зад 1 Растекание токов и распределение потенциала
По закону Ома (записанному в дифференциальной форме)
\[\vec{j} = \frac{1}{\rho} \vec{E}\tag{1}\]
распределение вектора плотности тока при его распространении в протяженной среде полностью совпадает с распределением вектора напряженности электрического тока. Измерение распределения напряженности и потенциала в электростатических полях является сложной и труднореализуемой проблемой. Измерение же разности потенциалов при протекании электрического тока является банальной и элементарной задачей, легко решаемой с помощью обыкновенного мультиметра. Это и предстоит проделать Вам в ходе выполнения данного задания.
Приборы и оборудование: лист влажного картона формата А4, источник напряжения 4,5 В (гальванический элемент); мультиметр, соединительные провода с зажимами-клипсами, подвижный контакт (ластик с гвоздиком). Картон вам надо намочить самостоятельно. Опустите его в воду на несколько десятков секунд, а потом протрите салфеткой.
Вам предоставлен лист картона. На этот лист нанесены 2 шкалы (оси координат). Условимся длинную нижнюю ось обозначать осью \(x\). Начало отсчета находится в центре листа. Перпендикулярную ось, проходящую по середине листа, назовем осью \(y\). Источник тока следует подключить к клеммам А и В, находящимся на оси ОХ. Убедитесь в наличии электрического контакта между этими клеммами и картоном, соблюдайте полярность подключения. Если вы не проводите измерений отключайте источник от цепи, не давайте ему разряжаться! Один вывод вольтметра подключите к клемме С, расположенной на середине противоположной стороны листа. Второй вывод подключайте к подвижному контакту D. Отрегулируйте положение контакта С таким образом, чтобы при подключении к точкам А и В мультиметр давал равные по модулю и противоположные по знаку значения напряжения. После этого подберите такое положение начала отсчета оси Х, чтобы значения напряжения между точкой С и началом отсчета равнялось нулю. При такой настройке вольтметр будет показывать значение потенциала в произвольной точке подключения подвижного контакта.
Часть 1. Распределение потенциала вдоль оси X
1.1 Измерьте зависимость потенциала от координаты \(x\) на оси ОХ (т.е. при \(y=0\)): \(\varphi_0(x)\). Постройте график полученной зависимости.
1.2 Можно предположить, что в данном случае зависимость потенциала от расстояния до источника (укажите, что в данном случае может рассматриваться как источник) обратно пропорциональна расстоянию до источника (как потенциал поля точечного заряда). Проверьте, выполняется ли в данном случае это предположение.
1.3 Полученная зависимость \(\varphi_0(x)\) может быть аппроксимирована (приближенно описана) функцией вида
\[\varphi_0(x) = ax + bx^3\tag{2}\]
Используя все полученные экспериментальные данные, рассчитайте значения коэффициентов \(a, b\) этой зависимости.
1.4 Выскажите предположение о виде зависимости потенциала точечного источника от расстояния в данной задаче.
Часть 2. Распределение поля в плоскости.
2.1 Измерьте значения потенциалов в узлах квадратной сетки с шагом \(h=2\) см для положительных значений координат \(\varphi_{ij}\) в точках с координатами \(x_i = ih, \quad y_j = jh, \quad i, j = 1, 2, \dots\).
2.2 На основании проведенных измерений нарисуйте на листе миллиметровой бумаги (в масштабе 1:1), эквипотенциальную линию, проходящую через точку с координатами \(x=10\) см, \(y=0\). Приведите формулы, по которым вы получили эту линию. Можете построить эту же линию, проведя дополнительные измерения. Опишите использованный вами метод.
2.3 Во всех узловых точках (т.е. с шагом 2 см) на прямой с координатой \(x=10\) см укажите направление вектора напряженности электрического поля в картоне. Построение выполните на том же листе миллиметровой бумаги.
▶ПодсказкаСкрыть
Токи растекаются по плоскому листу картона, поэтому потенциал точечного источника логарифмичен, а не \(1/r\); для проверки линеаризуй \(\varphi/x\) как функцию \(x^2\), а напряжённость находи как минус производную потенциала.
▶ОтветСкрыть
1.2) предположение \(\varphi\propto1/r\) не выполняется (\(1/(x\varphi)\) от \(x^2\) не линейна); 1.3) \(\dfrac{\varphi_0(x)}{x}=a+bx^2\), коэффициенты по МНК; 1.4) \(\varphi=\varphi_0\ln\dfrac{r_0}{r}\) (растекание в плоскости); 2.3) \(E_x=-\dfrac{\varphi_{i+1,j}-\varphi_{i,j}}{h}\), \(E_y=-\dfrac{\varphi_{i,j+1}-\varphi_{i,j}}{h}\).
