r^2)\). При равномерном движении разность силы Архимеда и силы тяжести уравновешивается силой сопротивления, поэтому в стационарном режиме справедливо следующее уравнение
\[\frac{4}{3} \pi r^3 (\rho_0 - \rho) g = C r^\gamma v,\tag{1}\]
Из которого следует, что
\[v = \frac{4}{3C} \pi r^{3-\gamma} (\rho_0 - \rho) g,\tag{2}\]
где \(\rho_0\) - плотность мыла, \(\rho\) - плотность масла.
Так как в эксперименте оказалось, что скорость пропорциональна квадрату радиуса, то из этого следует, что показатель степени равен
\[\gamma = 1.\tag{3}\]
Часть 2. Воздушный пузырек.
2.1-2.2 Результаты измерений времен всплытия воздушных пузырьков аналогичны результатам исследования подъема масляных пузырьков, только характерные времена всплытия примерно в 5 раз меньше. Движение воздушных пузырьков также является равномерным.
Часть 3. Сравнение.
3.1 Для скорости установившегося движения воздушного пузырька справедлива формула, аналогичная формуле (2), в которой можно пренебречь плотностью воздуха:
\[v_1 = \frac{4}{3C} \pi r^{3-\gamma} \rho_0 g\tag{4}\]
Отношение скоростей двух пузырьков одинакового радиуса зависит от плотностей следующим образом:
\[\frac{v}{v_1} = \frac{(\rho_0 - \rho)}{\rho_0}\tag{5}\]
Из этой формулы следует, что
\[\frac{\rho}{\rho_0} = 1 - \frac{v}{v_1}\tag{6}\]
Конечно, более предпочтительным является расчет по коэффициентам наклона зависимостей \(v(r^2)\).
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Источник: Республиканская физическая олимпиада Беларуси, 2021/22, заключительный этап, 10 класс, экспериментальный тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.