зад 1 Ускоренное движение
Приборы и оборудование: установка для фиксации времен; штатив с лапкой, линейка, два шарика, металлический цилиндр.
В вашем распоряжении имеется установка для точной фиксации времен. На прозрачной трубке закреплены четыре оптических датчика \(D_0, D_1, D_2, D_3\), подключенные к электронной системе. Когда некоторое тело (у Вас – шарик, или цилиндр) проходит через датчик – с точностью \(10^{-3}\) с фиксируется время прерывания (т.е. время, когда исследуемое тело проходит через датчик). Счетчик времени запускается, когда тело проходит через начальный (нулевой датчик). На экране высвечиваются времена прохождения тела через три оставшихся датчика.
Внимательно ознакомьтесь с инструкцией по работе с этой установкой! Положение датчиков на трубке не изменяйте!}
С помощью штатива с лапкой вы можете закреплять трубку под произвольным углом к горизонту. Измерять эти углы следует с помощью линейки.
1. Измерьте и запишите координаты всех датчиков.
Далее вам следует исследовать скатывание металлических шариков по трубке в зависимости от угла наклона к горизонту.
Расположите трубку под углом \(\alpha \approx 45^\circ\) к горизонту.
2. На основании экспериментальных данных проверьте, можно ли считать движение шарика равноускоренным.
Приведите теоретические формулы, результаты измерений и обработки, обосновывающие ваш вывод.
Далее считайте, что движение тел в трубке является примерно равноускоренным.
3. Предложите формулу, позволяющую по результатам измерений времен прохождения датчиков (и известным координатам датчиков) рассчитывать среднее ускорение тела.
4. Исследуйте зависимость ускорения \(a\) скатывания шарика от угла наклона трубки \(\alpha\). Предложите такую функцию угла наклона \(z(\alpha)\), чтобы зависимость \(a(z)\) была линейной. Постройте график этой линейной зависимости, рассчитайте ее параметры.
5. Проведите аналогичные исследования для шарика другого диаметра.
6. Можно ли считать, что эти шарики скатываются одинаково (т.е. их ускорения равны при одинаковых углах наклона)?
Проведите исследования соскальзывания металлического цилиндра по трубке.
7. Исследуйте зависимость ускорения цилиндра \(a\) при его соскальзывании по трубке от угла наклона трубки \(\alpha\). Постройте график полученной зависимости \(a(\alpha)\).
8. Используя все полученные экспериментальные данные, рассчитайте коэффициент трения цилиндра по трубке. Опишите метод, который Вы использовали для расчета коэффициента трения.
▶ПодсказкаСкрыть
Из трёх пар «координата — время» ускорение находят, учитывая ненулевую начальную скорость в первом датчике; зависимость \(a\) от \(\sin\alpha\) линейна, а для скольжения с трением линеаризуй \(a/\sin\alpha\) от \(\mathrm{ctg}\,\alpha\).
▶ОтветСкрыть
3) \(a=2\,\dfrac{x_3/t_3-x_2/t_2}{t_3^2-t_2^2}\); 4) \(a=f(\sin\alpha)\) линейна, \(a=\frac{7}{5}g\sin\alpha\) (по оригиналу); 6) шарики разных диаметров скатываются одинаково; 7) цилиндр начинает соскальзывать при \(\alpha\approx20^\circ\); 8) \(a=g\sin\alpha-\mu g\cos\alpha\), график \(Y=\dfrac{a}{\sin\alpha}\) от \(X=\mathrm{ctg}\,\alpha\): \(Y=g-\mu gX\).
▶РешениеСкрыть
1. Измерения координат датчиков проводятся с помощью линейки. Для разных установок положения датчиков могут отличаться в пределах \(\pm 2\) см.
2. Датчики позволяют снимать времена прохождения шарика сквозь них. Причем счет времени запускается при прохождении первого датчика. Таким образом, в результате одного эксперимента имеет три пары чисел – результатов измерений: координаты и времена прохождения: \((x_1, t_1), (x_2, t_2), (x_3, t_3)\). Оптимальным способом доказательства, того что движение является равноускоренным является построение линеаризованной зависимости \(\frac{x}{t}(t)\). Эксперимент однозначно подтверждает, что эта зависимость линейная, следовательно, движение шарика – равноускоренное.