▶РешениеСкрыть
Часть 1. Распределение потенциала вдоль оси X
1.1 Измерение потенциала следует проводить с шагом не более 1 см, в противном случае провести тщательный анализ этой зависимости невозможно. График полученной зависимости нелинейный, напоминает кубическую параболу. Функция, описывающая полученную зависимость, нечетная.
1.2 В рамках предположения о том, что зависимость потенциала от расстояния до источника обратно пропорциональна расстоянию до источника (как потенциал поля точечного заряда), функция описывающая полученную зависимость \(\varphi(x)\) должна иметь вид
\[\varphi = C \left( \frac{1}{l - x} - \frac{1}{l + x} \right) = C \frac{2x}{l^2 - x^2}\tag{1}\]
Эта зависимость допускает линеаризацию
\[\frac{1}{x\varphi} = \frac{l^2 - x^2}{C}\tag{2}\]
Однако, замена переменных \(Y = \frac{1}{x\varphi}\), \(X = x^2\) и построение графика зависимости \(Y(X)\) показывает, что данная зависимость не является линейной. Таким образом, предположение об обратной зависимости потенциала от расстояния не выполняется.
1.3 Для определения параметров зависимости \(\varphi_0(x) = ax + bx^3\) ее необходимо привести к виду
\[\frac{\varphi_0(x)}{x} = a + bx^2.\tag{3}\]
В этом случае для расчета коэффициентов \(a, b\) можно воспользоваться методом наименьших квадратов.
1.4 Так как растекание токов происходит в плоскости, то наиболее разумным является предположение о том, что зависимость потенциала от расстояния до источника является логарифмической:
\[\varphi = \varphi_0 \ln \frac{r_0}{r}.\tag{4}\]
Часть 2. Распределение поля в плоскости.
2.1 Измерение потенциала проводится описанным в условии методом.
2.2 Эквипотенциальная поверхность есть геометрическое место точек, имеющих один и тот же потенциал. На плоскости эквипотенциальная поверхность является линией пересечения трехмерной эквипотенциальной поверхности с плоскостью. Крайняя точка требуемой линии задана в условии, потенциал в этой точке измерен, обозначим его \(\varphi_1\). Для построения всей линии можно воспользоваться двумя методами. Первый, экспериментальный: проводя сканирование потенциала вдоль некоторой прямой параллельной оси \(x\) (с некоторым шагом, например, те же 2 см) найти на этой прямой точку с тем же значением потенциала.
Второй, теоретический: используя данные проведенных измерений провести линейную интерполяцию значений потенциалов между двумя узловыми точками, и по ней рассчитать координаты точек, имеющих потенциал \(\varphi_1\). Заметим, что данная эквипотенциальная линия является замкнутой и охватывает один из подводящих контактов.
2.3 Так как напряженность поля равна производной от потенциала, взятой с противоположным знаком
\[\begin{aligned}E_x &= -\frac{d\varphi}{dx},\\ E_y &= -\frac{d\varphi}{dy}\end{aligned}\tag{5}\]
То для построения направления вектора напряженности, производные можно приближенно заменить отношением конечных разностей,
\[\begin{aligned}E_x &= -\frac{\varphi_{i+1,j} - \varphi_{i,j}}{h},\\ E_y &= -\frac{\varphi_{i,j+1} - \varphi_{i,j}}{h}\end{aligned}\tag{6}\]
Расчеты по этим простым формулам следует провести по всем точкам, значения потенциалов измерены в ходе выполнения пункта 2.1.
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 2 Стеклянный песок
В формулировке задания 1 были даны подробные инструкции. Поэтому при выполнении этого задания Вам предоставляется гораздо большая свобода и возможность проявить свои таланты. Целью данной работы является изучение оптических свойств стеклянного песка.
Приборы и оборудование: песок стеклянный, отражательная полоска, источник света – лазер с источником питания, линзы собирающая и рассеивающая, экран, стеклянная пластинка, штатив с лапками, пластилин для крепления, линейка, бумага для дополнительных экранов.
Часть 1. Собирающая линза.
1.1 Измерьте с максимальной точностью фокусные расстояния собирающей и рассеивающей линз. Оцените погрешность найденных значений. Приведите схему установки, кратко опишите последовательность измерений.
Всегда более точные результаты получаются при исследовании зависимостей, например… угла отклонения луча от… Заметим, что измерять расстояния от предмета до линзы и от линзы до изображения не рекомендуется – погрешности велики!
Часть 2. Изображения песчинок.
2.1 Получите на экране увеличенные изображения песчинок. Приведите оптическую схему, с помощью которой вы получили изображения, укажите геометрические параметры установки.
2.2 Получите изображения при нескольких расстояниях от песчинок до линзы. Постройте график зависимости размеров изображения песчинок от расстояния от них до линзы.
2.3 Используя все полученные данные, найдите средний диаметр песчинок.
Если несколько песчинок положить на стеклянную пластинку, то они удерживаются на ней безо всякого клея.