3. При выводе расчетной формулы следует учесть, что при прохождении первого датчика шарик уже имеет некоторую начальную скорость \(v_0\). Поэтому координаты датчиков и времена их прохождения связаны соотношениями:
\[\begin{aligned} x_1 &= v_0 t_1 + \frac{a t_1^2}{2} \\ x_2 &= v_0 t_2 + \frac{a t_2^2}{2} \\ x_3 &= v_0 t_3 + \frac{a t_3^2}{2} \end{aligned}\tag{1}\]
Это система трех уравнений с двумя неизвестными (ускорение и начальная скорость), для ее решения можно выбрать любые два уравнения. Для повышения точности следует взять второе и третье уравнения, из которых следует, что ускорение можно рассчитать по формуле:
\[a = 2 \frac{\frac{x_3}{t_3} - \frac{x_2}{t_2}}{t_3^2 - t_2^2}.\tag{2}\]
4. Угол наклона трубки можно изменять с помощью лапки штатива. В качестве меры угла можно измерить (с помощью линейки) синус этого угла:
\[\sin \alpha = \frac{h}{l}.\tag{3}\]
Где \(l\) -длина трубки. \(h\) - высота приподнятого конца трубки. Для построения исследуемой зависимости следует измерить ускорения не менее, чем при 5 значениях углов наклона. При каждом угле наклона следует проводить несколько измерений, а потом усреднить их результаты. Для того, чтобы получить линейную зависимость, следует построить график зависимости ускорения от синуса угла наклона \(a = f(\sin \alpha)\). Эксперимент дает результаты очень близкие к теоретической зависимости
\[a = \frac{7}{5} g \sin \alpha.\tag{4}\]
5. Для второго шарика результаты получаются практически такими же.
6. Из эксперимента однозначно следует, что шарики разных диаметров скатываются одинаково.
7. Измерения со скользящим цилиндром проводятся аналогично. Имеются два существенных отличия от скатывания шарика: первое, времена соскальзывания существенно больше; второе, имеет некоторый минимальный угол наклона (примерно \(20^\circ\)), при котором начинается соскальзывание.
8. Теоретическая зависимость ускорения от угла наклона изучается в курсе физики и имеет вид:
\[a = g \sin \alpha - \mu g \cos \alpha .\tag{5}\]
Для того, чтобы использовать все экспериментальные данные, необходимо линеаризовать зависимость (5), что можно сделать различными способами. Наиболее предпочтительным является построение линейной зависимости величины \(Y = \frac{a}{\sin \alpha}\) от величины \(X = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\):
\[Y = g - \mu g X .\tag{6}\]
По коэффициентам этой зависимости легко рассчитываются требуемые величины: ускорение свободного падения и коэффициент трения.
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 2 Закон преломления света
Приборы и оборудование: Лазер с источником питания, экран на подставке, призма треугольная, призма трапециевидная, линейка 40 см, транспортир, кусок пластилина, лист бумаги.
Небольшая теоретическая подсказка.
Вы изучали преломление света, но не обязаны знать формулу для закона преломления (который называется законом Снелиуса). При прохождении луча света через границу двух сред углы падения и преломления связаны простым соотношением
\[n_1 \sin \alpha_1 = n_2 \sin \alpha_2\tag{1}\]
Здесь \(n_1, n_2\) - показатели преломления сред. Для воздуха \(n \approx 1\). Углы отсчитываются от нормали к границе раздела. Это соотношение не зависит от того, с какой стороны свет падает на границу. При углах меньших \(30^\circ\)
\[\sin \alpha \approx \operatorname{tg} \alpha \approx \alpha, \cos \alpha \approx 1\tag{2}\]
Только не забывайте, что в этих формулах углы должны измеряться в радианах.
Рекомендации по проведению экспериментов.
1. Все эксперименты проводите на листе бумаги, на котором вы можете чертить, рисовать, проводить измерения. Только не забудьте перенести нужные чертежи на свои рабочие листы.
2. Для визуализации хода лучей вы можете использовать экран на подставке, линейку, а также лист бумаги на столе. Для проведения измерений можете использовать линейку, транспортир. При необходимости оптические детали можно закреплять с помощью пластилина
3. Для того, чтобы уменьшить диаметр лазерного луча, можете использовать небольшой кусочек бумаги с проделанным отверстием. Эту бумажку можно прикрепить к лазеру пластилином.
4. При проведении измерений луч лазера и экран лучше оставлять неподвижными, а перемещать изучаемые объекты.
5. Не забудьте в каждой части работы привести на своих рабочих листах те оптические схемы, которые вы использовали. На схемах обязательно должно быть указано, какие геометрические характеристики вы измеряли (и как).
Наконец задания.
Часть 1. Прохождение луча света через две параллельные границы.
В этой части используйте трапециевидную призму.
После прохождения луча света через плоскопараллельную пластинку, направление распространения луча не изменяется, происходит его сдвиг.
1.1 Докажите теоретически и экспериментально высказанное утверждение о ходе луча.
1.2 Получите теоретическую формулу для зависимости величины сдвига луча \(\delta\) от угла падения \(\alpha\). Здесь углы можно считать малыми.
1.3 Измерьте зависимость величины сдвига луча \(\delta\) от угла падения \(\alpha\). Постройте график полученной зависимости.
1.4 Рассчитайте показатель преломления материала призмы.
Часть 2. Преломление света в треугольной призме.
После прохождения луча света через треугольную призму, направление его распространения изменяется.
2.1 Измерьте зависимость тангенса угла отклонения луча \(\operatorname{tg}\theta\) от угла поворота призмы \(\varphi\). Постройте график полученной зависимости.
2.2 Рассчитайте показатель преломления этой призмы.
Считайте, что при \(\varphi = 0\) луч падает на грань призмы нормально (перпендикулярно). Не старайтесь получить общую формулу для зависимости \(\theta(\varphi)\) – это очень сложно, постарайтесь найти какой-нибудь простой и особый случай.
▶ПодсказкаСкрыть
Плоскопараллельная пластинка сдвигает луч, не меняя направления; при малых углах сдвиг пропорционален углу падения. В треугольной призме используй положение наименьшего отклонения: луч внутри идёт параллельно основанию.
▶ОтветСкрыть
1.2) \(\delta=h\dfrac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\beta}\approx h\dfrac{n-1}{n}\alpha\); 1.4) \(K=\dfrac{\Delta\delta}{\Delta\alpha}=h\dfrac{n-1}{n}\), \(n=1{,}5\ldots1{,}65\); 2.2) \(\sin\alpha_{\min}=n/2\), \(n=2\sin\alpha_{\min}\approx1{,}5\ldots1{,}65\).
▶РешениеСкрыть
Часть 1. Прохождение луча света через две параллельные границы.
1.1 После прохождения луча света через плоскопараллельную пластинку, направление распространения луча не изменяется, происходит его сдвиг. Для доказательства этого утверждения необходимо рассмотреть преломление на двух поверхностях: так как уравнение закона преломления не зависит от направления распространения света, то после второго преломления угол между выходящим лучом и нормалью восстановит свое прежнее значение \(\alpha\), то есть пойдет параллельно падающему лучу.
1.2 Согласно закону преломления света и на основании простых геометрических построений следует, что величина сдвига луча определяется формулой
\[\delta = h \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos \beta} .\tag{1}\]
Где \(\beta\) - угол преломления, \(h\) - толщина пластины. В приближении малых углов (когда \(\alpha = n \beta\)) эта формула упрощается:
\[\delta \approx h(\alpha - \beta) = h\,\frac{n - 1}{n}\,\alpha .\tag{2}\]
И приводит к линейной зависимости сдвига луча от угла падения.
1.3 Схема оптических измерений в данном случае очевидна: луч лазера падает на призму, расположенную на транспортире, после преломления луч падает нормально на линейку, которая служит экраном. Полученная зависимость, строго говоря, не является линейной, но при углах меньших \(\alpha < 30^\circ\) можно выделить линейный участок.
1.4 Как следует из формулы (2) коэффициент наклона зависимости \(\delta(\alpha)\) равен \(K = \frac{\Delta \delta}{\Delta \alpha} = h\,\frac{n - 1}{n}\). Этот коэффициент можно найти графически, или по методу наименьших квадратов. После этого можно вычислить показатель преломления материала призмы, который должен лежать в диапазоне от \(1{,}5\) до \(1{,}65\).
Часть 2. Преломление света в треугольной призме.
2.1 После прохождения луча света через треугольную призму, направление его распространения изменяется, причем эта зависимость оказывается нелинейной и немонотонной. Существует и легко находится положение призмы при угле минимального отклонения.
2.2 При угле минимального отклонения внутри призмы луч идет параллельно ее основанию. Так как призма правильная, то в этом случае преломленный угол равен \(\beta = 30^\circ\), поэтому закон преломления света на передней грани имеет вид
\[\sin \alpha = n \sin 30^\circ = \frac{n}{2}\tag{3}\]
Угол падения \(\alpha\) можно измерить непосредственно на установке с помощью транспортира, а затем с помощью формулы (3) рассчитывается показатель преломления материала треугольной призмы. Этот показатель также лежит в интервале от \(1{,}5\) до \(1{,}65\).
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Источник: Республиканская физическая олимпиада Беларуси, 2021/22, заключительный этап, 9 класс, экспериментальный тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.