Часть 3. Рассеяние света песком.
3.1 Направьте луч лазера на отдельную группу и небольшую кучку песчинок. Кратко опишите результат рассеяния света песчинками. Какие интересные особенности Вам удалось увидеть в проходящем свете?
3.2 Исследуйте рассеяние света «назад» от отдельных песчинок и от их небольшой группы. Качественно (т.е. без формул) объясните появление ярких круговых пятен света.
Не забудьте привести оптические схемы. Лист бумаги с проделанным отверстием можно использовать как экран.
Часть 4. Светоотражающая полоска.
Для того, чтобы препятствия на дороге, машины и люди были лучше видны в свете фар, используют светоотражательные материалы. Кусок такого материала предоставлен Вам.
4.1 Опишите наиболее интересные наблюдаемые вами «картинки» в свете, отраженном полоской.
4.2 Иногда утверждают, что основой подобных отражателей являются стеклянные шарики, содержащиеся в краске. Подтверждают, или опровергают подобное утверждение ваши наблюдения?
▶ПодсказкаСкрыть
Фокусное расстояние точнее всего даёт смещение луча при сдвиге линзы; размер изображения песчинки линейно зависит от расстояния до экрана; круглые пятна света при рассеянии назад возникают так же, как радуга в капле.
▶ОтветСкрыть
1.1) \(x=-\dfrac{L-F}{F}\,z\), \(F\) по наклону \(x(z)\); 2.3) \(D=D_0\dfrac{b-F}{F}\), размер песчинки \(D_0\) по наклону; 3.2) круглые пятна — переотражение света от песчинок, подобно радуге; 4.2) в светоотражающий слой входят стеклянные шарики.
▶РешениеСкрыть
Часть 1. Собирающая линза.
1.1 Для измерения фокусного расстояния линз с высокой точностью можно измерить зависимость смещения луча на экране \(x\) от смещения линзы \(z\). Как следует из рисунка эти величины связаны геометрическим соотношением
\[\frac{z}{F} = -\frac{x}{L-F}\tag{1}\]
Из которого следует, что
\[x = -\frac{L-F}{F} z\tag{2}\]
По коэффициенту наклона легко измеряемой зависимости \(x(z)\) можно рассчитать фокусное расстояние собирающей линзы. Аналогично можно получить формулу и провести необходимые измерения и для рассеивающей линзы.
2.2 Чтобы получить увеличенное изображение стеклянных песчинок, необходимо использовать собирающую линзу, причем песчинки должны располагаться вблизи фокальной плоскости линзы. Для подсветки песчинок можно использовать рассеивающую линзу.
2.3 После получения изображения следует измерить диаметр изображения песчинок \(D\). Выразим этот размер через параметры установки.
\[D = D_0 \frac{b}{a}\tag{3}\]
где \(a, b\) расстояния от предмета (песчинок) до линзы и от линзы до экрана с изображением песчинок, соответственно. В эксперименте проще измерять расстояние от линзы до экрана, поэтому величину \(a\) можно выразить из формулы линзы:
\[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{F} \quad \Rightarrow \quad a = \frac{bF}{b - F}\tag{4}\]
Подстановка этого выражения в формулу (3) дает:
\[D = D_0 \frac{b - F}{F}\tag{5}\]
Таким образом, зависимость размера изображения песчинки от величины \(b\) является линейной. Экспериментальное исследование этой зависимости с последующей обработкой по методу наименьших квадратов позволяет рассчитать размер песчинки \(D_0\) с небольшой погрешностью.
Часть 3. Рассеяние света песком.
3.1 Для получения картин рассеяния света удобней использовать штатив с лапками для крепления оптических элементов. При рассеянии вперед наблюдается монотонное изменение интенсивности света на экране, никаких характерных элементов в этой картине не наблюдается. При рассеянии света небольшой кучкой песчинок иногда на экране возникают ярко освещенные с четкими краями круглые световые пятна. Их возникновение обусловлено переотражением света от нескольких песчинок.
3.2 При рассеянии назад регулярно возникают описанные круглые пятна света. Поэтому предположение о переотражении света, высказанное в предыдущем пункте подтверждается. Возникновение этих круглых пятен аналогично возникновению радуги при преломлении света в капельках воды.
Часть 4. Светоотражающая полоска.
4.1 В зависимости от места попадания света на светоотражающую полоску на экране возникают разнообразные световые пятна, форма и положение которых заметно отличаются при смещении луча по полоске.
4.2 При некоторых положениях луча на полоске в отраженном свете наблюдаются круглые пятна, подобные пятнам, возникающим при рассеянии света на стеклянных шариках. Это наблюдение говорит о том, что в светоотражающий слой полоски включены стеклянные шарики.
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Источник: Республиканская физическая олимпиада Беларуси, 2021/22, заключительный этап, 11 класс, экспериментальный тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.